GÉNÉRATRICES SINGULIÈRES DE SURFACES GAUCHES

jeltent horizontalement {fig.^^o^), suivant les deux lignes oa, ob qui passent par le point o.

Puisque le plan vertical est le plan directeur de la surface, nous obtenons une génératrice en menant un plan pab parallèle à ce plan vertical ; le point a est la projection horizontale du point a' ^ le point b du point b\ et la génératrice de la surface qui est dans ce plan vertical est la droite a' b'. Cette projection a' b' rencontre la projection de la génératrice verticale o en un point c, et, lorsque a' b' est une génératrice infiniment voisine de la verticale o, le point c est le point central sur cette verticale.

Calculons la distance cd. Appelons h la distance verticale qui sépare les plans des deux directrices horizontales.

On a

cd a' d ^ pa h ~ gb' " ab ' d'où Ton tire

(.) -'' = *xS-

Le paramètre de distribution k des plans tangents pour la génératrice verticale est égal à la plus courte distance op divisée par la tangente de Tangle ex compris entre les deux génératrices ; mais

erb' ab tang,= -^=^;

on a donc

i^ Les deux courbes oa et ob {fig» 24oi) se coupent sous un certain angle : op, ap et ab sont des infiniment petits du même ordre. Alors

^ est un rapport fini; il en est de même de -^« Par conséquent, la

distance cd donnée par la relation (i), c'est-à-dire la distance du point d au point central, est une distance finie, et le paramètre donné par (2) est fini. Nous sommes dans le cas d'une génératrice ordinaire d'une surface gauche.

2*» Les courbes se projettent horizontalement {Jig. 2402) suivant des lignes tangentes entre elles au point o, alors ab est infiniment petit par rapport à op et par rapport à op; la distance cé/ donnée par (i) est infinie, et le paramètre de distribution donné par l'expression (2) est infini. Les plans tangents aux différents points de la génératrice sont confondus avec le plan tangent qui a pour trace horizontale la

tangente commune aux projections des deux lignes directrices. Il faut remarquer que ce plan tangent unique n^est ni parallèle au plan directeur ni confondu avec le plan central.

30 La tangente aux projections horizontales des deux directrices est la droite op {fig* a/Jo,), alors ap et ab sont des infiniment petits du même ordre et sont infiniment petits par rapport à op. La distance cd est finie, et le paramètre est infini. Nous avons là encore une génératrice singulière; mais, dans ce cas, le plan tangent aux difTérents points de la génératrice est confondu avec le plan central.

4° Les projections horizontales des directrices sont {Jig. 2404) tangentes entre elles à la parallèle à la ligne de terre menée par le point o : op est alors infiniment petit par rapport k ap et k ab; la distance cd est une distance finie, et le paramètre est nul. Nous avons une génératrice singulière pour laquelle le point central est à distance finie; les plans tangents aux différents points de la génératrice sont confondus avec le plan tangent au point qui est à Tinfîni sur cette droite.

5° Les courbes directrices se projettent {/ig. 24O5) suivant des lignes osculatrices entre elles en o, leur tangente en ce point étant toujours la parallèle à la ligne de terre menée par o; op et ab sont maintenant infiniment petits dû second ordre. La distance câf est alors infinie, et le paramètre est fini; le plan tangent, aux différents points de la génératrice qui sont à distance finie, est confondu avec le plan parallèle au plan directeur.

6^ Les courbes {Jig. 24oe) sont tangentes entre elles à la parallèle à la ligne de terre menée par le point o; elles sont osculatrices entre elles, en ce point, lequel est un point d'inflexion sur ces courbes. (On conçoit la possibilité d'arriver à de pareilles courbes en prenant deux courbes gauches osculatrices et en projetant ces deux courbes sur un plan perpendiculaire à leur plan osculateur commun. Les projections de ces courbes présentent un point d'inflexion, et en ce point ces projections sont des courbes osculatrices.) Ici op est un infiniment petit du troisième ordre et ab du deuxième. La distancée^ est alors infinie, et le paramètre est nul.

Les différentes données que nous venons d'examiner sont au nombre de six; pour trois d'entre elles, le point central étant à distance Jinie , le paramètre présente toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à V infini; puis, pour les trois autres, le point central étant à V infini, le paramètre présente aussi toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à V infini.

BIAIS PASSÉ GAUGHK. 445