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qui, en projection, est une trajectoire orthogonale de toutes ces ellipses homothétiques, cette ligne vient au centre o de ces ellipses tangentiellement à leur grand axe.

Le point o est un point de cette ligne, puisqu'il y a une ellipse infiniment petite réduite à ce point. Joignons le point o à un point a de cette ligne, lequel, est situé à l'intérieur de l'ellipse M; on a une droite qui rencontre M en un point /> qui est entre le point m et l'extrémité a du grand axe. Gela se voit facilement en considérant d'abord le point m' (*) de la ligne de plus grande pente, qui est infiniment voisin de m : l'élément mm', normal à M, se trouve dans l'angle aigu que fait le diamètre onJ avec M; /?' étant le point de rencontre de om^ et de M, ce point est alors entre m et a. Ceci peut se répéter successivement pour les différents points de la ligne de plus grande pente qui sont de plus en plus près de o. Ainsi, pour le point b à l'intérieur de l'ellipse qui contient le point

(') Sur la figure, nous n'avons pas tracé la droite om'p'.

a, on a un rayon vecteur ob qui rencontre l'ellipse M en un point situé entre le point/? et le point a, et ainsi de suite. A mesure qu'on se rapproche du point o, on a, en joignant le point o à ces diffërents points, des rayons vecteurs qui rencontrent l'ellipse M en des points qui se rapprochent du point a.

Au point 6, la tangente à la ligne de plus grande pente est parallèle à la normale au point q à l'ellipse M, où le rayon vecteur ob rencontre M; en effet, puisque toutes les ellipses lignes de niveau de la surface sont homothétiques, la tangente au point b à l'ellipse qui contient ce point est parallèle à la tangente au point çr, et alors, au point 6, la ligne de plus grande pente qui rencontre à angle droit l'ellipse qui contient le point b doit avoir pour tangente une parallèle à la normale au point q à l'ellipse M.

Si le rayon vecteur ob tourne autour du point o de manière à se rapprocher de oa, la droite ob tend à devenir la tangente au point o à la projection de la ligne de plus grande pente: elle devient cette tangente lorsque le rayon vecteur est normal à l'ellipse M. Cette normale est oa; donc oa est la tangente en o à la projection de la ligne de plus grande pente.

Ce que nous venons de dire pour le point m, qui est arbitraire sur l'ellipse M, peut se répéter pour tous les points de cette courbe, excepté pour le point [3, qui est l'extrémité du petit axe; la droite ofi est, du reste, la projection d'une ligne de plus grande pente. On voit donc qu'il y a sur la surface une infinité de lignes de plus grande pente qui convergent vers le point o, tangentiellement au grand axe o a.

Prenons maintenant un hyperboloïde dont un axe est vertical et projeté en o. Coupons cet hyperboloïde par des plans horizontaux et projetons les lignes de niveau ainsi obtenues. On a une série d'hyperboles homothétiques. Si nous partons d'un point de l'une des asymptotes de ces courbes et si nous traçons la ligne de plus grande pente, nous trouvons une ligne faisant un angle droit avec cette asymptote et rencontrant successivement à angle droit toutes les hyperboles; par conséquent une ligne qui s'écarte du centre commun o de toutes ces courbes. On a donc une série de lignes de plus grande pente ; mais il n'y a que les deux lignes de plus grande pente, projetées suivant les axes de toutes ces hyper-

boles, qui sont des lignes passant par le point o. On rencontre ici pour le centre o un point analogue aux points des surfaces topographiques pour lesquels il y a un col; on distingue facilement les cols sur une carte topographique : ce sont les points autour desquels il n'y a pas de hachures.

Emploi des snrfaces topographiques ponr la représentation des Tables. — Une Table à simple entrée, c'est-à-dire une Table contenant deux colonnes de nombres, les nombres de Tune des colonnes correspondant aux nombres de l'autre colonne, peut être représentée par une courbe.

Appelons j' le nombre de Tune des colonnes; cette valeur de y peut être donnée par la valeur d'une certaine fonction /(^), où x est le nombre de l'autre colonne. On peut tracer la courbe j'=/(j:r), et la considérer comme la représentation de la Table à simple entrée.

Si, par exemple, on prend la Table de logarithmes, on n'a qu'à construire une courbe dont les ordonnées sont les logarithmes des nombres représentés par des segments de l'axe des abscisses, et la courbe obtenue ainsi, la logarithmique ^ peut remplacer la Table de logarithmes.

On peut aussi employer une simple droite cotée. On porte sur une droite, à partir d'un de ses points, des longueurs proportionnelles aux logarithmes des nombres et l'on inscrit ces nombres aux extrémités de ces segments. Cette échelle cotée peut être considérée comme représentant la Table de logarithmes ; elle est employée dans l'instrument appelé règle à calculs.

