SUPPLÉMENT A LA DIX-NEUVIÈME LEÇOM

Lieu des conjuguées d'une droite. — Kous venoos de démontrer que les normales aux surfaces trajectoires des points d'une droite mobile G forment un hyperboloïde. Ces droites sont normales aux lignes trajectoires décrites par les points de G pour un déplacement de G;

{') A ae &u\n, voir :l\\aM<:.avB^ Note sur la déformation des surfaces {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, l'j, février 1870). Dans cette Note, M. RiB.iïcouR considère le cas ofi les droites D et i se rencontrent toujours. Il énonce alors celte belle proposition : Les lieum des points de rencontre des droitesBel idans l'espace et dans le corps sont deux: sur/aces applicables l'une sur l'autre, qui est l'analogue de la proposition relative au déplacement épicjcloïdal d'une figure plane sur son plan.

mirent donc la conjuguée de celte droite relatî

Cela est vrai pour tous les déplacemeots qu'on peut imprimer à G. On voit donc que /e lieu des conjuguées d'une droite, qui fait partie d'une /iffure de /orme invariable assujettie à quatre conditions, est un hyperboloïde qui contient G et les axes simultanés D, i.

Comme on l'a vu dans cette Leçon, lorsque G se déplace sur une surface réglée, le lieu des conjuguées de cette droite est le paraboloïde des normales à cette surface.

De la droite auxiliaire.— Prenons (yî^. i6i) une surface véglée (D) et le piiraijolûïde des normales à celte surface pour la génératrice D,

que nous supposons verticale. Projetons ce paraboioïde sur deu\ plans : l'un perpendiculaire à D en o, l'aulre vertical mené par cette droite.

Les normales à (D), issues des points de D et qui sont les génératrices du premier sjstème pour le paraboioïde des normales, se projettent horizontalement suivant des droites passant par o et verticalement suivant des perpendiculaires à D. L'une de ces normales se projette verticalement au point «, oh le plan vertical de projection est langent à (D). Les génératrices du paraboioïde du second système se projettent verticalement suivant des droites passant toutes par ce point n. Horizontalement, elles se projettent suivantdes droites parallèles à la trace horizontale du plan central de (D), puisque ce plan central est un plan directeur du paraboioïde et qu'il est perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Par le point m menons une parallèle à cette trace du plan central; nous obtenons une droite A, qui est à la fois la projection horizontale et la projection verticale d'une génératrice du second système du paraboioïde des normales.

La normale en a à (û) est projetée verticalement suivantla perpendiculaire rta à D et horizontalement suivant oï.

La normale en n est perpendiculaire au plan vertical; la normale en o est confondue avec ow, c'est-à-dire que le plan vertical est tangent en « à (D) et normal en o à cette surface.

L'angle que le plan tangent en a à (D) fait avec le plan langent en o, étant égal à l'angle des normales en ces points, n'est autre que ico^. De même, les plans tangents en a et è comprennent entre

Connaissant les plans tangents en o, a et b, c'est-à-dire en trois points de D, il est aisé de construire la droite ^ au moyen de a et fl, qu'on détermine facilement.

La droite A étant parallèle à la trace horizontale du plan central, la normale à (D), menée du point central sur D, se projette horizontalement suivant la perpendiculaire o^ abaissée du point o sur i. En abaissant du point -f la perpendiculaire -fc sur D, on a la projection verticale de celte normale ; par suite, c esl le point central.

Dans le triangle coy, l'on a

oc ^cYtangcYO=r.cYl3ng/îo-,-, (1 Oti

et, comme poy est l'angle que le plan tangent en o fait avec le plan tangent en c, c'est-à-dire le plan central, on voit que c-[ est le paramètre de distribution k des plans tangents à (D) pour la génératrice D. '

Puisque A est à la fois la projection horizontale et la projection verticale d'une droite de l'espace, celle-ci est dans le plan bissecteur de l'un des dièdres formés par les plans de projection. Par suite, le point p est, sur la génératrice op du paraboloïde, le point de contact de ce paraboloïde et d'un plan tangent incliné à 45° sur le plan vertical de projection. Mais le plan vertical est le plan central relatif à ce paraboloïde pour op, puisque D est perpendiculaire commune à toutes les génératrices du premier système du paraboloïde; donc le point p est sur op, à une distance du point central o relatif à cette droite, égale au paramètre ^i pour cette génératrice.

