DIX-NEUVIÈME LEÇON

UACCOTiDEMENT DES SURFACES BÈGLÉES(app. m gkom, ciném.)- GÉOMÉTRIE CUSÉMATIQUE (suite).

Déplacement infiniment petit d'une droite. — Paraboloide des normales. — Raccordement des surfaces réglées. — Géométrie cinématique. — Droites conjuguées. — Normales aux lignes décrites par les points d'une figare dont le déplacement est assujetti à cinq conditions. — Normales aux surfaces trajectoires des points d'une figure dont les déplacements sont asnujettis à quatre conditions.

Supplément. — Lieu des conjuguées d'une droite. — De la droitf Des pinceaux de droites. — Méthode des normales dans le cas i grandear invariable mobile dans l'espace. — Exemple relatif a d'nne figare mobile de grandeur variable.

Déplacement infiniment petit d'une droite, — Considérons {fig. i^j) inc surface réglée (D) et un point a d'une des génératrices D de

cette surface. A partir de a traçons sur (D) une courbe (a) qui ne rencontre pas à angle droit les génératrices. Si nous assujetlissonsî la génératrice D à venir coïncider successivement avec les génératrices de la surface (D), le point a décrivant la courbe que nous venons de tracer, le déplacement de cette génératrice D est bien défini. ï.c déplacement infiniment petit de cette droite, comme

nous l'avons démontré, peut élre obtenu au moyen d'une rotation infiniment petite autour d'une certaine droite A; les différents points de D, pendant cette rotation infiniment petite, décrivent des éléments pour venir se placer sur la g'énératrice D' infiniment voisine de D. Pour étudier ce qui est relatif aux plans tangents à la surface (D) aux différents points de celte droite, nous n'avons alors qu'à considérer les plans tangents à la surface engendrée par D qui tourne infiniment peu autour de la droite A.

Prenons comme plan de projection un plan parallèle aux droites D et A. Les normales à l'élément de surface engendré par D, qui tourne autour de A, se projettent suivant des perpendiculaires à D, el ces droites rencontrent la droite A. Au point a, la normale est aa', le point a' étant sur la droite A. Le plan tangent en a est le plan mené par D perpendiculairement à la normale aa'.

Lorsque le point a s'éloigne sur la droite D, la normale aa' tend à devenir parallèle au plan de projection, el, lorsque le point a est à l'infini, le plan tangent en ce point est le plan mené par D perpendiculairement au plan de projection.

Lorsque te point a vient au point c, qui se projette au point de rencontre des projections des deux droites D et A, la normale en c se projette en ce point de rencontre; le plaii tangent est alors un plan mené par D parallèlement au plan de projection. Ce plan est perpendiculaire au plan qui touche (D) à l'infini sur D; donc c'est le plan central, et alors le point de contact c est le point central sur la génératrice D.

On voit ainsi que le pied de la perpendiculaire commune à D e( A est, sur la droite D, le point central relatif à cette génératrice, et que le plan central est parallèle à A.

Pour deux points également éloignés du point central, on retrouve des plans tangents qui sont également inclinés sur le plan central.

Appelons p la plus courte distance de D et A, B l'angle que le plan tangent en a fait avec le plan central ou encore l'angle que hi normale aa' fait avec la normale en c. On a

««' = /. tangO; eu désîgTianl par t la dislancc ac, on a aussi ,.»'=nanï(D,i).

11 résulte de là

tai'g(D, 4)

Comparant celte valeurde langS à ia valeur tang;S ;= t> trouvée

précédemment (p. z'ào), on voit que /: est égal à , .■ > c'est-

r \i. " ^ o tang(D, A)

à-dire que le paramètre de distribution des plans tangents

di {D), pour la génératrice D, est égal à lapins courte distance

entre D et A, divisée par la tangente de l'angle compris entre

ces deux droites.

Paraboloïde des normales. — - Les normales à (D) aux différents points de la droite D sont perpendiculaires à cette droite et rencontrent A ; ces normales sont donc parallèles à un plan perpendiculaire à D et rencontrent les deux droites D et A. Elles appartiennent alors à un paraboloïde hyperbolique, et l'on peut dire : Les normales à une surface réglée, dont les pieds sont les points d'une génératrice de cette surface, appartiennent à un paraboloïde hyperbolique.

On désigne ce paraboloïde sous te nom de paraboloïde des

Les plans directeurs de ce paraboloïde sont, l'un perpendiculaire à D, et l'autre parallèle aux droites D et A. Mais le plan central de la surface gauche pour la génératrice D est parallèle aux droites D et A; par conséquent, pour la génératrice D le paraboloïde des normales à la sur/ace gauche (D) « pour plans directeurs un plan perpendiculaire à D et le plan central relatif à cette génératrice.

