TRIANGULAIRE
(application de géométrie CINÉMATIQI'E).
Paramètre de distribution des plans tangents A l'Iiélicoïde réglé. — - Surface de vis à filet triangulaire. — Coaslcaclioa d'une génératrice.— Trace sur un plan horizontal. — Plan tangent. — Contour apparent. — Dessin d'une vis h lîlet triangulaire. — Courbe d'ombre. — Asymptote de l'indicatrice. — Hjperbolorde ijscnlateur. — Tatigeiite A la coui-be d'ombre.
Paramètre de distribution des plans tangents à l'hélicoîde réglé. — Construire le paramètre de distribution des plans tangents à l'hélicoîde réglé.
Soient O {Jig- 206) la projcelion liorÎKOntale cic l'ase do déply-
ceiiient, (D, D') la génératrice de l'hélicoîde, et / la projeciioD de l'adjointe L à nn plan perpendiculaire à (U, D'). Celle adjointe L est une génératrice du paraboloïde des normales à l'hélicoîde réglé pour la droite (D, D').
k étant le paramètre de distribution des plans tangents à l'hélicoîde réglé, on a (p. -i-jo)
tans(D', L)
372 snnoxDE partie. - vinot-cinquièiie liîçox.
L'angle (D', L) est le complément de l'angle ^ que (D, D') iait avec le plan horizontal; on a alors
A-=/ctang^ = octatig?— o/tang^.
On sait que o/est égal à A col^; donc A-=ociang;î — /«.
Dans le cas particulier où le segment oc est nul, c'est-à-dire lorsque la droite (D, D') rencontre l'axe du déplacement, le paramètre est égal à h. Ainsi, pour une surface de vis quelconque, le paramètre de distribution des plans tangents est égal au pas réduit des hélices décrites pendant la génération de lasurface de vis.
Si h est nul, alors la surface n'est plus hélicoïdale : elle est simplement une surface de révolution. On voit, dans ce cas, que le paramètre de distribution des plans tangents à l' hyperbololde de révolution engendré par une droite D, dont la distance à l'axe est oc, est égal à oc tang^.
Appelons a l'angle que la tangente à l'hélice décrite par h' point c fait avec le plan horizontal, on a
Portant celte valeur de h, dans l'expression du paramètre /,-, îl ^■ = oc tangP — oc langa.
Pour construire k, portons à partir dii point p, sur une perpendiculaire a la projection verticale de l'ase du déplacement, un segment 7)9= oc; par le point q menons une droite parallèle à D', c'est-à-dire faisant àvec pq l'angle P; menons aussi une droite faisant avec celte môme droite l'angle a. Ces deux droites interceptent sur X un segment qui est égal à k.
Lorsque « ^= P, c'est-à-dire lorsque la droite (D, D') se confond avec la tangente à l'hélice décrite par le point c, on volt que le paramètre est nul ; on a alors une surface développable engendrée par la droite mobile.
SURFACE DE VIS A FILEX TiUAKGULAIRE.
Supposons maintenant que la génératrice de l'iiélicoïde réglé rencontre l'axe du déplacement sous un angle qui ne soit pas un angle droit. La surface ainsi engendrée porte, comme nous l'avons déjà dit, le nom de surface de vis à filet triangulaire.
On peut considérer cette surlace comme le lieu d'une droite qui rencontre constamment sous le même angle l'axe d'un cylindre de révolution et qui s'appuie sur une hélice tracée sur ce cylindre. On voit que le cylindre de l'hélicoïde réglé général, auquel les génératrices restent tangentes, se réduit maintenant à une droite; l'hélice ligne de striction de l'hélicoïde réglé se réduit aussi à cette droite. Ainsi, la surface de vis à filet triangulaire a pour ligne de striction l'axe du cylindre de révolution que sa génératrice rencontre constamment.
