J& SKCONDE PARTIE. — DIX-HUITIÈME LEÇON

Le théorème que nous venons de démontrer s'applique lorsqu'au lieu de réfraction on parle de réflexion, el lorsqu'au lieu d'une surface d'où partent normalement des rayons lumineux on a simplement un point lumineux.

Constmctionde la normale à la surface podaire. — S oianl a {Jig. i52) le point lumineus, ab un rajon lumineux, bn la normale à la surface réfléchissante. Prenons comme plan de la figure le plan abn; le rayon réfléchi est alors dans le plan de la figure, et il fait avec bn un angle égal à abn. La droite T de la figure précédente est maintenant projetée au point l, intersection de la tangente en Z* à (B) et de la perpendiculaire menée par le point a au rayon ab. Le

plan mené, par la droite projetée en (, perpendiculairement au rayon réfléchi est projeté suivant la perpendiculaire te abaissée du point t sur le rayon réfléchi. D'après ce que nous venons de démontrer, le heu des points, tels que c, est une surface (C) qui a pour normale la droite cb.

Gomme l'angle d'incidence et l'angle de réflexion sont égaux entre eux, la droite ac est perpendiculaire sur bt, et le point /> où elle rencontre cette droite est le milieu du segment ac. Le lieu [p~\ des points, tels que p, c'est-à-dire le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point fixe a sur les plans tangents à la surface (B) est alors une surface homothétique à la surface (C). On a donc la normale en /> à la surface [p], en menant une parallèle àcb.

La surface [/)] est ce que l'on appelle la surface podaire de (B) par rapport au point a. On voit que, pour construire en /j (a

LEÇON D'OPTIOrfi GBOMÉTRIQUlî. 257

normale à la surface podaire, on doit mener une droite qui rencontre ab et qui fasse avec nple même angle que ah {').

Cette dernière construction va nous être utile pour l'étude d'une surface que l'on emploie en Optique : la sur/ace de l'onde lumineuse.

Surface de l'onde. — Prenons comme première définition de celle surface celle que l'on rencontre dans la théorie de la lumière.

On donne un ellipsoïde dont le centre est en o {fig- i53); on joint le point o à un point m de cet ellipsoïde. Dans le plan mené par om et par lanormale en /n à l'ellipsoïde (plan que nous prenons

pour plan do la figure), on élève une perpendiculaire à om, cl l'on

porte sur cette droite une longueur op =^ Par le point p on

mène un plan perpendiculaire à o/j : ce plan est tangent à la surface de l'onde.

Menons par om un plan perpendiculaire au plan omn ; il coupe le plan tangent en m à l'ellipsoïde suivant une droite tangente à la section qu'il détermine dans l'ellipsoïde et qui est perpendiculaire à om. On voit ainsi que le point m est un sommet de la section faite dans l'ellipsoïde par le plan diamétral mené par om perpendiculairement au plan de la figure; om est l'un des demi-axes de cette section, et ia longueur op est inversement proporlionnetle à la longueur de cet axe. On peut dire, d'après cela, que la surface

de l'onde est la surface dont les plans tangents sont menés parallèlement aux plans diamétraux d'un ellipsoïde et à des distances de ces plans inversement proportionnelles aux axes des sections faites dans l'ellipsoïde par ces plans diamétraux.

Proposons-nous de construire le point où le plan tangent à la surface de l'onde que nous venons de mener par le point p touche cette surface. Puisque ce plan tangent à la surface de l'onde a été mené perpendiculairement à op, le point p est le pied de la perpendiculaire abaissée du point o sur ce plan, et les points tels que p appartiennent à la surface podaire [p] de la surface de l'onde relative au point o.

Si nous savions construire la normale à cette surface podaire [/j], nous aurions le point de contact demandé en menant du point o une droite rencontrant la normale à [p] et faisant avec op un angle égal à l'angle que cette normale fait avec cette droite.

Cherchons la normale à la surface podaire [p]- Portons sur op une longueur omi égale à om; au point m de l'ellipsoïde correspond ainsi un point m,, et l'on peut dire qu'à l'eUipsoïde correspond une surface [ni|] lieu des points tels que m,.

