GÉNÉRATRICES SINGULIÈRES DU CONOÏDE

Plan tangent au conoide, parallèle à nn plan donné. — Si Ton demande de mener au conoïde un plan tangent parallèle à un plan donné, une horizontale du plan donné est alors parallèle à la génératrice du conoïde qui contient le point de contact demandé. On mène par le point a une parallèle à une horizontale du plan donné, et Ton a la projection horizontale de la génératrice qui contient ce point de contact. De cette projection horizontale, on déduit facilement la projection verticale, puis on achève en employant, comme précédemment, un paraboloïde qui a pour plans directeurs les deux plans de projection.

Génératrices singnliéres du conoïde. — Ce conoïde possède des génératrices singulières. Prenons la génératrice qui se projette verticalement suivant l' i'. Le plan tangent au point i' au conoïde eSl le plan horizontal qui est tangent en ce point à la sphère donnée et il est le même que le plan tangent au point qui est à rinfini sur la génératrice l' i^. Cette génératrice est alors une génératrice singulière.

Le point central est le point /'; car, toutes les génératrices du conoïde étant perpendiculaires à la directrice rectiligne donnée, cette directrice est la ligne de striction du conoïde.

Les plans tangents au conoïde aux difTérents points de P i^ sont

forme avec la génératrice {ab, a'b'), ait pour bissectrice la tangente en (6, b) à cette ligne de courbure.

On peut eiïectuer les constructions en amenant le plan tangent en (b,b'), à être horizontal ; on peut aussi opérer de la manière suivante.

Prenons sur le plan horizontal (H'), qui contient le centre de la sphère, la trace de la tangente en {b, b') k la ligne de courbure et joignons ce point au point o.

Sur la projection horizontale, abaissons du point a une perpendiculaire sur celte droite et prolongeons-la d'une longueur égale à elle-même à partir du point où elle rencontre la tangente en 6 à la circonférence décrite sur ao comme diamètre.

La droite qui joint le point b à Textrcmité du segment ainsi porté est la projection horizontale de l'asymptote de l'indicatrice en b. On a par suite l'asymptote de l'indicatrice au point {b, b') et, comme la directrice rectiligne est l'asymptote de l'indicatrice au point {a, a')j on a les deux directrices du paraboloïde osculatcur, qui a du reste pour plan directeur le plan directeur de la surface. Sachant construire l'asymptote de l'indicatrice pour un point quelconque du conoïde,. il est alors facile de déterminer la tangente en un point d'une courbe d'ombre sur celte surface.

confondus avec le plan tangent au point qui est à Tinfini sur cette génératrice singulière ; le paramètre de distribution des plans tangents est nul. Cela se voit aussi immédiatement en remarquant que la distance, entre la génératrice infiniment voisine de C t et cette droite, est infiniment petite par rapport à l'angle que ces deux droites font entre elles ^ car cette distance est égale à la distance au plan tangent en i' d'un point de la courbe de contact du conoïde et de la sphère, infiniment voisin de i',

La génératrice du conoïde qui se projette verticalement suivant la droite f'cf est telle, que le plan tangent au point central r' sur cette génératrice est le même qu'au point de contact de cette génératrice avec la sphère. Pour ces deux points, le plan tangent est le plan vertical qui projette la génératrice; les plans tangents aux différents points de cette droite sont confondus avec le plan tangent au point central. On a une génératrice singulière pour laquelle le paramètre est infini. On arrive immédiatement à ce dernier résultat en remarquant que, si le point r' s'élève infiniment peu sur la directrice rectiligne, la génératrice tourne d'un angle qui est infiniment petit par rapport au chemin parcouru par /-'.

On trouve donc sur le conoïde des génératrices singulières, les unes déterminées par les plans tangents à la surface directrice, menés parallèlement au plan directeur, les autres par les plans tangents à la surface directrice, menés par la directrice rectiligne.

On trouve de même des génératrices singulières sur un conoïde quelconque en menant des plans tangents à la surface directrice parallèlement au plan directeur, ou, en menant par la directrice rectiligne des plans tangents à la surface directrice : dans ces plans tangents, les génératrices du conoïde sont des génératrices singulières de celle surface.

Entre la génératrice singulière du conoïde droit pour laquelle le paramètre est nul et la génératrice singulière pour laquelle le paramètre est infini, on peut trouver sur le conoïde droit une génératrice pour laquelle le paramètre a une valeur arbitraire; mais, pour toutes ces génératrices du conoïde droit, le point central est à distance finie, puisqu'il est toujours sur la directrice rectiligne du conoïde. On peut renconlrer sur les surfaces gauches, non seulement de pareilles génératrices, mais des génératrices singulières

CONOÏDE DE PLUCKER. 435

pour lesquelles le paramètre peut avoir une valeur quelconque, le point central étant à Tinfini (*).

