DOUZIEME LEÇON

PERSPECTIVE AXONOMÈTRIQUE. - PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

Perspective axonomélrigue. — Définitions ; notions générales. — Construction des échelles. — Perspective isométrique. — Convention relative aux échelles. — Perspective de prismes. — Ellipse isométrique. — Happortcur isomctriqiie.— Sphère rencontrée par un prisme à base carrée.

is; notions générales. — Eu Architecture, comme pour les Machines, on distingue, sur les objets à représenter, des directions principales : ce sont, par exemple, pour un édifice, les arêtes verticales, les grandes arêtes horizontales d'uue façade longitudinale et les grandes arêtes horizontales d'une façade latérale. Ces trois directions sont parallèles aux arêtes d'un trièdre Irirectangle.

Supposons que l'on place l'objet à représenter de façon que ces directions soient obliques par rapport au plan sur lequel on projette la figure et qu'on fasse la projection orthogonale sur ce plan de la figure ainsi placée. Cette projection orthogonale est ce que l'on désigne sous le nom de perspective axonomé trique.

Fis- :&■

Le trièdre trirectangle dont les arêtes sont parallèles aux trois directions principales, étant projeté ainsi orthogonalement, est représenté par la fig. 79. On dispose cette projection de façon que l'arête SZ, qui correspond à la direction des verticales, soit sur la

feuille du dessin, supposée inclinée, perpendiculaire à la direcliondes horizontales de celte feuille.

Si l'on coupe le trièdre Irirectangle par un plan parallèle au plan de projection, les arêtes de ce trièdre et le plan sécant se rencontrent aiix points X, Y, Z. Les droites XY, YZ et XZ sont lestraces des faces du trièdre sur ce plan sécant, et, comme les arêtes du trièdre sont respectivement perpendiculaires aux faces, les droites SX, S Y, SZ sont les hauteurs du triangle XYZ ; le point de rencontre des hauteurs S est à l'intérieur du tiiiangle XYZ. SZ correspondant aux verticales de l'objet à représenter, SX et SY correspondent aux horizontales.

Avec cette disposition, la figure que l'on obtient est une figure vue en dessus. Si, par exemple, nous représentons un prisme dont les arêtes sont parallèles aux arêtes du trièdre, nous avons la fig. 80. Si, au contraire, le trièdre a ses arêtes projetées suivant les droites SX, SY, SZ dela^î^. 81, un prisme dontles arêtes sont parallèles aux arêtes de ce trièdre est représenté par \'3.fig. 8a, et l'on voit la face inférieure de ce prisme, tandis qu'on voyait la face supérieure sur \a.Jig. 80.

Si l'on veut représenter un point tel qiie celui qui est à l'extrémité du faîte de la toiture d'une maison, on détermine ce point à l'aide de coordonnées dirigées parallèlement aux arêtes du trièdre trirectangle. Ainsi, pour obtenir le point A situé à l'extrémité du faîte {fig. 83), on mène une parallèle mn aux arêtes qui terminent la toiture à sa partie inférieure et à égale distance de ces arêtes; on porte sur cette droite une longueur ma qni détermine la projection du point A sur le plan horizontal qui contient ces arêtes; on relève ce point à l'aide d'une parallèle aux verticales, c'est-à-dire d'une parallèle à SZ, et l'on porte sur cette droite la hauteur Aa du point A au-dessus du plan horizontal dont nous venons de parler, puis on joint ce point aux extrémités

PERSPECTIVE AXONÛJiÉTRIQUE. l35

des grandes arêtes horizontales; sur AB, parallèle à SX, on détermine de même la position du point E qui limite le laite de la toiture.

Dans la perspective axonomé trique, les arêtes du trièdre trirectangle sont inégalement inclinées sur le plan de projection.

Construction des échelles. — Afin de construire les échelles nécessaires dans ce mode de représentation, nous allons résoudre le trièdre trireciangle et déterminer les angles de ses arêtes avec le plan de projection.

