TRENTIÈME LEÇON

SURFACES GAUCHES (suite). - PROBLÈMES RELATIFS AUX SURFACES GAUCHES (appl. de géom. ciném.).

Surface gauche défînie par trois courbes directrices : Biais passé gauche. — Cùnc directeur. — Plan tangent en un point : diflTérentes solutions. — Génératrices singulières. — Problèmes relatifs aux surfaces gauches ( appl. de Géom. ciném.). — Surfaces réglées engendrées pendant le déplacement d'une figure de forme invariable. — Dièdre mobile. — Droite mobile dont quatre points restent sur quatre surfaces données. — Construction de la tangente à la courbe de contact de la surface engendrée par une droite, tangente à trois surfaces directrices, avec l'une de ces surfaces. — Lieu des droites liées à une figure, dont les déplacements sont assujettis à quatre conditions, et qui, à partir de leurs positions primitives, n'engendrent pas de pinceaux.

SUPPLÉMENT. — Applications de Géométrie cinématique. — Déplacement d'un dièdre de grandeur invariable dont larôte est tangente à deux surfaces données et les faces tangentes à ces mêmes surfaces. — Hyperboloïde osculateur le long d'une génératrice d'une surface réglée définie par trois courbes ou surfaces directrices. — Construire l'hyperboloïde osculateur d'une normalie. — Sur les trajectoires des points d'une droite mobile.

Surface gauche définie par trois courbes directrices : biais passé gauche. — Comme exemple de surface gauche définie par trois courbes directrices, nous allons prendre une surface que Ton rencontre dans le Cours de Stéréotomie et qu'on appelle biais passé gauche. Les trois directrices de cette surface sont deux circonférences égales, dont les plans sont parallèles, et la perpendiculaire aux plans de ces circonférences qui pas.se parle milieu du segment de droite compris entre les centres de ces courbes.

Prenons {Jig* ^40 ^^ P^^^ vertical de projection parallèle aux plans des circonférences directrices C|, Co et le plan horizontal parallèle au plan (H') perpendiculaire à celui-ci et mené par la ligne

des centres de C| et de C^. Les circonférences se projettent verticalement suivant les circonférences égales G'^ , G^, et la directrice D a pour projection verticale le point o' qui est à égales distances des centres des circonférences. Les génératrices de la surface gauche se projettent verticalement suivant des droites qui passent par o', puisqu'elles rencontrent toutes la directrice D.

Soit a'b'dd! Tune de ces génératrices; les quatre points a\ b\ c' , d' se projettent horizontalement en a, 6, c, d. Gomme le point o' est à égales distances des centres des deux circonférences,

Fig. 2^4 r.

les points a el b sont à égales distances de la projection horizontale de D^ il en est de même des points c et d. En joignant deux à deux les quatre points a^ 6, c, rf, on obtient un parallélogramme et ses diagonales; le point de rencontre o de ces diagonales est sur la directrice rectiligne D et sur la droite qui joint les centres des deux circonférences.

Une droite telle que ab'^ qui passé par o', correspond à quatre droites qui rencontrent les trois directrices données. Mais parmi ces droites il y en a toujours deux qui passent par le même point o;