On a

op X om = K«,

La surface podaire et la surface [mi ], ajant leurs points correspondants liés entre eux par cette dernière relation ('), jouissent à€ celle pvopTiélé: la sphère tangente en pà[p]eC gui contient m, est tangente en ce point à la surface [m,]. Mais les normales on m, el en p k cette sphère sont deux droites qui se rencontrent el qui sont également inclinées sur op; rapprochant alors ce résultat de ce qui a été dit précédemment, on voit que la normale au point n(, à la surface [m,] est parallèle à la droite que nous nous proposons de trouver et qui rencontre le plan tangent à la surface de l'onde au point de contact qu'il s'agit de construire.

Le problème est donc ramené à la constriicliou de la normale en m, à la surface [wi]-

(') La siLi'fiice [mj est la transformée de [p] |i Voir la N'oie au bas de la page 319.

LEÇON d'oPTIÔUE GliOMÉTRIOUE. aSiJ

Joignons le point ?n, au point hî. Le triangle mom, est un triangle rectangle isoscèle de grandeur variable. Pour construire la normale à la surface sur laquelle reste le sommet m, , nous allons profiter des éléments de grandeur invariable qui existent dans ce triangle. Prenons l'angle omin, de gi-andeur invariable; cherchons le foyer du plan de cet angle que l'on déplace de façon que, m restant sur l'ellipsoïde, ce plan contienne toujours la normale en ce point à cette surface ; en outre, le côté om passe constamment par le centre o. Quand le point m se déplace sur l'ellipsoïde dans une direction arbitraire, le foyer de ce plan est sur la normale à la trajectoire du point m; donc il est un point de la normale mn à l'ellipsoïde. Comme le côté ojn passe toujours par le point o, le point de cette droite qui, après le déplacement inlîniment petit, vient au point o, décrit un élément dans la direction même de om ; la normale, dans le plan omn, à la trajectoire de ce point est alors 3a perpendiculaire élevée du point o à la droite ojn. Cette droite rencontre mn au point/, qui est le foyer cherché.

En appliquant une propriété démontrée dans la Leçon précédente, nous n'avons qu'à abaisser du point / une perpendiculaire sur le côté mm, pour avoir le point q où la surface engendrée par mm, est normale au plan ommt.

Prenons maintenant l'angle om,m de grandeur invariable. Le plaii de cet angle coïncide toujours avec le plan du premier angle omm, ; mais ces deux angles ne sont pas soumis au même déplacement, puisque le triangle omm, est variable. Cherchons le foyer relatif au déplacement du plan de l'angle o m, m. Lecôtéonii passant par le point o, le foyer cherché se trouve sur la perpendiculaire élevée au point o à la droite omi , c'est-à-dire sur mo ou sur son prolongement. Ce foyer se trouve aussi sur la normale à la surface engendrée par m, m, menée du point q où cette surface est normale au plan mobile. Le foyer se trouve donc au point/,, à la rencontre de Jq et de mo. La droite / m, est alors la normale à la trajectoire du point m, , et, comme le point /, ne dépend pas de la direction du chemin suivi, par m, la droite/ m, est normale à la trajectoire du point m, quelle que soit cette trajectoire; donc cette droite est normale à la surface [^i], sur laquelle se déplace le point m,.

Dans le triangle /^min^, l'angle m, om esl droir, l'angle/ qm

est droit; le point/ est donc le point de rencontre des hanteurs de ce triangle, et la droite/) m, est perpendiculaire sur mn. On voit ainsi que, pour avoir la normale à la surface [nîi], il suffit d'abaisser du point m, une perpendiculaire sur la normale m/i à l'ellipsoïde. En se reportant à ce que nous avons déjà dit, comme il faut mener du point o une parallèle à cette normale pour avoir le point de contact du plan tangent à la surface de l'onde, on voit qu'i7 suffit d'abaisser du point o une perpendiculaire sur la normale mn et que le point r où cette perpendiculaire rencontre le plan tangent à la surface de l'onde est le point de contact de ce plan.