D'après ce que nous venons de trouver, quel que soit l'angle sous lequel la génératrice de la surface de vis rencontre l'axe du déplacement, le paramètre de distribution est toujours égal au pas réduit. Gomme pour l'hélicoïde réglé, la surface développable asymptote est engendrée par une droite parallèle à la génératrice de la surface de vis et située à une distance de l'axe du cylindre égale à Acotp.
Construction d'une génératrice, — Soit a'c' {fig- 20;) la génératrice parailclc au plan vertical de projection. Cette droite, l'axe X du déplacement et la perpendiculaire abaissée du point a' sur cet axe, déterminent un triangle qu'on peut entraîner en même temps que la génératrice a'c' et qui reste de grandeur invariable. Lorsque le sommet a' de ce triangle vient au point b' , le sommet </ s'élève sur l'ase jusqu'au point d' , tel que c'd' ^^ b'p'; la génératrice a'c' vient alors prendre la position b'd'.
Lorsque le sommet a' vient au point g', la génératrice part du point g' et rencontre l'axe sous un angle qui est égal à l'angle constant que les génératrices fout avec X. Daas cette position, la
374 SECONDE PARTIE. — VlNGT-Cl^JQriÈJlE LEÇOK,
généra Irice est renconlrfie par crV; ce point de rencontre, pendant le déplacement de la génératrice de la surface, décrit une hélice qui est une ligne double de la surface de vis.
Ce que nous disons pour la génératrice qui part du pointer' peut se répéter pour toutes les génératrices qui partent des points situés
sur la ligne de contour apparent du cylindre qui contient le point g'. Il y a donc sur a'c' une infinité de points qui décrivent des hélices doubles de la surface. Ainsi, sur la surface de vu il ■y a une inanité d'hélices doubles.
Trace sur un plan horizontal. — La génératrice b' d' se projette liorîzonlalenienl suivant la droite ob ; ia trace de celte droite sur le plan horizontal (H') est le point /.
On a
ol^ ob^bl.
En désignant par R le rayon du cylindre et par ^ l'angle que les génératrices de la surface de vis font avec le plan horizontal, on obtient
0/ = R -hfi'/i'cntfi.
Er
r !i> l'angle aob^ b' p' est égal à Ao), et, par
cqualioii en coordonnées polaires d'une spirale d'Archtmède.
Celte spirale passe par le point o, par le point a, par le point /, et, si l'on considère la surface de vis dans toute son étendue, c'està-dire en ne prenant pas seulement la partie qui est au-dessus du plan {H'), on a alors une spirale complète; les points doubles df celte courbe sont les traces des hélices doubles dont nous venons de parler.
PlantangeEt. — On peut considérer la sLirlace de vis comme engendrée par cette spirale enlramée pendant le déplacement liélicoïdal .
Si l'on coupe la surface de vis par un plan horizontal à la hauteur du point m', qui se projette horizontalement en m^ on a Li spirale passant par le point [m, m').
Pour avoir le plan tangent au point (m, m') à la surface de vis, on peut construire la tangente à la spirale qui contient ce point, et pour cela prendre la sous-normale de cette spirale. La valeur de cette sous-normale est
comme on le voit tout de suite au mojen de l'équation de la courbe. Il suffit donc de porter à partir du point o, sur une perpendiculaire à om, une longueur o/^/iCOtp, et, en joignant le point/ au point m, on obtient une droite perpendiculaire à la trace du plan tangent en (»i, m') sur le plan horizontal qui contient ce point, c'est-à-dire une droite qui est perpendiculaire à une horizontale du plan tangent. Nous retrouvons ainsi la construction ii laquelle nous sommes arrivés poiir l'hélicoïde réglé.
La droite /m est aussi la projection horizontale de la caractéristique dn plan tangent en (m, m') supposé entraîné; cette caractéristique est tangente en ce point à la surface de vis. Les caractéristiques de tous les plans tangents à la surface de vis pour la génératrice ol sont donc des droites tangentes à la surface aux différents points de la génératrice ol et qui rencontrent une même verticale/; ces droites déterminent l'Iiyperboloïde qui passe jiar la
376 SliCOKDK PARTIE. — VIKGT-CINQUlÈSIli LEÇON.
verticale y et qui est de raccordement à la surface de vis pour la géuératrîce ol.
