NOTIONS PRÉLIMINAIRES

1. La géométrie ordinaire montre parfaitement la disposition relative des parties d'une figure entièrement située sur un seul plan , mais elle n’est plus suffisante pour représenter les constructions que l’on doit exécuter dans l’espace, comme on peut s’en assurer par des exemples fort simples -, ainsi par exemple :

On sait que la distance d’un point à un plan est mesurée par la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan ; mais comment fixer la direction de cette perpendiculaire? Comment déterminer le point où elle rencontre le plan? La géométrie ordinaire n’enseigne pas à résoudre ces questions ; les méthodes graphiques dont elle fait usage sont à cet égard complètement impuissantes. On est obligé d’employer des méthodes particulières , dont l’étude dépend de la géométrie descriptive; mais pourtant la géométrie descriptive est mal définie

lorsqu'on dit quelle a pour but d'apprendre à représenter sur une feuille de dessin, qui n’a que deux dimensions, des corps qui ont trois dimensions. Ce n’est là qu'une faible partie de celte science ; la géométrie descriptive enseigne en outre des méthodes de recherche qui peuvent s'appliquer avantageusement à tous les problèmes de relation déposition ; car, en générai, l'analyse seule peut donner la solution des problèmrs de rc/aiioii métrique. Enfin, en faisant marcher enscmblecesdcusbranchcsdcs mathématiques, il n’est pas de problème que l’on ne puisse parvenir à résoudre.

Monge a dit de la géométrie descriptive que c’est la langue de l'ingénieur, il faut donc apprendre à la lire et à l’écrire.

Tous les travaux des ingénieurs se réduisent à la résolution des deux problèmes suivants :

1* Faire un lever, c’est-à-dire: représenter sur une feuille de dessin l’image d'un corps ou d’un système de corps existant , de manière à pouvoir le reproduire identiquement partout où l’on voudra;

2* Faire un projet, c'esl-à-dirc : ayant conçu un corps ou un système de corps, en faire un dessin, à l’aide duquel on puisse l’exécuter exactement.

2. Lorsqu'on imprime un mouvement quelconque à un plan ou aune surface, en général elle n'éprouve aucune altération dans aucune de scs partirs. Les dispositions relatives des points et des lignesenlrc eux demeurent les mêmes à une époque quelconque du mouvement. Les angles que les lignes forment entre elles ne changent pas de grandeur, et les longueurs des lignes non indéfinies sc conservent les mêmes. Si l’on fait tourner un plan autour de son intersection avec un autre plan, jusqu'à ce qu'il se confonde avec celui-ci, on dit qu’on rabat le premier plan sur le second. Celte opération est fréquemment répétée en géométrie descriptive dans le but de ramener sur la feuille de dessin des constructionsqui n’y sont pas contenues, ou, en d'autres termes, qu’il faudrait exécuter’ dans l’espace. Nous y parviendrons aussi par d'autres considérations également fécondes (*).

lieprésentation d’un point.

3. Un corps, une surface, une ligne, sont connus, quand on peut, au moyeu des données, trouver tous les points qui composent le corps, la surface et la

O Ayant mené an plan sécant à travers un corps , 1c rabattre, soit sur le plan horizontal, soit sur le plan vertical de projection , c’est faire en géométrie descriptive identiquement ce que Ton fait en a»«lyse lorsqu'on emploie les formules d'Euler pour trouver l'equation d'une courbe de section dans le plan mime de section . en rapportant celte courbe à deux aies rectangulaires entre eux tracés dans aon plan.

ligne. Il faut donc avant tout savoir fixer la position d'un point dans l'espace.

Pour cela on peut employer plusieurs méthodes dont nous parlerons par la suite , mais dont la plus simple consiste à considérer deux plans (qui se coupent à angle droit) HH'etVV" (fig. i). On suppose que l'un d’eux, HH', est Horizontal , l'autre, VV', est alors vertical , leur intersection LT prend le nom de ligne de terre. Ces deux plans, qu'il faut concevoir indéfiniment prolongés dans tous les sens, se coupent mutuellement en deux parties ou régions.

La partie LTI1 du plan horizontal , située en avant du plan vertical, se nomme partie antérieure ; la partie LTH', située derrière le plan vertical, se nomme partie postérieure.

La partie LTV du plan vertical, située au-dessus du plan horizontal, se nomme partie supérieure; la partie LTV', située au-dessous du plan horizontal, se nomme partie inférieure.

De plus ces deux plans forment quatre angles dièdres, que l’on désigne par les

noms des parties qui les comprennent, ainsi :

HLTV se nomme angle anlérieur-supérieur et s’écrit ainsi : A , S HLTV — angle postérieur-supérieur — P, S

H'LTV' — angle postérieur- inférieur — P,1

HLTV' — angle antérieur-inférieur — A,l

i. Cela posé, si d’un point m de l’espace on abaisse une perpendiculaire mu sur le plan horizontal HII', le pied n do celte ligne est dit ta projection horizontale du point m, et la perpendiculaire mn est la ligne projetant horizontalement le point m; de môme si l’on abaisse mp perpendiculaire sur le plan vertical VV', le pied pde celte droite est la projection verticale du point m ,et la perpendiculaire pm est la ligne projetant verticalement le point m.

5. Si l’on conduit un plan par les droites mnelmp, la figure mnop située dans ce plan est évidemment un rectangle; de plus ce plan est perpendiculaire aux deux plans HH' et VV', et par suite à leur intersection LT ; donc :

!* la distance mn du point m au plan vertical est égale à la distance po de sa projection verticale à la ligne de terre;

2* La distance mp du point m au plan vertical est égale à la distance no de sa projection horizontale à la ligne de terre ;

3" Si des deux projections d’un même point on abaisse des perpendiculaires sur la ligne de terre, elles la coupent au même point.

