OA

DiqUize^fay GQQglc

Oil. Problème 3. Trouver l'inclinaison d'une droite sur le plan de comparaison. On sait que cette inclinaison est mesurée par l’angle de la droite avec sa projection sur le plan, elle sera donc donnée par la fig. (148) de laquelle on tire :

long lmm‘

Im

Si nous supposons qu’il s’agisse de la droite D (fig. 149) , nous aurons : y — ÿ=4*,4j^ et *W2",00

donc posant il’ où

Imni = », ona : «ang »= — - — = 2“.20

tog rang » = tog 2, 2<)=? 0,3424227 = lof, lang (65‘ ,33,22'' ! donc : a =65% 33', 22".

105. Problème 4. Trouver sur une droite donnée ta distance de deux points- l.e triangle rectangle mlm (fig. 148) donne :

" m = V / mr+lm" ou v : x'+iy-ï? ■

Soit demandée, par exemple, la distance des pointsm et m (fig. 149), nous ayons (t>‘ 102) *'=2””, y' — y =4", 4 ; ces valeurs, Substituées dans la formule, donneront

mm' oui - " .. .

A =V/2’+(4,4 )' m V\ + 19,36 =1/23,36 ou enfin A— 4”, 8382.

100. Problème 5. Trouver sur une droite donnée un point distant d un point donné, d'une quantité déterminée. Supposons que m" soit le point demandé, il faut connaître m*m"* ou x" et m"*«n” ou y"; pour cela nous avons déjà trouvé (n‘ 162) ‘

puis le triangle Rectangle min'k donne : .

d’ou J

et x

* x Aj:'

puis (p* i(Y$) *

/M-(y’-ÿ)’ . ^\Zx‘+ Cy— y

jf=y±

Vx n + (y'~-y)>

* •’• i .. *» * t • , * • et '•*. .

.1 al.. anh I •> n f £n i ^ I \ ni ii <(ii iintnl >■> *

Soit demandé de porter sur la droite 0 ( fig . 151 )el à partii du point m une » • 4

longueur égaleà U". Avant porté la distance horizontale m*m‘ su i IV. belle) /»/. 146). ^♦*>3

supposons «pi'onl'ait trou vé^deO^, 027 d'ott je'=2”,70;on.a d’ailleursip^lB^.OO . : ’.j

et V= 25" ,00. En substituant <es valeurs dans les formules precedentes, .•lier . .* .3

donneront . 1 v • ‘ v • • I

r' =-t-— -iiiiI- = i 6 A = ^te.2\/^9 = ^V/H778,37(iS^ • . .■■•’

‘ l/^r+m' VA.» «,« 5049 .... •

portant donc de part et d autre.de »n* une longueur 0", 021 > na ,ur' i'.sqrJ'.qp|ieHe •> • •• .P* ~ja

' r a i» n ... l...kW r..,!»*., — .'W <titi e. innn f l,<c iimtiinlionc liitriVtlin. ^

(fo, 147), on aura deux point»™"* .et m w * qui seront les projections horizon-.' laies dos points satisfaisant à la question; pour en avoii les cote», puisque

très-peu près.

Il \ a deux valeurs égales et de signes contraires de r . parce que I on peut - -\ TÊ

' prendre le point m"* de part et d’autre de m\ et les deux valeurs de f r <qHOo4bnt ri

respectivement à ces deux points qui, évidemment , doivent avoir des cotes diflré • - ;• 'Æ

. 467. Pour que deux droites soient parallèles, il est évident que lellrs projec- ’ lions horizontales doivent être parallèles , les cotes de leurs points doivent croliré I

dans le même sens, et les distances horizontales de deux points de chaque droite doivent être proportionnelles aux différences de leurs cotes <n“ 22). ■

Réciproquement , si ces conditions sont remplies, les droites tfont évktemnmn^ i . . s ’ |