Projetons (yî^. 84) le trièdre trireciangle sur un plan perpendiculaire au plan de projection XYZ et parallèle à l'arête SZ. Le pointX se projette enX', le point Z en Z', et le point S vient en

un poiat de la circonférence décrite sur X'Z' comme diamètre; en abaissant du point S une perpendiculaire sur (H') projection verticale du plan XYZ, nous avons le point S' à la rencontre de cette droite et de la circonférence : le point S' est la projection du sommet du trièdre. L'arête SZ est maintenant projetée en S'Z', et l'angle que cette droite fait avec X'Z' est l'angle de l'arête SZ avec le plan de projection.

Faisons tourner le plan projetant de SY autour de la perpendi-

culaire au plan projetant menée par le point S jusqu'à ce que le point Y vienne en Y, sur SZ, et projetons cette droite sur le plan de projection auxiliaire; sa projection détermine avec (H') l'angle que SY fait avec le plan de projection; de même pour SX. Les longueurs égales portées sur les droites qui partent du point S', comme S'Z', ont de sprojections inégales; par conséquent, si l'on établit des éclielles sur les arêtes du trièdre trirectangle, on est conduit à des échelles particulières correspondant aux trois directions SX, SY et SZ; en outre, les longueurs portées sur des droites parallèles au plan de projection et qui se projettent sans altération de grandeur donnent lieu à une quatrième échelle. Ces quatre échelles sont employées en perspective axonométrique. Lorsque l'objet à représenter est fait dans des dimensions réduites sur le dessin, on emploie une convention que nous expliquerons on parlant de la perspective isométrique.

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

Lorsque les arêtes du trièdre trirectangle, parallèles aux directions principales de l'objet à représenter, sont également inclinées sur le plan de projection, la perspective axonométrique est dite perspective isométrique. Toute droite parallèle aux arêtes de ce trièdre porte le nom de droite isoméirique ; les échelles correspondant à ces directions reçoivent la désignation A'échelles isométriques, et enfin les plans parallèles aux faces du trièdre sont des plans isométriques.

Dans le cas particulier de la perspective isométrique, les arêtes du trièdre trirectangle se projettent sur le plan de projection suivant des droites, comprenant entre elles des angles égaux et qui sont les trois hauteurs du triangle XYZ {fig. 85), maintenant équilatéral.

Les arêtes faisant avec le plan de projection des angles égaux, nous n'avons plus, pour résoudre le trièdre, qu'à déterminer l'un

de ces angles, en reproduisant la conslriiction c[ue nous venons de donner.

Calculons la valeur de l'angle a que S'Z' fait avec (H'). Appe-

lons P' le pied de la perpendiculaire à X'Z' qui passe par !e poiri S'. On a

, en élevant au carré,

Mais S'Z,' -=PZ'. X'Z,': donc

P'Z'est égaîàSZ;X'Z'e téral. On peut donc écrire

it égal à la hauteur du triangle éqaila-

Pour l'angle complémentaire p, on a ces ^ = \/|.

Nous pouvons arriver plus rapidemenl à cette valeur de cosaen remarquant que le plan XYZ est également incliné sur les trois arêtes du trièdre trirectangle, et, comme la somme des carrés des cosinus des angles que les arêtes de ce trièdre font avec ce plan est égale à 2, on a immédiatement 3 cos^a ^ 2, d'où l'on tire la valeur de cosa que noiis venons de déterminer.

Connaissant cette valeur de cosa, voici comment on construit l'angle a. Sur une droite {^fig- 86), à partir d'un point A, portons une longueur AB = i; élevons au point B une perpendiculaire

,EÇON.

BC^AB^i; AG est alors égal à \/ a, A partir du point B, portons un segment BO = AC := y/a ; joignons le point O au point G; OC est égal alors à y/ï. Le cosinus de l'angle BOC, étant égal à jTji, est égal à y/|, et, pur conséquent, cet angle BOG est égal à l'angle a.