Du reste, on sait que l'on construit la caractéristique d'un plan tangent à la surface de vis mené par la droite ob en projetant sur ce plan la verticale /; celte caractéristique est donc l'arête d'un dièdre droit dont l'une des faces est ce plan tangent et dont l'autre face est le plan mené perpendiculairement à celui-ci par la droite/.
On voit ainsi que toutes ces caractéristiques appartiennent à la surface lieu de l'arête d'un dièdre droit dont les faces passent, l'une par la génératrice 06 de la surface de vis, l'autre par la verticale projetée au point/. On sait que le lieu de cette arête est un hyperboloïde dont les plans des sections circulaires sont respectivement perpendiculaires aux deux droites fixes par lesquelles passent les faces du dièdre. L'hyperboloïde de raccordement formé par les caractéristiques des plans tangents doit donc avoir pour sections circulaires les sections faites par des plans horizontaux ; et, en effet, si l'on prend le point de rencontre de fm avec la trace du plan tangent sur (H'), on a un point qui est la trace sur le même plan de la caiactérislique projetée suivant /m, et le lieu de ce point est évidemment la circonférence décrite sur /( comme diamètre .
Par le point / menons une droite quelconque, considérons cette droite comme une horizontale d'un plan mené par la génératrice de la siirface ; on obtient la projection du point où ce plan touche la surface de vis en abaissant du point / une perpendiculaire sur cette droite et en prenant le point où celte perpendiculaire rencontre la génératrice ob de la surface de vis.
Nous allons faire usage de cette construction pour déterminer le contour apparent de la surface de vis sur le plan vertical de projection.
Contour apparent. — Le contour apparent de la surface de vis sur te plan vertical de projection est l'enveloppe des projections verticales de ses génératrices. Le point où une génératrice telle que b'd' i^fig- 208) touche cette enveloppe est la projection verticale du point où le plan, qui projette b'd' sur le plan vertical de projection, touche la surface de vis.
SURFACE Dli VIS A FII,ET T K I A NG l L A I RE. 377
Pour construire le poinL de conLacE de ce plan avec là surface de vis, prenons le plan horizontal (H'), élevons au point o dans ce plan une perpendiculaire à 06, projection de la génératrice b'd', et portons sur cette perpendiculaire, dans le sens convenable, un segment o/ég-al à /icotp. Du point / abaissons une perpendiculaire sur la trace du plan tangent à la surface de vis sur (H'). Cette trace étant perpendiculaire à la ligne de terre, la droite que nous menons du point/ est parallèle à la ligne de terre ; elle rencontre ob en un point m, dont la projection verticale est le point m', où la
droite b'd' est tangente à l'enveloppe des projections verticales des génératrices de la surface de vis.
Cette construction étant répétée pour différentes génératrices, on a des points de la courbe de contour apparent sur le plan vertical de projection.
Cette courbe est tangente à la projection verticale de l'hélice directrice, puisque cette dernière courbe est tracée sur la surface de vis. La courbe de contour apparent touche l'axe X, puisqu'il y a des génératrices de la surface qui se projettent sur cette droite.
Enûn, si l'on emploie la même construction pour la génératrice parallèle au plan vertical de projection et qui passe par le point a', on trouve sur celte droite un point qui est à riniini; celte droite
'iyS SECONDi; rinriE. — vengt-cinquil-m]! leçon.
est alors une asymploie tle la coiirbe de contour apparent. Cette courbe est donc placée comme on le voit sur la figure. It est utile de remarquer le sens dans lequel elle tourne sa concavité.
