VINGT-NEUVIÈME LEÇON

SURFACES GAUCHES (suite).

Surface gauche définie par deux courbes directrices et un plan directeur. — Conoïde droit circonscrit à une sphère. — Plan tangent au conoïde en un point. — Plan tangent au conoïde parallèle à un plan donné. — Génératrices singulières du conoïde. — Conoïde de Plucker. — Surface gauche définie par deux courbes directrices et un cône directeur. — Cas particulier où le cône directeur est de révolution. — Surface gauche définie par trois courbes directrices.

Supplément. — Génératrices singulières de surfaces gauches.

Surface gauche définie par deux courbes directrices et un plan directeur. — Une surface gauche est définie par deux directrices et un plan directeur; on demande le plan tangent en un point d'une génératrice de cette surface.

Les directrices données sont (A, A'), (B, B') {fig» aSS). Le plan directeur est horizontal.

Soit (m, m') le point pour lequel on demande le plan tangent.

On a immédiatement, pour la génératrice alb' qui contient ce point, un paraboloïde de raccordement : il suffit de prendre le paraboloïde qui a pour plan directeur un plan horizontal et pour directrices les tangentes en ce et b' aux courbes directrices données. Ce paraboloïde est de raccordement, puisque, aux points a', 6' et au point qui est à Tinfini sur la droite db', il a les mêmes plans tangents que la surface gauche. On construit alors pour le point (/>/, m') le plan tangent à ce paraboloïde et l'on a le plan demandé.

On sait que le long d'une génératrice db' on peut construire une infinité de paraboloïdes de raccordement; tous ces paraboloïdes ont pour plan directeur le plan directeur de la surface gauche et pour directrices des droites tracées par les points a' et 6'respec-

tivement dans les plans tangents en ces points à la surface gauche. Menons dans ces plans tangents, par a! et 6', des droites de front; ces droites se projettent horizontalement suivant des parallèles à la ligne de terre. Le paraboloïde, dont ces droites sont les directrices, a alors les plans de projection pour plans directeurs; sur chacun de ces plans les projections des génératrices forment des systèmes rayonnants. Sur le plan vertical, par exemple, on a des droites qui passent par le point ^, projection verticale de la génératrice du paraboloïde perpendiculaire au plan vertical de projection. Cette génératrice se projette horizontalement suivant une droite qui rencontre ab au pointe; le point c est la projection horizontale de la génératrice de ce paraboloïde particulier, généra-

Fig. 235.

Irice qui est perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sur le plan horizontal, les génératrices se projettent suivant des droites qui passent par le point c. Le point de la droite ab^ qui se projette au point c, est donc le point pour lequel le plan vertical qui projette ab est tangent au paraboloïde; le point c est alors le point central sur la génératrice ab. On voit ainsi que le point central sur ab est au point de rencontre de cette droite et de la perpendiculaire à la ligne de terre menée parle point de rencontre des projections verticales des directrices du paraboloïde de raccordement qui a le plan vertical pour plan directeur.

Si les directrices a'/', ///' sont parallèles entre elles, le point /' est à rinfini, et le point central cest aussi à l'infini.

Voilà une circonstance où le point central sur une génératrice

est à l'inGni; il est facile d'obtenir des surfaces gauches pour lesquelles cette particularité se présente (*).

Conoîde droit circonscrit à nne sphère. — Considérons comme exemple de surface gauche à plan directeur un conoîde droit circonscrit à une sphère.

Prenons {fig- a36) pour plan horizontal de projection le plan directeur du conoîde, et pour plan vertical un plan parallèle au

Fig. 236.

plan mené par la directrice recliligne et par le centre de la sphère directrice. La directrice rectiligne est la verticale qui se projette horizontalement au point a; le centre de la sphère se projette au point (o, o'); la droite ao est parallèle à la ligne de terre.

Pour construire une génératrice du conoîde, coupons par un plan horizontal. Ce plan rencontre la directrice rectiligne au point a! et la sphère suivant un petit cercle ayant pour projection horizontale une circonférence dont le centre est au point o. Les tangentes ae, ah à cette circonférence menées du point a sont les projections horizontales des génératrices du conoîde situées dans

(') Voir sur les génératrices singulières le Supplément à cette Leçon.

GONOÏDE DROIT CIRCONSCRIT A UNE SPHÈRE. 43l

ce plan horizontal. Les points de contact 6, e de ces tangentes sont sur la circonférence décrite sur ao comme diamètre ; les génératrices de la surface se projettent alors horizontalement suivant ae et ah.