..fàiNjMgte. Il est donc fhfcile de mener par un point donné une droite parallèle . .s *

une droite donnée. <• . /■ v-J ; , ^ . l? - . ‘ / * v 'M

• tSf lt:u hknin i ur A T / /m/i/i) A à» tlteiir Si I lê*< ill'ttlIt'C nrfilutCiw Ils* Mit ' * . ^ al

procédés; ainsi, par exempta, «n (tettt •>’ ^ • 'I

Prendre sur les deux droites A et B (fig. 152), deux points ayunt mêmes >•

' cdpi, pour «fcla on éfcrebe Sui la droite B le |K»int />, dont la cote est égale a la • S

• - .jr.-v • : • • *■. •

*4lM dbiwùc du point m «le la «Iroiie A , la droite mp «jsi alors horizontale et par • conséipienl égale A sa projection m‘p* (n* 5<i, V;. Si I on cherche les longueur*

: f <*1 M («* 1B3) «les portions dm et dp des droites A et B, on connaîtra les trois - ,c>lês du triangle dmp , on pourra donc conclure l'angle cherché mdp. Soient I» droite \ donnt-e par les points d ayant la cou (3* ,5 ) , et m ayant la eoù (2“.K). •‘t </* *>* — O’jQa, et la droite B donnée par les points d ayant la oou ,:i ,5) « ■! »

ayant la cou (l", 21), et <fif*=(r,04.V Nous aurons d’abord le point p* par la Tôt mule fn lft.1) :

Puis nous aurons (n' Mtr») :

8,5-i.M “ 9Ïfi = 0,4 '* ,ra - pcu pra

'r < % . ■'* "V ■ fy I |fc

■•n désignant par d l'angle «les deux droites et en taisant S— * ‘ . -, • •; .

En substituant les valeurs précédente^’ M==i“,S6., B=tï , ;iî; 1 1 = — . t tu. nous aurons ; .* ’* v • * ’ r ?■’ -,V r} ...\

. • . JrC r •

> J ‘ r,v " ung i dàs r 0,98 X 0,4* * • - v , ‘ ^

ilanc

I«i(f tang ; d = « log u,9» log 0,49 -j-- üomp 1 log 2,54 + « comp 1 log 1,14= |.»ï66l.304-f- . *'

•+ (,8116^464 + 4, 7975831 4 +4.97154 757 = 9,57636*4 = logUng<2U\ J »', -iT ,

tlonc ^ i • - f * , v * > ' ”i“ •

2" On pourrait, sur les deux côlisi A et B de I angle chci'ché , prendre des lou gutjurs égales; pour osfa 00 prendra sur A‘ un point m*, on cherchera la vraie liai- ^ ,ueui de la droite dm (n“ 165), puis on dcterniiucin sur B* un point n* tel «pui In— dm (n r lfitt), et joignant mV, on cherchera encore la vraie longueur de mn, ' ' on connaîtra les trois «oies du triangle dnm, on calculera donc l'angle d pai les formules que fournil la Irigonoiuélrie ; jo n'appliquerai pas celle méthodes nu exemple , on pourra facilement s'y exercer. ; ïîi ^WSPmvpPPMî^ : v : fc* .rr " é

169. Piuibiivi 7. Étant donné un plan par non échelle de pente et la projection

d'itn point de ce plan, trouver *a cote ( fig . 153). L’échelle de pente étant déterminée par si projection E\ et les cotes de deux points met» étant pour le premier (3* ,34), et pour le second (8*, 13), et l'intervalle in* a* étant égal à 0",05. on choi ehera d’altord deux points p et q dont les cotes soient respectivement les nombres entiers 3 et 8 (n" 103), on mesurera l'intervalle p K tf, et, divisant cet intervalle i n cinq parties égales, on cotera les |>oinls de division 1, •">, 0. 7. il sera dès lors facile de prolonger ces divisions et de trouver tel point rpic l'on voudra: mais on peut se dispenser, si l’on veut, de faire cette o|iération préalable; il subira de remarquer que le point a est situé sur une horizontale du plan dont la projection K* est perpendiculaire a K*, elle coupe E en un point r dont nous chercherons I»

