CHAPITRE VI
MM' étant un infiniment petit de premier ordre, et Tangle M'MP étant généralement fini, M'P est aussi du premier ordre. Mais, si le plan '^onsidéré passe par la tangente MT, les droites MP et MM' venant
à la limite se confondre avec MT, l'angle M'MP est infiniment petit (du premier ordre en général , et M'P est du deuxième ordre.
Du point P abaissons la perpendiculaire PQ sur MT {fig. 270), et joignons M'Q, qui est également perpendiculaire à MT. Gomme on a
Fio. 269.
M'Q =: MM', sin M'MQ,
on voit que M'Q est un infiniment petit du deuxième ordre. Par suite, la distance M'P étant donnée par
M'P ^^ M'Q. sin M'QP,
on voit que M'P sera aussi du deuxième ordre, à moins que Tangle M'QP ne soit infiniment petit, auquel cas M'P sera au moins du troisième ordre.
Or, Tangle M'QP mesure le dièdre formé par le plan MM'Q avec le plan MQP. Cet angle sera donc infiniment petit, si le plan MQP est la limite du plan MM'Q. C'est cette position limite du plan mené par la tangente MT et le point infiniment voisin M' qui a reçu le nom de plan osculateur au point M.
FiG. 210.
274* Deuxième définition. — On peut donner du plan osculateur diverses autres définitions équivalentes à celle-ci. Par exemple : le plan osculateur est la limite du plan mené par la tangente au point de contact parallèlement à une tangente infiniment
voisme.
Pour faire voir que cette définition est équivalente à la précédente, projetons orthogonalement la figure sur un plan HK perpendiculaire à la tangente MT {fig. 271).
Le plan MM'm, dont, d'après la précédente définition, le plan
PRINCIPES GÉNÉRAUX
osculateur est la limite, a pour trace sur le plan HK la di dont la limite est la tangente en m à la projection de la courl le plan osculateur est déterminé par la tangente Mj*; à la coi et la tangente m6 à la courbe mm'.
Considérons maintenant le plan mené par Mur et la parallèle MT', à M'T' menée par M.
Ce plan est parallèle au plan T'M'm' dont la trace sur le plan de projection est la tangente m't' menée en m à la courbe projetée mm'. La trace du plan considéré est donc la parallèle
»it\ menée par m à tn't'. Or, à fm. 371,
la limite,»»'/' et par suite mt\
se confondent avec ne. Donc, à la limite, le plan con; confond avec le plan osculateur.
Re?>iarque. — Le plan MM'T', a constamment en comi le plan MTT'i la droite MT',. En outre, la droite MM' du ] pour limite la droite MT du second. Le plan MM'T', a do limite que le plan MTT',, c'est-à-dire qu'il tend aussi ver osculateur en M.
Corollaire I. — Il résulte de là que, si l'on considère formé par les parallèles à toutes les tangentes d'une courbe menées par un point quelconque de l'espace, le plan osculat sont par une tangente à la courbe est parallèle au plan ta cône C le long de la génératrice correspondante.
Puisque la limite de l'interse deux plans tangents à un cône ii voisin est une génératrice de ce déduit de là que fa limite de l'int du plan osculateur à une courbe g M et du plan osculateur en unpoi.
ment voisin est la tangente en M courbe.
Corollaire IL — On voit aussi que la plus courte dis deux tangentes infiniment voisines est du troisième ordre. en effet, par le point M la parallèle MT', à M'T' ((ig. 272).
ri
courte distance des tangentes MT et M'T' est égale à la perpendiculaire M'P abaissée de M' sur le plan MTT\. Or, on a
MT = M'Q. sin M'QP.
M'Q, comme on Ta déjà vu au n° 273, est du deuxième ordre. En outre, puisque, d'après la deuxième définition, les plans MTT', et MQM' ont même limite, savoir le plan osculaleur, Tangle M'QP, qui mesure leur dièdre, est infiniment petit. Donc M'P est, au moins, du troisième ordre.
â75. Troisième définition. — Le plan osculateur est encore la limite du plan passant par le point considéré et deux points infiniment voisins.
Soient M' et M" deux points infiniment voisins du point M
{fig. 273). Projetons la figure en MjM'jM", sur un plan perpendiculaire à MM". On voit que la projection de l'arc MM'M' est nécessairement contenue dans l'angle infiniment petit T,M,S"p et, par suite, que la trace M,M\ du plan MM'M^'est comprise M^T^ entre et M,S', ou, ce qui revient au même, que le plan MM'M" est compris dans le plus petit des dièdres formés par les plans TMM" et MM^T''.
Or, d'après la première définition, le plan TMM" a pour limite le plan osculateur en M. D'autre part, le plan MM'T', passant par la parallèle à M"T" menée par M, a également pour limite, d'après la remarque qui suit la deuxième définition, le plan osculateur en M. Donc, le plan MM'M", compris dans le plus petit dièdre formé par ces deux plans, se confond aussi à la limite avec le plan osculateur en M.
Corollaire. — Le plaji osculateur est traversé au pointiApar la courbe. Distinguons, en effet, par les notations (1) et (2) les deux régions de l'espace séparées par le plan MM'M^ Si la partie de la courbe en deçà du point M est dans la région (1), l'arc MM' est dans la région (2), l'arc M'M" dans la région (1) et, enfin, l'arc audelà de M" dans la région (2). Passant à la limite, on voit que, par
Ir'
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Fig. 273.
JW^VHFniP''
PRINCIPES GÉNÉRAUX
rapport au plan osculateur, les parties de la courbe en deçà et au-delà ' de M sont dans dés régions opposées de l'espace.