Du point û abaissons la perpendiculaire ot sur le plan tangent à l'ellipsoïde. Les deux triangles opr, otm sont semblables; on a

Puisque ot X or est un produit constant, nous tirons de là une deuxième définition de la surface de l'onde en faisant correspondre le point r au plan tangent mt de l'ellipsoïde. On peut dire qu' o/i obtient le point r de la surface de l'onde en menant du point o une parallèle à la projection de om sur le plan tangent en m à l'ellipsoïde et en portant sur cette droite une longueur or inversement proportionnelle à la distance du point o à ce plan tangent.

On a ainsi une définition de la surface de l'onde qui donne les points de ce ttesurface correspondants au plan tangent de l'ellipsoïde, tandis que la première définition faisait correspondre les plans tangents de la surface de l'onde à des points de l'ellipsoïde.

En employant ces définitions, il est facile de se rendre compte de la forme de la surface de l'onde. Cette surface a les mêmes plans principaux que l'ellipsoïde, et l'on démontre aisément que sur un quelconque de ces plans principaux la trace de la surface de l' onde se compose d' un cercle et d'une conique homothétique à la conique trace de l'ellipsoïde sur ce plan principal. Dans le plan principal perpendiculaire à l'axe moyen de l'ellipsoïde, la circonférence et la conique, traces de la surface de l'onde, i trent en des points réels.

Soient ad {fig- 1 54) la conique et bb' la circonférence de cercle sur le plan des xz. Sur le plan des xy on a une circonférence de cercle qui passe par le point a et dont le rayon esl oa. Sur le plan des zy la circonférence de cercle a pour rayon oc' . Sur le plan des xy la conique a pour demi-axes ob' et oc, et sur le plan des yz elle a pour axes ob et oa'.

La surface de l'onde se compose de deux nappes : l'une, cxtc-

Points singuliers. — Aux points tels que ^, la surface de l'onde a une infinité de plans tangents dont l'enveloppe est une surface conique. C'est pourquoi le point g est appelé point conique. Nous allons montrer quVn un point conique de la sur/ace de l'onde l'enveloppe des plans tangents est une surface conique du second degré.

Prenons (Jig- i55} l'ellipsoïde et l'un des cylindres de révolution qu'on peut circonscrire à cette surface. Employons la deuxième définition de la surface de l'onde, celle qui détermine par points cette surface en faisant correspondre ses points aux plans tangents de l'ellipsoïde. Puisque les distances du point o aux plans tangents de l'ellipsoïde, qui sont des plans tangents à ce cylindre de révolution, sont égales, les distances du point o aux points de la surface de l'onde qui correspondent à tous ces plans tangents sont égales. Ainsi, à tous ces plans tangents correspondent sur la sur-

face <ie l'onde les deux seuls points g, g' qu'on obûent en menaot du point o une parallèle aux génératrices du cylindre et en portant à partir du point o une longiieur og ou og' égale à K.^ divisé parla distance du point o aux plans tangents du cylindre circonscrit.

Le point g ainsi déterminé est un point conique. Construisons le plan tangent à la surface de l'onde en g qui correspond au plan tangent en m. Menons un plan parallèle au plan de la courbe de contact E de l'ellipsoïde et du cylindre circonscrit. La trace du

plan gom sur ce plan est la droite sni' parallèle à oin. D'après ce qui précède, le plan tangent au point ^ à la surface de l'onde est parallèle au plan mené par sm! perpendiculairement à m'os, ou encore, le plan tangent à la surface de l'onde est perpendiciilaire à perpendiculaire abaissée du point o sur m' s. Lorsque m varie sur E, les plans tangents en ^ à la surface de 'onde sont toujours respectivement perpendiculaires aux perpendiculaires abaissées du point o sur les droites, qui partent du point s et sont tracées sur le plan parallèle au plan de E. L'ensemble de ces perpendiculaires forme un cône du second degré, et, comme ce cône est supplémentaire du cône formé par les plans tangents àla surface de l'onde, on voit que les plans tangents au point g à la surface de l'onde enveloppent une surjace conique du second degré.

Plans tangents singuliers, — Prenons l'ellipsoïde et l'une de ses

LEÇOJT n OPTIQUE fiEOUBTftIQTJE. iti

sections circulaires C {^g- in6). Employons la première définition de la surface de l'onde; à un point m pris sur C correspond un plan (P) parallèle au plan de cette section circulaire, et ce plan est le même quel que soit le point pris sur C. On a donc là un plan (P) qui est tangent à la surface de l'onde en des points qui varient lorsqu'on prend différents points sur la section circulaire de l'ellipsoïde.

