LEÇON D'OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
(.IPrLICATION DE GÉOMBTE B NbM QUE).
Variation de longueur d'un segment de droit m h I — Th renie do Malus ei de Dupin, — Coiistniction de la normale à la u t p i rc. — Surface di l'onde. — Points singuliers. — Plans tang n ng 1
StppLÉHENT. — Construction de la normale à la surface podaire. — Surface de l'onde : autres délinitions. — Détermination de la normale à la surface de l'onde. — Noms des auteurs qui ont traité de la surface de l'onde.
Nous allons consacrer cette Leçon à des applications des propriétés déjà démontrées relativement au déplacement dans l'espace d'une figure de forme invariable. Ces applications ont un double objet ; d'abord, elles font bien comprendre les propriétés relatives au déplacement des figures; ensuite, elles donnent des résultats utiles en Optique.
Variation de longueur d'un segment de droite mobile. — ' Nous avons vu que, lorsqu'une droite se déplace sans rester dans le même plan, si elle est normale à la trajectoire d'un de ses points, elle est normale aux trajectoires de ses autres points. Il résulte de cette propriété le moyen de déterminer une expression de la variation de longueur d'un segment mobile de grandeur variable.
Le segment ab (Jîg. 1 5o) devient a, b, : quelle est la variation de longueur de «6? Menons à partir des points a et 6 les trajectoires ortbogonales des droites ab,a,b,; on peut confondre les
éléments de ces trajectoires avec les perpendiculaires abaissées des points a et b sur a, bi- On obtient ainsi, aux pieds de ces perpendiculaires, les points a et p, et, d'après le théorème que nous venons de rappeler, a^ est égal à ab. La variation de longueur du segment est donc la somme des segments «a,, ^b,, etl'on peut dire que la variation de longueur d'un segment de droite est égale à la somme algébrique des projections, sur la direction de ce segment, des chemins parcourus par ses extrémités (').
Si la variation de longueur du segment est réduite à la projection du chemin parcouru par l'une de ses extrémités seulement, l'autre extrémité se déplace normalement au segment mobile. C'est ce cas particulier dont nous allons faire usage pour démontrer la généi'alisation faite par Dupin (-) d'un théorème dû à Malus (') :
Théorème de Malus et de Dupin. — Des rayons lumineux sortent normalement d'une surface; ils rencontrent une surface et sont réfractés de façon qu'un rayon incident et le rayon réfracté correspondant soient dans un même plan normal à cette surface et qu'entre le sinus de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction il y ait un rapport constant ; après la réfraction, tous ces rayons sont encore normaux à une surface.
ab {Jig- i5i) est un rayon lumineux qui est normal à une surface (A); ce rayon rencontre en b une surface (B); après la réfraction, il est dirigé suivant bl; les droites ba, bl font avec la normale au point 6 à la surface (B) des angles i et /•, tels que
'k étant \\.n& constante.
Nous allons démontrer que les rayons, tels que bl^ sont à une même surface. Menons au point a le plan tangent à la
des lignes iiacées sur une sur/ace quelconque (Bullelin de l'Académie royale de Belgique, a' série, t. IX, n» 1}.
(') Applications de Géométrie et de Mécanique,- quatrième Mémoire.
(') Premier Mémoire sur l'Optique {Journal de l'École Polytechnique, XIV" CiHcr).
)IX-IIIlirièME LEÇON.
face (A), au point b le plan langent à la surface (B). Ces deux plans se coupent suivant une droite T, qui est alors perpendiculaire au plan du rayon incident, du rayon réfracté et de la normale à la surface (B). Par celte droite T menons un plan perpendiculaire au rayon réfraclé bl\ il rencontre ce rayon au point c. Les trois plans, qui se coupent suivant la droite T, étant respectivement perpendiculaires au rayon incident, au rayon réfracté et à la normale à (B), comprennent entre eus des angles égaux à i et /■; et,
comme les sinus des angles compris par ces plans sonl entre eux
ba comme T- ' on voit que
Si le rayon lumineux issu de la surface (A) pari d'un point infiniment voisin du point a, il rencontre la surface (B) en un point è( infiniment voisin de b. Joignons le point 6 au point b, ; celte droite coupe T au point t. Joignons le point ( aux points C et a; les droites îc, ta sont respectivement perpendiculaires au rayon réfracté et au rayon incident. En abaissant du point &, une perpendiculaire 6| p sur ab et une perpendiculaire 6, q sur bc, on a alors des droites respectivement parallèles à ta et te. Comme le rayon lumineux ab, quand on le déplace de façon à amener le point b au point 6), est tel que le point a décrive sur la surface (A) une trajectoire normale à ab, la variation de longueur de ce rayon est simplement bp. Nous allons faire voir qu'en même temps la variation
de longueur de bc n'est autre chose que bq, et alors le point c luimême se déplace sur une surface tEmgente en c au plan mené pai la droite T perpendiciilairem.eiit au rajon réfracté. De la relation (i) on tire
dba = 'i.dbc.
c'est-à-dire
rarialion de longaciir de ba est
longueui
c bc dan
LS le rapport constant 7..
On a
d'où
bp ba .
biTc'-'-
bp = ll/q.
Mais bp
dba; 01
i a alors
dba= \bq.
En rapprochant cette relation de la relation (2), on trouve qae bq est la variation de bc, et le point c se déplace alors normalement à bc. Gomme cela est vrai quelle que soit la direction de bb,, on conclut que le rayon réfracté est normal à une surface tangente en c au plan (T, c) (').
(1) Montrons que
, pour a.
rriver au théorème de Dupin, on doit •
^Boii- la loi des
sinus. Soient ab ur
L rayon .
incident et cb la dii-eclion du rayon
réfracté; nous
supposons que le pi
an de ce
s rayons est normal en È à (B), que 1
;es rayons sont
respectivement non
aiaux av
LU surfaces (A), (G), et que cela esi
constamment
Prenons le rayon
infiniment voisin de ab qui rencontre (B) ai
L point è„ pro-
Jetons 6, en/? suc ab. Le se.
imeal pb est la variation de longueur
. vient .n., ou «
pb OH d.ab b,b ab tb '
.le même
d.eb b,b cb ' tb'
On s donc
d.ab d.cb
d'où, co iutégrant,
cb
Tb = ™"^^-
[Voir Mémoire sur
la théorie des surfaces, par M. Behibisq (Jni
imal de Liou-
ville, 5- série, t. IX