<5. Lee deux projections n et p d'un point m en fixent la position dans l’espace. En effet le point doit se trouver sur une perpendiculaire au plan HH' élevée par la pro-

jertion horizontale n et à une distance égale à op, donc en prenant nm=zop, le point m est le point cherché; on obtient aussi le même point m de l’espace en prenant pm—on , sur une perpendiculaire élevée du point p au plan vertical VV'; enfin on sait que les perpendiculaires aux plans HH' et VV', élevées respectivement par les points n et p, sont dans un même plan, elles se coupent donc au point m , dont les points n et p sont les projections.

7. Un point est encore dé ter m inépar la condition d’être situé à la fois sur deux droites ou sur une droite et un plan, c’est même toujours ainsi qu’il est donné; car assigner les deux projections d’un point c’est dire que le point est sur deux droites perpendiculaires aux plans de projection , et passant par les projections données de ce point.

8. Dans ce qui précède nous avons considéré deux plans perpendiculaires entre eux ; pour ramener toutes les constructions à n’être exécutées que sur la feuille de dessin cl ainsi sur un seul plan et non dans l’espace, on supposeque le plan vertical VV' tourne autour de la droite LT, comme charnière, pour se rabattre sur le plan horizontal HH' et de telle manière que la partie supérieure LTV de ce plan vertical se couche sur la partie postérieure LTIf du plan horizontal, et que la partie inférieure LTV se recouche sous la partie antérieure LTII.

Dans ce mouvement la projection verticale p du point m de l’espace , est entraînée, ainsi que la ligne op laquelle vient se placer, après le rabattement, en oq sur le prolongement de la droite no, de telle sorte qu’après le rabattement du plan vertical les deux projections n et q d’un même point m de l’espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. On doit conclure de ce qui précède que : deux points choisis arbitrairement , f un sur le plan vertical et l'autre sur le plan horizontal des projections ne peuvent représenter les projections <f un même point de l’espace, qu autant qu’ils sont situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

9. A. l’avenir, nous désignerons un point de l’espace par une lettre minuscule , et ses projections par la même lettre avec un indice supérieur A ou v. Ainsi le point m de l’espace est celui dont les projections horizontale et verticale sont respectivement m*ct m* (Jig. 2). Un point étant déterminé, en géométrie descriptive, par scs deux projections, quand on dit, qu’un point est donné, il faut entendre que l’on donne les projections horizontale et verticale de ce point; et quand on demande de trouver un point de l’espace, il faut entendre qu’on demande de trouver les deux projections de ce point.

Quand une figure est énoncée ou décrite dans l’espace, il faut pouvoir l’écrire immédiatement sur la feuille de dessin , ou , en d’autres termes, sur un seul plan ; et réciproquement, quand une figure est écrite sur la feuille de dessin, il faut savoii la lire immédiatement dans l’espace. Pour cela il faut, au moyen des projections

d'un point, concevoir de suite la position qu’il occupe dans l'espace; et, réciproquement, connaissant la position d’un point dans l’espace, il faut sa voir en déduire de suite les positions de ses deux projections.

10. Alphabet du point. — Un point peut occuper dans l'espace plusieurs positions qui seront indiquées par celles de ses projections à l’égard de la ligne de terre, comme elles le sont dans la géométrie analytique par les signes et les grandeurs des coordonnées.

1° Lorsqu’un point est situé dans l’un des quatre angles dièdres formes par les plans de projection , il est facile de voir que les projections de ce point se trouvent sur les parties des plans qui comprennent cet angle; les quatre positions que le point peut affecter dans ce cas sont indiquées par la fig. 3.

2* Le point peut être sur l’un des plans de projection; il est alors à lui-même sa projection sur ce plan, et son autre projection est évidemment sur la ligue de terre. On a encore quatre cas représentés dans la fig. A, où l’on a écrit la lettre m, qui désigne le point, sans indice pour exprimer que c’est le point luimême et non une de ses projections.

3° Si le point est sur la ligne de terre, il n’a pas d’autres projections que luimême , c’est pourquoi on écrit seulement la lettre m à côté du point (fig. 5).

4* Un point, situé dans l’un des quatre angles dièdres, peulèlrc également distant des deux plans de projection , c’est-à dire que l'on peut avoir om* — om k (fig. 2) (N* 5 ) ; dans ce cas les deux projections se confondent lorsqu’elles sont du même côté de la ligne de terre ; on a donc encore les deux cas représentés dans la fig. U. On conclut de là que :

1° Tous les points dont les projections sont distinctes et également éloignées de la

ligne de terre, se trouvent sur le plan bissecteur des angles dièdres A, S et P, I ;

2* Tous les points dont les projections sont confondues, se trouvent sur le plan bissec-

leur des angles dièdres P, S et A, I.

Représentation de la ligne droite.

il. Si par tous les points d’une droite on abaisse des perpendiculaires sur le plan horizontal , leurs pieds sont les projections horizontales des divers points de la droite , et la ligne qui les unit est la projection horizontale de lu droite. Toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan perpendiculaire au plan horizontal et dont l’intersection avec ce plan est la projection de la droite ; on raisonnerait de même à l’égard de la projection d’une droite sur tout autre plan ;

donc ta projection d'une droite sur un plan est une ligne droite. On obtient les deux projections d’une droite en menant par cette droite deux plans respectivement perpendiculaires aux plans de projection; on les nomme plan projetant horiionlalemcnt la droite et plan projetant verticalement la droite.