Cherchons le lieu des points de contact de (P) el de la smhicc

de l'onde. Pour avoir sur (P) le point de contact qui correspond à m, on doit abaisser du point o une perpendiculaire sur la normale en m à l'ellipsoïde et prendre la trace de cette droite sur le plan (P). Les normales à l'ellipsoïde, dontles pieds sont sur C, sont parallèles à un plan (Q) mené perpendiculairement au diamètre conjugué du plan de la circonférence G; en outre, elles rencontrent le diamètre perpendiculaire au plan de la section circulaire ; ces normales sont donc parallèles à toutes les droites que l'on peut tracer sur le plan (Q) à partir du point u, où ce diamètre perpendiculaire au plan de G rencontre (Q). Pour avoir les points de contact du plan (P), on doit donc abaisser du point o des perpendiculaires sur toutes les droites tracées sur le plan (Q) à partir du point u el prendre les traces de ces perpendiculaires sur (P).

Mais le lieu de ces droites est une surface conique dont les sections circulaires sont, les unes parallèles au plan (Q), les autres perpendiculaires à ou] la trace de cette surface conique sur le plan

tangent (P) à la surface de l'onde est alors une circonférence de cercle. Le plan (P) est donc tangent à la surface de l'onde suivant une circonférence de cercle.

A chacune des sections circulaires diamétrales de l'ellipsoïde correspondent ainsi deux plans tangents singuliers qui touchent la surface de l'onde suivant des circonférences de cercle. Ces plans tangents singuliers sont (^^. 1 54) Perpendiculaires au plan a;o; et leurs traces sur ce plan sont les tangentes communes à la conique ac' et au cercle bb'.

Les points coniques, qui sont des points singuliers de la surface de l'onde, donnent lieu à ce qu'on appelle en Optique la réfraction conique, et les plans tangents singuliers, tels que (P), donnent lieu au phénomène que l'on désigne sous le nom de réfraction cylindrique.

SUPPLÉMEMT A LA DIX-HTJITIÈME LEÇON.

Construction de la normale à la surlace podaire. — Reprenons la

flg. l52.

Quelle que soit la position du point p sur la surface podaire, on a un angle droit, tel que apb, dont un côté passe parle point fixe «, dont l'autre côté est tangent à (B) et dont le plan est normal en 6 à celte surface.

Pour un déplacement infiniment petit de l'angle apb, satisfaisant toujours à ces conditions, on obtient le foyer de son plan en élevant du point a la perpendiculaire al à ap et en prenant le point l où cette droite rencontre la normale bn. Cette dernière droite est, en effet, dans le plan apb, la normale à la surface engendrée par le càtépb.

Le foyer du plan apb est donc le point /, pied de la perpendiculaire abaissée de a sur bn. La normale à la trajectoire du point p est alors pi; comme cela est vrai, quel que soit le déplacement de l'angle apb, la droite pi est la normale à la surface podaire [/>].

Les droites pi, ab, diagonales du rectangle apbl, sont également inclinées sur ab : on retrouve ainsi le résultat déjà obtenu page a56.

Surface de l'onde : autres définitions. — Du point o comme centre {fg. i53) décrivons une sphère de ravon K et prenons par rapport à

celle sphère la polaire réciproque (') de l'ellipsoïde [m] : nous obtenons un nouvel ellipsoïde (M). Cette surface est tangenie au plan polaire de m, plan qui esl perpendiculaire à om et qui est une dislance op' du point 0 égaie à op. La trace de ce plan polaire sur le plan delà ligure est/j'/''; elle rencontre oîau point /■', pôle du plan tangent fm. Ce point r' est le point de contact avec (M) du plan tangent /t'r'.

En faisant dériver la surface de l'onde [r] de l'ellipsoïde (M), on a cette troisième définition :

On Joint le centre o de l'ellipsoïde (M) au point r' de cette surface. Dans le plan mené par or' normalement à (M) en r', on élève à or' la perpendiculaire or et l'on porte sur cette droite le segment or égal à or'; le lieu des points r est une sur/ace de l'onde.

