SECONDE PAIITTE. — TRENTE ET UNIÈME LEÇON

topo graphique on donne une courbe et qu'on demande le pian Langent à cette courbe mené par une droite donnée.

Mener un plan tangent à une surface topo graphique par une droite horizontale.

Menons aux lignes de niveau [fig^ 254) ^"^^ langenles parallèles à la droite donnée; nous avons ies génératrices d'un cylindre lio-

montai circonscrit à la surface donnée; le plan tangent demandé est tangent à ce cylindre. Coupons ce cylindre par un plan vertical ar\ le plan tangent demandé contient la tangente qui est issue du point a à la courbe d'intersection de ce cylindre par ce plan vertical. Cherchons cette tangente. Pour cela, menons à la courbe d'intersection ar un plan tangent par une droite auxiliaire quelconque tracée à partir du point «; cette droite peut être considérée comme se projetant sur la droite donnée. Portons alors sur la projection de la droite donnée, à partir du point a, des segments égaux dont nous considérons les extrémités comme les points cotés de cette droite auxiliaire : le point a est coté 3, les points suivants seront cotés 4, 5i *>, y, 8, .... Joignons le point 5 de cette droite au point où la droite ar est rencontrée par l'horizontale 5 du cylindre, puis le point coté 6 au point où l'horizontale 6 coupe la droite «r, et ainsi de suite; nous avons des droites hoi-izontales s'appuyant sur la droite auxiliaire projetée suivant ac et sur la courbe d'intersection du cylindre par le plan vertical ar. En appliquant ce que nous venons de dire, on doit chercher deux de ces horizontales quisoientsuccessives et sensiblement parallèles entre elles; c'est entre les points de rencontre de ces droites avec ar que se trouve le point de contact du plan mené par la droite ac tangentiellement à la courbe projetée suivant ar. Par le point ainsi oblenu on mène une parallèle à la droite donnée, elle rencontre

la ligne de contact de la surface topogrnpliique et du cylindre circonscrit en un point qui est le point de contact du plan tangent demandé.

Cône circonscrit. — Un point est donné par sa projection cotée : on demande le cône qui a pour sommet ce point et qui est circonscrit à une surface topographique donnée.

On peut, par le point donné, mener des plans verticaux, construire les rabattements des sections de la surface topographique par ces plans et, au moyen de ces rabattements, construire les tangentes à ces courbes issues du point donné, relever ces courbes et le point de contact de ces tangentes; on détermine ainsi les points de contact de la surface topographique avec des tangentes issues du point donné et situées dans les plans verticaux menés à partir de ce point. En réunissant tous ces points de contact, on a la courbe de contact du cône circonscrit.

On peut encore mener par !e point donné des droites quelconques; par ces droites on mène des plans tangents à la surface topographique, et les points de contact de ces plans tangents appartiennent à la courbe de contact du cône circonscrit qui a pour sommet le point donné.

Enfin, on peut opérer en n'employant (Jîg- 255) qu'une droite

menée à partir du point donné s. Par s menons un plan vertical ; ce plan coupe la surface suivant une certaine courbe; nous pouvons, par la droite arbitraire menée du point s, construire un plan tangent à cette courbe et déterminer le point de contact de ce plan tangent.

En faisant usage de la même droite arbitraire, on peut, au moyen

d'une construction analogue, déterminer le point de contact du plan tangent, mené par cette droite, à une autre section faite dans la surface topographique par un plan vertical mené par le point s ; et, en recommençant la construction pour un certain nombre de sections verticales, on a une suite de points de contact des tangentes menées du point s à la surface topographique. La réunion dé tous ces points forme la courbe de contact du cône circonscrit dont le sommet est au point donné S.

On demande le point de cette courbe de contact situé sur une zone limitée à deux lignes de niveau données. Pour cela, on prend sur la droite arbitraire menée par le point s les points ayant mêmes cotes que ces lignes de niveau et l'on trace une droite sab; on joint le point a où cette droite rencontre l'une des. lignes de niveau au point à même cote sur la droite menée à partir du point s. De même, on joint le point 6 au point à même cote sur cette même droite. On obtient ainsi deux droites. On fait tourner la ligne sab autour du point s jusqu'à ce que ces deux droites soient parallèles entre elles, et alors c'est entre le point a et le point b que se trouve le point de contact cherché.

Ce que nous venons de dire pour un cône circonscrit peut se répéter sans beaucoup de modifications lorsqu'on demande tm cylindre circonscrit à une surface topographique.

Lignes de plus grande pente. — En Topographie, on ne représente pas toujours les surfaces par des lignes de niveau ; on trace, entre les lignes de niveau, des portions de lignes de plus grande pente dont l'espacement et l'épaisseur du trait dépendent de la plus ou moins grande inclinaison de la portion de terrain renfermée entre les deux lignes de niveau que l'on considère; ces lignes sont appelées des hizchures. Puis on répète le même tracé entre deux lignes de niveau successives, en ayant soin de ne pas faire correspondre ces lignes de plus grande pente, de telle sorte que, si l'on conserve simplement les hachures sur la feuille du dessin, il soit possible de retrouver les lignes de niveau.

On voit qu'il est important de connaître la manière dont sont dirigées les lignes de plus grande pente sur les surfaces, puisque c'est par des portions de lignes de plus grande pente qu'on représente les surfaces en Topographie.

SURFACES TOl'OGRAPHIQUES- 47^

II peut y avoir, à partir d'un point, une infinité de lignes de plus grande pente; c'est ce qui arrive, par exemple, quand on considère le point de rencontre d'une surface de révolution avec son axe.