12. ÎNous désignerons une droite de l'espace par une lettre majuscule, et ses projections par la même lettre avec les indices supérieurs h ou v ; ainsi D* et D" (fig.J) sont les projections horizontale et verticale de la droite D. Quelquefois aussi nous indiquerons une droite par deux de ses points , et principalement une droite linic de longueur, qui doit très-souvent être désignée par les points auxquels elle se termine; ainsi, la droite |>assant par deux {joints a et b sera designée de la manière suivante : droite (a, b).

13. Une droite est , en général, déterminée par scs deux projections; car en élevant par D* un plan perpendiculaire au plan horizontal, et par D’ un plan perpendiculaire au plan vertical , la droite D doit se trouver à la fois sur ces deux plans , elle est donc leur intersection. Il résulte de là qu’une droite donnée par ses deux projections est réellement donnée par deux plans dont elle est l'intersection.

Une droite est aussi complètement déterminée par deux doses points; car ils feront connaître deux points de chaque projection. Parmi les points d’une droite on considère d'une manière spéciale les deux points en lesquels elle perce les plans de projection et que l'on nomme les traces de la droite; ces deux points remarquables sont très-propres à lixer la direction d’une droite par rapport aux plans des projections cl par suite sa direction dans l'espace.

14. Problème 1. — Etant données les traces d’une droite , construire ses projections (fig.’t). Soient a la trace horizontale et b la trace verticale d’une droite D; n* et A‘ seront sur la ligne de terre (n° 10, 2*) et sur des perpendiculaires à celte ligne abaissées des points a et b ( n* 8 ) ; on aura donc deux points a et b k de D* et deux points b et a’ de D’; donc ces projections D* et D’sonl connues.

15. Problème 2. — Trouver les traces d’une droite , dont on connaît les projections [Jiy. 7). La trace horizontale appartenant à la fois à la droite D et au plan horizontal, sa projection verticale doit être sur D* et sur LT , donc en a'; le point a est à lui-méme sa projection horizontale , donc il se trouve sur D* et sur une même perpendiculaire à la ligne de (erre avec a*, c'est-à-dire à l'intersection a de ces deux droites. De même la trace verticale étant sur D et sur le plan vertical, sa projection horizontale est en A*, et le point est lui-méme en b.

Delà on peut conclure que pour avoir une des traces d'une droite, il faut prolonger la projection de nom contraire jusqu’à la ligne de terre et pur le point de rencontre avec celle ligne de terre, élever une perpendiculaire d celte ligne de terre, et le point oit celle perpendiculaire coupe l’autre projection de la droite sera tu trace demandée.

16. Une droite indéfiniment prolongée peut n'èlre pas tout entière contenue dans un seul des angles dièdres formés par les plans de projection; alors la

portion située dans l'angle dièdre A, S est vue , mais tout ce qui se trouve derrière le plan vertical ou au-dessous du plan horizontal est caché par l'un de ces plans; on exprime cela sur la figure par la manière d’écrire les projections de ces portions de la droite. Oncslcouvenu d’écrire en lignes pleines les projections de la partie comprise dans l'angle dièdre A, S, et en lignes ponctuées (ou formées de points ronds) les projections des parties de droite comprises dans l’un des trois antres angles dièdres, commc.nous l’indiquerons sur les figures suivantes : il est évident qu’une porjion de droite rue a sa projection horizontale au-dessous cl sa projection verticale au-dessus de la ligne de terre.

Mais cette ponctuation ne convient qu’aux lignes principales d’une figure c’està-dire , aux lignes qui représentent les données ou les quantités cherchées du problème. Quant aux autres lignes on les distingue en deux classes :

1* Lignes auxiliaires qui, sans être au nombre des lignes principales ci- dessus indiquées, jouent dans la figure un rèle assez important; on les écrit en lignes mixtes, c’est-à-dire formées de petits irai s longs et séparés entre eux par un ou plusieurs points ronds ;

2* Lignes de construction, que ton nomme aussi quelquefois lignes de projection , qui sont censées ne pas exister, parce qu’elles n’ont dans l’épure qu’un rôle d'une très-faible importance ; on les trace en lignes pointillées, c'est-à-dire formées de petits traits plus courts et plus fins que ceux des lignes mixtes ( les lignes de projection sont celles qui unissent entre eux les poinlsqui sont les projections d’un même point de l’espace, elles sont dès lors perpendiculaires à la ligne de terre ).

Outre les parties d’une figure cachées par les plans de projection, d’autres parlies peuvent l’ètro par les parties antérieures de la figure elle-même; mais pour ne pas multiplier sans nécessité les lignes ponctuées , ce qui en outre nuirait à l'intelligence de la figure , on suppose souvent que ces portions de la figure sont seulement représentées par les lignes tracées sur les plans de projection, lignes qui suffisent ordinairement pour les déterminer complètement.

17. Alphabet de la droite. Une droite peut affecter dans l’espace un grand nombre de positions, qu'on exprime par les situations respectives de scs projections par rapport à la ligne de terre, et par la ponctuation de scs projections.