< ote (n" 103), elle sera en même temps celle du point a. -e - . «

Supposons, par exemple, que r* tombe entre les points m*, n k , et que I oit ail «V==0« U30; dans la formule (n itW)y"r=ÿc+- r - ^ — , nous connaissons ; ' -

û-ft-

Mî . . • *1 •. . >r.v -i*’;’-; - y - ’ • L-i .1 fc-,1 « -<r-

y = 3*,54, ^=8*,!*, J = 5‘, x =3“.6, d'ou y — y = 8*’,t2 — V,54 ^

I Vj« > . a* ». . V.W .2

< i?DC on substituant nous aurons:

3«,5t-f Se,»tfï6

donc enfin la cote cherchée du point a est i/' = 6”,83”0

On écrit l’éclrelle de [>enle d’un plan par deux traits parallèles très-rapproehés ; -ni on la divise toujours en parties égales de manière que les cote» des points de division forment la série des nombres entiers, parce qu’il est alors plus facile de trouver les note* des divers points du plan. * V- • >.<■ '• W~

170. PiuiBi fvn: 8. TuStteer ([intersection de deux plans. Ce problème a été résolu fa’/lOO) à l’aide de deux projections, nous" suivrons donc les mômes constructions en remplaçant les projections verticales par des cotes.

T Si les projections É* et E’* (fig. 154 ) des éclielles de pente ne sont pas parallèles nous prendrons deux points m otn sur Çdont les côtes soient les nombresentiers 8* et 3* ( n* 163 j et nous mesurerons la distance horizontale m* a* que je suppose de O”, 073 ; nous chercheront sur E' deux points m et n' ayant les mêmes cotes 8" et 3" et nous mesurerons la distance horizontale m'V* que je suppose de 0”,043; puis des points rn et m’ nous conduirons deux horizontales K et K' se coupant en un point k ayant la cote 8* et ce point * appartiendra i l'intersection 1 cherchée; des points n et n nous conduirons deux autres horizontales 11- et G’ se

- • >> I r ^ V ' -v V . », \ ^ ^ T yx •*

( oupant en on second point g ayant la cote 3" et qui appartiendra encore 4 I intersection I, des deux plans; l'intersection I est ainsi déterminée. \»j*

2” Si les projections E* et E'* ( fig . 155) sont parallèles, alors K‘ et K'*, (. et •Ot ne se coupent plus, mais dans ce cas l k doit être parallèle à K‘ et K'" puisqu’elle doit passer par leur point de concours situé à 1'inlini ; pour en avoir un lioint, nous prendrons sur K et K’ deux points arbitraires A- et A’ que- nous unirons par une droite A, puis sur G et G' nous appliquerons une droite B parallèle à A, ces droites A et B seront deux horizontales d'un troisième plan cou parles plans proposés suivant les droites gk et g'k' lesquelles se coupent en un point* de l’intersection I demandée. Menant par le point ** une parallèle aux projections des horizontales, on aura l‘; pour avoir la cote du |K>inlx, on peut la calculer sur l'une des droites gk et g'k'-, on peut aussi remarquer que I étant horizontale rencontre E et E' en des points qui doivent avoir la même cote, laquelle sera ceHe du point x. .

3" Il est évident qn’en menant d’autres droites quelconques telles que A et B, on peut trouver autant de points que l’on veut de I, de sorte que celte solution conviendra encore au cas ou les projections E* et E*, sans être parallèles, font un angle très-petit , auquel cas les droites K‘ et K'\ G‘ et G'* ne se croisent qu'au delà des limites du dessin ; on trouvera deux points comme dans le second cas, on les unit et l’on a I*; pour avoir les cotes des points * et x on jieut par ces points mener des horizontales de l’un des plans; et chercher les cotes des points où elles rencontrent l'échelle ^ pente du plan considéré.

