DK LA TRANSFORMATION CYLINDRIQUE ET CONIQUE

Transformation d’une droite en une autre droite, et d’un plan en un autre plan.

192. Si l’on a une droite Ddans l’espace et un plan II, si par la droite b on fait passer un pian P coupant le plan II suivant une droite D, on peut dire que la droite D, est la transformée sur le plan H de la droite D de l’espace.

Le plan P que nous faisons passer par la droite b peut être considéré, 1* comme engendré par une droite G se mouvant parallèlement à elle-même et 4 une droite K située dans ce plan P et alors l’on regarde le plan P comme engendré cytindriquement ; 2* comme engendré par une droite J passant par un point t situé sur ce plan P cl se mouvant sur une droite L située aussi dans ce plan P, et alors l’on regarde le plan P comme engendré coniquement bans le premier cas la droite b

est la projection cylindrique ou oblique de la droite D ; dans le deuxième cas la droite D, est la projection conique ou centrale de la droite D ;

Dans le premier cas : si l'on mène une droite G parallèle à K et coupant les droites D et D, respectivement aux points d et d,, ces deux points d et d, seront deux points homologues et nous dirons que le point rf, est le transformé du point d dans le mode de transformation cylindrique, et les droites G... sont dites droites de transformation cylindrique.

Dans le deuxième cas: si l'on mène par lepoinl * une droite J coupant les droites D et D, respectivement aux points b et 6, , ces deux points b cl b, seront deux points homologues cl nous dirons que le point 6, est le transformé du point b dans le mode de transformation conique ; et les droites J.... divergentes du point s sont dites droites de transformation conique.

Il est évident que dans le mode de transformation cylindrique, le point milieu d'une droite D se transforme en le point milieu de la transformée D,, et que cela n'a pas lieu généralement dans le mode de transformation conique , en if autres termes, que cela ne peut avoir lieu , lorsque l'on emploie le mode de transformation conique, que dans quelques cas trcs-particuliers.

Si l'on a un plan P dans l'espace et deux droites A et B situées sur ce plan P et que par A et B on fasse passer des plans A' et B' parallèles à une même droite l arbitrairement située dans l’espace, et que l’on coupe le système par un plan Q, on pourra dire que le plan Q est le transformé du plan P, car les deux droites A, et B, suivant lesquelles seront coupées par le plan Q, les plans. A’ et B', seront les transformées cylindriques des droites A et B, les droites de transformation étant parallèles à i.

Si l’on a un plan P dans l’espace et deux droites A et B situées sur ce plan, et si par ces droites A et B on fait passer des plans A’ et B’ assujettis à passer l’un et l'autre par un même point s de l'espace , et si l’on coupe le système par un plan quelconque Q, on pourra dire que le plan Q est le transformé du plan P, car les deux droites A, et B, suivant lesquelles seront coupés par le plan Q les plans A' et B' seront les transformées coniques des droites A et B, les droites de transformation divergeant du points. - '[f

Dans le premier cas : on dira que le plan Q est le transformé cylindrique du plan P.

Dans le deu xième cas : on dira que le plan Q est le transformé conique du plan P ; cela posé :

Traçons dans un plan P deux droites D et Y se coupant en un point u.

Par les divers points m, m’, ni", ... de D menons des parallèles à une droite J située dans le plan P et coupant la droite Y en les points p, p', p", puis par les

points p, j/, p", ... menons des parallèles A une seconde droite i, et prenons sur ces parallèles des points m„ m'„ m"„ ... tels que l'on aie :

mp : m’p' : m'p" : etc, : : m,p : m',p' : m", p' : etc.

les points m,, m'„ m", ... seront sur une droite D, passant par le point o.

On pourra dire que la droite D, est la transformée cylindrique de la droite D; mais elle ne sera plus sa transformée d’une manière directe, car pour passer de la droite D à la droite D, on s'est appuyé sur la droite Y ; c’est pourquoi on doit donner à la droite Y le nom d’axe de transformation cylindrique.

Ce que nous venons de faire dans un plan , nous pouvons l’effectuer dans l’espace et de la manièresuivante. %

Par une droite Y menons deui plans P et P, ; coupons les deux plans P et P, suivant les droites i et I, par un plan quelconque Q; cela fait, traçons dans le plan P une droite D coupant la droite Y au point o, puis menons par les divers points m, m', m", ... de D des parallèles à J, lesquelles couperont Y aux points p, p’, p", ...enfin menons par les pointsp,p', p", ... des parallèles à J, et prenons sur ces parallèles des points m„ m'„ m",, etc., tels que l'on aie :

mp : «y : m”p" : etc.. :: m,p : m\p' : m’,p" : etc.

les divers points ni, m'„ m",, seront sur une droite D, située dans le plan P, et passant par le point o.

11 est évident que si l'on prend sur la droite D deux points x cl y, le point q milieu de xy aura pour transformé sur D, le point q, qui sera le milieu de la droite x,y,, les points x, et y, étant les transformés sur la droite D, des points x et y de la droite D.