Dessin d'une vis à filet triangulaire. — Prenons {Jig- 2oy) \in cylindre qu'on appelle le noyau de la vis. Dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection, traçons un triangle isoscÈle a, 1,1 dont la base soit un segment i-a delà ligne de contour apparcnl tîe ce cylindre. Donnons k ce triangle un dcplaccmeni
hélicoïdal tel qnc le pas de l'hélice décrite par le sommet i soit la base 1-2, c'est-à-dire que, lorsque le point i reviendra sur la lig-ne de contour apparent, il arrivera au point 9; puis, successivement, sur celte même ligne de contour apparent, il viendra aux points 3,4 qui sont distants d'un intervalle égal à la base 1-2.
Lorsque le point i vient sur l'autre ligne de contour apparent, il la rencontre au point i', qui est sur une droite perpendiculaire à l'axe à égale dislance des points 1 et 2; le sommet a du triangle isoscèle qui engendre le fdet de la vis vient en «', lorsque le point 1 est venu en i', et alors le triangle prend la position l'a'i'. Puis, ce triangle continuant à se mouvoir, sa base l'-a' vient coïncider avec le segment 2-3, et le sommet a! vient au point h; en poursuivant, nous trouvons le point b', nouvelle position du sommcl diT triangle, et la base vient en 2'-3'.
Traçons les hélices décrites par les sommets de ce triangle. Le point a décrit une hélice tangente en a -À une parallèle à l'axe du cylindre, et qui arrive en a' tangentiellement à la parallèle à l'axe du cylindre mené par le point a' .
Traçons les délices décrites par le point i eL par le point 2. Le <;ôté a-3 engendre une surface devis à filet triangulaire qui, d'après ce que nous venons de voir, a pour contour apparent une courbe langente à l'hélice décrite par le point a et à l'hélice décrite par le point 2.
En répétant la même construction pour l'hélice décrite par li^ point a et pour la surface de vis engendrée par le côté «-i , on a un arc de courbe Langent à l'hélice décrite par le point a et à l'hélice décrite par le point 1 .
On peut continuer ainsi en traçant les courbes de contour apparent des surfaces de vis engendrées par les côtés du triangle pendant le déplacement hélicoïdal. Pour achever de montrer la disposition de la vis, nous avons tracé quelques génératrices des surfaces de vis engendrées par les côtés a~\ et a-a.
Courbe d'ombre ( ' )■ ^ Pour construire la courbe d'ombre sur lu surface de vis éclairée par des rayons lumineux parallèl
squa
e de la construction à laquelle nous sommes
arrivés pour l'hélicoïde réglé quelconque.
Cherchons {^fig- 210) le point d(' la courbe d'ombre sur la génératrice D. Élevons au point o iine perpendiculaire à cette droite, et portons dans un sens convenable un segment 0/ égal à /i cot^; déterminons, relativement au rayon lumineu;^, un point/, tel que ofi^ hcQl'f, Y étant l'angle que le ravon lumineux fait avec le
(') Voir à ce sujet une intéressanic Note du général Po (lu Tome I de ses Applications d'Analyse et de Géoinélrie
plan borizonlal de projection. Nous savons que, le point / étant connu, on construit facilement le point/",.
Joignons le point /au point /i; la droite/, /rencontre la droite D au point m, qui est la projection du point de la courbe d'ombre situé sur cette génératrice.
Pour une antre génératrice D', on élève au point o une perpendiculaire à cette génératrice; cette droite rencontre en un point/' la circonférence décrite du point o comme centre avec 0/ ponr ravon; en joignant le point/,, qui est un point fixe, au point/', on a une droite qui rencontre la génératrice D' au point m' de la projection de la courbe d'ombre.
On obtient ainsi la construction par points de la projection bori/.ontalc de la courbe d'ombre.
