CHAPITRE I*'. — PROJECTIONS COTEES
et chacune d'elles a évidemment pour cote celle du point où elle rencontre la ligne de plus grande pente.
Afin de distinguer la projection d'une ligne do
plus grande pente de la projection d'une droite
ordinaire, on la figure par un double trait (fig, 8). Les perpendiculaires à cette double droite, menées par les points cotés 1, 2, 3,... sont les pra-
jections des horizontales du plan, de cotes res-
FiG. 8. pectives 1, 2, 3...
lO. Plan donné par trois de ses points. — Un plan étant défini par trois de ses points, proposons-nous de construire ses horizontales de cote rojide.
Pour cela, marquons sur deux des droites formées par ces trois points deux points de cote ronde (n° 6), par exemple les points A et 5 ifig. 9).
Les deux points de cote 4 déter^ minent l'horizontale de cote 4 du plan considéré ; les points de cote 5, son horizontale de cote 5. A. titre de vérification, on doit constater que ces horizontales projetées sont parallèles.
On peut, en répétant de part et d'autre le même intervalle, obtenir les projections des horizontales 3, G, etc.
FiG. 9.
11. Reconnaître si deux droites sont dans un même plan. — On peut, d'après ce qui précède, joindre les points de même cote des deux droites et voir si on obtient ainsi des droites parallèles.
On peut aussi calculer la cote (n° 7) du point qui, sur chaque droite, se projette au point de rencontre de leurs projections. Si les droites se coupent, les deux cotes ainsi obtenues seront égales.
12. Cote d'un point de projection donnée apparte-^ nant à un plan donné. — De la projection donnée on mène une
REPRESENTATION DU PLAN
perpendiculaire à la projection de la ligne- de plus grande pente définissant le plan {fig. 10). On a ainsi la projection de l'horizontale du plan passant par le point considéré. 11 suffit, par suite, de prendre la cote (n** 7) du point où cette horizontale rencontre la ligne de plus grande pente. Sur Texemple de la figure on obtient ainsi 3,7.
Fio. 10.
13. Sur une ligne d'un plan, donnée en projection, marquer un point de cote donnée. — Ce point est à la rencontre de la projection de la ligne donnée et de la perpendiculaire à la projection de la ligne de plus grande pente, menée par le point correspondant à la cote donnée, point qu'on obtient par le procédé indiqué au n° 8.
\^. Droite de pente donnée dans un plan donné. —
Par un point de cote ronde de la ligne de plus grande pente du plan, le point 4 par exemple, menons dans le plan une droite de pente donnée p.
La formule (1 bis) nous donne e,.
Le point 3 de la droite cherchée doit se trouver sur Thorizontale 3 du plan. En outre, la distance de sa projection à celle du point 4 précédemment choisi étant égale à i^^ on voit qu'il suffit, de ce point 4 comme centre, avec un rayon égal à e,, de décrire un cercle [fig. U) et de mener les diamètres de ce cercle passant par ses points de rencontre avec la projection de l'horizontale 3 pour obtenir les pi'ojections de deux droites répondant à la question.
Pour mener une droite de même pente par tout autre point du plan, il suffit de mener par ce point une parallèle à l'une des droites ainsi obtenues.
Fio. 11.
CHAPfTBE PBEHIEB.
PROJECnoXS COTEES
ir>« Ifroite et plaiM parallèles. — Pour recoonaitre si une droite e«t paraUele à un plan dooné. il sufnt de tirer dans c^e plan une droite avant sa projection parall^i-le a celle de la droite donnée et de Toir si les intervalles sont les mêmes sur la droite ainsi
Fio. !2.
Fie- 13.
obtenue et sur la droite donnée ^n"* 4,. Si ces intervalles sont égaux, les droites joignant les points de mêmes cotes des deux droites sont parallèles ^fig. 12»; s'ils ne sont pas égaux, ces droites sont convergentes (fig. 13 j.
10* Plan de pente donnée passant par une droite donnée». — Connaissant la pente p du plan, on en déduit par la formule 1 1 bvf) l'intervalle i^ de sa ligne déplus grande pente.
La dislance d'un point quelconque de la projection d'une horizontale de (Ole ronde à la projection de l'horizontale de cote ronde la plus voisine est égale à l'intervalle i^. Si donc, du point projeté 4 de la droite donnée, avec un rayon égal à i^, nous décrivons un cercle, nous n'aurons qu'amener du point 3 une tangente à ce cercle (/î^. 14), puis par les autres points de cote ronde des parallèles à cette tangente pour avoir les horizontales d'un plan répondant à la question.
On voit qu'il faut que l'intervalle i^ calculé soit inférieur à celui 'le la droite donnée, ce qui était évident a priori, et qu'il y a deux solutions. Dans la pratique, il existe généralement certaines conditions d'après lesquelles une seule de ces solutions peut convenir.
Obscroation, — Une droite tracée sur un plan divise le plan en deux régions. Si, partant de la droite, un point se déplace sur le plan, suivant une ligne de plus grande pente de ce plan, il s'abaisse
REPRESENTATION DU PLAN
OU s'élève, selon qu'il passe dans l'une ou dans l'autre régions.
Nous dirons que l'une de ces régions s'élève et que s'abaisse à partir de la droite.
La distinction de ces deux régions se fait très aisémen plan coté. Appelant, en effet, sens de la droite celui où • graduation, on voit que la région du plan qui s'élève à pari droite est celle où les horizontales du plan font un angle obt la droite prise avec son sens; la région qui s'abaisse est eell horizontales font un angle aigu avec la droite.
Ainsi, sur la figure 14, on a représenté les régions qui s'a! à partir de la droite pour chacun des deux plans A et B d donnée passant par la droite donnée.
Si on voulait représenter les régions de ces plans s'élevan tir de cette droite, on aurait la figure 14 bis.
On peut remarquer aussi que les projections des horizon ces deux plans ont des inclinaisons égales sur la projeclio droite de part et d'autre de celte droite.
17. Droite et plan perpendiculaires. — D'a^ théorème bien connu, la projection horizontale de toute drc pendiculaire à un plan est perpendiculaire à la trace horizoï ce plan, c'est-à-dire aux projections des horizontales de o elle est donc parallèle à la projection de la ligne de plus pente du plan.
Coupons par le plan projetant horizontalement la droite.
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