Cela posé :

Remarquons que les droites ram,, nt’m', , mV t , ... seront toutes parallèles entre elles et situées dans le plan X passant par les droites Det D,, et de plus on aura :

mm, : m m', : m"m n , : etc. :: mp : mp' : m 1 " p" : etc. :: m,p : m',p' : m"j>' : etc.

On aura aussi :

mm, : m m', : m"m", : etc. :: mo : m'o : m'o : etc. :: m.o . m‘,o : m", o : etc.

on peut donc regarder les deux droites D etD, (en tant que situées dans le plan X) comme étant l’une D, la transformée cylindrique directe de l’autre droite D.

— in —

Si l’on a deux plans P et P, se coupant suivant une droite Y et si l’on trace dans le plan P deux droites D et D' on pourra déterminer, en s’appuyant sur la droite Y comme axe de transformation, deux droites D, et D', qui situées sur le plan P, seront les transformations des droites D et D'. On peut donc dire que le plan P, est le transformé du plan P au moyen de l’axe Y de transformation.

D’après ce qui précède on voit : 1" que si l’on a un prisme 2 coupé par deux plans P et P, se coupant entre eux suivant une droite Y, on peut dire que la section » (P, 2) a pour transformée cylindrique la section (P,, 2), l’axe de transformation

étant la droite Y.

2* Que si l’on a une pyramide 2 coupée par deux plans P et P, se coupant entre eux suivant une droite Y, on peut dire que la section ( P, 2) a pour transforme,conique la section ( P,, 2 ), l’axe de transformation étant la droite Y et le centre de la transformation étant le sommet s de la pyramide donnée 2.

Appliquons ce qui vient d’être dit à quelques exemples.

Transformation dans f espace d'un polygone plan en un autre polygone plan.

192 bis. Si 1° nous traçons sur un plan H une droite D, et si nous prenons sur le plan H deux points a et 6 arbitraires , la droite qui les unit coupant la droite D en un point p ( fig ■ 1159).

Si 2* nous dirigeons dans l’espace une droite R venant percer le plan H au point x.

Si 3° nous prenons sur la droite R deux points arbitraires s cl

Si 4 nous joignons les points

I * et a j s et b I s' et ai *' et b'

par quatre droites.

Si 5’ nous prenons sur la droite R un point arbitraire s.

Si 6* nous joignons les points x et a, x et b par deux droites venant couper la droite D , la première au point a et la seconde au point |3.

Si T nous joignons les points i et a, * et |3 par deux droites, savoir :

* a coupant sa en a’ sf) coupant sb en b 1

Si 8* nous menons les droites

| xa' coupant s'a en a". * j xb' coupant s'b en b".

Je dis que les irois points a', b', p, sont en ligne droite, ainsi que les trois points a", b", p.

Je dis aussi que les droites aa", fib'', étant prolongées se coupent en un point y situé sur la droite R.

En eflct, la droite abp peut être considérée comme la trace, sur le pion H, d'un plan X coupant la droite R au point t. La droite abp peut encore être considérée comme la trace, sur le plan II, d’un plan X' coupant la droite R au point

Les droites ax, (Le, peuvent être considérées comme les traces , sur le plan H , île deux plans A et B passant par la droite R.

La droite D peut être considérée comme la trace, sur le plan H, d'un plan P coupant la droite R au point s.

Ainsi , la droite a'b'p est l'intersection des deux plans P et X.

Par les trois points a', b', x, on peut faire passer un plan Z; ce plan Z coupera le plan A suivant la droite xa'b' et le plan B suivant la droite xb'b'' , et le plan X' suivant la droite a"b".

Or : lesdroitesa'é',a''6"élant dans le plan Z, et aWcoupant la droite D au pointp, la trace sur le plan U du plan Z sera xp ; donc la droite a" b" passe par le point p.

Les trois droites a a", (3é", a"b"p, déterminent un plan Q ayant la droite D pour trace sur le plan II , et ce plan Q coupera la droite B en un point y tel que les droites an', $b" devront passer par ce point y , puisque les droites an" et fib" sont les intersections de ce plan Q avec les plans A et B, lesquels passeut par la droite R .

On peut supposer que la droite R ne perce pas le plan H, mais lui soit parallèle ( fig . 169, e).

Alors le point x est situé à l'infini .

Alors les droites R, an, $b, a a", b'b", sont parallèles entre elles.

Le reste des constructions subsiste sans autre modification.

Nous pouvons étendre ce qui précède à trois points a, b, c, pris arbitrairement sur le plan U {fig. 169, a).

Ainsi, la droite R perçant le plan U en un point x, on pourra considérer le triangle abc comme la base commune à deux pyramides ayant, l'une son sommet en * et l’autre en s'.

Le plan P, dont la trace sur le plan H est la droite D , coupera la pyramide (s, abc) suivant le triangle a'b'c, et la droite R au point s.