Cherchons comment sont dirigées les projections des lignes de plus grande pente d'un ellipsoïde dont un axe est vertical. Les lignes de niveau sont alors des ellipses honio thé tiques. Prenons leurs projections. Parmi ces nouvelles ellipses il y en a une infiniment petite qui se confond avec le centre de toutes ces courbes. Nous allons faire voir que, si, à partir d'un point quelconque m {Jig- 266) de l'ellipse M, on trace la ligne de plus grande pente

5ll\

qui, en projection, est une trajectoire orthogonale de toutes ces ellipses homothétiques, cette ligne vient au centre o de ces ellipses tangen lie Ile ment à leur grand axe.

Le point 0 est un point de cette ligne, puisqu'il y a une ellipse infiniment petite réduite à ce point. Joignons le point o à un point a de cette ligne, lequel est situé à l'intérieur de l'ellipse M; on a une droite qui rencontre M en tin point/) qui est entre le point m et l'extrémité a du grand axe. Cela se voit facilement en considérant d'abord le point m' ( ' ) de la ligne de plus grande pente, qui est infiniment voisin de m '. l'élément mm', normal à M, se trouve dans l'angle aigu que fait le diamètre om! avec M ; p' étant le point de rencontre de om' et de M, ce point est alors entre m et a. Ceci peut se répéter successivement, pour les différents points de la ligne de plus grande pente qui sont de plus en plus près de o. Ainsi, pour le point 6 à l'intérieur de l'ellipse qui contient le point

a, on a un rayon vecteur ob qui rencontre l'ellipse M en nn point situé entre le point p et le point a, et ainsi de suite. A mesure qu'on se rapproche du point o, on a, en joignant le point o à ces différents points, des rayons vecteurs qui rencontrent l'ellipse M en des points qui se rapprochent du point *.

Au point 6, la tangente à la ligne de plus grande pente est parallèle à la normale au point y à l'ellipse M, où le rayon vecteur ob rencontre M; en effet, puisque toutes les ellipses lignes de niveau de la surface sont homotliétiques, la tangente au point b à l'ellipse qui contient ce point esl parallèle à la tangente au point q, et alors, an point b, la ligne de plus grande pente qui rencontre à angle droit l'ellipse qui contient le point b doit avoir pour tangente une parallèle à la normale au point q à l'ellipse M.

Si le rayon vecteur ob tourne autour du point o de manière à se rapprocher de oa, la droite ob tend à devenir la tangente au point o à la projection de la ligne de plus grande pente : elle devient cette tangente lorsque le rayon vecteur est normal à l'ellipse M. Cette normale est oa; donc ool est la tangente en o à la projection de la ligne de plus grande pente.

Ce que nous venons de dire pour le point m, qui est arbitraire siu' l'ellipse M, peut se répéter pour tous les points de cette courbe, excepté pour le point p, qui est l'extrémité du petit axe; la droite o p est, du reste, la projection d'une ligne de plus grande pente. On voit donc qu'il y a sur la surface une infinité de lignes de plus grande pente qui convergent vers le point o, tangentiellement au grand axe oa.

Prenons maintenant un hyperboloïdc dont un axe est vertical et projeté en o. Coupons cet hyperboloïdc par des plans horizontaux et projetons les lignes de niveau ainsi obtenues. On a une série d'hyperboles homothétiques. Si nous partons d'un point de l'une des asymptotes de ces courbes et si nous traçons la ligne de plus grande pente, nous trouvons une ligne faisant un angle droit avec celte asymptote et rencontrant successivement à angle droit toutes les hyperboles; par conséquent une ligne qui s'écarte du centre commun o de toutes ces courbes. On a donc une série de lignes de plus grande pente; mais il n'y a que les deux lignes de plus grande pente, projetées suivant les axes de toutes ces hyper-

boles, qui sont des lignes passant par le point, o. On rencontre ici pour le centre o un point analogue aux points des surfaces topographiques pour lesquels il y a un col ; on distingue facilement les cols sur une carte topo graphique : ce sont les points autour desquels il n'y a pas de hachures.

Emploi des surfaces topo graphique s pour la représeutatiau des Tables. — Une Table à simple entrée, c'est-à-dire une Table contenant deux colonnes de nombres, les nombres do l'une des colonnes correspondant aux nombres de l'autre colonne, peut être représentée par une courbe.

Appelons j' le nombre de Tune des colonnes ; cette valeur de y peut être donnée par la valeur d'une certaine fonction /(.«), oii x est le nombre de l'autre colonne. On peut tracer la courbe j'^=/(^), et la considérer comme la représentation de la Table à simple entrée.

Si, par exemple, on prend la Table de logarithmes, on n'a qu'à construire une courbe dont les ordonnées sont les logarithmes des nombres représentés par des segments de l'axe des abscisses, et la courbe obtenue ainsi, la logarithmique, peut remplacer la Table de logarithmes.

On peut aussi employer une simple droite cotée. On porte sur une droite, k partir d'un de ses points, des longueurs proportionnelles aux logarithmes des nombres et l'on inscrit ces nombres aux extrémités de ces segments. Cette échelle cotée peut être considérée comme représentant la Table de logarithmes; elle est employée dans l'instrument appelé règle à calculs.

Considérons une Table à double entrée : la Table de multiplication, par exemple; elle donne !c produit z de deux nombres

On peut représenter la Table de multiplication au moyen de la surface dont l'équation est

Cette surface est un paraboloifde hyperbolique, et pour la représenter on peut faire usage de la méthode des projections cotées. En prenant différentes valeurs de z, on a des lignes de niveau dont