Projection coni€|ue d'une courbe gauche. — Si

on prend la projection conique d'une courbe gauche G sur un plan P, à partir d'un point (), c'est-à-dire si on prend Tintersection par ce plan P du cône de sommet qui passe par la courbe G, on obtient une courbe plane c qui présente quelques particularités remarquables.

(*) Surface polaire de Monge.

D'une manière générale, la tangente en un point de la projection c est la projection de la tangente au point correspondant de la courbe G. Cette proposition est évidente. Mais, pour les points de contact des tangentes menées de à la courbe, la détermination de la tangente qui résulterait de ce théorème devient illusoire, puisqu'alors la projection de la tangente se réduit à un point.

Soit donc M {fig. 274) le point de contact d'une des tangentes menées de à la courbe c. La tangente en m étant la limite vers

laquelle tend la corde mm\ trace sur le plan P du plan OMM', se confond avec la trace de la limite de ce plan, c'està-dire (n** 273) avec la trace du plan osculateur en M. En outre, puisque la courbe G traverse ce plan osculateur (n° 275, Cor,), la courbe c est située de part et d'autre de m^. Enfin, tout autre plan que le plan osculateur mené par la tangente OM laissant la courbe G tout entière du même côté, toute droite menée par 7)1 dans le plan P doit laisser la courbe c tout entière du même côté, ce qui montre que le point m est un point de rebrou^sèment de la courbe c.

En particulier, la 'projection orthogonale de la courbe sur le plan îiormal au point M présente ^n M un point de y^ebroussement.

Prenons maintenant sur la courbe G un point M tel que la tangente en M ne passe plus au point 0, mais que le plan osculateur en M passe encore au point 0. La tangente en m à la courbe projetée c, étant la projection de la tangente en M à la courbe G, se confond avec la trace du plan mené par cette tangente et le point 0, c'est-à-dire avec la trace du plan osculateur en M. Il résulte de là, comme précédemment, que la courbe c est de part et d'autre de sa tangente en m. Mais, comme ici OM n'est pas tangente à G, tout plan mené par OM est traversé par cette courbe ; donc, en projection, toute droite menée par rti est traversée par la courbe c. Le point m est alors un point d'inflexion de la couy^he c.

En particulier, la projection orthogonale de la courbe sur le plan rectifiant au point Mprésente en M wt point d'inflexio?i.

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