276. Normale principale et binormale. — Plan rectifiant. — La normale à la courbe gauche située dans le plan osculateur porte le nom de îiormale principale^ et la normale perpendiculaire au plan osculateur, celui de binovtnale.
On voit que Tangle de deux plans osculateurs est égal à Tangle des binormales correspondantes. Lorsque cet angle est infiniment petit, il prend le nom d'angle de torsion.
Dans le trièdre trirectangle formé par la tangente MX, la normale principale M Y et la binormale MZ, la face MXY est, d'après la définition même de la normale principale, le plan osculateur ; la face MYZ est le plan normal. La troisième face MZX a reçu de Lancret le nom de plan rectifiant^ justifié par une belle propriété découverte par ce géomètre (*).
Vin. Évaluation d'infiniment petits. — L'angle de contingence % (n* 272) et l'angle de torsion tj (n® 276), joints à l'arc infiniment petit MM' ou d, permettent d'exprimer les divers infiniment petits à considérer autour du point M.
Le calcul de ces infîniment petits peut être fait soit par l'Analyse (^), soit par la Géométrie (^). Il est parfois assez délicat. Nous ne nous y arrêterons pas ici. nous contentant de donner quelques résultats et de dire que le moyen le plus simple de les obtenir consiste généralement à avoir recours au cône des parallèles aux tangentes, défîni dans le corollaire I du n^ 275.
. , • • , 1 le plan normal en M l'angle e
La normale principale au l , ^, , . .. ,, , •**./• n • . • . j 'le plan osculateur en M I angle r,
point M infiniment voism de . ^ , • . i mV n i rrn — i
r, - .^ ] la normale principale en M 1 angle y* + V
M fait avec f /, .\ o t i i
' (Lancret).
(*) L'énoncé de celte propriété exige iine notion qui ne sera définie que dans un <les chapitres suivants; mais nous allons le donner d»*s maintenant pour le lecteur déjà familiarisé avec les éléments de la théorie des surfaces.
Le plan rectifiant enveloppe une surface développable, dite surface rectifiante^ dont les arêtes sont dites les droites rectifiantes. Cela dit, le théorème de I^incret ^ït le suivant : Dans le développement de la surface rectifiante, la courbe gauche considérée devient une droite.
Cette propriété explique le terme, choisi par Lancret, de surface rectifiante.
On voit que, pour une courbe plane, la surface rectifiante est le cylindre dont cette courbe plane est la section droite.
(') Voir le Cours d'Analyse de l'École polytechnique, de M. C. Jordan (2* édition, t. 1, n«' 473-480).
(*) Voir VExposition géométrique des Propriétés généi'ales des Courbes, par Charles RrcHROifBT (Lausanne).
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*^J PW.:
[ la binormale en M i angle t]
La binormale au point M' ) la tangente en M Tangle -^^ fait avec
CTi
le plan normal en M l'angle ^''
La plus courte dislance de deux tangentes inQniment voisines est donnée par -^î la distance du point M' au plan osculateur en M par -~-^ la différence
entre Tare MM' et sa corde par ~-r> etc.
278. Courbure et torsion. Rayons de courbure ef de torsion. — Gomme pour les courbes planes on appelle cour-
bure la limite du rapport -•
La toy^sion est la limite du rapport - (*).
Les rayons de courbure et de torsion sont les inverses de ces limites. Nous les désignerons par les notations R^ et R,. Nous avons donc
Rtf = Lim -» Kt~ Lim - •
Lorsqu'on connaît, en un point d'une courbe, la tangente, la normale principale et la binormale, cette courbe est complètement définie, si on possède en outre la loi suivant laquelle la courbure et la torsion varient avec Tare.
Remarquons immédiatement que nous avons
279* Cercle osculateur et sphère osculatrice. —
Gomme dans le cas des courbes planes, on appelle cercle osculaleur de la courbe au point M la limite du cercle passant par le point M et les points infiniment voisins M', M". D'après la troisième définition du plan osculateur (n** 275), on voit que le cercle osculateur se trouve dans ce plan et, par suite, que son centre se trouve sur la
(ï) Certains auteurs emploient, au lieu du mot de torsion, qui est le plus fréquemment usité, celui de seconde courbure; d'autres, celui de cambrure.
PRINCIPES GÉNÉRAUX 299
normale principale. L'Analyse permet de démontrer immédiatement que la courbure de ce cercle est la même que celle de la courbe, précédemment définie. Aussi ce cercle reçoit-il le nom de cercle de courbure^ et son centre celui de centre de courbure.
Elle montre, en outre, que le cercle osculateur est aussi la limite du cercle tangent en M à la courbe et passant par le point infiniment voisin M'.
On voit ainsi que, si Q est le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente MT, on a
^' ^ ^'"^ mQ
De même, la limite de la sphère passant par le point M et les trois points infiniment voisins M', M" et M" porte le nom de sphère osciilatrice. On voit que cette sphère passe par le cercle osculateur. Son centre se trouve donc sur la perpendiculaire élevée au plan osculateur par le centre de courbure, droite qui a reçu le nom à! axe de courbuy^e.
L'axe de courbure est la limite de la droite d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins. On verra plus loin (n" 359 et 360) que cet axe admet dès lors une enveloppe (arête de rebroussement de la développable (*) enveloppée par le plan normal) que Lancret a nommée la développée par le plan de la courbe gauche considérée.
Le point où Taxe de courbure touche la développée par le plan est le centre de la sphère osculatrice, dont le rayon R, est, d'ailleurs, donné par la formule