Cet angle étant construit, il est facile d'établir sur ses côtés les deux échelles que l'on emploie en perspective isométrique.

ConTention relative aux échelles. — ■ Supposons que la figure à représenter soit faite à l'éciielle de j^. Sur la droite OB, qui est l'échelle isométrique, on porte ~ de l'unité de longueur; si l'unité de longueur est le mètre, on porte donc sur OB un segment de droite mesurant o"", i, et la longueur de l'espace dont la projection est o"", I est alors plus grande que o", i : cette longueur est o", I X \/|.

Ainsi, si l'on projette une sphère de i"' de rayon, le contour apparent de cette sphère est une circonférence dont le rayon est égal au rayon de la sphère donnée, et, puisque la sphère a i"' de rayon et que l'on construit à l'échelle de ~, on serait porté à croire qiie le rayon de celte circonférence est o", i . En vertu de la convention faite en perspective isométrique de porter dans la direction des axes isométriques les longueurs comme si elles n'étaient pas réduites par la projection, la sphère est représentée par une circonférence de cercle dont le rayon est o", i x \/|- On voit donc que, pour arriver à la perspective isométrique avec cette convention, il faut supposer que le corps à représenter est amplifié en restant semblable à lui-même et que le rapport de similitude

yGoosle

PERSPECTIVE ISOMIÎTRIOUE. l3ij

Avec cette convention, mn, étant égal à o"", i , est l'unité de l'échelle isométrique, et m'n' est l'unité de l'échelle des dimensions géométrales, qu'on nomme souvent aussi échelle des vraies grande ui s.

Perspective de prismes. — Perspecli^e de deux prismes à base rectangulaire qui se rencontrent à angle droit. — Nous avons (ys^. 87) la figure géométrale qui donneles dimensions des prismes. Nous nous proposons d'obtenir la perspective isométrique à la

Fis- ^1-

même échelle que celle qui a été employée pour représenter cette figure géométrale.

Indiquons sur la figure géométrale la position du Irièdre trirectangle. L'une de ses arêtes est la droite sz ; les deux autres arêtes sont, l'une sx , et la troisième est projetée en s. A partir d'un point s' {Jig- 88), et sur une parallèle à l'axe SZ du irièdre, qui donne les directions isométriques, portons un segment égal à sz de lajîg. 85 ; nous obtenons le point s'. Menons une parallèle ^x' à SX. et égale à 5a;; nous portons sur ces deux directions des segments respectivement égaux aux segments sx et ss, puisque la perspective est faite à la même échelle que la figure géométrale, et qu'en vertu de la convention les dimensions comptées sur les directions isométriques ne sont pas altérées. Par le point z', menons une parallèle à l'axe SX et portons une longueur égale à za; nous obtenons ainsi le point a'. A partir du point a', menons une parallèle à ^z', et portons sur cette droite une longueur égale à ah; nous obtenons le point b'. b's' est alors la perspective de bs, et, en complétant au moyen d'une parallèle menée du point b' à l'axe SX et d'une parallèle menée du point x' à l'axe SZ, nous avons la perspective deJa^^. 87.

Traçons maintenant par les points c', b' , d des droites parallèles à l'axe SY et portons sur ces droites des longueurs égales à l'épaisseur donnée des prismes ; nous n'avons plus qu'à joindre les extré-

pour a\oir la perspective isomé-

mités des segments ainsi obtenu; trique achevée,

La figure est vue en dessus, et nous apercevons la face latérale qui est à gauche et qui est projetée suivant ab.