1* La droite peut être oblique par rapport aux deux plans de projection, et lu portion comprise entre ses traces horizontale et verticale , peut être située dans l’un des quatre angles dièdres ; il est évident que lus traces du la droite sont situées sur les parties des plans qui forment cet angle; ainsi on aura les quatre

-im-

positions indiquées ( fig . 8), qu'il serait facile déliré par la ponctuation seule. Pour établir celte ponctuation, remarquons que dans le premier cas la partie «6 étant dans

l'angle A, S est vue, les portions ab* et a"b des projections doivent donc être en ligne pleine ; mais au delà du point a la droite I) passe au-dessous du plan horizontal, et au delà du point b elle passe derrière le plan vertical : c’est pourquoi les parties de la projection horizontale situées en dehors des points a et b k et les parties de la projection verticale situées en dehors des points a et b' sont en lignes ponctuées. On trouverait de même la ponctuation qu’il convient d’adopter dans les trois autres cas. Supposant maintenant les droites tracées sans notation; pour conclure de la ponctuation seule où est la projection horizontale, nous dirons : la partie de la droite dont les projections sont en ligne pleine doit être dans l’angle A, S ; donc dans le 4' cas, par exemple, c’est la portionà gauche du point a; doncpourcette partie la projection horizontale est au-dessous et la projection verticale au-dessus de la ligne de terre. Par suite le point a est la trace horizontale et le point b la trace verticale de la droite. On trouverait de même la direction de la droite dans les trois autres cas.

2* La droite peut être parallèle au plan horizontal; sa projection verticale est alors parallèle à la ligne de terre, car tous les points de la droite D sont à la même distance du plan horizontal ; la projectioa horizontale est quelconque , et l'on a les trois positions indiquées ( fig . 9) , suivant que la droite D est au-dessus du plan horizontal, dans ce plan, ou au-dessous de lui.

3’ Si la droite est parallèle au plan vertical ; sa projection horizontale est parailèle à la ligne de terre, sa projection verticale est quelconque, et l’on a les trois positions indiquées (fig. 10), suivant que la droite Dest en avant du plan vertical, dans ce plan, ou derrière lui.

4* La droite peut être parallèle à la fois aux deux plans de projection, et par conséquent .i la ligne de terre; ses deux projections sont alors parallèles à LT. Ce cas présente neuf positions, savoir : quatre, lorsque la droite est située dans l’un des quatre angles dièdres (fig. 11); quatre , lorsqu'elle se trouve sur l’une des qua ire régions des plans de projection (fig. 12) ; enfin elle peut être confondue avec la ligne de terre (fig. 13). Ces neuf positions sont les mêmes que les neuf positions du point (fig . 3, 4, 5), il suffit de remplacer les points m, m*, m*, etc., par des droites Ï),D*, D', etc. , parallèles à la ligne de terre. Si dans ce cas la droite est également distante des deux plans de projection , ses deux projections seront distinctes ou séparées et placées à la même distance de la ligne de terre, lorsque cette droite sera située dans les angles dièdres A, S ou P, I. Elles se confondront quand elles seront situées du même côté (fig. 14)dela ligne de terre; et, dans ce

cas, la dfoilc se trouvera dans les angles dièdres A, i et P, S. Dans le premier cas la droite sera sur le plan bissecteur de l’angle A, S et dans le deuxième cas elle sera sur le plan bissecteur de l'angle A,l.

5* Si la droite est perpendiculaire au plan horizontal, sa projection horizontale se réduit à un seul point et sa projection verticale est perpendiculaire à la ligne de terre, car le plan projetant verticalement la droite et lo plan vertical de projection sont tous deux perpendiculaires au plan horizontal. La droite peut dans ce cas affecter trois positions : elle peut être située en avanldu plan vertical, dans ce plan, ou derrière lui (fig. 15).

6* Trois positions semblables (fig. 16) répondent au cas d’une droite perpendiculaire au plan vertical et située au-dessus du plan horizontal , dans ce plan ou au-dessous de lui. .

H résulte de ces deux cos que om‘ (fig. 2 ) est la projection verticale de la droite projetant horizontalement le point m, laquelle a pour projection horizontale le point m*, etom‘ est la projection horizontale de la droite projetant verticalement le point m, laquelle a pour projection verticale le point m*'.

T Si la droite a dans l’espace une direction perpendiculaire à la ligne de terre, ses deux projections se confondent en une seule droite perpendiculaire à la ligne de terre ; car si l'on fait passer par ta droite 1) un plan vertical , ce plan est de plus perpendiculaire à LT ; donc ses intersections avec les deux plans de projection , ou D* et D* sont toutes deux perpendiculaires à LT et la coupent au même point . et par conséquent se confondent après le rabattement du plan vertical. Les deux project ions de la droite ne suffisent donc plus, (Iwwcecas, pour en fixer la direction dans t'espace, mais elle sera complètement déterminée si l'on donne deux de ses points. La droite dans ce cas peut affecter quatre positions suivant que la portion compriseentre ses traces est interceptée dans l’un des quatre anglesdièdres(/iÿ.l7).

8' Si la droite rencontre la ligne de terre , ses traces a et b se confondent en un même point de cette ligne; dans ce cas il peut arriver que les projections O* et D* (fig. 18) fassent des angles aigus avec la même portion de LT, l’une au-dessus et l’autre au-dessous; cette disposition appartient évidemment à une droite traversant les angles A, S et P,l. Si les angles aigus sont formés avec les deux parties de Ul (Jig. 19), cela représente évidemment une droite traversant les angles

P,S et A,l. Si les angles aigus sont égaux, la droite est sur l’un des deux plans bissecteurs (n° 10,4°) et dans le dernier cas les deux projections se confondent en une seule droite (fig. 20).

9" Si la droite rencontrant la ligne de terre lui est perpendiculaire, les deux

projections se réunissent en une seule droite perpendiculaire à LT ; dés lors elles ne suffisent plus pour la déterminer; il faut alors donner un autre point quelconque de la droite (fig. 21).