Si l’on considère le point x comme le sommet d’une pyramide ayant le triangle a'b'c ' pour base, cette pyramide (x, a'b'c) coupera la pyramide (*, abc) , suivant le triangle a''b"c' , dont le plan Q passera par la droite O.

Ainsi l’on peut dire :

Ayant, pour deux points a et 6, déterminé les points s et y , la pyramide (i \abr) sera coupée par le plan P on (*, O), suivant le triangle a'fc.

La pyramide (J, abc) sera coupée par le plan Q ou (y, O), suivant le triangle abc .

Les deux triangles aWc, a"b"c f, seront sur une pyramide dont le sommet sera en x. .

Cela aura lieu pour un polygone d'un nombre n de côtés , que les côtés soient fini? ou infiniment petits.

Ainsi l’on peut dire ;

Étant donnés sur un plan U , un polygone C et une droite D;

Étant dirigée dans l'espace, une droite R coupant le plan H en un point x;

Faisant passer par la droiteD un pian P coupant la pyramide (s, C), 'suivant un polygone C'.

La pyramide (x, C') coupera la pyramide <*', C) , suivant un polygone C" qui sera plan, et dont le plan passera par la droite D.

Si la droite R est parallèle au plan H, le point x sera situé à l'infini, et dès lors, les triangles a'6V, a"b n c n , seront sur un prisme dont les arêtes n'a", b' b", c'e", seront parallèles à la droite R (fig. 169, b).

Cela aura lieu pour un polygone d’un nombr earbitraire de côtés finis ou infiniment petits.

Dés lors on peut dire :

Si l’on a une droite R parallèle au plan H , un polygone C et une droite D tracés sur ce plan M ;

Si l’on prend deux points arbitraires rets', sur la droite R; si l’on fait passer par la droite Dun plan arbitraire P, ce plan occupera la pyramide (*, C), suivant un polygone C'.

Si l’on regarde C' comme la base d'un prisme 2 ayant ses génératrices parallèles à la droite R , ce prisme 2 coupera la pyramide (s 1 , C), suivant un polygone C'' qui sera plan et dont le plan passera par la droito D.

De ce qui précède , on peut déduire certaines propriétés de (ransvermles ; ainsi :

Si l’on suppose un plan V perpendiculaire au plan H et à la droite D , ce plan V coupera la droite D en un point d, le plan H suivant une droite K (fig. iW,c).

Les sommets du polygone tracé sur le plan H se projetteront sur la droite K

en les points a, b, c La droite R se projeté ra suivant R , les sommets des

deux pyramides se projettant en * et s', et le point x en lequel R perce le plan II, se projettera sur K enx.

Le plan P aéra coupé par le plan V suivant la droite d P.

Les sommets a', b', c' du polygone se projetteront en les points a', b\ c', situés sur la droite P et sur les droites ta, tb,

Il est alors évident que :

1* Si l’on mène les droites xa', xb\ xc elles couperont les droites t'a, tb,

t'c en des points a 1 ', b", c’ 1 , qui seront en ligne droite, et la droite Q qui les

contient passera par le point d.

2* Si la droite R était parallèle à la droite K (Jig. 109, d) , les droites a'u", b'b", c'e". seraient parallèles entre elles et à la droite R, et les points a', b', d, étant

sur une ligne droite d P, les points a", b", c" seront aussi sur une ligne

droite rfQ.

Nous pouvons considérer toutes les lignes droites tracées dans les ligures (169. 169, aj 161) , b), comme étant les p;ojeclions sur le plan H de toutes les figures considérées dansfespace; on serait, par ce qui précède, facilementconduit aux propriétés si remarquables et appartenant à trois polygonesou à trois courbes (*)situées sur un plan 11 , dont chacun des sommets ou des points sont liés entre eux et aux droites R et D , ainsi que le sont(/îÿ. 109, a et 109, b) les trois points a, a', a".

On pourrait supposer que la droite D fût située à l’infini , alors les plans P et 0 deviendraient parallèles entre eux et au plan H.

La figure ( 169,/) fait voir en effet : ( la droite R perçant le plan H en x) que le plan P ou (a'b'z ) , et que le plan Q ou ( a"b"y ) seront parallèles au plan H ou ( abx ).

La ligure (109, g) fait voir en effet : (la droite R étant parallèle au plan H ) que les plans P et Q sont parallèles au plan H, et de plus se confondent en un seul et unique plan.

3" Dès lors (fig. 169, h ) , si sur les droites sa, tb, te, on prend les points a', b 1 , c', situés sur une droite P parallèle à la droite K; si l’on mène xa', xb' , xc 1 , les points a", b", c", intersections respectives de ces droites concourant au point x avec celles t'a, t'b, t'c, concourant au point **, seront sur une droite Q parallèle ù K.

4» Et (Jig. 169 , k) les droites R et K étant parallèles, on doit avoir les points a', b', c', et a", b", c', situés sur une seule droite P ou Q parallèle à K.

(*) Kn considérant une courbe comme étant un polygone d'un nombre infini de cdtés, chaque çAlé étant infiniment petit.

»n tu la ruminr.i: parti».'