SURFACE D^ÊGALE PENTE. — SURFACES GAUCHES

Définition et remarques. — Surface d'égale pente lorsque la directrice est une ellipse horizontale. — Sections planes. — Plan langent mené d'un point donné. — Plan tangent parallèle à une droite donnée. — Surfaces gauches. — Générations. — Paraboloïde hyperbolique. — Plan tangent. — Représentation. — Perspective cavalière d'une portion de paraboloïde.

Définition et remarques. — On donne le nom de surface d^ égale pente à une surface dont tous les plans tangents sont également inclinés sur un plan hoiizontal. Ces plans sont assujettis à deux conditions : Tune d'être tangents à la surface, Tautre de faire un angle donné avec un plan fixe. Gomme il ne reste pour ces plans qu'un seul paramètre variable, ils enveloppent une surface développable. Le cône directeur de cette surface est un cône de révolution dont l'axe est vertical.

Il résulte de là que les génératrices de la surface d'égale pente sont des lignes de plus grande pente des plans tangents de cette surface; leurs projections sur un plan horizontal sont des normales à la trace de la surface d'égale pente sur ce plan horizontal. L'enveloppe de ces normales, c'est-à-dire la développée de cette trace, est la projection horizontale de l'arétc de rebroussement de la surface d'égale pente. Sur le cylindre droit qui a pour base cette développée, cette arête de rebroussement est une hélice, puisque ses tangentes, c'est-à-dire les génératrices de la surface d'égale pente, sont également inclinées sur le plan horizontal.

Surface d'égale pente qui a pour directrice une ellipse horizontale. — Nous allons représenter la surface d'égale pente qui a pour directrice une ellipse horizontale (^fig- 229); prenons pour plan vertical de projection un plan vertical parallèle au grand axe de cette courbe. Donnons-nous le cône directeur de révolution.

La génératrice qui passe par le point A se projette horizontalement suivant la normale au point A à l'ellipse directrice; elle est parallèle à la génératrice du cône directeur projetée suivant sa. La projection verticale de la génératrice est parallèle à la projection verticale s'a' de la génératrice du cône.

La génératrice qui passe par le point A rencontre le plan vertical mené par le grand axe de l'ellipse en un point (M, M'). Ce point est aussi la trace, sur le même plan, de la génératrice de la surface qui se projette horizontalement suivant A"M, symétrique-

ment placée avec AM par rapport au plan vertical OM. Le lieu des points tels que (M, M') est donc une ligne double de la surface.

Nous allons démontrer que cette courbe est une conique.

Puisque les génératrices de la surface sont également inclinées, en appelant a Tangle que ces génératrices font avec le plan horizontal, on a

— -- = tanga — const.

SURFACE d'Égale pente. 417

Redressons la normale MA", qui est égale à MA. Nous obtenons, sur la perpendiculaire élevée du point M au grand axe de l'ellipse, un point R qui appartient, comme nous l'avons démontré, page i aS, aune conique (R) dont deux des sommets sont aux foyers F, F' de Tellipse donnée.

Lorsqu'on modifie dans un rapport constant les ordonnées de cette courbe (R), on a toujours une ellipse ayant pour sommets les deux foyers de l'ellipse donnée. Prenons ce rapport constant égala tanga; nous avons des points tels que Q, pour lesquels on a

et qui appartiennent toujours à une ellipse dont deux sommets sont aux foyers F, F'.

Transportons cette courbe parallèlement à elle-même, de façon que son axe FF' coïncide avec la projection verticale de l'ellipse directrice, le point Q vient au point M'; le lieu des points Q est alors la projection verticale de la trace de la surface sur le plan vertical mené par le grand axe de la courbe directrice. On voit donc que la trace de la surface sur le plan de symétrie mené par le grand axe 0^1 est une conique, (On a un résultat analogue pour le plan de symétrie mené par le petit axe de l'ellipse directrice.)

Le plan de cette courbe rencontrant l'ellipse donnée, celle-ci contient deux arcs doubles. On obtient les deux extrémités d'un de ces arcs en menant, par les extrémités du grand axe de l'ellipse donnée, les tangentes à la conique lieu des points tels que M'; ces droites sont parallèles aux génératrices de contour apparent du cône directeur. Pour avoir sur ces génératrices les points qui appartiennent à l'arc double, il suffit de prendre ceux qui se projettent aux centres de courbure de l'ellipse donnée correspondant aux extrémités du grand axe de cette courbe.