Si D est une génératrice d'une surface développable, le paraboloïde des normales se décompose en deux plans. L'un de ces plans est le plan normal à la surface développable mené par D, l'autre est le plan perpendiculaire à D mené par le point où cette droite touche l'arête de rehroussement de la surface développable.

Reprenons la surface gauche (D). Un autre déplacement de D sur (D) se fait autour d'une autre droite A; mais cette nouvelle droite doit toujours conduire au même paraboloïde des normales : donc le lieu des droites telles que A est le paraboloïde des nor-

maies à {Ty) pour ia génératrice H. Les droites A sont les giSncratrices de ce paraboloïde qui ne sont pas perpendiculaires à D,

L'axe du paraboloïde des normales est parallèle à l'intersection des plans directeurs; il est alors parallèle à une droite perpendiculaire à D et parallèle an plan de projection. Le plan mené par D perpendiculairement à cette droite contient la normale an point c] donc ce plan est tangent au paraboloïde des normales au point c de la droite D. Nous avons vu que ce point c est le point central relatif à cette génératrice, et comme, d'après ce que nous venons de dire, c'est le point de contact d'un plan perpendiculaire à la direction de l'axe du paraboloïde des normales, nous pouvons ajouter que le point central sur D est le sommet du paraboloïde des normales relatif à cette génératrice.

De la relation l^= ^tangS on lire, en différentianl.

dl =

kd(\ ,, , di

dl est l'accroissement de ca quand le point (( se déplace sur D' et rf8 est l'angle dont tourne la normale ad; -^ est alors le paramètre de distribution des plans tangents au paraboloïde des normales pour la génératrice de ce paraboloïde, qui est ia normale an' ^ Si nous désignons par k\ ce paramètre de distribulion, on voil

Construisons le paramètre k\. Klevous i^fig- i^^), du poini central c, une perpendiculaire à D. Portons sur celte droite une longueur c-y égale à /■; la perpendiculaire y/» à -^a rencontre la perpendiculaire ap à D au point p ; le segment ap est égal à kx- Ou a, en effet,

cos/iac' ros' ec'rt cos^ fi

Lorsque 0 est nul, c'esl-à-dîre lorsque l'on considère la généra- Irice du paraboloïde des normales issue du point c, alors A-, = A-,

(>) Dan5 le Supplcinent de ceUe Leçon, noiis amverons géométriquement .

c'est-à-dire que le paramètre de dislributioii des plans tangenln au paraboloide des normales, pour la génératrice menée normalement à la sur/ace (D) àpartir du point central sur D, est égal au paramètre de distribution des plans tangents à la surface (Ji) pour la génératrice D,

Démontrons directement ce dernier résultat.

Pour la génératrice C du paraboloïde des normales, issue du point c, le plan central est le plan mené par cette droite et par D, et le point central est aussi le point c.

Appelons g le point où C rencontre A. Le plan tangent en g au paraboloïde des normales est le plan (C, i). Ce plan fait avec le plan central (D, C), relatif à C, l'angle (D, A), La distance gc n'est autre que/». Le paramètre de distribution /f, pour C, en vertu de

la formule taneQ = y' est alors f, . ,7 gui est égal à k. On a

° k tang(D, i) ^ °

donc /.■, ^^ k.

Raccordement des surfaces réglées. — Pour construire le paraboloïde des normales, on doit connaître trois de ses génératrices, c'est-à-dire trois normales à la surface réglée. Cela revient à dire que la connaissance de trois plans tangents à la surface réglée, pour trois points d'une génératrice, entraîne la connaissance de tous les plans tangents de la surface réglée pour cette génératrice, donc : sideux surfaces gauches ont une même génératrice et, pour trois points de cette génératrice commune, les mêmes plans tangents, elles auront les mêmes plans tangents pour tous les points de cette génératrice commune. On dit alors que ces deux surfaces gauches se raccordent le long de cette génératrice.

L'un des plans tangents communs à ces deux surfaces, qui oui une même génératrice, peut les toucher au point qui est à l'infini sur cette droite. Ce plan tangent est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice correspondant à celle des surfaces gauches. D'après cela, on peut dire : Lorsque deux surfaces gauches ont même cône directeur ou même plan directeur, elles se raccordent si elles ont, en deux points d'une génératrice commune, les mêmes plans tangents.

