TREIZIEME LEÇON

PERSPFXTIVE ISOMÉTRIQUE (fin).

Perspective d'tine niche. — Ombre dans l'intérieur d'une deini-splidi marques à pi-opos de la première Pai-tie du Cours. — Commenccn seconde Partie du Cours.

Perspective d'une niche. — Une niche est formée par un demîcjlindre de révolution dont l'axe est une verticale du plan du mur ; ce demi-cylindre est limité à sa partie inférieure par un plan horizontal et à sa partie supérieure par un quart de splière.

Noos allons chercher la perspective de cette niche en supposant que le plan du mur soit un plan isométrique.

00', parallèle à SZ {/ig. gi), est l'axe du cylindre. Par les points O et O'menonsdes parallèles à SX, et portons sur ces droites, à partir des points O et O', des segments égaux au rayon de la seclion droite du cylindre de la niche. Traçons les droites AA', BB'; ce sont les génératrices d'intersection du cylindre avec. le plan du mur. Par le point O menons une parallèle à XY, et portons sur cette droite, à partir du point O, une longueur égale au rayon de la section droite du cylindre mesuré à l'échelle des dimensions géométrales ; puis, à partir du point O sur 00', portons le demi petit axe de l'ellipse isométrique perspective de la base du cylindre située dans le plan horizontal AB. Traçons cette elhpse.

De même on a une ellipse isométrique située dans le plan horizontal A'B'; et le demi-cylindre de la niche, s'il était plein au lieu d'être en creux, aurait pour contour apparent ta tangente commune à ces deux ellipses menées parallèlement à AA', Sur le plan du mur, nous avons une ellipse isométrique qui est l'intersection avec ce plan de la sphère qui surmonte ce cylindre ; le grand axe de cette courbe est parallèle à XZ, sa longueur est égale à la longueur du grand axe des ellipses déjà tracées. Décrivons cette courbe. Si le quart de sphère, au lieu d'être en creux, était en relief, on

aurail pour ligne de contour apparent un arc de cercle tangent à celte ellipse située sur le mur et à l'ellipse située dans le plan horizontal A'B'. Le cjlindre et la sphère se raccordent suivant cette dernière ellipse.

Jusqu'au plan horizontal A'B' le mur se construit par assises ; les

plans horizontaux qui terminent ces assises rencontrent le mur suivant des lignes qu'on appelle lignes de joint, qui sont des parallèles à AB. Ces plans horizontaux rencontrent le cylindre suivant dos circonférences horizontales, lignes de joint sur ce cjlindre, et dont les perspectives sont des ellipses isométriques égales aux ellipses qui passent par A, B ou A', B'.

Pour construire la partie sphériquc, on réunit des pierres appelées voussoirs, qui sont limitées à des plans de joint menés par

l48 PKBHIBEE PARTIE. — TaEEZIÉUE LEÇON.

le centre de la sphère perpendîc ni ai renient au plan du mur et par des points de division situés sur la courbe de tète de la partie sphérique. Ces plans de joint sont limités à une pierre qui repose sur le plan liorizontal A'B', et qu'on appelle trompillon. Ce trompillon évite de prolonger les voussoirs de la partie sphérique jusqu'au plan horizontal qui limite le cylindre et supprime ainsi de ces voussoirs une partie qui se briserait trop facilement.

Cherchons la représentation des lignes de joint dans l'intérieur de la sphère, c'esl-à-dire les intersections de cette sphère avec les plans de joint dont nous venons de parler. Divisons la courbe de tète de la partie sphérique en un nombre impair de parties égales. Pour cela, faisons tourner le plan du mur autour du grand axe de l'ellipse AX'B' jusqu'à ce que ce plan soit parallèle au plan de projection. Après la rotation, le point B' vient au point B) , le point A' au point A,, et le diamètre A'B' est alors projeté suivant A, B,, Partageons la demi-circonférence B) C'A, en cinq parties égales; puis replaçons cette circonférence dans la position qu'elle doit occuper et ramenons les points de division sur l'ellipse isométrique A'C'B'. Les traces des plans de joint sur le plan du mur sont des droites passant par ces points de division, ainsi que par le point O'; nous limitons ces droites à une ellipse isométrique dont -le centre est en O'.