En conservant le même trièdre de manière à voir toujours la face qui est en dessus, nous arrivons à une autre perspective, en suppo-

sant que l'axe S Y corresponde àladroite 57(^1^.89) et que l'axe SX soit projeté en s. On obtient alors \a.fig. 90, et nous apercevons encore la face supérieure qui se projette suivant bc sur la figure géométrale; mais nous voyons maintenant les faces qui étaient projetées, l'une suivant sz, l'autre suivant cd. On comprend par là combien il importe, avant de tracer une perspective isométrique, de bien se rendre compte de la situation des directions principales par rapport au plan de projection, selon que l'on veuille montrer

l'objet en dessus ou en dessi de gauche.

isoîiÉTRiaui;. I.

ivec ses faces lalérales de droite o

Ellipse isométrique. — Si une circonférence est tracée sur un plan isométrique, c'est-à-dire parallèle à l'une des faces du trièdre trirectangle, la projection de cette circonférence sur le plan de projection, c'est-à-dire la perspective isométrique de cette circonférence, est ce qu'on appelle une ellipse isométrique.

Toutes les ellipses isométriques sont semblables.

Le grand axe d'une ellipse isométrique tracée sur le plan des XY ijig- 91) est perpendiculaire à l'axe des Z; le petit aiie est dirigé parallèlement à SZ.

Traçons l'échelle isométrique et l'échelle des dimensions géomé- Irales.

A partir du point O, portons sur l'échelle isométrique une lon-

gueur Or égale au rayon de la circonférence donnée. Élevons au point r une perpendiculaire à l'échelle isométrique ; nous obtenons le point R à la rencontre de cette droite avec l'échelle des dimensions géométrales. Il résulte de la convention que OR est égal au

demi grand axe de l'ellipse isométrique; Rr est égal au demi-petit axe de cette courbe, et, si nous menons à partir du point C des droites parallèles à SX et SY, les longueurs des demi- diamètre s ainsi tracés sont mesurées par O ;■ ; ainsi CM = O r.

Dans le triangle ORt-j puisque OR est le demi grand axe, Rrle demi petit axe, Or est égal à la distance du point C aux foyers de l'ellipse ; en décrivant du centre C de l'ellipse ujie circonférence passant par le point M, on a alors, à la rencontre de cette circonférence avec l'axe AA', les foyers de l'ellipse isométrique. Si Je demi petit axe est égal à i, 0R=: y/3 et Or ^ y/a. Ainsi, pour l'ellipse isométrique, CB étant i, CM est égal à y/a et CA est égal à y/S; CM est la direction d'on diamètre dont le conjugué a la même longueur.

Rapporteur isométrique. — Lorsque l'on veut faire des perspectives isométriques, il est utile de construire ce qu'on appelle un

rapporteur isométrique. Pour cela, on trace {fig- 92) une série d'ellipses isométriques homothétiques dont les extrémités des grands axes correspondent à des points de division de l'échelle des dimensions géométrales; on divise ces ellipses en parties égales, les points de division se correspondant sur des rayons. A cet effet, on amène le plan de ces ellipses à être parallèle au plan de projection. Après la rotation, l'une de ces ellipses, la plus grande, par exemple, se projette suivant une circonférence de cercle. Partageons cette circonférence en parties égales, puis ramenons les points de division en replaçant le plan de cette circonférence dans la position qu'il doit avoir; les points de division sur cette circonférence se ramènent sur l'ellipse en menant à partir de ces points des perpendiculaires air grand axe de la courbe. Nous n'avons plus qu'à

joindre ces points de division au centre commun de toutes les ellipses pour avoir un rapporteur isométrique.

Au moyen de ce rapporteur, on pourra non seulement tracer des circonférences de cercle en perspective isométrique, mais il sera facile également de déterminer une longueur mesurée sur une direction arbitraire, car, sur un rayon quelconque, ces ellipses isométriques déterminent l'éclielle relative à la direction de ce rayon.

Perspective d'une sphère rencontrée par un prisme à base carrée. — La sphère est représentée {fig. ri3) par une circonférence do

cercle dont le rayon, comme nous l'avons dit, est égal au rayon de la sphère de l'espace multiplié par \/|, en supposant que la perspective soit faite à l'échelle même de la figure géométrale.