Voici un dernier exemple de surface gauche à plan directeur.

Conoîde de Plûcker (*). — Soient (^fig* 287) D et A les projections horizontales de deux horizontales données D', A'. La perpendiculaire commune O à ces droites se projette au point de rencontre o de D et A.

Fig. 237.

or-/

Ta, / \a

Par O, menons un plan arbitraire. Le paraboloïde hyperbolique, qui a ce plan pour plan directeur et dont les directrices sont les deux droites données, a Tune de ses génératrices X' qui est perpendiculaire à ce plan directeur. Cette droite X' est perpendiculaire à toutes les génératrices qu'elle rencontre, et elle est la ligne de striction de ce paraboloïde.

(•) Voir le Supplément à cette Leçon.

(*) Plccrer a trouvé celte surface en étudiant les complexes linéaires (JVeue Géométrie des Baumes, p. 97). Elle joue un grand rùlc dans The theory of screivs de R.-S. Bau., où elle est appelée cylindroïde^ du nom que lui a donné M. A. Catlet. Voir aussi : F. Li^ideman.i, 6^(e6&r unendlich kleine Bewegungen und liber Kràjtesy sterne bei allgemeiner projectivischer Massbestimmung {Math. Ann., VII* Vol., p. 56); Picqi'et, sa Communication du 4 novembre i885 à la Société Mathématique de France, et les Notes que j'ai publiées dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 6 novembre 187 1 et a février i883.

Lorsqu'on fail tourner aulour de O le plan mené par cette droite, les droites X' engendrent une surface : c'est le conoïde de Plûcker. Ainsi :

Le lieu des perpendiculaires communes à O et aux droites qui s'appuient sur D', A' est le conoïde de Pliïcker (*).

Le lieu des lignes de striction des paraboloïdes isoscèles qui contiennent D' et A' est un conoïde de Plucker.

Pour construire les droites X', il suffit de prendre les perpendiculaires communes à O et aux droites qui s'appuient sur l'une des directrices, et qui passent par un môme point de Taulre.

Prenons, par exemple, comme point fixe le point a' de A'. Parmi les droites menées de ce point, et qui s'appuient sur D', il y en a une perpendiculaire à A'. Cette droite donne A' comme génératrice du conoïde; de même D' appartient au conoïde. Sur une droite quelconque a' 6', on a le point d de la génératrice X', et les points de D' et A'. Cette droite rencontre alors le conoïde en trois points.

Le conoïde dePUicker est donc une surface du troisième degré .

Par suite, un plan mené par une génératrice, c'est-à-dire un plan tangent au conoïde, coupe cette surface suivant cette génératrice et une conique.

Je dis que, quel que soit le plan tangent, la projection horizontale de cette conique est une circonférence de cercle.

Prenons le plan déterminé par X'et a*b'. Appelons C la conique suivant laquelle il coupe le conoïde, et C la projection horizontale de cette courbe.

Les points a, 6, o appartiennent à C; cherchons deux autres points de cette courbe. Par a', menons une parallèle à D'. La per-

(•) Si, parmi les droites qui s appuient sur D' et A', on prend celles qui rencontrent une courbe quelconque, elles forment une surface réglée qui donne lieu à celte propriété :

Si une surface réglée a deux directrices rectilignes et que l'on prenne les perpendiculaires communes à ses génératrices et à la perpendiculaire commune aux deux directrices rectilignes, on obtient des droites qui appartiennent à un conoïde de Plûcker.

D'après cela les perpendiculaires communes à une génératrice d'un hyperboloïde et aux génératrices du même système appartiennent à un conoïde de PlUcker.

CONOÏDB DE PLUCKER. 437

pendiculaire commune à cette droite et à O est la génératrice du conoïde projetée suivant la perpendiculaire oe à D.

Cette droite rencontre en e la trace ae du plan (X', a' 6') sur le plan horizontal mené par A'. Le point e est alors un point de C. De même, au moyen du point 6, on obtient le point g.

Il résulte de la construction des points e et ^ qu'ils sont sur la circonférence circonscrite au triangle oab ; donc : G est une circonférence de cercle.

Ainsi : un plan tangent au conoïde coupe cette surf ace suivant une génératrice et une conique dont la projection sur un plan parallèle aux deux directrices données est une circonférence (*).

On peut définir le conoïde au moyen de la directrice O, de la conique C, et d'un plan directeur perpendiculaire à O. Un plan parallèle au plan directeur coupe O en un point par lequel passent deux génératrices du conoïde, donc :

La directrice O est une droite double du conoïde (^).