Le trompillon est terminé à un plan isométrique parallèle au plan du mur et dont la trace sur le plan horizontal A'B' est dh' , parallèle à A'B'. Ce plan rencontre la sphère suivant une ellipse isométrique que nous traçons sur a' 6'. Il ne reste, pour achever la figure, qu'à tracer les lignes de joint sur la partie sphérique; on ne voit comme ligne de joint que celle qui part du point de division E'. Pour la tracer, faisons tourner le plan de l'ellipse isométrique A'B'n'ô' autour de la parallèle menée du point O' à l'axe des Y, c'est-à-dire autour d'une perpendiculaire au plan du mur. Un point M de cette courbe décrit un arc de cercle dont on obtient le rayon en menant du point M une parallèle Mm à O'B' jusqu'au point m oïl cette droite rencontre la charnière. Lorsque le point B' est venu au point E', le rayon OB' est venu en O' E' et la parallèle mM à ce rayon est maintenant la droite menée du point m parallèlement à O'E'. La corde de l'arc décrit par le point B' est E'B'; la corde de l'arc décrit par le point M est parallèle à cette droite; cette corde

rencontre an point M' la ligne que nous venons de mener du point m, et nous avons en ce point M' un point de !a ligne de joint. Nous pouvons ainsi construire autant de points que nous voulons et, en les réunissant, nous avons îa ligne de joint pour la partie sphérique.

Ombre dans l'intérieur d'une demi-sphère. — Proposons-nous de déterminer l'ombre dans l'intérieur d'une demi-sphère terminée par un plan isométrique parallèle au plan des XZ i^fig- 95).

Prenons la projection SR du rayon lumineux; supposons que ce rayon rencontre au point R le plan XYZ. Le plan qui projette ce rayon sur le plan des XZ est le plan YSK; sa trace sur le plan XYZ est la droite qui joint le point Y au point R; cette droite rencontre au point /la droite XZ; joignons le point S au point/-', nous avons la projection S/-' du rayon lumineux sur le plan des XZ.

Glierehons le rabattement du rayon lumineux quand on fait tourner le plan qui le projette sur le plan de projection, de manière à amener ee plan à coïncider avec le plan XYZ, Déterminons d'abord la hauteur du point S au-dessus du plan XYZ. Prolongeons la droite SZ jusqu'au point/) où elle rencontre XY; surpZ comme diamètre décrivons une demi-circonférence de cercle, et élevons au point S une perpendiculaire à joZ; nous obtenons ainsi le

point S, ; le segment SS, est égal à la hauteur du point S au-dessus du plan XYZ. Lorsque le plan projetant du rayon lumineux SR a tourné autour de sa trace sur le plan XYZ, le point S vient sur une perpendiculaire à SR en nn point S' à une distance de S égale à SS, , et la droite S'R est la projection du rayon lumineux après le rabattement du plan projetant de ce rayon.

Décrivons une circonférence de cercle qui représente le contour apparent de la sphère donnée ; par le centre O menons une parallèle à l'axe XZ. Le diamètre qu'on obtient ainsi est le grand axe de l'ellipse isométrique perspective du grand cercle qui iiraile la demi-sphère. Traçons cette ellipse.

Cherchons l'ombre portée dans l'intérieur de cette demi-sphère en employant la méthode des plans sécants. Prenons des plans perpendiculaires au plan de projection etparallèles au rayon lumineux. La trace de l'un de ces plans est, par exemple, la corde ab menée parallèlement à SR; ce plan sécant coupe la sphère suivant un petit cercle que nous amenons à être parallèle au plan de projection en le faisant tourner autour de ab. Ce plan sécant rencontre au point M le grand cercle qui limite la sphère, et ce point, après le rabattement du plan sécant, vient, sur la circonférence décrite sur ab comme diamètre, au pointM, où la perpendiculaire MM, à ab rencontre la circonférence.

Le rayon lumineux qui passe par le point M est maintenant rabattu suivant M, T,, parallèle à S'R. Cette droite rencontre ie petit cercle au point T, , et, quand le plan sécant reprend sa position, le point T, vient sur ab au pied de la perpendiculaire abaissée du point Tj sur cette droite : le point T ainsi obtenu est l'ombre portée par le point M.