Supposons que les arêtes du prisme soient parallèles à l'axe SY et que les côtés de la base de ce prisme soient parallèles l'un à l'axe SX et l'autre à l'axe SZ. Menons par le centre de la sphère un plan parallèle au plan des XZ et cherchons la base du prisme, supposé prolongé jusqu'à ce plan. Menons par le point O une parallèle à l'axe des X et une parallèle àl'ase des Z; portons sur ces droites à par tir de O des longueurs égales à la moitié du côté du carré base du prisme, et, au moyen de ces points, traçons la perspective isométrique de cette base du prisme ; cette perspective est un losange dont deux sommets se trouvent sur la parallèle menée du point O à l'axe des Y. Pour représenter le prisme, on mène des parallèles à l'axe SY par les sommets de ce losange ; on voit que deux des arêtes se projettent suivant une même droite.

l44 PREMIÈRE PARTIE. — DOL'ZIÈME LEÇON.

Si nous coupons ce prisme par un plan parallèle au plan ries XZ, la section ainsi obtenue est un losange ABCD égal au losange cjiie nous venons de construire dans le plan auxiliaire mené par le centre de la sphère.

Nous devons maintenant déterminer les lignes d'intersection avec la sphère des faces du prisme qui contiennent, l'une le côté AB, l'autre le côté AC. Comme ces faces sont des plans isométriques, les lignes d'intersection de la sphère par ces plans sont des circonférences de cercle qui sont représentées par des ellipses isométriques. Pour déterminer ces dernières courbes, nous faisons usage du rapporteur isométrique; mais nous allons construire d'abord les cordes de contact de ces ellipses avec le plan de ia circonférence de cercle déjà tracée, et qui représente la ligne de contour apparent de la sphère. Chacune de ces ellipses isométriques doit, en effet, être doublement tangente à cette circonférence de cercle.

Le plan de cette circonférence de cercle, le plan de la face du prisme passant par AB et le plan mené par le centre O parallèlement au plan des XZ se coupent en un point par lequel passent les intersections de ces pians deux à deux. Le plan mené par le centre O rencontre le plan du grand cercle parallèle au plan de projection suivant la diagonale bOc; ce même plan du carré, mené par le centre O, rencontre la face supérieure du prisme qui contient AB suivant la ligne al?; le point b est donc le point de rencontre des trois plans, et la ligne d'intersection de la face supérieure du prisme avec le plan mené par le centre parallèlement au plan de projection est une droite qui passe par le point b. Mais cette droite est perpendiculaire à SZ, puisque la face supérieure du prisme est parallèle au plan des XY ; noas avons donc l'intersection de la face supérieure du prisme avec le plan mené par le point O parallèlement au plan de projection en menant du point b une perpendiculaire à SZ. Cette droite rencontre la circonférence qui représente la hgne de contour apparent de la sphère aux points m et rt : ce sont les points de contact de cette circonférence et de l'ellipse isométrique, projection de la ligne d'intersection de la sphère et du plan supérieur du prisme. Au moven du rapporteur isométrique, nous traçons cette courbe, dont nous connaissons la direction des axes. Son centre est du reste au point i, milieu

de ab, puisque ce poini est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur la face AB«&,

Ce que nous venons de dire pour la face A^ab, nous pouvons le répéter pour la face AC«c. Nous abaissons du point c une perpendiculaire sur l'axe des X; cette droite rencontre la circonférence, ligne de contour apparent de la sphère, en deux points <jni sont les points de contact avec cette courbe de l'ellipse isométrique qui représente la projection de la ligne d'Intersection de la sphère et de la face ACac du prisme.

Si la sphère est un solide auquel on limite le prisme qui la rencontre, les arêtes du prisme doivent alors être tracées en trait plein jusqu'à lenrs intersections avec les ellipses isométriques, et nous devons figurer seulement en trait plein les portions de ces ellipses qui sont comprises entre les arêtes du prisme partant des points B, A, C. Quant à la ligne de contour apparent de la sphère, nous devons la limiter aui arêtes B6, Ce du prisme. Nous avons ainsi achevé la perspective de l'ensemble de la sphère rencontrée