fil. Problème 9. Tfourer l'intersection d’une droite et d’un plan (fig. 56 ). Par iih point de la droite donnéè D, menons une droite quelconque K', que nous considérerons comme une horizontale d’un plan passant par la droite D , puis dans le plan donné, menons une horizontale G a) uni la même cote que ladroitch. Ir& droites K et G seront dans* un plan horizontal, et se couperont en uu point a de riulursection I du plan donné et du plan (b , K). Menant deux autres horizontales K' et G' ayant aussi même cote , «Iles se couperont en un second points' de ><tte intersection I. qui sera ainsi déterminée; la droitel iracou|>er la droite-D. ch un point*., qui sera le point demandé. ’ . •r^'V V-

> 112. Problème K). Par un point donné abaisser une perpendiculaire sur un plan ‘tonne. I,a projection de lu perpendiculaire N devant être perpendiculaire à celle d’une horizontale du plan P , seia parallèle à E* (eu désignant par K l’échelle-de pcnledu plan doiAié P). Du plus, les cotes des droites N et E seront en sens inverse^, et tes inclinaisons de ces mêmes droites seronL complémentaires. En clTet ; par le point où la nunnale N perce le plan , concevons une ligne de plus grande pente A, lé plan^A, N.) sera vertical; prenotis-le pour plan vertical de projection

(fig. 157 ) A* et N* seront situés sut LT, les droites A et N fcecoupenlen un point a et sont perpendiculaires entre elles : donc les angles qu’elles font avec LT soQt complémentaires, ün aura donc taog 6= col jt , mais ayant abaissé sur LT Ih perpendiculaire oo* et mené l’es horizontales pi, nq, on »■: ' \ =

.Pi

'al'

ung

donc Ion u:pi<al::xq:nq-, de sorte que si Ion prend nq=al, on aura aq=pl. Si donc on a sur E* ( fig. 158) la distance m*m'*=2",65' à l'échelle, et la différence des cotes y — t/= 5“, prenant à la même échelle sur N* lu distance p*p'*=5“, On aura y , — y 1 , =2“ t ft5el par conséquent : ÿ.'=ÿ, — 2,05 = 7!*, 18 — 2", 05=4”, 53.^,

■ 173. PboblEhk H. Par un point donné mener une perpendiculaire ù une droite

donnée. Par le point p je mènerai d’abord un plan perpendiculaire à la droite: donnée 0 , son échelle de pente aura sa projection E* parallèle a D*. Cherchant -, ensuite l'intersection a de la droite D et du plan , ce sera le pied de la perpendiculaire demandée : donc celle perpendiculaire sera la droite qui unira le point trouvé a au point donné p.

174. Pnom. EH k 12. Trouver l’angle d'une droite et d’un plan. Par un peint delà droite, on abaissera une perpendiculaire sur le plan ( u* 172 ) t puis, cherchant* l'angle de celle normale et de if droite donnée ( n* 1d8 ), il sers le complément

■ In l'angle cherché ( n‘ 11!». •2‘ ).

175. Problème 13. Trouver l'ongle de deux plans. Par un point arbitraire m, nous abaisserons des perpendiculaires N et P (n* 172^ sur chacun des deux plans donnés , et l'angle de ces perpendiculaires ( n" KJ8 ) mesurera l'augle des deux plans (n" 127, 8 # ).

176. Problème. 14. Par une droite donnée mener un plan qui fasse avec le plan de lompar oison un angle donné. L’inclinaison d'un plan sur le.plan de comparaison est égale à celle de son échelle de pente sur le même plan de comparaison . Soit donc | l'inclinaison donnée d» plan cherché sur le plau de comparaison, tsipar le point in ( fig. 158) on mène une ligne de plus grande pente du plan cherché, efa» l'on suppose que l'on connaisse la trace horizontale a de celle ligne déplus grande I Mule, on aura un triangle nmm‘ dans lequel mm k : am‘ ::5: 4 ;or, rnni*=13“', d»»in am‘=IO,4. Cette distance réduiteà l'échelle convenue (n° 161) sera de 0*, 104 ; iL

. faudrait donc du point m* comme centre et avec un rayon égal à 0“,lp'4 décrire.