On voit qu'on obtient op ou A, en portant, sur la perpendiculaire à D élevée du point central c, cy égal au paramètre k, et en élevant la perpendiculaire '^p à yo.

C'est la construction même à laquelle nous étions déjà arrivés (p. 271).

Nous disons que A esl la droite auxiliaire de (D) pour la génératrice D et relative au point o.

Pour wn aulre poim o,, on obtient la droite auxiliaire en prenant la perpendiculaire élevée du point f à Ja droite -fO).

Relativement au point central, la droite auxiliaire est parallèle àD.

Le point f est le point fixe que nous avons appelé point représentatif {^. 282) : c'est par ce point que passent toutes les droites auxiliaires pour D ; l'angle sous lequel on voit du point -( un segment ab de D est égal à l'angle que font entre eux les plans tangents en aetb à (D), théorème déjà trouvé (p. 282) (').

Des pinceanx de droites (^). — Des droites assujetties à deus conditions forment une congruence. Prenons une droite G et des droites voisines de celle-ci faisant partie d'une congruence. Par un point a de Gj menons «ne surface [a] qui coupe ces droites. Amenons successivement G en coïncidence avec les droites qui lui sont voisines en laissant a sur [fl]. Chacun des points de G reste alors sur sa surface trajectoire, et, d'après ce que nous venons de démontrer à la fin de cette Leçon, il y a, sur G, deux pointsycl/' dont les surfaces trajectoires sont tangentes à G. Sur chaque droite de la congruence, il y a deux points analogues à/et/'. Lorsque la droite G vient coïncider avec G,, qui lui est infiniment voisine, elle engendre une surface réglée tangente en / à la surface trajectoire de ce point. La ligne qui joint / au point analogue /i de Gi est alors tangente à cette surface. Il résulte de là que la surface lieu des points tels que / et /', qu'on appelle surface focale de la congruence, est tangente à G en / et aussi en/' ; on peut dire alors :

(') Relaliïement à la droite auxiliaire, j'ai publié un Mémoire sur les pin de droites, etc. {Journal de Mathématigues de Liouville, a« série, t. XVII); dans le même Recueil, même Volume, une Note ioxituïèt Démonstration géométrique d'une proposition due à M. Bertrand, et un travail Sur la surface gauche lieu des normales principales de deux courbes; dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Nouveau, mode de représentation plane de classes de sur/aces réglées (séanees des 19 octobre, 5 novembre, 19 novembre 1877 et ao mai 1878), Sur un mode de transformation des surfaces réglées (3 juin 1879), Transformation d'un pinceau de normales (9 juin 1879); Association fra/içaise pour l'avancement des Sciences (Congrès de Paris, 1878), une Noie Sur îa sur/ace de l'onde; voir aussi Traité de Géométrie descriptive de M. DE LA GocBNEBCE, ILt" Partie, p. 4i.

(') Indépendamment des travaux que je viens deciter, j'ai publié relativement aux pinceanx de droites : Sur la sur/ace de l'onde et sur la transformation d'un pinceau {16 juin 1879), Beprésentalion plane relative auœ déplacements d'une figure déforme invariable assujettie à quatre conditions (a février i885), Mémoire d'Optique géométrique ( loc. cit.)

UNliMATIQDE.

>nt tangentes aux nappes de la

Les droites d'une congr, surface focale (').

L'élément infinitésimal d'une coogruence est un pinceau.