Reprenons une génératrice D d'une surface régiée (D) et supposons qu'en trois points cï, b, c de cette droite 1

plans tangents à la surface réglée. Dans chacun de ces plans et par les points a, b, e traçons une droite; l'hyperboloïde qui a ces trois droites pour directrices est de raccordement avec la surface gauclie, puisqu'il a les mêmes plans tangents que cette surface aux trois points «, b, e. Comme, par les points a, b, e, on peut tracer des droites quelconques dans les plans tangents en ces points, on voit que; le long dhme génératrice d'une sur/ace réglée, on peut construire une infinité d' hyperboloïdes de raccordement.

On peut remarquer que chacun de ces hyperboloïdes a son centre dans le plan tangent à (D) au point qui est à l'infmi sur D. Parmi tous ces hyperboloïdes, il y en a une infinité qui sont de révolution : ce sont ceux qui sont engendrés par D qui tourne autour d'une des droites, telles que i, c'est-à-dire autour d'une des génératrices du paraboloïde des normales à (D).

Par une droite donnée arbitrairement on peut faire passer un hyperboloïde de raccordement avec (D) le long de la génératrice D. On prend les traces de la droite donnée sur les points a, b, e et l'on joint respectivement ces traces à ces trois points ; on obtient ainsi les directrices de l'hjperboloïde de raccordement qui contient la droite donnée.

Par chacun des points a, 6, c, on peut mener parallèlement à un plan donné des droites sur les plans tangents en ces points ; ces trois droitesdéfinissenlun paraboloïde qui est de raccordement avec la surface réglée, et, comme le plan, parallèlement auquel on mène des droites par les points a, b, e, a une direction arbitraire, on voit que, le long d'une génératrice D, on peut construire une infinité de paraboloïdes de raccordement.

Si l'on fait tourner d'un angle droit autour de D l'un quelconque de ces paraboloïdes, on obtient un paraboloïde normal a la surface réglée en chacun des points de D. L'un de ces paraboloïdes normaux est le paraboloïde des normales : c'est celui qui a l'un de ses plans directeurs perpendiculaire à la génératrice D.

Ce que nous venons de dire constitue les propriétés relatives au raccordement des surfaces réglées; c'est, comme on peut le remarquer, une application immédiate de la propriété que nous avons démontrée : que tout déplacement infiniment petit d'une droite peut s'obtenir par une simple rotation.

Nous allons maintenant reprendre l'ctiide des propriétés relatives au déplacement d'une figure de forme invariable, et nous continuerons les applications à mesure que nous avancerons dans cette

GÈOMËTRIE CINÉMATIQUE.

Droites conjuguées. — Prenons une droite D (Jîg. i58), des plans (P), (Pi), (Pj) menés par cette droite et liés entre eux, constituant alors une figure de forme invariable. Nous avons déjà dit que, pour un déplacement infiniment petit de cette figure, le déplacement de la droite D peut s'obtenir par une rotation autour d'une

droite i, et que celle droite A contient les foyers de tous les plans menés par la droite D,

Supposons que i soit elle-même liée à la figure mobile. Pour un déplacement de cette figure, cette droite i est entraînée et son déplacement peut lui-même être obtenuau moyen d'une roiationautour d'une certaine droite : cette droite n'est autre que D, comme nous allons le voir.

Le foyer / du plan (P) est, d'après ce que nous savons, un point dont la trajectoire est normale au plan (P), ou, ce qui est exactement la même chose, le plan (P) est normal à iii trajectoire

GBOMÉTHIB CINKIIATIQUE. ajS

du point/. De même le plan (Pj) est normal à la trajectoire du point/,, et ainsi de suite. Les plans (P), (P|), (Pa) sont donc les plans normaux aux trajectoires des points de la droite i, et ils se coupent suivant la droite D, qui est alors l'axe instantané relatif à A, Ainsi la droite D est l'axe instantané relatif à la droite A.

Les droites D et A jouissent alors de cette propriété que, pendant le déplacement infiniment petit de la figure, l'une d'elles peut être considérée comme tournant autour de l'autre ; c'est pourquoi l'illustre géomètre, Chasles, les a appelées droites conjuguées {').

Une rotation infiniment petite de la figure mobile autour de D fait prendre à la droite A sa nouvelle position A, ; une autre rotation de la figure autour de A fait prendre à D la place que cette droite doit avoir. Le déplacement de A, , en vertu de cette dernière rotalion, est négligeable, puisque les points de celte droite décrivent des éléments infiniment petits du second ordre. Ces rotations autour deD et de A, qui amènent ces droites dans leurs nouvelles positions, amènent aussi la figure tout entière dans la position que celle-ci doit occuper.