Il résulte de cette troisième définition que la surface [oîi] est aussi une surface de l'onde (^).

En faisant usage des trois définitions de la surface de l'onde, j'ai pu transformer des propriétés de l'ellipsoïde et arriver à des propriétés de la surface de l'onde. C'est ainsi qu'aux propriétés des diamètres conjugués de l'ellipsoïde correspondent des propriétés relatives aux diamètres de la surface de Tonde. Ces dernières propriétés sont remarquables, parce qu'elles s'interprètent en Optique (').

Voici une autre définition de la surface de l'onde ;

La sur/ace de l'onde est le lieu du sommet d'un angle droit dont les côtés sont respeclit^ement tangents à un ellipsoïde {ou à deux ellipsoïdes homofocaux) et dont le plan est normal à cette surface {ou à ces surfaces) en chacun des points de contact de cescâtés.

En déplaçant infiniment peu l'angle droit, on voit facilement que la normale à la surface de l'onde ainsi engendrée passe par le milieu de la corde de contact des côtés de cet angle (').

Détermination de la normale à la surface de l'onde, — Hcprcnons l'ellipsoïde (E), dont le centre est o (fig. i53); menons le rayon vec-

(') La théorie des polaires réciproques est due S Poucei.et, On trouve la théorie générale des polaires réciproques dans le Tome IV du Journal de Crelle.

La théorie des polaires a donné le premier eiemple de transformation d'une figure en figure corrélative.

{') Cette génération delà surface de l'onde esl due à Mac-Chiugu, qui a trouvé ausai que la normale à [m,] en m, est perpendiculaire à la normale en "i il l'ellipsoïde et rencontre cette droite.

(•) Nouvelles propriétés optiques déduites de l'étude géométrique de la surface de l'onde {Journal de Physique théorique et appliquée, t. V).

(') Voir mes Notes dans les Comptes rendus, séances des aG avril iSSa cl

teiif om et la normale N à (E) an point m. Faisons tourner le plan île ces deux, droites sur lui-même d'un angle droit autour du point o. Le j>oint m vient en ni, et la normale N vient en Nj, qui est alors perpendiculaire à N.

En répétant cette coDSlruction pour tous les points de (E), on obtient la surface de l'onde [/Ji,] : nous allons démontrer que N, est la normale au point m, à cette surface.

Traçons sur (E), à partir du point m, une courbe quelconque, et prenons cette courbe comme directrice d'une surface (N), lieu de normales à (E),

En répétant la construction précédente, les différentes génératrices <le cette surface conduisent à des droites, telles que N,, appartenant à une surface réglée que nous désignerons par (Ni).

Les droites N, Nj et la bissectrice oi de l'angle droit compris entre l'es droites déterminent une figure de forme invariable. Déplaçons cette figure de façon que la droite oi passe toujours par o et que N coïncide successivement avec les génératrices de (N), alors N, coïncide avec les génératrices de (Nj).

Pour un déplacement infiniment petit de cette ligure, son plan a pour foyer un certain point f de la perpendiculaire élevée du point o à la droite oi. Les pieds b et bi des perpendiculaires abaissées de ce foyer sur N et N, sont les points pour lesquels le plan (N,Ni) est normal à (N) et (Ni). 11 résulte de la construction de b et de 6, que l'angle bob^ est droit et que oèi=^oô; par suite, on a aussi è, m,=^èm.

Laissons le déplacement de cette figure et supposons maintenant que l'on déplace N, de façon que son pied m décrive la directrice de (N). Le point b, supposé marqué sur N, décrit alors «ne trajectoire normale à N, et, comme il se déplace dans le plan tangent en h à (N), plan qui est perpendiculaire au plan de la figure, il décrit un élément normal au plan de la figure.

Puisque obi est égal à ob, le point 6,, correspondant au point i, <lécrit aussi un élément perpendiculaire à N,. Mais, lorsque N décrit (N), bm reste de grandeur invariable; il en est alors de même de b^iriy, qui lui est égal : le point /h, décrit alors aussi un élément normal à Ni- Ceci est vrai quelle que soit la directrice de (N): doncN, est normal à tous les éléments décrits par m^ ; par suite, c'est la normale à la surface [wîi].