TRENTE ET UNIÈME LEÇON

Lignes de niveau. — Intersection de surfaces topographiques. — Courbes intercalaires. — Lignes d'égale pente. — Tracé des lignes d'égale pente. — Plan tangent à une surface topographique. — Cône circonscrit. — Lignes de plus grande pente. — Emploi des surfaces topographiques pour la représentation des Tables. — Anamorphose. — Emploi de deux surfaces topographiques qui représentent deux fonctions. — Représentation des lois naturelles.

Lignes de niveau. — Pour représenter la surface d'un terrain, dans la méthode des projections cotées, on coupe cette surface par des plans horizontaux équidistants ; les lignes d'intersection ainsi obtenues sont appelées des lignes de niveau. Les projections cotées de ces lignes servent à représenter la surface du terrain.

Fig. 249.

En général, cette surface ne rencontre une verticale qu'en un point; de là résulte que deux, lignes de niveau ne se renconlront pas.

SURFACES TOPOGnAPHIQVES.

On donne le nom de surfaces topo graphiques aux surfaces qui ne sont pas définies géométriquement et qui peuvent être représentées par des lignes de niveau ne se rencontrant pas.

Proposons-nous de construire V intersection d'une surface topo graphique par un plan quelconque» La surface est donnée par ses lignes de niveau cotées, et le plan par son échelle de pente.

Prenons {fig* ^49) les intersections des horizontales du plan et des lignes de niveau qui ont respectivement les mêmes cotes, et joignons par un Irait les points ainsi obtenus. Celte solution n'est qu'approximative, puisque la surface topographique n'est donnée qu'approximativement par des lignes de niveau. Il en est de même de tous les problèmes que nous allons résoudre.

Si le plan sécant est vertical (fig- aSo), pour déterminer son

Fig. 3J0.

mi;p^

intersection avec la surface, on l'amène à être horizontal en le faisant tourner autour de l'une de ses horizontales. Le point oîi le plan vertical mp rencontre la ligne de niveau 10 est au-dessus de l'horizontale 5 de ce plan, de cinq unités de l'échelle du dessin. Pour avoir le rabattement de ce point, on porte sur la perpendiculaire élevée en m à m/?, à partir de ce point m, cinq unités de l'échelle du dessin. Pour le point /i, où le plan rencontre l'horizontale 9, on porte quatre unités, et ainsi de suite. En réunissant les extrémités des segments ainsi portés, on obtient la projection du rabattement, sur le plan horizontal coté 5, de la ligne d'intersection de la surface donnée et du plan vertical.

Si l'on demande de déterminer sur la droite mp le point de la

surface qui est coté 7,40, on prend la différence entre 7,40 et 5, soit 2,40; on mesure à Téchelle du dessin le segment dont la longueur est 2,40, on porte ce segment sur une perpendiculaire à m/>, et, par l'extrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite parallèle à mp ; cette parallèle rencontre la projection du rabattement de la ligne d'intersection de la surface par le plan vertical mp en un point t\ ; en projetant ce point sur mp, on a le point r qui est coté 7, 4o»

Courbes intercalaires. — On peut reproduire cette construction pour un certain nombre de plans verticaux et déterminer sur les projections de ces plans le point coté 7,40? en réunissant tous ces points, on a la ligne de niveau cotée 7,40 et qui est ce qu'on appelle une courbe intercalaire.

Inversement, si l'on donne la projection d'un point, on peut déterminer sa cote en construisant la ligne d'intersection de la surface par un plan vertical qui contient ce point. Généralement, on ne construit pas cette courbe et l'on cote le point approximativement à simple vue.

Construire l'intersection de deux sur/aces topographiques données par leurs lignes de nis^eau-

On prend les lignes de niveau de même cote et leurs points de rencontre; on joint les points ainsi obtenus et l'on a approximativement la ligne d'intersection des deux surfaces.

Intersection d'une droite et d'une surface topo graphique. Par la droite on mène un plan ; on construit la ligne d'intersection de ce plan et de la surface ; la ligne ainsi obtenue rencontre la droite donnée au point où cette droite rencontre la surface topographique donnée.

Intersection d'une courbe et d'une surface topographique. Par les points à cote ronde de la courbe on mène des droites parallèles entre elles et horizontales; ces droites forment les lignes de niveau d'un cylindre horizontal qui a pour courbe directrice la courbe donnée ; on prend l'intersection de ce cylindre avec la surface topographique; cette ligne d'intersection rencontre la courbe donnée aux points cherchés.»

SURFACES TOPOGRAPHIQVES. 4^9

Lignes d'égale pente. — La pente d^une ligne en un point est la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec le plan de comparaison la tangente à cette ligne. Quand les tangentes à la ligne considérée sont également inclinées sur le plan de comparaison, on dit que la ligne est d'égale pente ; les lignes d'égale pente sont des hélices sur leurs cylindres projetants.

Fig. 25i.

A partir d'un point a {fig* aSi) on demande de tracer sur une surface topographique une ligne dont la pente est donnée.