Appelons E, G ces deux points; faisons passer par les points E, M', G un arc de conique tangent en E et G aux génératrices menées parallèlement aux lignes de contour apparent du cône directeur. Les projections des génératrices de la surface sur le plan vertical sont des droites tangentes à la projection de l'arête de rebroussement; cette projection verticale doit arriver aux points E et G tangentiellement à l'arc double E, M', G.

4l8 SECONDE PARTIE. — VINGT-HUITIÈME LEÇON.

Sections planes. — La section de la surface d'égale pente par un plan horizontal est, en projection sur le plan horizontal, une courbe parallèle à l'ellipse directrice, car les portions des génératrices comprises entre le plan sécant et le plan de l'elUpse directrice sont égales; elles se projettent suivant des segments égaux, et, comme ces segments sont comptés sur les normales à Tellipse directrice, on voit que le lieu des extrémités de ces segments est une courbe parallèle à cette ellipse.

Si le plan sécant est le plan horiiontal (i), on a une section dont la forme rappelle celle d'une ellipse.

Si l'on coupe par le plan horizontal (2), qui rencontre la conique double et l'arête de rebroussement , la section est une courbe qui a deux points doubles et des points de rebroussement sur l'arête de rebroussement.

Enfin, le plan horizontal (3), qui ne rencontre plus la conique double, mais qui rencontre toujours l'arête de rebroussement, donne lieu à une courbe sur laquelle il y a encore quatre points de rebroussement.

Cherchons la section faite dans la surface par un plan quelconque.

Soit GT la trace du plan sécant, sur le plan de l'ellipse, et, au lieu de nous donner l'inclinaison de ce plan, menons une droite et qui représente la trace, sur le même plan, d'un plan mené par le sommet s du cône directeur parallèlement au plan sécant. Menons la tangente at à la base du cône directeur prise sur le plan de l'ellipse, et joignons le point t au point s. La tangente au point A à Tellipse directrice est parallèle à at et rencontre la trace du plan sécant au point T ; menons du point T une parallèle à ts, cette droite détermine sur la normale AN un point N. Ce point N est la projection du point où la génératrice AN de la surface rencontre le plan sécant; TN est la tangente en N à la section de la surface par ce plan.

En effet, le point où la génératrice AN rencontre le plan sécant est un point de la trace, sur ce plan, du plan tangent suivant AN à la surface d'égale pente. Cette trace est parallèle à tSy et, comme elle passe par le point T, c'est la droite TN menée parallèlement à ts. On obtient ainsi le point N, et la tangente en ce point à la seclion plane de la surface est la droite TN.

SURFACE d'Égale pente. 4^9

On peut construire un point de cette courbe pour lequel la tangente est parallèle à une droite donnée. Par le point s on mène une parallèle à cette droite; cette parallèle rencontre et en un point à partir duquel on mène les tangentes à la base du cône. Les génératrices du cône, qui passent par les points de contact de ces tangentes, sont parallèles aux génératrices de la surface dVgale pente qui contiennent les points demandés.

La génératrice de la surface, qui est parallèle à se^ est parallèle au plan sécant ; elle rencontre alors ce plan à l'infini ; elle est parallèle à une asymptote de la courbe d'intersection. Pour avoir celte asymptote, il suffit de prendre la droite d'intersection du plan sécant et du plan tangent à la surface développable le long de la génératrice parallèle kse.

Menons se perpendiculairement à et et NC perpendiculairement

à CT, on a

NC se ^ NA " sa'

et, comme ce dernier rapport est constant, on voit que la courbe d* intersection de la surface d'égale pente par un plan quelconque est, en projection horizontale, le lieu des points dont le rapport des distances à la trace du plan sécant et à V ellipse directrice est constant»

Remarques. — Cette propriété s'étend à deux surfaces d'égale pente quelconques. Si l'on a sur un plan {fig- aSo) les directrices

Fig. aSo.

de deux surfaces d'égale pente, la projection de la courbe d'intersection de ces surfaces sur ce plan est toujours telle que

NÂ = ^^"^^-î

4aO SECONDE PARTIE. — VINGT-H LITIÉME LEÇON.

et, pour avoir la tangente en N à la projection de cette courbe, il suffit de prendre le point de rencontre des tangentes aux courbes directrices issues des points A et C et de joindre le point N à ce point de rencontre.