18. On voit par tout ce qui précède qu'une droite est toujours entièrement déterminée par les projections de deux de ses points , tandis que, dans quelques cas particuliers, les projections de la droite ne- sont plus suffisantes.

19. Deux droites qui ne sont pas perpendiculaires à la ligne de terre peuvent toujours représenter les projections d'une droite de l'espace. Car en élevant les deux plans projetants, ils se coupent suivant une droite déterminée. La droite est indéterminée quand les deux projections se confondent en une perpendiculaire à LT. Deux droites dont une seule est perpendiculaire à la ligne de terre , ou qui, lui étant toutes deux perpendiculaires, ne la coupent pas au même point, ne peuvent pas être les projections d’une même droite de l'espace.

20. Deux droites D et D' situées dans l'espace peuvent se couper, être parallèles, ou n'être pas situées dans un même plan.

1* Si elles se coupent (fig. 22) , les projections de leur point d'intersection m appartiennent à la fois aux projections de ces deux droites D et D', donc m* et m’ en lesquels se coupent respectivement les projections D 4 , D'* et D', D' v , doivent être sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (n* 8 ).

2" Si elles sont parallèles, leurs projections de même nom sontparallèlcs (fig. 23}, car les deux plans projetants correspondants sont parallèles.

3* Si elles ne sont pas situées dans un même plan, le point d’intersection de leurs projections verticales n'est pas sur une même perpendiculaire à la ligne de terre avec le point d’intersection de leurs projections horizontales (fig. 24).

21. Les rébiproques de ces trois propositions sont vraies, c’est-à-dire que, 1* si les projections de' deux droites se coupent en deux points situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 22), les droites se coupent dans l'espace; car le point m, ayant ses projections sur celles de la droite D, appartient à cette droite; par une même raison il appartient à la droite D'.

2* Si les projections de même nom sont parallèles (fig. 23) les droites sont |taralléles , car les quatre plans projetants sont deux à deux parallèles et par conséquent les quatre intersections dont deux ne sont autres que les droites D et D', sont aussi parallèles.

3* Si les projections des droites se coupent en des points non situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre , les droites ne sont pas dans un même plan (fig. 24), car deux droites sur un plan se coupent ou sont parallèles, et leurs projections seraient disposées comme dans les fig. 22 ou 23.

Il en résulte que si les deux projections horizontales seules ou si les deux pro-

j celions verticales seules sont parallèles , les droites ne sont pas parallèles.

22. Lorsque deux droites sont perpendiculaires à LT, leurs projections sont respectivement parallèles; mais il n'en résulte pas que les droite» dans l'espace le soient. Mais si D et D' (Jig. 25) sont parallèles, choisissant deux points a cl b, a et 6' sur chaque droite, si l’on conçoit des verticales abaissées des points b et b' et des horizontales menées des points a et a, qui coupent les verticales en des points que nous désignerons par i et ï, on formera deux triangles alri, aib'ï qui seront semblablescommc ayant les côtés respectivement parallèles, on a donc : r

•a : ib :: *V : fit

mais

ta = a*6* , >6 = a’6* , »V = a'*6'“ , »'6'= a'*6"

donc

23. Réciproquement , si celte relation a lieu, les droites D et D' sont parallèles ; car ayant construilcomme ci-dessus les triangles abi et a'b'i' rectangles en i et i', ils sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; ces côtés sont en outre parallèles, donc aussi les hypoténuses ab et a'b' ou les droites D et D' sont parallèles.

24. Problème 3. Par un point donné mener une droite parallèle à une droite donnée (fig.20). Les projections delà droite cherchée X doivent passer respectivement par les projections du point donné m, et être parallèles aux projections de la droite donnée D.

lieprésrntation de» ligne» courbe».

25. Si de tous les points a,b,c, m ( fig . 27) d’une courbe C on abaisse des perpendiculaires sur le plan horizontal , les pieds a*,è‘,c\ m* de ces perpendicu-

laires forment une ligne C*, qui est la projection horizontale de la courbe C. Toutes

les perpendiculaires oa*,6fr*,cc* mm k sont parallèles et forment une surface

que nous désignerons plus loin sous le nom de turface cylindrique , et qui est dite turface ou cylindre projetant horizontalement la courbe C. En abaissant de même des perpendiculaires sur le plan vertical , elles formeront le cylindre projetant verticalement la courbe C. Une courbe C peut donc être toujours considérée comme l’intersection de deux surfaces cy lindriques.

Si la courbe C était tracée dans un plan perpendiculaire au plan horizontal, par exemple, toutes les droites oa*, bb k , etc. , seraient situées dans ce plan, C* serait l'inlerseclionde ce plan avec le plan horizontal, et par conséquent cette projection de la courbe C serait une droite et l'autre projection serait nécessairement une courbe. Si la courbe C était dans un plan perpendiculaire à Lî, ses deux projections seraient l'une et l’autre des droites.

»fl‘.

•JÏÎl Qigitzod b/t.' cingle

26. Pitom.. -i. Trouver les points en lesquels une courbe rencontre les plans de projection (Jig. 28). Los points on lesquels la courbe C rencontre le plan horizontal se ^projettent Verticalement sur C" et sur LT ( n” 20,2“) donc à leur intersection en a’ et en b°, les points a et b seront sur C* et sur des perpendiculaires à LT élevées par les points a" cl mais ces perpendiculaires- rencontrent généralement la courbe C* en plusieurs points, qui peuvent indifféremment être pris pour les traces de la courbe C, à moins que par une circonstance quelconque on soit conduit à exclure quelques-uns d’entre eux, comme dans ce cas-ci , par exemple , nous excluons les points «et (3 qui, évidemment, ne peuvent être les traces de la courbe C. On trouverait de même les traces verticales de la courbe C.