Le déplacement de la figure mobile peut donc être obtenu' au moyen de deux rolalions, et, comme D est une droite arbitraire,

{') Propriétés géométriques du mouvement infiniment petit d'un corpssolide libre dans l'espace (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 1843). Ce beau Mémoire renferme de nombreuses propriétés des droites conjnguées. CuABLEs avait déjà fait conoaftre ces propriétésdans un Mémoire intitulé i'/-o/îri'e(eï nouvelles de l'hyperboloïde à une nappe {Journal de Mathématiques de Liauiiîle, 1" série, t. IV; iSSg), Pluckeh a retrouvé ces propriétés en étudiant l'ensemble des droites auquel il a donné le nom de complexe linéab-e de rayons [On a new Géométrie ofSpace {Philosophical Transactions, vol. CLV; i865), et lu traduction de ce Mémoii'e {Jom-nal de Mathématiques de Liouville, s' série, t. XI); Neue Géométrie des Baumes, Leipîig, 188S]. Les travaux de Plcckeb ont été le point de départ de nombreuses reeUerches suc les complexes et les congruences de droites, duesàMM. Clkbsoh, Cmlet, Reïe, Cheusi, Zeutubx, F.Kleis, Dbjcht, Vcsa et H.ii.phes. A l'occasion de communications faites à l'Académie des Sciences par M. Stlvester (i5 avril et i3 mai iSût), Cdasles est revenu sur Jes propriétés des droites conjuguées dans son travail Sur les six droites qià peuvent être les directions de sia: forces en équilibre ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 3 juin (861). Pour cette dernière question, voir aussi SIùBius {k.-P.}, Ueber die Zusammensetswig unendlicli kleiner Drehungen {Jownal de Mathématiques de Crelle, t. XVIII, p. 18g; i838).

on a alors ce résultat : ie déplacement infiniment petit d'une figure mobile de grandeur invariable peut être obtenu d'une infinité de manières au moyen de deux rotations.

Pendant le déplacement de la fig^ure, les droites D et i sont telles, que l'une tourne autour de l'autre. Il résulte de là qu'aine droite G de la figure mobile, qui rencontre D et ^, jouit de la propriété d'être normale aux trajectoires de ses points, car le point a où G rencontre D, par exemple, ne fait que tourner autour de A, la rotation autour de D n'ajant pas d'influence sur le déplacement du point «; la trajectoire de ce point est donc normale à la droite G.

Normales aux lignes décrites par les points d'une figure dont le déplacement est assujetti à cinq conditions. — Prenons {fig' ' Sq) un point quelconque i de la ligure mobile. Menons, du point i, la normale à la trajectoire de ce point qui rencontre D. Cette droite est dans

Fig. i5g.

le plan (P), qui passe par le point (' et par la droite D; elle est la trace sur (P) du plan normal à la trajectoire du point /; elle passe donc par le fojer/dn plan (P), c'est-à-dire qu'elle rencontre la droite A conjuguée de D. Comme cela est vraij quel que soit le point i, on a la propriété suivante :

Pour une position quelconque d'une figure mobile de/orme invariable, les normales aux points entraînés qui s'appuient sur une droite D rencontrent la droite i, conjuguée de D,

On peut supposer que la droite D est à l'infini et donner cette droite au moyen d'un plan dont elle est la droite à l'infini. Le théorème précédent devient alors celui-ci :

Pour une position quelconque de la figure mobile, parmi les normales aux trajectoires des points entraînés, celles qui sont

parallèles à un mcme plan j-encoiitrent toutes une même droite, qui est la conjuguée de la droite à l'infini sur ce plan.

Nous verrons plus loin que la direction de cette droite est indépendante de la direction du plan donné.

Ces théorèmes sont relatifs à une figure mobile dont les points décrivent des lignes trajectoires, c'est-à-dire qu'ils concernent HOC ligure mobile doot le déplacement est assujetli à cinq conrli-

Normales aux surfaces trajectoires des points d'une figure dont les déplacements soat assujettis à quatre conditions. — Prenons maintenant une figure de forme invariable, assujettie simplement à 'quatre conditions (^). Les points de cette ligure décrivent alors des surfaces trajectoires. Cherchons la situation relative des normales aux surfaces trajectoires de tous les points de la figure.

Fig. z6o.