La courbe d'ombre dans l'intérieur de la sphère est un grand cercle dont le plan rencontre le plan diamétral qui limite la sphère suivant une droite perpendiculaire à la projection du rayon lumineux sur ce plan diamétral. Cherchons ce diamètre perpendiculaire à Sr'. Nous pouvons déterminer sa direction, en construisant sur le plan des XZ, comme on le voit sur la figure, une perpendiculaire à Sr'. Nous pouvons encore opérer ainsi : menons parallèlement à S/ des tangentes à l'ellipse Isométrique perspeclivedu grand cercle qui [imite la sphère ; la droite qui joint les points de contact de ces tangentes est le diamètre Alî suivant lequel le plan de la courbe

d'ombre portée rencontre le plan diamétral qui limite la sphère. Faisons tourner ce plan diamétral autour de AB, de façon que le point M vienne au point T. Le point M décrit alors un arc de cercle dont le rayon est perpendiculaire à AB, par consécjuent, c'est la parallèle Mm menée du point M à Sr'. La droite Mm, après la rotation, vient en mT. On a des points de la courbe d'ombre portée en cherchant ce que deviennent les points de l'ellipse isométrique AMB; on détermine ces points à l'aide de triangles semblables au triangle MmT. Ainsi, pour un point N, on mène la parallèle N« à M m; du point n on mène la parallèle nY k mT; cette droiio rencontre la parallèle NV à MT au point V, qui appartient à la courbe d'ombre portée. En réunissant les points ainsi obtenus, on a la courbe d'ombre portée; cette courbe est une ellipse qui est tangente en A et B à des droites menées de ces points parallèlement à la ligne niT ; elle est doublement tangente'à la ligne de contour apparent de la sphère.

BEKARauES A FBOFOS DU LA FBISnÈRE FABTIE DU GOUBS.

Nous terminons ici la preniiôre Partie du Cour», dans laquelle nous avons exposé les différents modes de représentation des objets supposés éclairés. Quanta l'emploi de ces modes de représentation, il est important de remarquer que si, pour l'étude d'un projet, on peut adoptsr tel ou tel système de projection avec lequel on est familiarisé, on doit toujours, lorsqu'on en vient à l'exécution, faire usage de celui qui conduit à des dessins de lecture facile.

En Architecture, les projets de bâtiment sont établis au moyen de plans, de coupes et d'élévations, auxquels il est utile de joindre une perspective de l'ensemble du projet.

Les perspectives cavabère ou isométrique, qu'on désigne aussi sous le nom àe perspectives rapides, sont très employées pour le dessin de détail dans l'Industrie; elles ont le grand avantage de donner, au moyen d'une seule projection, des figures faisant image et sur lesquelles on peut mesurer les dimensions de l'objet repré-

Il existe des appareils à l'aide desquels on construil. assez facilement la perspective des objets visibles. Le plus simple se compose d'une vitre, placée verticalement et servant de tableau, puis d'une carte percée d'un trou pour fixer la position de l'ceil. On suit les contours des objets à représenter au moyen d'un crayon gras que l'on ajjpule sur la vitre.

Cet instrument perfectionné a conduit au diagraphe de Gavard. On obtient une perspective très nette dans la chambre noire de Porta. La chambre clairedeWollaston, perfectionnée par le colonel Laussedal, est tiu instrument portatif à l'aide duquel on obtient, avec un peu d'habitude, laperspectivedesobjels visibles. On trouve l'explication de ces différents instruments dans l'excellent Traité de Perspective linéaire de M. de la Gournerie.

Afin de compléter l'étude de la perspective, on fera bien de lire, dans le même Ouvrage, ce qui concerne les panoramas, les basreliefs (') et les décorations théâtrales.

Nous avons laissé de côté les applications qu'on peut faire des modes de représentation des figures à la démonstration de certaines propriétés géométriques. La perspective conique ou projection centrale aurait pu donner lieu à de grands développements ; à ce point de vue, on ne saurait trop recommander la lecture du Traité des propriétés projectiles desjigures de l'illustre général Poncelet.

( ' ) Le Traité de Perspective relief de M. Pomdra a été l'occasion d'un Rapport très intéressant de Chasles {Comptes rendus des séances de l'Académie des Scienees, 12 décembre iS53).