Pour définir un pinceau [Gj, on donne {fig. i64) une droite G ou rayon du pinceau, les points / et /' foyers du rayon G, et les nappes (F), (F') de la surface focale que G touche en / et/'. Les plans tangents aux nappes (F), (F') aux foyers /et/' sont \ti plans focaux du pinceau [G]('). Lorsque l'on déplace le rayon G, de manière à l'amener dans «ne position infiniment voisine, il engendre

un élément de surface réglée que j'app pinceau.

Toutes les surfaces élémentaires du pinceau [G] ont pour pli tangents communs en/et/' les plans focaux.

Représentons ces surfaces élémentaires par des droites auxiliai relatives au foyer/.

Toutes ces droites passent par ie point ç situé si laire f'f à G et tel que l'angle f'ff est égal à l'an les plans focaux.

Projelons/sur toutes les droites auxiliaires des taires de [G]. Le lieu de ces projections est une cir a /y pour diamètre.

Au moyen de cette circonférence C, on peut déterminer les pro priétés du pinceau [G].

Par exemple, puisqu'il suffit de projeter les points de cette circonférence sur G pour avoir les points centraux des surfaces élémentaires du pinceau [G], on voit que ;

(') M.iLiis, Journal de l'École Polytechnique, XIV' Cahier, (') Les expressions de i-ayan, foyer, sur/ace focale, sont tirées de l'OpLique où l'on considiire des pinceaux de rayons

ipelle surface élémentaire du

la perpendicu- 3 compris entre

irfaces élémennférence C qui

Les points centraux de toutes les surfaces élémentaires d'un pinceau [G] se trouvent sur un segment déter/niné de G.

M, Kummer a nommé points limites les extrémitéa de ce segment ('),

Les surfaces élémentaires dont les points centraux sont aux points limites ont pour plana centraux des plans que M. Kummer appelle plans principaux du pinceau [G].

Au moyen de la circonférence C, on voit tout de suite que :

Les plans principaux d'un pinceau sont rectangulaires.

De même on voit que :

La distance focale //' est égale à la distance qui sépare les points limites multipliée par le sinus de l'angle que font entre eux les plans focaux.

L'existence de C prouve que ;

Si dans un plan passant par un rayon d'un pinceau on porte sur des perpendiculaires à ce rayon élevées des points centraux des surfaces élémentaires et, à partir de ces points, des longueurs égales aux paramètres de distribution de ces surfaces, les extrémités des longueurs ainsi portées sont sur une circonférence passant par les foyers du rayon et gai coupe ce rayon sous des angles égaux à l'angle que font entre eux les plans focaux,

Pinoean de normales. — Lesnormalesà une surface(S) autour d'une normale A forment un pinceau [A] pour lequel les plans focaux sont rectangulaires. Les foyers et les points limites sont, dans ce cas, confondus avec les centres de courbure principaux fi et yj. Les surfaces élémentaires sont des éléments des surfaces que j'appelle «orntiïft'e.î à (S), et la circonférence précédente est décrite sur ■Yi'fa comme diamètre ('),

Au moyen de cette circonférence C, on trouve facilement des propriétés des normalies {').

(' ) Tliéorie générale des systèmes de rayons rectilignes (^Journal de Mathématiques de Crelle, t. LVII): \t%Naii,uelles Annales de Mathématiqiies, t. XI\, XX, XXI, contiennent une traduction de ce Mémoire faite pai ^1. Dewulf.

(') Voir la Leçon suivante,

C) Pour plus de développement, vnir mon Mp/noiie sur les pinceaim: de droites et les normalîes {Joui liai de Mathématiques de Lioiiville, s" série, t. XVII); HiR.iKCOUR, Fropnefes lelatii-es 'iiii, deptu.eineiils d'un corps assit-

Méthode des normales dans le cas d'une figuie mobile dans l'espace et de grandeur invariable ('). — Les normales aux surfaces trajectoires décrites par Jes points d'une figure dont quatre points restent sur quatre surfaces données rencontrent les deux, mêmes droites D et A : de là un moyen de construire la normale à la surface trajectoire décrite par un point de la figure mobile quand D et A sont réels.