Si Tune des directrices est une droite Aï (^fig* aîi) et l'autre directrice un point F, auquel cas les surfaces sont l'une un plan

Fig. 23i.

et l'autre un cône de révolution dont le sommet est F, on a tou-

NA jours ^ = const., et Ton voit que la projection de la section conique, intersection du cône de révolution par le plan sécant, est le lieu des points dont le rapport des distances à une droite fixe et à un point fixe est constant.

En appliquant ce que nous venons de dire pour la construction de la tangente, on trouve qu'il faut mener par le point F la trace du plan tangent au cône de révolution, c'est-à-dire la perpendiculaire FT à NF, prendre le point de rencontre de cette droite avec AT et joindre ce point de rencontre au point N : on a ainsi la tangente à la conique en N.

D'un point donné mener un plan tangent à la surface d'égale pente.

Transportons le cône directeur de manière à lui donner pour sommet le point donné et prenons la trace de ce cône sur le plan de l'ellipse directrice. Les plans tangents demandés doivent avoir pour traces des tangentes communes à cette circonférence et à l'ellipse directrice; mais il faut choisir parmi ces tangentes celles qui correspondent à des génératrices de la surface d'égale pente et du cône directeur parallèles entre elles. Ainsi, aux points V et p {Jig. 229) on a bien pour la surface d'égale pente et pour le cône des génératrices parallèles entre elles, tandis que pour les points 1 et i cela n'a pas lieu.

La parallèle menée du point I à la génératrice du cône qui passe par Je point i est relative à une nappe de la surface qui est, par rapport au plan de l'ellipse directrice, la symétrique de celle que nous avons considérée. C'est la surface formée par ces deux nappes qui donne lieu, dans les plans de symétrie, aux coniques doubles traces de la surface, et c'est cette surface complète qui a quatre lignes doubles : l'ellipse directrice donnée, les deux coniques situées dans les plans de symétrie et enfin une ligne à l'inlini.

La marche que nous venons d'indiquer pour la construction du plan tangent mené d'un point est applicable dans le cas d'une surface développable quelconque.

Mener à la sur/ace d'égale pente des plans tangents parais lèlement à une droite donnée.

Par le sommet s du cône directeur menons une droite parallèle à la droite donnée et par cette droite menons des plans tangents au cône directeur. Ces plans sont parallèles aux plans demandés, et leurs traces sur le plan de l'ellipse sont parallèles aux traces des plans cherchés. Il suffit donc de mener à l'ellipse directrice des tangentes parallèles à ces traces pour avoir des horizontales des plans tangents demandés. Il faut toujours avoir soin d'examiner parmi ces tangentes celles qui répondent à la question.

Cette solution est applicable au cas d'une surface développable dont le cône directeur n'est pas de révolution.

En effectuant le développement de la surface d'égale pente, on peut remarquer que l'ellipse directrice et l'arête de rebroussemenl se transforment en un arc et sa développée.

Générations. — Nous avons vu que le déplacement d'une droite, indépendamment de ses points, est défini au moyen de trois conditions. Pour engendrer une surface gauche, on peut alors se donner

trois courbes ou surfaces directrices. Lorsque Ton donne trois courbes directrices, on construit les génératrices qui partent d'un point a {fig- 282) de Tune d'elles, en prenant les intersections des cônes ayant pour sommet le point a et pour directrices les deux autres courbes directrices données.

Si, pour un point m, la génératrice] ainsi construite est telle qu'aux points e, g les plans tangents à la surface réglée se con-

Fig. 232.

fondent, elle est appelée génératrice singulière. Le plan tangent le long de cette génératrice est alors le même pour tous les points de la surface, excepté pour le point /w, car le plan tangent en ce point est le plan de la génératrice mg et de la tangente mt à la courbe directrice, c'est-à-dire un plan bien défini et qui n'est pas nécessairement confondu avec le plan tangent en e ou en ^ ; le point m est alors le point central sur cette génératrice.