Considérons une Table à double entrée : la Table de multiplication, par exemple; elle donne le produit z de deux nombres

On peut représenter la Table de multiplication au moyen de la surface dont l'équation est

(I) z-=xy.

Cette surface est un paraboloïde hyperbolique, et pour la représenter on peut faire usage de la méthode des projections cotées. En prenant différentes valeurs de 5, on a des lignes de niveau dont

les équations sont

c'est-à-dire que, pour représenter la Table de multiplication, on a (les lignes de niveau qui sont des hyperboles. La figure formée par Tensemble de toutes ces hyperboles peut remplacer la Table de multiplication.

Pour faire le produit de deux nombres, on cherche le point du plan qui a pour coordonnées ces nombres : il est sur une hyperbole dont la cote donne le produit cherché.

Anamorphose. — M. Léon Lalanne a eu Tidée de faire une ana~

morphose (') de cette figure.

Voici quelques mots d'explication à ce sujet :

Prenons les logarithmes des deux membres de l'équation (i),

on a

\ogz = loga^-i-logj; en posant

\ogx = x', Iog7=/, il vient

(-}.) loçrz^œ'-t-/.

Prenons maintenant pour coordonnées x' et j^', c'est-à-dire que sur les axes des x et desj>^ on a l'échelle logarithmique dont nous venons de parler. Pour une valeur de z, l'équation (2) correspondant à cette valeur représente une droite perpendiculaire à la bissectrice de l'angle des axes; les hyperboles précédentes sont alors transformées en droites parallèles entre elles, et, en opérant comme précédemment, on obtient le produit de deux nombres en cherchant la cote de la droite qui contient le point dont les coordonnées correspondent aux deux nombres donnés.

(') Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamôrpkique appliquée à diverses questions qui se rattachent à l'art de l'ingénieur, par M. Léon Lalanne {Annales des Ponts et Chaussées^ 18^6). A l'occasioo de l'Exposition universelle de 1878, le Ministère des Travaux publics a publié des Notices relatives aux travaux des ponts et chaussées qui renferment un très intéressant résumé historique, dû à M. Léon Lalanne, et qui a pour titre Méthodes graphiques pour l'expression des lois empiriques ou mathématiques à trois variables avec des applications à Vart de l'ingénieur et à la résolution des équations numériques d'un degré quelconque.

SURFACES TOPOGRAPHIQITES. 479

La surface topographique employée mainteDant est une surface cylindrique. La projection cotée de cette surface forme un Tableau qui remplace la Table de multiplication. M. Lalanne a construit ce Tableau en i843, et lui a donné le nom à^ abaque ou compteur universel.

Emploi de deux surfaces topographiqnes qui représentent deux fonctions. — On peut employer les surfaces topographiques pour déterminer deux des quantités qui entrent dans deux relations telles que

Si, par exemple, on donne à .3 et à Z deux certaines valeurs, on peut se proposer de trouver les valeurs correspondantes pour x et y. Pour cela, on représente la surface topographique que l'on obtient en donnant à z différentes valeurs ; on a une suite de courbes correspondant à une équation telle que

f^^^y) = const.,

qui sont les projections des lignes de niveau de cette surface. On, opère de même pour Fautre équation : on a les lignes de niveau de l'autre surface. On prend les points de rencontre des lignes de niveau dont Tune correspond à la valeur de z et l'autre à la valeur de Z, et les coordonnées de ces points de rencontre sont les valeurs cherchées de ûc et de^.

Représentation des lois naturelles. — Au moyen des surfaces topographiques, on représente aussi les lois naturelles, par exemple la loi des températures pour un lieu déterminé; on en trouve un exemple frappant dans Y Appendice à la Météorologie de Kaemtz ( * ). La figure construite par M. Léon Lalanne correspond à la température de la ville de Halle, déterminée pour les mois de Tannée et pour les différentes heures du jour : les abscisses correspondent aux mois, les ordonnées aux heures; les courbes tracées sont les courbes d'égale température, et l'ensemble de ces

(') Voir la traduclion de M. Go. Martijis.

48o SECONDE PARTIE. ~ TRENTE ET UNIEME LEÇON.

courbes forme une surface topographique sur laquelle on voit facilement le point pour lequel la température est maximum à une certaine époque de Tannée et, en général, tout ce qui est relatif aux variations de la température de la ville de Halle.

Avec les surfaces topographiques et leur emploi, nous avons achevé de traiter toutes les questions qui figurent dans le programme du Cours de Géométrie descriptive.

Les matières développées dans la deuxième Partie complètent l'étude des modes de représentation des corps supposés éclairés.

Dans cette deuxième Partie, j'ai cherché à apporter l'unité de méthode dans les démonstrations en faisant usage de propositions de Géométrie cinématique.

Les éléments de Géométrie cinématique, préambule naturel de la Cinématique, et leur application à l'Optique, ont été introduits dans ce Cours, afin que dans son ensemble il constituât V Enseignement géométrique de l'École Polytechnique.