SUPPLÉMENT A LA VINGT-QUATRIÈME LEÇON

Théorème relatif à un dièdre mobile. — {«) est la courbe d'interseclion de deux surfaces qui se coupent constamment sous le même angle. Au point a de cette courbe menons des plans tangents à chacune des surfaces, ces plans déterminent un dièdre dont l'arêle D est tangente en « à (r). On peut déplacer ce dièdre de façon que son arête reste tangente à (a) et que ses faces soient toujours tangentes aus surfaces données.

Pour un déplacement infiniment petit de ce dièdre de grandeur In-

variable, ses faces ont pour caractéri s tiques des droites C, C' qui passent par a et qui sont des tangentes conjuguées de D.

D'après ce que nous venons de voir dans cette Leçon :

1° Les plans normaux aux faces du dièdre, menés respectivement par C et C, sont parallèles à l'axe du déplacement, La droite d'intersection L de ces plans normaux est parallèle à l'axe du déplacement; en outre, on voit qu'elle passe par le point a.

2° Le plan central de la surface engendrée par D est aussi parallèle à l'axe du déplacement. Comme ce plan contient «, il doit alors contenir L. Ce plan central est ici le plan rectifiant do {a), puisque D engendre une surface développable.

Je trouve ainsi ce théorème :

Lorsque deux surfaces se coupent constamment sous le même angle, les plans menés normalement à ces surfaces respectivement par les tangentes conjuguées de la tangente D à leur ligne d'intersection, et le plan rectifiant de cette courbe, mené par Ji, se coupent suivant une même droite.

Il permet de retrouver que :

Lorsque deux surfaces se coupent constamment sous le même angle, si leur ligne d'intersection est une ligne de courbure de l'une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure de l'autre (').

Enfin, comme une courbe quelconque d'un plan ou d'une sphère est une ligne de courbure de ces surfaces, on voit par là que :

Lorsqu'un plan ou une sphère coupe une surface constamment sous le même angle, lalîgned'intersectionest une ligne de courbure de cette surface (^}.

Si le dièdre de grandeur invariable se déplace de façon que son arête reste tangente à une courbe donnée et que l'une de ses faces coïncide avec le plan osculateur de la courbe, le théorème précèdent ne conduit pas à la construction de la caractéristique de l'autre face du dièdre. On arrive à cette droite en considérant le déplacement du

C) Mémoire sur la théorie générale des sur/aces, par M. O. Bomxet {Journal de l'École Polytechnique, XXXIf Cahier, p. 17).

C) JowawsTAHL (Journal de Crelle, t. 30, p. 347); O. Bosset, Mémoire sur les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques (Journal de l'École Polytechnique, XXXV" Cahier, p. iîo), et J.-A. Sekret, Mémoire sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques {Journal de Mathématiques de M. Liounlle, 1" série, t. XVIll, p. 128).

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