Remarquons qu’une partie de C* ne correspond à aucune partie de C" et ne peut pas par conséquent être la projection d'une portion de la courbe C : de même une partie de C" n appartient pas à la projection de la courbe C : nous donnerons ailleurs l’explication de celle circonstance.

Les lignes courbes étant représentées de la même manière que les lignes droites, au moyen de deux projections, on doit en conclure que, si deux courbes, C et C situées dans l’espace, se coupent en un point m, leurs projections C* , C'* et C, C'“ se couperont respectivement en des points qui seront ni* cl ni” projections du point m et dès lors tels qu’ils pourront être unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre.

Représentation du plan.

27. Par deux droites parallèles, ou qui se coupent, par une droite et un point, on peut faire passer un plan cl on ne peut en faire passer qu’un; parmi les droites qui peuvent fixer la position d’un plan dans l’espace, on choisit celles en lesquelles il coupe les plans de projections et que Ton nomme les traces du plan. Il est évident que les deux traces d’un plan doivent rencontrer la ligne de terre au même point, qui est le point d’intersection de celle ligne et du plan.

>ous désignerons un plan dans l’espace par une lettre majuscule, et ses traces horizontale et verticale respectivement par les lettres H et V avec la lettre qui désigne le plan, pour indice, ainsi ( fig . 29) H' et V’sonl les traces du plan P.

Lorsqu un plan sera donné par deux droites nous l’indiquerons par les lettres qui désignent ces droites mises entre parenthèses : ainsi le plan (A , B) signifiera le plan déterminé par les deux druites A et B; nous dirons de même le plan (A, a) pour indiquer le plan déterminé par la droite A et le point a; et enfin le plan (o,6,c) exprimera le plan passant par les trois pointa, b et c.

28. Prom.émr 5.' Étant connut la projection horizontale tf une di-oite située sur un plan tlo/iné par ses traces trouver sa projection verticale (fig- 29). Il est évident que les traces d une droite située sur un plan se trouvent sur les tracesule cc plan , donc la trace horizontale de la droite I) sera le point a, intersection de II et I> , doit l'on déduit un point a* de D*. La trace verticale de D se projette horizontalement au point b k , intersection de D* eide LT, et le point lui-même est en b sur V. ; donc on connaît D\ Si l’on donnait D' on en conclurait de mémo D*.

29. Problème 6. Étant connue la projection horizontale d' un point situé sur un plan donné par ses traces trouver sa projection verticale (fig. 2!»). Si par le point m et dans lé plan P on conduit une droite D quelconque, D‘ passera par m\ et l ou en conclucra D* (n* 28); puism*, devant se trouver sur D' et sur une perpendiculaire à LT abaissée du point m\ sera à l‘ intersection de ces deux droites. Si l’on donnait m * on en conclurait de la même manière m*.

Il résulte de là qu’un plan est complètement déterminé par set traces.

30. Un plan est aussi complètement déterminé pat deux autres droites quelconques, qui se coupent (fig. 30). En effet soit m‘ la projection horizontale d'un point appartenant au plan (A, It) (n°27); par le point m et dans le plan ( A, B) menons une droite quelconque X; X* passera |>ar m*, cette droite X rencontrera nécessairement les droites A cl B en des points a et 6 , dout lès projections horizontales sont les points d* et b\ intersections de X‘ avec A* et B*; on en conclut « r et 6'qui font connaître la droite X' sur laquelle est située la projection verticale m*du point m, donc ce point est déterminé. Il est évident qu il en serait de môme si les droites A et B étaient parallèles.

31 . Phoblême 7 . Un plan étant donné par deux droites en trouver les traces (fig. 3 1 et 32). Les traces de chacune des droites devant se trouver sur les traces du plan, nous chercherons ces traces (n* 15) et nous aurons deux points a et b de H' cl deux points a et b’ de V’, il faut en outre que ces traces coupent LT au même point, ce qui servira de vérification à l'exactitude des constructions.

^ious dirons à cette occasion que dans tous les problèmes à résoudre , 1 élégance des méthodes consiste à se ménager le plus possible des moyens do vérification , sans toutefois en augmenter le nombre aux dépens de la simplicité des constructions-

32. Si l'on voulait trouver les traces d'un plan donné par une droite D et un point m, par le point m on mènerait une droite D parallèle à D, ou la coupant, et ensuite on chercherait les traces du plan (D, D ).

Si le plan était donné par trois points, unissant ces points deux à deux on obtiendrait trois droites, ou bien On pourrait unir deux points par une droite à

laquelle on mènerait une parallèle par le troisième point. 11 sera facile de résoudre ces diverses questions.

33. Alphabet du plan. Un plan peut affecter plusieurs positions dans l'espace.

1* Il peut être oblique par rapport aux deux plans de projection, il y a deux cas à distinguer (fig. 33) suivant que les traces font des angles aigus » et avec la même partie de LT , ou avec des parties différentes.

2* Dans les deux cas les angles a et |3 peuvent être égaux, et dans le dernier cas les deux traces se confondent (fig. 34).

3* Si le plan P est perpendiculaire au plan horizontal , sa trace verticale est aussi perpendiculaire au plan horizontal (fig. 35') et par conséquent à la ligne de terre.

4* -Si ce plan était perpendiculaire au plan vertical la trace horizontale serait perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 36 ).

5* Si le plan était perpendiculaire à la ligne de terre, les deux traces se confondraient évidemment en une seule droite perpendiculaire à la ligne de terre (fig- 37).