Supposons que quatre points de la figure «, b, c, e se déplacent sur quatre surfaces données {fig- i6o). On connaît, par exemple, pour une position de la figure mobile, les normales A, B, C, E, menées des points a, i, c, e aux surfaces sur lesquelles se déplacent

{') Pour le cas où le déplaccmeat de la ligure est assujetti â moins de cinq conditions, voirScHosËHAHa, Ueber die Construction von Normalen und Normal^ ebenengeivisser krummerFlacken und Linien (Journal de Borchardt,%' Cahier); SoîiOFï, Sur tes vitesses virtuelles d'une figure invariable, assujettie à des équor lions de condition quelconques de forme linéaire {Bulletin de l'Académie de Saint-Pétersbourg, t. IV; i8p); H*i.phes, Sur le déplacement d'un solide invariable {Bulletinde la Société mathématique de France, t. II, p. 56; 1873); RODEKT St.ihell Call, Tkc tkeory of screrus : a study in tke dynamics of a rigid body; Dublin, 1876, et mon Etude sur le déplacement, etc. {loc. cit.).

ces points. Il y a deux droites D, A réelles ou imaginaires, qui rencontrent ces quatre droites; il est facile de le voir : les trois droites A, B, C déterminent un hjperboloïde ; parmi les génératrices qui rencontrent A, B, C, si l'on prend celles qui passent par les points où cet hjperboloïde est rencontré par E, on a les droites qui s'appuient sur les quatre droites A, B, C, E.

Les droites D eî A sont conjuguées. — En effet, quel que soit le déplacement de la figure, la droite A est normale à la trajectoire du point a et elle s'appuie sur D; donc elle doit rencontrer la conjuguée de D, On peut répéter la même chose pour B, C, E, etl'on voit que la conjuguée de D doit rencontrer les quatre droites A, B, C, E; par conséquent, cette conjuguée est la droite A.

Prenons maintenant un point quelconque i de la figure mobile, et menons du point i une droite I qui rencontre D et A. Quel que soit le déplacement, la trajectoire du point lest normale à cette droite, d'après une remarque faite précédemment. Cette droite I, étant normale aux trajectoires qu'on peut faire décrire au point i à partir de sa position, est alors la normale à la surface trajecloire de ce point.

Ainsi, la normale à la surface trajectoire d'un point quelconque ie la figure est la droite issue de ce point et qui s'appuie sur D et ^; on peut dès lors énoncer cette propriété ;

Lorsqu'une figure de forme invariable se déplace de manière que quatre de ses points restent sur quatre sur/aces données, pour une position quelconque de cette figure, les normales aux surfaces trajectoires de tous ses points i-enconirent deux mêmes droites (').

Il est important de remarquer que, pendant qu'un point arbitraire de la figure mobile se déplace, à partir de sa position, d'une infinité de manières sur sa surface trajectoire, un point de D ou A ne décrit qu'un même élément de ligne, parce que le déplacement

( ' ) Voir : ScHosEaAss ( lûc. cil.) ; ce que j'ai publié dans mon Étude sui- le déplacement, etc. (loc, cil.) ; dans le Bulletin de V Association fi'ançaise pour l'avancement des Sciences (Congi'Ès de Lyon, 1873 ); dans le Becueil des Savants étrangers, t. XXII, et dans le Journal de Mathématiques de M. Besal, 3' série, t, I, p. 57; E. CoLLicsox, Traité de Mécanique, II" Partie : Statique, p. ai6; Geiser, Journal de Borchardt, 30" Cahier.)

infiniment petit d'un point d'une de ces droites est nnc simple rotation autour de l'autre.

Dans le cas du déplacement d'une figure plane sur son plan, on a vu que, pour une position de cette figure, les normales aux trajectoires de ses points passent par un même point, centre instantané de rotation; dans le cas de l'espace, au lieu de lignes trajectoires, on a des surfaces trajectoires, et les normales à ces surfaces trajectoires rencontrent les deux mêmes droites; ces deux droites sont les axes instantanés de rotations simultanées à l'aide desquelles on obtient tous les déplacements de la figure mobile (').

Si l'on prend une droite quelconque G de la figure mobile, les normales aux surfaces trajectoires des points de cette droite partent des points de G et s'appuient sur D et A; ces normales, rencontrant trois droites, appartiennent à l'hyperboloïde défini par ces trois droites. Ainsi, les normales aux surfaces trajectoires des points d'une droite forment un hyperboloïde.

Parmi les génératrices de cet hyperboloïde, il y en a deux, réelles ou imaginaires, qui sont perpendiculaires à G. Les points/ et/', où ces génératrices rencontrent G, décrivent des surfaces trajectoires tangentes à G, et, pour tous les déplacements infiniment petits de la figure, la droite G, à partir de la position qu'elle occupe, décrit des éléments de surfaces qui sont tangents à ces surfaces trajectoires.