Si la pente est — et si l'équidistance des lignes de niveau est i , on

décrit du point a comme centre, avec un rayon égal au segment qui correspond à /i, un arc de cercle qui rencontre au point b la ligne de niveau immédiatement au-dessous du point a; puis, avec la même ouverture de compas, on décrit du point b un arc de cercle qui rencontre au point c la ligne de niveau immédiatement au-dessous du point 6, et ainsi de suite. En réunissant tous ces points, on obtient approximativement la ligne demandée.

Au point c, on aurait pu marcher vers le point e, où la circonférence décrite du point c comme centre rencontre la ligne de niveau immédiatement inférieure; on aurait ainsi obtenu la ligne abce^ qui présente ce qu'on appelle un lacet.

Entre deux points donnés a, m {fig. 252), tracer une ligne d'égale pente.

Ce problème ne peut se résoudre que par tâtonnement.

On connaît la distance horizontale qui sépare les deux points donnés et la différence de niveau de ces deux points: on a alors, au moyen de ces deux quantités, la pente approximative de la ligne qui joint les deux points a et m; connaissant cette pente, traçons à partir de a une première ligne d'égale pente ^ nous n'ar-

rivons pas au point m : nous aboutissons^ par exemple, au point b. Diminuons la pente de manière à nous rapprocher du point m, à l'extrémité de cette ligne \ nous arrivons au point c. En continuant ainsi, nous dépassons le point m et nous arrivons au point e. A l'aide des points 6, c, e, il est aisé de construire une courbe d'erreur au moyen de laquelle on détermine approximativement le rayon servant à décrire des arcs de cercles qui conduisent au tracé de la ligne demandée.

Sur une droite ox et à partir d'un point o, portons le rayon qui

Fig. 262.

\ lie

--— bJ-i\^L

a servi à déterminer la ligne d'égale pente arrivant au point b\ nous obtenons le point 6, ; élevons la perpendiculaire b^ b' égale à la distance du point b au point m. Faisons la même chose pour 1er point c et enfin pour le point e\ nous devons, dans ce dernier cas, porter la distance em sur une ordonnée placée au-dessous de la droite ox si nous avons placé les premières au-dessus. En réunissant les points 6', c', e', on a une courbe d'erreur qui rencontre la droite ox en un point [jl; c'est avec une ouverture de compas égale à 0[x que l'on trace des arcs de cercles pour déterminer la ligne d'égale pente.

Une ligne de plus grande pente sur une surface topographique est une trajectoire orthogonale des lignes de niveau.

Le plan tangent en un point d'une surface topographique est déterminé par la tangente à la courbe intercalaire qui passe par ce point et par la ligne de plus grande pente. Si le plan tangent au point que Ton considère coupe la surface, celle-ci est à courbures opposées: dans ce cas, lorsque pour un point le plan tangent est horizontal, on dit que Ton a un col.

Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface topographique.

Par les points à cote ronde de la droite (Jig. a53), menons des tangentes aux lignes de niveau de même cote. Ces droites hori-

Fig. 353.

zontales s'appuient sur une droite et sont tangentes à la surface topographique; elles appartiennent alors à un conoïde qui a pour directrices la droite donnée et la surface topographique donnée. Le plan tangent à ce conoïde, mené par la droite, est le plan qui touche cette surface en un point par lequel passe une génératrice singulière; cette droite est parallèle à la génératrice qui lui est infiniment voisine; on doit donc, pour déterminer approximativement le point de contact, prendre parmi ces horizontales deux d'entre elles qui sont voisines et parallèles. On voit sur la figure que les horizontales 6 et 7 sont sensiblement parallèles ; par conséquent, si l'on trace la ligne de contact du conoïde et de la surface topographique, c'est entre le point 6 et le point 7 de cette ligne que se trouve le point de contact du plan tangent demandé. La même solution est applicable lorsqu'au lieu d'une surface

topographique on donne une courbe et qu'on demande le plan tangent à cette courbe mené par une droite donnée.

Mener un plan tangent à une surface topographique par une droite horizontale.

Menons aux lignes de niveau {fig. ^54) des tangentes parallèles à la droite donnée; nous avons les génératrices d'un cylindre ho-

Fig. 254.