Les points de contact 6, e sont symétriquement placés par rapport à la droite ao et se projettent verticalement en un seul point y , Quel que soit le plan sécant horizontal que Ton prenne pour construire des génératrices de la surface, on a toujours à tracer la même circonférence décrite sur ao comme diamètre. Les points de contact avec la sphère directrice des génératrices du conoïde se projettent donc en des points de cette circonférence et forment alors la ligne d'intersection de cette sphère avec le cylindre droit dont la base est la circonférence décrite sur ao comme diamètre. Cette ligne d'intersection est une courbe du quatrième ordre; mais, par suite de la position du plan vertical qui est parallèle au plan vertical de symétrie ao^ cette courbe se projette suivant un arc de section conique.

En la considérant comme l'intersection d'un cylindre de révolution et d'une sphère, nous pouvons appliquer ce que nous avons dit précédemment pour déterminer l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent.

Si l'on veut le point de la courbe qui se trouve sur l'horizontale a!b\ on considère cette droite comme la projection d'une section droite du cylindre; on inscrit dans ce cylindre une sphère le long de cette section droite, et l'on prend l'intersection de cette sphère avec la sphère donnée : cette intersection est un petit cercle qui se projette verticalement suivant la droite gh. Cette droite rencontre la projection verticale de la section droite du cylindre au point V \ le point 6' est le point cherché, et la corde gh est la tangente en ce point à la projection verticale de la courbe qui résulte de l'intersection du cylindre et de la sphère.

On peut, au moyen de cette construction, démontrer i^^ cette courbe est un arc de parabole. La ^ngente au point V à cet arc de courbe étant la corde gh^ la normale au point V est parallèle à la ligne qui joint le centre d de la sphère donnée au centre c de la section droite du cylindre qui contient le point V\ cette normale rencontre en p la parallèle à la ligne de terre qui passe par le point d : on a dp = cV , Abaissons du point V la perpendicu-

laire V q sur o'p\ comme qd est égal à fr'rf, on a alors pq = crf, c'est-à-dire que le segment /?y, compris entre le point y, pied de l'ordonnée du point 6', et le point /?, pied de la normale 6'/?, est égal au rayon de la section droite du cylindre, c'est-à-dire qu'il est constant : la courbe est donc une parabole.

Plan tangent au conoîde en un point. — Cherchons le plan tangent au conoîde au point (w, m') de la génératrice (aô, dV). Prenons le paraboloïde de raccordement qui a pour plan directeur le plan horizontal, et dont les directrices sont la directrice rectiligne du conoîde et la parallèle au plan vertical de projection tracée du point V sur le plan tangent en ce point à la sphère. Cette droite se projette verticalement suivant la perpendiculaire Vt au rayon l/o\ puisque le plan tangent à la sphère est perpendiculaire à è'o'.

Ce paraboloïde a même plan tangent que le conoîde, au point qui est à l'infini sur a' 6' : c'est le plan horizontal qui contient cette droite. Au point a', il a même plan tangent que le conoîde : c'est le plan vertical mené par a'fc'. Au point b\ le plan tangent à la sphère est aussi le plan tangent au conoîde ; car le plan tangent au conoîde au point V est, comme le plan tangent à la sphère, déterminé à la fois par clh\ qui est tangente à la sphère, et par la tangente au poin^ V à la courbe de contact du conoîde et de la sphère.

La projection V i de la directrice de ce paraboloïde rencontre au point t! la projection de la directrice rectiligne du conoîde, et, comme les génératrices du paraboloïde se projettent verticalement suivant des droites passant par le point ^, il suffit de mener la droite t^ ni pour avoir la génératrice qui contient wl\ la projection horizontale de cette droite est la ligne menée par le point m parallèlement à la ligne de terre. Le plan déterminé par cette droite et par d y est le plan tangent demandé ( ' ).

(') Paraboloïde osculateur, — La normalic au conoîde, qui a pour directrice la ligne de contact dp cette surface avec la sphère, est une normalic développablc. CcLlc ligne de contact est alors une ligne de courbure du conoîde.

l'our avoir l'asymptote de l'indicatrice en [b, b' ), il suffit de construire une droite du plan tangent eu ce point à la sphère directrice, telle que TanglC) qu'elle