Reprenons la génératrice X', menons un plan par cette droite et faisons-le tourner autour de X'.

Dans chacune de ses positions, il coupe le conoïde suivant une conique (7, dont la projection est une circonférence G; je vais démontrer que :

Toutes ces circonférences G sont tangentes entre elles en o, et que leurs centres sont sur une droite symétrique de X, par rapport à la bissectrice de Vangle (D, A).

Quel que soit le plan sécant mené par X', il coupe D' et A' cha-

(') La construclion de la trace d'une génératrice quelconque sur le plan (\', a'b') conduit facilement à cette propriété.

(*) Les plans horizontaux tangents à C contiennent les génératrices extrêmes du conoïde. Il est facile de voir que :

Les génératrices extrêmes sont perpendiculaires l'une à l'autre; elles sont à égales distances du point milieu du segment de la perpendiculaire commune à D' et A' limitée à ces droites.

Les génératrices qui partent d'un même point de O /ont des angles égaux avec les génératrices extrêmes.

Deux génératrices à égales distances des génératrices extrêmes font respectivement des angles égaux avec ces droites.

La plus courte distance entre V et A' est égale à la plus courte dislance entre les génératrices extrêmes multipliées par le sinus de l'angle (D', A').

Cime en un point, et la droite qui joint les projections de ces points est parallèle à ab\ donc les circonférences G, qui sont circonscrites aux triangles tels que oab^ sont tangentes entre elles en o.

La tangente en o à ces circonférences fait, avec D, un angle égal à Tangle bao, La ligne des centres fait alors, avec D, un angle complémentaire de celui-ci, c'est-à-dire égal à l'angle (X, A). Par suite, cette droite est la symétrique de X par rapport à la bissectrice de l'angle (D, A).

Dans le cas particulier où les plans sécants sont menés par l'une des directrices, les circonférences correspondantes ont leurs centres sur la projection de l'autre directrice.

Plan tangent, — Sur X', on prend le point m! qui se projette en m: on demande le plan tangent en m! au conoïde.

Par /w, faisons passer une circonférence G. Le centre de cette courbe est sur la ligne des centres que nous savons construire, et sur la perpendiculaire élevée à X du milieu de om, Gette circonférence G coupe A au point a : la parallèle a^ à X est la projection de la trace du plan tangent demandé sur le plan horizontal mené par A'.

Ge plan est, en effet, le plan mené par X', qui coupe le conoïde suivant G', et il contient la tangente en m' à celte conique.

Autrement. — Élevons au point m la perpendiculaire ma^ à X. Décrivons sur oa^ une circonférence de cercle. Gette courbe et la projection de la conique, section du conoïde par le plan (m\ D').

La tangente en m' à cette conique, qui est dans le plan tangent demandé, se projette suivant la tangente mt à la circonférence ornai • L*^ trace de cette droite sur le plan horizontal mené par A' se projette au point t, où mt est coupée par la parallèle ait kD^ parallèle qui est la trace du plan sécant sur le plan horizontal (A').

Il suffit maintenant de mener du point t la parallèle ta kX. pour avoir la trace du plan tangent demandé sur le plan horizontal (A').

On trouve une construction analogue en employant b^ .

Paraboloïde osculateur. — La conique G' est l'intersection du conoïde par son plan tangent en m'. La tangente en m! à G' est alors une asymptote de l'indicatrice du conoïde en m*. Le lieu des tangentes analogues à celle-ci, lorsqu'on fait tourner le plan se-

cant autour de X', est le paraboloïde osculaleur du conoïde par la génératrice X'.

Sur le plan horizontal (A'), la trace de ce paraboloïde est la droite op (*).

Surface gauche définie par deux courbes directrices et un cône directeur. — Une surface gauche est définie par deux courbes directrices et son cône directeur. Pour construire une génératrice de la surface, celle qui passe, par exemple, par le point a de Tune des courbes directrices, on transporte le cône directeur de façon à lui donner pour sommet le point a; il est coupé par l'autre courbe directrice en un certain nombre de points; les droites qui joignent ces points au point a sont des génératrices de la surface. Si, pour l'une de ces droites ab, on demande le plan tangent au point m, on emploie un paraboloïde de raccordement qui a pour plan directeur le plan tangent au cône directeur le long de ab et les mêmes plans tangents que la surface aux points a et b.