Asymptote de l'indicatrice. — Oéterminons {/ig. 211) l'asymptote de l'indicatrice de la surface de vis pour le point m de la généra-
trice D. Le plan tangent en m à la surface de vis, entraîné dans le déplacement hébcoïdal, a une caracléristiquc qui se projette suivant la droite /m, le point/ étant délerminé comme précédemment. En vertu de ce déplacement, le point m décrit une hélice dont la tangente se projette horizontalement suivant la perpendiculaire élevée du point m à la droite D. Ces deux droites :' la caractéristique et la tangente en m à l'hélice décrite par ce point, sont deux tangentes conjuguées.
La génératrice D esl l'une des asymptotes de l'indicatrice en m. Pour avoir l'autre asymptote, il faut construire une droite telle que, par rapport à cette droite et à D, le système de tangentes
conjuguées que l'on possède soit un système de diamètres conjugués.
Pour cela, on prolonge 0/ jusqu'au point i, tel que/( = o/. On joinl le point m au point i et l'on obtient la projection de l'asymptote de l'indicatrice qu'il s'agit de déterminer, puisque la droite oi est parallèle à la projection horizontale de la tangente en m à l'hélice décrite par ce point et que la droite mf joint le point m au milieu du segment oi intercepté par les projections des deux asymptotes.
Hyperboloïde oscillateur. — Il résulte de cette construction que les asymptotes des indicatrices relatives aux points de la génératrice D se projettent suivant des droites qui passent par le même point ('. Mais le. lieu de ces asymptotes est l'hyperboloïde oseulateur de la surface de vis pour la génératrice D; on voit donc que cet hyperboloïde contient la verticale projetée au point i. On l'obtient alors en construisant l'hyperboloïde de raccordement à la surface de vis le long de D, qui contient la verticale i.
On pouvait prévoir que l'hyperboloïde oseulateur de la surface de vis pour D avait l'une de ses génératrices verticale, car toutes les génératrices de la surface rencontrant l'axe X, cette droite, pour le point où la génératrice D la rencontre, est une asymptote de l'indicatrice. L'axe appartient alors à l'hyperboloïde oseulateur. On a par conséquent un hyperboloïde dont on projette les génératrices de l'un des systèmes sur un plan perpendiculaire à l'une des droites X de ce système; elles se projettent donc toiites suivant des droites qui passent par le point, projection de la génératrice parallèle à X.
Tangente à la courbe d'ombre (')• — Soit à déterminer (ys^. 21 ,1) la tangente en m à Sa projection de la courbe d'ombre qui passe par ce point. Prolongeons o/jusqu'au point i, tel que/i = 0/', eu joignant le point m au point j, on a l'une des asymptotes de la
(') Voir POMCELBT, Application de la métJiode de Boberval au tracé des tangentes aux courèes de contour apparent et de séparation d'ombre et de lumière dans l'épure de la vis à filet triangulaire (Applications d'Analyse et de Géométrie, t. I, p. 4^,7).
projection de l'indicatrice relative au point projeté en m; !a génératrice est l'autre asymptote.
On doil maintenant prendre la direction conjuguée de la projection horizontale du rayon lumineux par rapport au système des deux droites mo, mi. Pour cela, menons par le point i une parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux, c'est-à-dire une perpendiculaire à o/, ; cette droite rencontre oin au point p; i!
tr-X'
faut prendre le point t milieu ài\ segment ip. Ce point est sur bi tangente tj à la circonférence dont le rayon est of\ en effet, cette tangente, étant parallèle à op, rencontre la droite ip en son milieu /, puisque le point / est le milieu du segment oi; la tangente demandée est donc la droite mt.
Menons par le point o une parallèle à ip, et appelons /■ le point où cette droite rencontre la tangente tf.
Puisque of=/i, on a tf = fi:
On peut donc déterminer le point t sans construire d'aljord li.point /. La construction de la tangente se réduit à ceci ;
A l'extrémité / du rayon perpendiculaire à la génératrice D qui contient le point m de la courbe d'ombre, on mène une tangente à la circonférence de rayon of; cette tangente rencontre le diamètre parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux au point r. On porte sur la tangente enfle segment jt =fr, et la droite mt est la tangente demandée.