6* Lorsque le plan est parallèle au plan vertical, sa trace horizontale est parallèle à LT , sa trace verticale n’existe pas ou plulèt elle est située à l’infini ; le plan peut alors affecter deux positions (fig. 38 ).

7* Un plan parallèle au plan horizontal n’a pas de trace horizontale et sa trace verticale est parallèle à LT; il peut encore affecter deux positions (fig. 39 ).

8* Le plan peut être parallèle à la ligne de terre , ses traces sont alors toutes deux parallèles à LT, car s’il en était autrement la ligne de terre rencontrerait le plan. Suivant que les traces sont situées sur l’une ou sur l’autre des parties de chaque plan de projection , le plan P peut affecter quatre positions (fig. 40).

9* Le plan peut être également incliné par rapport aux deux plans de projection , ses deux traces sont alors 4 égale distance de la ligne de terre, et si elles sont du même côté elles se confondent (fig. 41 ).

10* Un plan passant par la ligne de terre ne peut plus être déterminé par ses traces, qui ne forment qu’une seule droite ; mais un plan étant déterminé par une droite et un point, on choisit la ligne de terre et-l'on donne en outre un point quelconque que nous noterons par la même lettre que le plan. Ce plan peut affecter deux positions (fig. 42) suivant qu’il traverse l’angle À, S et son opposé , ou les deux autres angles dièdres.

Il* Enfin le plan pourrait être l’un des plans de projection , le point donné devrait alors avoir une projection sur la ligne de terre.

34. De tout ce qui précède nous pouvons conclure qu’un plan est toujours dé-

terminé par une droite et par un point, tandis que ses traces ne sont pas suffisante* dans un cas particulier.

35. Parmi les droites que l'on peut tracer sur un plan, il faut principalement distinguer :

1* Les horizontales du plan; ce sont des droites situées dans le plan et parallèles au plan horizontal.

2* Les verticales du plan ; ce sont des droites situceS sur le plan et parallèles, au plan vertical.

3* Les lignes de plus grande pente par rapport au plan horizontal ; ce sont des droites perpendiculaires à In trace horizontale de ce plan. En effet par un point m ( fig. 43) du plan MP menons mo perpendiculaire et mq oblique sur MN , abaissons aussi mp perpendiculaire sur le plan AN et joignant po pq\ po sera perpendiculaire, pq oblique sur MN, donc‘po<jK/, d’où — or, ces rapports sont

eu qu'on nomme les pentes de mo et mq sur le plan AN , donc mo est la ligne de plus grande pente.

Remarquons que ^ =. lang a , et nous on conclurons que la pente «l'une

droite ou d'un plan sur un autre plan est exprimée par la tangente trigonomctrique de l'angle que fait cette droite ou ce plan avec le second plan.

4* Les lignes de plus grande pente par rapport au plan vertical ; ce sont des per- I tend icula ires à la trace verticale de ce plan (d'après la démonstration précédente).

3fl. Problème 8. Tracer une horizontale et 'une verticale d'un plan {fig. 44). Une horizontale D du plan P étant parallèle au plan horizontal, sa projection verticale D* est parallèle à LT, sa trace verticale doit être sur V’el sur D% donc en b , dont la projection horizontale est A*; la droite D étant parallèle à il’, sa projection horizontale D* doit être aussi parallèle à H’ ( n* 20 , 2’ ) et passer par b\

Une verticale B du plan P étant parallèle au plan vertical , sa projection horizontale H* est parallèle à LT , et sa projection verticale U’ parallèle à V’.

Les deux droites D et It étant sur le plan P se coupent en un point m ; donc

et »T doivent être sur une même perpendiculaire à LT , ce «jui sert à vérifier l'exactitude des constructions.

37. Problème 9. Tracer dans un plan donne 1 les lignes de plus grande pente. La fig. 43 prouve que la projection po de la ligne de plus grande pente mo du plan MP sur le plan AN est perpendiculaire à l'intersection MN de ces plans.

Cela posé, la projection horizontale D* (fig. 45) de la ligne de plus grande [tente par rapport au plan horizontal doit être perpendiculaire à H’, on en déduit I)* ( n‘ 28). De tnème lu projection verticale K 1 ' de la ligne de plus grande pente

par rapport au plan vertical cl perpendiculaire à V', el l'on en déduit la projection horizontale K*.

Les deux droites D et K situées sur le plan P se coupent en un point m ; donc in* et m" doivent cli-e sur une même perpendiculaire à LT.

38. On voit par là qu'une ligne de plus grande pente d'un plan suffit pour le déterminer complètement, puisqu’on peut par son moyen obtenir tant d’horizontales ou de verticales, que l’on veut, de ce plan; el que l’on connaît dés lors deux droites qui se coupent el sont situées dans ce plan.

39. PnonLÈME 10. Par un point donné mener un plan parallèle <i un plan donné.

Deux plans parallèles ont évidemment leurs traces de même nom parallèles;

déplus nous savons que si deux plans P et Q sont parallèles, que par un point quelconque») du plan Q on mène une parallèle à une droite située dans le plan P, elle est tout entière contenue dans le plan Q.

Cela posé , dans le plan P donné (fit/. 40) conduisons une droite quelconque D, puis par le poinlm menons la droite K parallèle à D;cllc est située dans lcq)lan cherché Q, donc sa trace horizontale a est un point de H" et sa trace verticale b un point de V”, d'ailleurs ses traces doivent être respectivement paralèllos à 1T et V*, elles sont donc connues, et de plus , comme vérification , elles doivent se couper sur LT.