"> une circonférence de cercle; pujs sachant que la trace horizontale du plan doit". f j >asser par les traces horizontales de la droite donnée et de la ligne de plus grande pente , et que de plus elle doit être perpendiculaire à la projeelion horizontale «le . la ligne de plus grande fiente , elle ne pourra être autre qu'une droite tangente au

' iiiclc cmIcrsus (racé, «passant par la trace horizontale de la droite D. Or, il peuf, afrivre que celle trace horizontale soit hors des limites du dessin , et aussi que le layon .lu cercle soit Irop grand; mais on peut rapporter la ligure à un plan parotide au plan de comparais*. , et choisir, par exemple, celui qui passe par le pom( n , dont la cote est 1-, (10; alors la cote du point m rapport à ce nouveau plat, iie.sei.i que , lîÇ*-r-7 =6 , ce sera la hauteur du triangle rectangle on aura dope la hase de ce triangle ou le rayon du cercle par la proportion ‘ - V

d'ou 6 = ^

• . • .» ( • i y. ; j- ç ..j s jt/.Vt y, M .-v a

P f‘ 1 e èpupattf le plan cherche. suivant une hori/on-

ia le dont la projection horizontale iloit être perpendiculaire à celle delà ligne ' e plus grande pente, si du point m‘ comme centre et avec un ra von égal à " 'MK „n décrit une circonférence de cercle C\ que du poil* »* on lui mené une tangente qui la touche eu g*, la droite mV sera la projection de I échelle de pente «la.jtlan cherche. Du point »* on peut mener une seconde tangente au cercle C* , •fie d? joint le point de contact j/‘ au point m‘ on aura la projection de " J cclieIK de pente d un second plan qui résout pareillement le problème ,„o-

JM le point V était sur Je cercle, c esl-à-dlre si mV était égal a 0-.048 •I O y aurait qu'une soluliou : la droite I) serait elle-mètne l'échelle de pente ' u plan Ln effet, dans ce cas, la pente «je Ja droite D serait exprimée par le

rapport

Il n > aurail pas de solution si était dans le cercle , pu si mV était ...oindre qûeo ,<M8; en .effet alors la pente de la droite D serait plus grande que . et par ' Onsequ. nl elle ne pourrait se trouver sur un plan dont la ligne de plus grande />eaie n aurait sur le plan de comparaison qu'une inclinaison égale à ’ * ’ . • :

* | v lie» projection s oblique s et des ombre» portées. *

in. Si Ton projette un point de l’espace orlhogonalemenl et obliquement sur •A. plan, la droite qui unit les deux projections est évidemment la projection . orthogonale de (adroite qui projette obliquement le point. Si donc on a dans IVs-

,m ; V mb s >” tè,,,e ‘ le »«> T'i im projettent Obliquement étant pa-

talleles, leu.s, projections son. aussi parallèles : donc les deux projections de' *

lu systé sont Sur des droites qui sont toutes parallèles entre

•‘Jlos. t,eln |s)Se, connaissant les projections d une droite, cl sur ces projections

*i ^ ‘ ■‘fiV JiLi' «<miw

«elles il'un point, il sera facile île trouver lis projections de tout autre point de cette droite. *• •; . - .‘ t --~y • ••£(.* ■■ v

Il est évident <|ue la trace d’une droite sur le plan de projection , que uous considérerons comme horizontal, doit se trouver à la fois sur les deux projections , de la droite, et par conséquent elle est au point où ces deux projections se crin-t

-•ni.

Lorsqu'une droite est horizontale , ses deux projections sont parallèles; si la ■droite est verticale, la projection orthogonale se réduit à un point', mais la projection oblique est une droite passant par ce point et parallèle aux droites tjui unissent les deux projections d'un même |>oint ; si la droite était |iaral!èlo « U droite projetant obliquement un point , sa projection oblique se réduirait à un point, et sa projection orthogonale serait une droite passant par ce (Kant m pa- . ralléle aux droites qui unissent les deux projections d'un même point.