Comment doit-on opérer lorsque ces droites sonl imaginaires? — Appelons a, b, c, e {fig. i63) les points qui décrivent les surfaces données [a], [fc],[c],[e], et A, B, G, E les normales à ces surfaces dont les pieds sont en ces points.

Soit i le point de la figure pour lequel on demande la normale à la surface trajectoire [j] qu'il décrit. Menons la droite ai et désignons par g le point od elle rencontre l'hyperboloïde définie par les droites A, B, C. Il est facile de construire g; pour cela, oo prend la droite suivant laquelle l'hyperboloïde eit coupé par le plan (A, ai) : le point oii celte droite rencontre ai est le point g. Par ce point passe une génératrice de riijperboloïde (A, B, C) de même système que A, B, C; désignons cette droite par G. De la même manière, en prenant les trois droites A, B, E, déterminons une droite II.

Les trois droites A, G, H déterminent un /lyperboloïde, et la génératrice de cette sur/ace, du même sjsteme qui, (t9 dioile'! qui passe par le point i, est la normale demandât

jetti à quatre conditions {Comptes rendus des seanca, de t Académie des Sciences, a juin. i8j3 ). M. RutAucoua montre que les droites du corps qui engendrent des pinceaux de normales appartiennent a un complexe du premiei degré. (') SchO.iemjn:* iloc. cit.) et mon Élude sui le déplacement d unejigure de

Car les droites D, ^, étant des génératrices des hyperboîoïdes (A, B, G) et (A, B, E), sont rencontrées par G et H, et par suite sont des génératrices de Thyperboloïde (A, G, H) : la généralrice de ce dernier hjperboloïdej issne de (, rencontre donc D, i et est la droite demandée.

Cette construction, indépendante de l'exislence des droites D, i, répond à la question posée.

Prenons le cas particulier où le point / est à l'infini dans la direction d'une perpendiculaire à un plan (P) (Jïg. i64).

Tout ce qui précède est applicable. On détermine encore les

droites G', H', comme on vient de déterminer G, H, en employant une perpendiculaire à (P) menée de a. L'hjperboloïde (A, G', H'), qui contient déjà la perpendiculaire à (P) issue de a, contient encore une autre perpendiculaire à ce plan. CeUe-ci est la normale I demandée.

Pour déterminer son pied p sur (P), on construit deux, droites qui rencontrent A, G', II' : les projections de ces droites sur (P) se coupent au point ^.

La normale que nous venons de déterminer est normale aus surfaces trajectoires de chacun de ses points ; par suite, le plan (P ) est tangent en /> à la surface trajectoire de ce point.

En d'autres termes, nous avons construit le /wiVî(/» oà le plan (P) touche la sur/ace à laquelle ce plan reste tancent pendant le déplacement de la figure mobile.

Supposons que les points û; et ô soient confondus, les surfaces [n] et [ô] étant distinctes. On a alors une figure dont un point a décrit une ligne {a), intersection des surfaces [a] et [&] et dont les points restent sur des surfaces données,

La solution est toujours la même; les droites A, B partent maintenant du mûme point a. Les droites D et i sont alors, l'une la droite

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 287

(]ui joint les traces des normales C, E sur le plan (A, B), c'est-à-dire sur Je pian normal en a à {a), l'autre est la droite issue du point a et qui rencontre C et E.

La construction de la normale à la surface trajectoire d'un point d'une figure mobile dont quatre poînls restent sur quatre faces données conduit immédiatement à la constrnclion du plan normal à la trajectoire décrite par un point d'une figure mobile dont cinq points restent sur cinq surfaces données.

Soient a, b, c, e, l les points qui décrivent les surfaces données. Faisons abstraction de la surface [/] sur laquelle se déplace le point l, on a, pour un point ( invariablement lié à la figure mobile, la normale I à sa surface trajectoire [r]. Reprenons [/] et faisons abstraction de [e]; le point i se déplace sur une nouvelle surface trajectoire [i'] qui donne lieu à une normale 1'.