rizontal circonscrit à la surface donnée; le plan tangent demandé est tangent à ce cylindre. Coupons ce cylindre par un plan vertical ar\ le plan tangent demandé contient la tangente qui est issue du point a à la courbe d'intersection de ce cylindre par ce plan vertical. Cherchons cette tangente. Pour cela, menons à la courbe d'intersection ar un plan tangent par une droite auxiliaire quelconque tracée à partir du point a; cette droite peut être considérée comme se projetant sur la droite donnée. Portons alors sur la projection de la droite donnée, à partir du point a, des segments égaux dont nous considérons les extrémités comme les points cotés de cette droite auxiliaire : le point a est coté 3, les points suivants seront cotés 4> 5, 6, 7, 8, — Joignons le point 5 de cette droite au point où la droite ar est rencontrée par l'horizontale 5 du cylindre, puis le point coté 6 au point où l'horizontale 6 coupe la droite ar^ et ainsi de suite 5 nous avons des droites horizontales s'appuyant sur la droite auxiliaire projetée suivant ac et sur la courbe d'intersection du cylindre par le plan vertical ar. En appliquant ce que nous venons de dire, on doit chercher deux de ces horizontales qui soient successives et sensiblement parallèles entre elles ; c'est entre les points de rencontre de ces droites avec ar que se trouve le point de contact du plan mené par la droite ac langenliellement à la courbe projetée suivant ar. Par le point ainsi obtenu on mène une parallèle à la droite donnée, elle rencontre

la ligne de contact de la surface topographique et du cylindre circonscrit en un point qui est le point de contact du plan tangent demandé.

Cône circonscrit. — Un point est donné par sa projection cotée : on demande le cône qui a pour sommet ce point et gui est circonscrit à une surface topographique donnée.

On peut, par le point donné, mener des plans verticaux, construire les rabattements des sections de la surface topographique par ces plans et, au moyen de ces rabattements, construire les tangentes à ces courbes issues du point donné, relever ces courbes et le point de contact de ces tangentes ; on détermine ainsi les points de contact de la surface topographique avec des tangentes issues du point donné et situées dans les plans verticaux menés à partir de ce point. En réunissant tous ces points de contact, on a la courbe de contact du cône circonscrit.

On peut encore mener par le point donné des droites quelconques j par ces droites on mène des plans tangents à la surface topographique, et les points de contact de ces plans tangents appartiennent à la courbe de contact du cône circonscrit qui a pour sommet le point donné.

Enfin, on peut opérer en n'employant {Jîff- 2d5) qu'une droite

Fig. 255.

yii:-^' 12

menée à partir du point donné s. Par s menons un plan vertical ; ce plan coupe la surface suivant une certaine courbe; nous pouvons, par la droite arbitraire menée du point 5, construire un plan tangent à cette courbe et déterminer le point de contact de ce plan tangent.

En faisant usage de la même droite arbitraire, on peut, au moyen

d'une construction analogue, déterminer le point de contact du plan tangent, mené par cette droite, à une autre section faite dans la surface topographique par un plan vertical mené par le point 5; et, en recommençant la construction pour un certain nombre de sections verticales, on a une suite de points de contact des tangentes menées du point 5 à la surface topographique. La réunion de tous ces points forme la courbe de contact du cône circonscrit dont le sommet est au point donné s.

On demande le point de cette courbe de contact situé sur une zone limitée à deux lignes de niveau données. Pour cela, on prend sur la droite arbitraire menée par le point s les points ayant mêmes cotes que ces lignes de niveau et l'on trace une droite sab\ on joint le point a où cette droite rencontre l'une des lignes de niveau au point à même cote sur la droite menée à partir du points. De même, on joint le point b au point à même cote sur cette même droite. On obtient ainsi deux droites. On fait tourner la ligne sab autour du point s jusqu'à ce que ces deux droites soient parallèles entre elles, et alors c'est entre le point a et le point b que se trouve le point de contact cherché.

Ce que nous venons de dire pour un cône circonscrit peut se répéter sans beaucoup de modifications lorsqu'on demande un cylindre circonscrit à une surface topographique.

Lignes de plus grande pente. — En Topographie, on ne représente pas toujours les surfaces par des lignes de niveau ; on trace, entre les lignes de niveau, des portions de lignes de plus grande pente dont Tespacement et l'épaisseur du trait dépendent de la plus ou moins grande inclinaison de la portion de terrain renfermée entre les deux lignes de niveau que l'on considère ; ces lignes sont appelées des hachures. Puis on répète le même tracé entre deux lignes de niveau successives, en ayant soin de ne pas faire correspondre ces lignes de plus grande pente, de telle sorte que, si l'on conserve simplement les hachures sur la feuille du dessin, il soit possible de retrouver les lignes de niveau.

On voit qu'il est important de connaître la manière dont sont dirigées les lignes de plus grande pente sur les surfaces, puisque c'est par des portions de lignes de plus grande pente qu'on représente les surfaces en Topographie.

SURFACES TOPOGRAPHIQUES. iyS

Il peut y avoir, à partir d'un point, une infinité de lignes de plus grande pente; c'est ce qui arrive, par exemple, quand on considère le point de rencontre d'une surface de révolution avec son axe.

Cherchons comment sont dirigées les projections des lignes déplus grande pente d'un ellipsoïde dont un axe est vertical. Les lignes de niveau sont alors des ellipses homothé tiques. Prenons leurs projections. Parmi ces nouvelles ellipses il y en a une infiniment petite qui se confond avec le centre de toutes ces courbes. Nous allons faire voir que, si, à partir d'un point quelconque m {fig. 256) de l'ellipse M, on trace la ligne de plus grande pente

Fig. a56.

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