SECONDE PAIITIE. — TRENTE ET UNIÈME LEÇON

surface qui est coti; "jf^o, on prend la différence entre 7,4^ et 5, soit 2,4o; on mesure à l'échelle du dessin le segment doni la long-iieur est 2,4oi on porte ce segment sur une perpendiculaire à mp, et, par l'eslrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite parallèle à mp; celte parallèle rencontre la projection du rabattement de la ligne d'intersection de la surface par le plan vertical mp en un point j\ ; en projetant ce point sur mp, on a le point /■ qui est colé y, 4o.

Courbes intercalaires. — On peut reproduire cette construction pour un certain nombre de plans verticaux et déterminer sur les projections de ces plans le point coté 7,40; en réunissant tous ces points, on a la ligne de niveau cotée 7, 4o et qui est ce qu'on appelle une courbe intercalaire.

Inversement, si l'on donne la projection d'un point, on peut déterminer sa cote en construisant la ligne d'intersection de la surface par un plan vertical qui contient ce point. Généralement, on ne construit pas celte courbe et l'on cote le point approximativement à simple vue.

Construire l'intersection de deux surfaces topo graphiques données par leurs lignes de niveau.

On prend les lignes de niveau de même cote et leurs points de rencontre; on joint les points ainsi obtenus etl'on a approximativement la ligne d'intersection des deux surfaces.

Intersection d'une droite et d'une surface topo graphique.

Par la droite on mène un plan ; on construit la ligne d'intersection de ce plan et de la surface ; la ligne ainsi obtenue rencontre la droite donnée au point où cette droite rencontre la surface topographique donnée.

Intersection d'une courbe et d'une surface topo graphique.

Par les points à cote ronde de la courbe on mène des droites parallèles entre elles et horizontales ; ces droites forment les lignes de niveau d'un cylindre horizontal qui a pour courbe directrice la courbe donnée; on prend l'intersection de ce cylindre avec la surface topograpbique; celte ligne d'intersection rencontre la courbe donnée aux points cherchés.

Lignes d'égale pente. — La pente d'une ligne en un point est la tangente tri go nom étriqué de l'angle que fait avec le plan de comparaison la tangente à cette ligne. Quand les tangentes à la ligne considérée sont également inclinées sur le plan de comparaison, on dit que la ligneesl d'égale pente ; les lignes d'égale pente sont des hélices sur leurs cylindres projetants, Fig. 35,.

A partir d'un point a {fig- aSi) on demande de tracer sur une surface topographique une ligne dont la pente est donnée.

Si la pente est — et si l'équidistance des lignes de niveau est i , on décrit du point a comme centre, avec un rayon égal au segment qui correspond à n, un arc de cercle qiii rencontre au point b la ligne de niveau immédiatement au-dessous du point a:, puis, avec la même ouverture de compas, on décrit du point b un arc de cercle qui rencontre au point c la ligne de niveau immédiatement au-dessous du point 6, et ainsi de suite. En réunissant tous ces points, on obtient approximativement la ligne demandée.

Au point c, on aurait pu marcher vers le point e, où la circonférence décrite du point c comme centre rencontre la ligne de niveau immédiatement inférieure; on aurait ainsi obtenu la ligne abce^ qui présente ce qu'on appelle un lacet.

Entre deux points donnés a, m {fig. aSa), tracer une ligne d'égale pente.

Ce problème ne peut se résoudre que par tâtonnement.

On connaît la distance horizontale qui sépare les deux points donnés et la différence de niveau de ces deux points: on a alors, au moyen de ces deux quantités, la pente approximative de la ligne qui joint les deux points a et m; connaissant cette pente, traçons à partir de a une première ligne d'égale pente; nous n'ar-

rivons pas au poinl m '. nous aboutissons, par esemple, au point b. Diminuons la pente de manière à nous rapprocher du point m, à l'extrémité de cette ligne ; nous arrivons au point c. En continuant ainsi, nous dépassons le point m et nous arrivons au point e. A l'aide des points b, c, e, il est aisé de construire une courbe d'erreur au moyen de laquelle on détermine approximativement le rayon servant à décrire des arcs de cercles qui conduisent au tracé de la ligne demandée.

Sur une droite OX et à partir d'un point o, portons le rayon qui

a servi à déterminer la ligne d'égale pente ^ arrivant au point b\ nous obtenons le point ô, ; élevons la perpendiculaire b, b' ég^ale à la distance du point b au point m. Faisons la même chose pour le point C et enfin pour le point e; nous devons, dans ce dernier cas, porter la distance em sur une ordonnée placée au-dessous de la droite ox si nous avons placé les premières au-dessus. En réunissant les points b' , c', e', on a une courbe d'erreur qui rencontre la droite ox en un point y ; c'est avec une ouverture de compas égale à ou que l'on trace des arcs de cercles pour déterminer la ligne d'égale pente.

Une ligne de plus grande pente sur une surface l.opographîquc est une trajectoire orthogonale des lignes de niveau.

Le plan tangent en un point d'une surface topograpiiique est déterminé par la tangente & la courbe intercalaire qui passe par ce point et par la ligne de plus grande pente. Si le plan tangent an point que l'on considère coupe la surface, celle-ci est à courbiires opposées: dans ce cas, lorsque pour un point le plan tangent est horizontal, on dit que l'on a un col.

Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface topographique.

Par les points à cote ronde de la droite {fig. a53), menons des tangentes aux lignes de niveau de même cote. Ces droites hori-

zontales s'appuient sur une droite et sont tangentes à la surface topographique; elles appartiennent alors à un conoïde qui a pour directrices la droite donnée et la surface topographique donnée. Le plan tangent à ce conoïde, mené par la droite, est le plan qui touche cette surface en im point par lequel passe une génératrice singulière; cette droite est parallèle à la génératrice qui lui est infiniment voisine; on doit donc, pour déterminer approximativement le point de contact, prendre parmi ces horizontales deux - d'entre elles qui sont voisines et parallèles. On voit sur la figure que les horizontales 6 et 7 sont- sensiblement parallèles; par conséquent, si l'on trace la ligne de contact du conoïde et de la surface topographique, c'est entre le point 6 et le point 7 de cette ligne que se trouve le point de contact du plan tangent demandé. La môme solution est applicable lorsqu'au lieu d'une surface