Le plan (1,1') est alors le plan normal à la ligne trajectoire (i) décrite par le point i lorsque les cinq points donnés restent sur leurs surfaces trajectoires.

Exemple relatif au déplacement d'une figure mobile de grandeur variable ('). — Dans l'espace comme sur le plan. On peut arriver facile-

(') A. PicABT, Nouvelle théorie du déplacement continu d'un corps solide (Nouvelles Annales de Mathématiques, a' série, l. VI, p. i58).

DottBisnE, Essai sur le déplacement d'une figure de forme variable {^Annales scientijlgues de l'École Normale supérieure, i' série, t. II, iS^S) ; Étude de l'accélération dans le déplacement d'un système de forme variable {Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, a* série, t. III, 1874).

DiBiCHiET, Beckerchei sur un problème d'Hydrodynamique (Journal de Borchardt, t. LVIII).

Bkiobcui, Développements relatifs aux reclierches de Dirichlet (Journal de Borchardt, U LIX).

Tnoasos et Tajt, Philosophie naturelle.

Beltrâmi, Sur les principes fondamentaux de l'Hydrodynamique rationnelle {Mémoires de l'Académie de Bologne, 1871-1874 ).

EïBHETT, Cinématique d'un système solide { Quarterly, etc., t. XIII, 1876) .

JoïBOFSKï, Cinématique d'un corps liquide {Bulletin de la Société mathématique de Moscou, t. VIII, 1876).

Léïï, Sur la composition des accélérations d'ordre quelconque et un problème plus général que celui de la composition des mouvements ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, ag avril 1878).

G. FouBET, Sur te mouvement d'un corps gui se déplace et se déforme en restant homothétique à lui-même ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 3 février 187g).

Ad. ScouMisM, Sui- la cinématique des systèmes variables (Journal de So/iiomiicft, t. XXVI).

ment au cas de la figure de grandeur variable en utilisant les propriétés relatives à une figure de grandeur invariable. Je vais en montrer un ex-emple :

Détermine?- l'expression de la variation de longueur d'un segment d'une droite mobile dans l'espace. — ■ La droite mobile G {Jig- i65) se déplace en restaul tangente à trois siii-faces données (L), (M), (N); elle est limitée en a et & à deu^ surfaces [a\, [b] : on demande la variation de longueur de ab pour un déplacement infiniment petit de G.

Les normales aux surfaces {L), (M), (N) dont les pieds sont les

points de contact de G avec ces surfaces définissent le paraboloïde des normales à la surface (G) engendrée par G pendant son déplacement.

Menons du point a la normale A à [a]. Cette droite rencontre ce paraboloïde des normales en un point. La génératrice A de ce paraboloïde qui passe par ce point est l'axe de rotation instantané qui permet d'amener G dans sa position infiniment voisine, le pointa restant sur [a].

Menons la perpendiculaire commune à G et i; elle rencontre G au point c, qui est le point central de (G), ei i en un point que nous désignons para.

De même, en considérant le point b, nous avons de la même manière une droite A'. Cette droite rencontre à angle droit la perpendiculaire commune à G et A, en un point que nous désignons par p.

Après le déplacement infiniment petit de G tournant autour de A, cette droite vient en Gi; le point central c vient en d sur G,.

De même, on peut faire tourner G autour de A' pour l'amener à coïncider avec Gi ; le point c vient alors en Cj.

La variation de longueur de ab est le segment infiniment petit c, c^.

Pour évaluer ce segment, abaissons du point c une perpendiculaire cp sur G,.

c,p = ccisinpcci.

Mais les angles pcCi et pcc^ sont respectivement égaux aux angles (G, i)et (G, A'), et l'on a, comme il est facile de le voir,

en désignant par d-( l'angle (G, G,).

On obtient donc

Cip = ci..d-(, ap = c'^.d-i;

Telle est l,i formule, complètement analogue à la formule (i), trouvée (p. 2014) pour le déplacement plan, et qui donne la variaiioii de longueur d'un segment de droite dans l'espace.