PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE
Irîce du paraboloïde. Le plan mené par cette génératrice parallèlement au plan (Q) est le plan tangent demandé.
Projections diTorses d'nne portion de paraboloïde. — Prenons (^fig- 234) pour plan horizontal un plan perpendiculaire à l'axe du paraboloïde, axe que nous plaçons verticalement, et pour plan vertical un plan parallèle à Tun des plans principaux. Limitons la portion que nous voulons représenter à des génératrices également distantes de l'axe ; ces droites forment en projection hori-
Fig. a3/,.
zontale le losange abcd\ les points a et c se projettent verticalement en a' et c/, qui sont à la même hauteur; les points 6 etrf se projettent verticalement en un seul point U^ et les quatre côtés du losange abcdse projettent verticalement suivant a't', fe'c'.
Traçons un certain nombre de génératrices de chacun des systèmes. Pour cela, divisons ad en parties égales ainsi que ab^ et j)ar les points de division menons les génératrices du paraboloïde. Les projections de ces droites sur le plan vertical de projection enveloppent la ligne de contour apparent du paraboloïde, c'està-dire une parabole.
Projetons le paraboloïde sur un plan vertical parallèle à de, c'està-dire parallèle à l'un des plans directeurs. Le point a se projette
en a". Le point c", nouvelle projection verticale du point c, est toujours à la même hauteur que le point of ^ et les points h et 6^ se projettent en b' et rf", au-dessous de «"c", d'une distance égale à Ve.
Joignons rf" et 6" aux points a" et <? ^ nous obtenons les nouvelles projections verticales des génératrices qui limitent la portion du paraboloïde que nous représentons. En prenant encore les projections des génératrices du paraboloïde sur le plan vertical de projection, on a des droites qui enveloppent la ligne de contour apparent du paraboloïde sur le nouveau plan vertical de projection. Cette courbe est encore une parabole, puisque nous avons dit que la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un paraboloïde est une parabole ou, en d'autres termes, le cylindre circonscrit à un paraboloïde est toujours un cylindre parabolique.
Si l'on projette le paraboloïde sur un plan perpendiculaire à l'un de ses plans directeurs, comme il y a nécessairement une génératrice g perpendiculaire à ce plan directeur, toutes les génératrices du paraboloïde se projettent, les unes perpendiculairement à la nouvelle ligne de terre, et les autres suivant des droites qui passent par le point g.
Perspective cavalière d'nne portion de paraboloïde. — Il est facile de tracer la perspective cavalière de la portion du paraboloïde représentée.
Prenons comme plan de front un plan parallèle au premier plan vertical de projection que nous venons d'employer. AC est une droite de front qui correspond k cécf. Sur une perpendiculaire élevée du milieu de AG et à partir de ce point milieu, portons un segment égal à Ve.
Par l'extrémité de ce segment menons une ligne fuyante et portons sur cette droite des longueurs réduites correspondant à ob et od\ nous obtenons les points B et D.
Joignons deux à deux les points A, B, C, D, nous avons les projections des quatre côtés du losange; partageons AB et CD en huit parties égales, nous n'avons qu'à joindre les points de division ainsi obtenus pour avoir les perspectives cavalières des génératrices de la surface.
11 faut avoir soin de joindre d'abord le point de division le plus
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rapproché du point A au point de division le plus rapproché du point D, puis successivement on passe aux points de division voisins du premier point considéré, et l'on a alors, par l'enveloppe de ces droites, la parabole ligne de contour apparent du paraboloïde en perpective cavalière. On peut tracer les autres génératrices en divisant BG et AD en un même nombre de parties égales et en joignant convenablement les points correspondants.
4tl8 SECONDE PARTIE. — VINGT-NEUVIÈME LEÇON.