On peut définir une surface gauche en donnant une courbe directrice et deux surfaces directrices ; on construit la génératrice qui part d'un point de la courbe directrice en prenant les intersections des cônes dont les sommets sont en ce point et qui sont circonscrits aux deux surfaces directrices.

On peut définir une surface gauche en donnant deux courbes ou surfaces directrices et un cône directeur. Supposons donnés deux courbes directrices et un cône directeur, pour construire les génératrices qui partent d'un point d'une des courbes directrices, on transporte en ce point le sommet du cône directeur, on prend les points de rencontre de ce cône avec la seconde courbe directrice et l'on joint ces points au sommet de ce cône.

Lorsque l'une des courbes directrices se réduit à une droite et que le cône directeur est un plan, on a une surface réglée que Ton désigne sous le nom de conoïde. Lorsque la directrice rectiligne du conoïde est perpendiculaire au plan directeur, on dit que le conoïde est droit.

PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE.

Enfin on peut définir une surface réglée en considérant la droite qui Tengendre comme faisant partie d^une figure de forme invariable et en donnant les conditions qui définissent le déplacement d'une pareille figure.

Paraboloide hyperbolique. Plan tangent. — Prenons un paraboloïde hyperbolique comme premier exemple d'une surface gauche (^fig* 233). Supposons que son plan directeur soit horizontal et que ses directrices aient pour projections (A', A), (B*, B).

Fig. a33.

Menons l'horizontale ciV\ cette droite est la projection verticale d'une génératrice de la surface, génératrice que nous appelons du premier système : a! se projette au point a sur A, b' au point b sur B; ab est la projection horizontale de cette génératrice du premier système.

Cherchons le plan tangent au point (m', m) de cette génératrice. Ce plan est déterminé par a!b' et par la génératrice du second système qui passe par le point (m', m). Pour construire cette génératrice du second système, nous n'avons qu'à mener par le point (m', m) une droite qui rencontre deux des génératrices du premier système.

Comme génératrices du premier système, prenons cd qui est la trace du paraboloïde sur le plan horizontal ( H' ) et o', qui représente une génératrice du premier système, car c'est une droite

horizontale qui rencontre les deux directrices. On a alors tout de suite la projection verticale €> m! de la génératrice du second système qui passe par m', et, en élevant par le point ^, où la droite o'm' rencontre (H'), la perpendiculaire ^^ à cette ligne, on a surcrf le point /, qui est la trace sur (H') de cette génératrice du second système; mt est alors la projection horizontale de cette droite: mt^ m! t' sont les projections horizontale et verticale de la génétrice cherchée. Cette droite et (aè, a'b') donnent le plan tangent demandé.

Par une construction inverse, on détermine le point où un plan mené par (aô, a! b') touche le paraboloïde.

Si le plan mené par (a6, a!b') est vertical, ce plan est alors un plan central pour cette génératrice, et le point où il touche le paraboloïde est le point central sur a'V ,

Le lieu de ces points centraux est la ligne de striction du paraboloïde; cette ligne de striction peut être considérée comme la ligne de contact du paraboloïde et d'un cylindre circonscrit dont les génératrices sont verticales. Cette courbe est alors une parabole.

La tangente en un point de cette ligne de striction est la tangente conjuguée, par rapport aux deux génératrices du paraboloïde, de la verticale qui passe par ce point.

Le cylindre circonscrit au paraboloïde a pour contour apparent, sur le plan vertical de projection, la perpendiculaire o'p à la ligne de terre. La parabole, projection verticale de la ligne de striction, touche cette perpendiculaire au point o'. Si n! est le point central sur a' 6', la tangente en ce point à cette parabole est la droite n!i qui passe par le point i, milieu du segment intercepté sur la verticale o'p par les projections des deux génératrices du paraboloïde qui passent en /i'. Les diamètres de la parabole, projection verticale de la ligne de striction, sont parallèles à la droite qui joint le point tau milieu de o'/i'; ils sont donc parallèles à la ligne de terre. On voit aussi que o' est le sommet de cette parabole.

Mener à un paraboloïde un plan tangent parallèlement à un plan donné (Q).

On prend la trace de ce plan sur le plan directeur donné ; par chacune des directrices on mène un plan parallèle à cette trace. Ces deux plans se coupent suivant une droite qui est une généra-