Cas particulier où le cône directeur est de réTolution. — Examinons en particulier le cas où le cône directeur est de révolution. Prenons comme plan horizontal {/Ig. a38) un plan perpendiculaire à l'axe de ce cône de révolution. Pour une génératrice quelconque de la surface, le plan central, étant parallèle à un plan méridien du cône, est un plan vertical. Le plan central de la surface gauche pour une génératrice ab est l'un des plans directeurs du paraboloïde des normales à cette surface pour cette génératrice. Les génératrices de ce paraboloïde, qui ne sont pas parallèles au plan central, c'est-à-dire les normales de la surface gauche, se projettent alors horizontalement suivant des droites qui passent par un même point. On connaît le plan tangent à la surface réglée au point a, où ab rencontre l'une des directrices données, et la normale en ce point à cette surface \ de même au point b. Le point de

(*) On connaît les asymptotes de l'indicatrice en m\ Les bissectrices des angles compris entre ces droites donnent les axes de cette indicatrice.

Par suite, on a les plans des sections principales du conoïde en m'. Les points où ces plans touchent le paraboloïde des normales au conoïde relatif à X' sont les centres de courbure principaux du conoïde pour m'.

Il est alors facile de construire ces centres de courbure principaux.

440 SECONDE PARTIE. — V.INCT-NEU VIÊME LEÇON.

rencontre c des projections horizontales de ces deux normales est le point par lequel passent les projections horizontales des normales à la surface réglée pour les différents points de la génératrice ab. Par suite, pour un point (m, m'), la normale à la surface se projette horizontalement suivant la droite cm, et la trace du plan tangent en m sur le plan horizontal (H') est la perpendiculaire abaissée sur cm de la trace t, sur ce plan, de la génératrice ab.

On peut encore arriver à ce résultat de la manière suivante.

Supposons que la génératrice ab soit liée invariablement à un plan horizontal. On peut faire glisser ce plan horizontal sur luimême, de façon que la génératrice qui lui est liée se déplace en rencontrant constamment les deux directrices données. Pour un déplacement infiniment petit de ab^ ainsi lié à ce plan horizontal, le point a décrit une trajectoire parallèle au plan horizontal et pour laquelle le plan normal est le plan vertical projeté suivant ac. De même pour le point 6, le plan normal à la trajectoire de ce point se projette suivant bc, le point c est alors la projection horizontale de l'axe instantané de rotation relatif au déplacement infiniment petit de ab. Pour un point quelconque m de ab^ la trajectoire de ce point a pour plan normal le plan vertical me; ce plan vertical contient la normale à la surface réglée, et, par suite, la trace du plan tangent en m à cette surface sur (H') est la perpendiculaire abaissée du point t sur la droite me.

Cette construction n'est autre que celle à laquelle nous étions arrivés pour Thélicoïde réglé, et Ton voit ainsi que, si, pour Thé-

SURFACES GAUCHES. 4(l

licoïde réglé, la construction du plan tangent en un point d'une génératrice s'obtient simplement, c'est parce que le cône directeur de cette surface est un cône de révolution.

Surface ganche définie par trois conrbes directrices. — Enfin, supposons que la surface gauche soit définie par trois courbes directrices {fig. 289). Pour la génératrice abc qui rencontre les directrices données aux points a, b et c, nous connaissons les plans

tangents à la surface en ces points : ce sont les plans détermines par la génératrice et par les tangentes aux courbes directrices aux points rt, 6, c. En traçant respectivement par a, 6, c des droites A, B, G dans ces plans tangents, nous avons les directrices d^un hyperboloïde de raccordement à la surface.

Afin de déterminer le plan langent à la surface gauche au point m de la génératrice abc^ nous n'avons qu'à construire le plan tangent en ce point m à cet hvperboloïde de raccordement. Pour cela, menons deux génératrices G,, G2 de cet hyperboloïde du mémo système que la génératrice ahc, La droite partant du point m et qui rencontre G| et G2 est la génératrice de l'hyperboloïde du même système que A, B, G. Gette droite et la génératrice abc déterminent le plan tangent demandé.

Inversement, si par la génératrice abc on mène un plan quelconque, on obtient le point où ce plan touche la surface réglée en ])renant le point de rencontre de la génératrice abc avec la droite suivant laquelle ce plan coupe l'hyperboloïde de raccordement.

La droite d'intersection de ce plan et de l'hyperboloïde n'est autre que la droite qui joint les traces de G| et de G2 sur le plan donné mené par abc. On a donc facilement le point de contact de ce plan avec la surface réglée.

Il est clair que, pour les tracés, on doit choisir convenablement les génératrices auxiliaires Go Gr2* Dans la Leçon suivante, nous verrons que l'on peut, par un choix convenable de ces génératrices, arriver à des tracés très simples.