On peut se dispenser de mener la droite D, car par le point donné m, si l'on fait passer une horizontale K (fig. 47 ), du plan Q , K* sera parallèle à H* et par conséquent à H* , et K' à LT , puis la trace verticale 6 de celte droite sera un point de Y” qui doit être parallèle à V’ ; celte trace rencontre LT en un point q, par lequel on mènera 11” parallèle à H’. Au lieu d'une horizontale, on pourrait employer une verticale du plan , et l'on trouverait ainsi directement un point de H*.

40. Si le plan P n'est pas donné par ses traces mais par deux droites qui se coupent , il suffira évidemment de mener par le point donné deux droites respectivement parallèles aux deux droites données, elles détermineront le plan cherché.

Si le plan P était donné par deux droites parallèles, par une droite et par un point, ou par t refis points, on se ramènerait d'abord à l'un des deux cas précédents en construisant les traces du plan donné(n“31 et 32), ou deux droites situées dans ce plan et se coupant , et l’on déterminerait alors le plan Q comme ci-dessus (n”39).

41. Arrêtons-nous un instant sur les figures précédentes afin de montrer les avantages de la notation adoptée dans ce cours. La fig. 18 est exactement reproduite dans le premier cas de la fig. 33, la notation seule rappelle qu'il s'agit dans la première (fig. 18) d'uue droite rencontrant la ligne de terre et dans l’autre (fig. 33) d'un plan quelconque; la notation par lettres accentuées sur le plan vertical ne serait pas encore suffisante puisqu'elle s'applique également aux plans

JT

ri aux droites. Les premier et troisième cas des ligures 1 1 et 40 ne différent aussi / * t

que par la notation. I.a figirre I2cst ideuliqueniént rt-produitedans les ligures .18 et - 3 9. Dans la ligure 14 La notation seule peut indiqilter qu'il s’agit de droites dont lès pifojgètions se confondent et non de droites l racées sùHa partie postérieure du ptyu horizontal ou si^.la partie in/érieu/aedu plan Vertical [jig. 12 ), ou encore de jdans parallèles au plan vertical (jig 3K ou au plan horizontal ( Jig . 39).

Sans la notation eftqdojéo dans la ligure 44, on ne, recômml trait pas des plans parâlKîles à la ligne de-terre et dont les traces se conftndenl , mais bièn plnhJt des „ plans parallèles au plan horizontal {jig. 39) ou au plan vertical {Jig'. 38>). K fi lin . la ligure 12 ne présenterait que tel projections iTnnt>oint, et ne pourrait pas rappeler un plan passant |iar la' ligne de térre. Il est essentiel de remarquer que ta ponctuation des lignes ne peut pas siîfqihhm VJ : insuffisance dès autres notations

dârts les exemples- que je viens de cftijr, ils sont. donc •très-pt'opfes à prouver' futilité de la notation que j’emploie depuis i

>qoc j’emploie depuis quinte qns dans mA leçons. • '

•fill. résumé :

1* Un point de l’espace peut occuper treize posiuônsrpar rapjVjrl aux dtfiîx plaits • de projection, en y comprenant les quatre positions Où il est également -distant • xlecês deux plans.

line droite de lesjiaey. jieul occuper, jremte-muj po^iqons.par rapport aux * deux plans’ de projection en y comprenant cclfcàutu' elles sc trôuvent situées

d.aus l'un, des deux plans bissecteurs et celles où elle est perpendiculaire à l'tm .»« ..... .1 : i • •» aL . A

de Ces «leux plans bissecteurs, ainsi qu'il suit :

)4 Positions où la^foiteçoupp lesplansdêprojCctioé d' (lue tnaidèfe arbitr|n(c. ”

. . . 1 4 Positions où elle c!>l perpendiculaire à l’uti ilçs (flans bissecteurs. r “' . > \ '

« Positions où elle est -parallèh} à l'un des plans. dfl;projecüan et "obliqué à* ’ * *■ ' J

l'autre. !

t> Positions où elle est perpendiculaire à ^'orndes plans de projection.

, j> Ppsitioas où elld est parallèle à la ligne de terro'el à Une distance arbitraire des deux plans île projection. ’» • - . •. i . »*'

5 Positions où étant parallèle à la ligne de terre eltc-est située dans l uli des plan-, bissecteurs. ’

2 Positions où coupant ta.lignc de terre elle fait un angle aigu avec'eltç. •£•

Positions OÙ elle est située dans un plan bissecteur.

12 Positions mi coupant la ligne do terre elle hii est perpendiculaire 12 Positions où clic est située dans un plan bissecteur.

3* Un plan d» l'espace peut oeçuper vingt et une positions par rapport aux deux ' plans de projection en y comprenant celles où il est perpendiculaire à l'un des •

Digitizêd bytàoogle

Jigitized byiuC

plans bissecteurs et celles ou U n'est autre que l'un de ces deux plans bissec- > , ainsi qu’il suit :

! Positions où le plan çoupe les deux plans de projection et la ligne de terri-. Positions où il est parallèle à l’un dès plans de projection.

Positions où il est perpendiculaire à l'un des* plans de projéctien et oblique par rapport à l’autre plan de projection.

Positions Où il passe par la ligne de terre. '• ■* • *

Positions où il n’est aûtre que l’un des deux plans bissecteurs.

Positions où il est parallèle à la ligne de terro et oblique aux plans de pro- .

jCtinu.

Positions où il est parallèle à la. ligne de terre et perpendiculaire à l’on des plans bissecteurs. * v >• .

Position où il est perpendiculaire à la ligne de terre. •

* ; ; cHàmâ ii