Enlin , si deux droites sont parallèles , Ipurs projections de meme nom sotii parallèles. :**. &’’#!.£ r^'4' '

178. La trace horizontale d'un plan est |ierpendiculaire à la projection orilirf-. tonale de sa ligne de plus grande pente , et les deux projections d'une horizontale de ce plan sont parallèles à cette trace (n* 175); d'après cela on peut résoudre le problème suivant : . »- ; ' £ V*'V' 1 ‘

83. Probi.^mk 15, Etant connue lu projection orthogonale il' an point situé mtr tilt plan, trouver ta projection oblique ou réciproquement [fig. 1 00) (*).

' *'t' Soient D la ligne de plus grande pente d’un plan , a un point de cette droite ; (ce point n'est évidemment déterminé dans l'espace que lorsqu'on connaît, te qu’il faut toujours supposer, l'inc.liuaison îles ligr^s projetantes obliques); et r* U projection orthogonale d'un point x du plan; par ce point-cl dans le plan Ou peut concevoir une horizontale B; sa projecliou horizontale B* passera par .r* et sera perpendiculaire à P*; les droites B et D étant dans un même plan se coupent en un point m dont la projection orthogonale est en m‘ à 'l’intersection de D*et de B*; donc si de m* on mène une |>arallèle à la direction 0 * 11 ” des lignes piojé- ' tantes obliques, le point in” où elle reneonlrera D” sera la projection oblique du point m de la droite B, mais cette droite étant horizontale, B" sera parallèle ÿ

(n* 17(i); puis le point x étant sur la droite B, si de on mené une. parallèle a aV elle coupera U* au point demandé x".

2" Soient D la ligne de plus grande petite' du plan , a un point de culte thmtv’TT'

(■) Mou» deaiimoni la projection oblique d'un point w par m* el d'une droite l) par U» (cWte jotljO lion oblique étant tUude aur la plan koriaonul dea projeetnma ortboéonulw V '

jtjhii ««•<

<*• UüK %*

:^SZK

«I ii° la projection oblique d’un point x situé sur le plan; par eu point x passe ' une horizontal'' B du plan , les deux projections do cette horizontale sont pa- , rallèles et B* est perpendiculaire a L)‘; donc B° est aussi perpendiculaires D* et liasse par lu point x!' ; puis les droites B et D étant dans un même plan , se coupent, ch' un point »idont p »i° intersection de D°ct de B” est la projection oblique, on en conclut m*; menant ensuite |>ar ce point une parallèle K , eq aura B*; enfin menant de. x’ J une parallèle à <iV, elle viendra couper B* au point cherché x*. ►/ ■ ''

179. l'BOBLfcire 16. Connaissant les projections orthogonales d'un point , la directif jf. ■ cl i inclinaison des droites projetantes, trouver la projection oblique de ce point, sur le

'■ plan horizontal ( Jig. 161 ). Par le point donné m il faudra mener une droite B parallèle à la droite donnée D( n* 2-i ) ci en chercher la trace horizontale qui sera , la projection wf demandée. On pourrait aussi par un changement de plan se tAp' mener au casoù t> serait paralléleau plan vertical et Ion peut faire passer la nouvelle lignede terre par m\ alors la droite B sera dans le plan vertical, elle fera avec l’angle que bfait avec le plan horizontal, et elle coupera L'T au point m.* demandé.. vtCetle dernière solution est celle que l'on est obligé d'employer quand on donne V je |>oi nt m par sa projection horizontale et sa cote de hauteur (fig. 162) , et la droite D aussi par sa projection horizoulalu et sou inclinaison a ou les coter de deux points, d'où l'on peut conclure cette inclinaison*; alors de i«‘ on mène B* purallélc à D*, on élève »i*m perpendiculaire à B* et égale à la cote du point m réduite à l'échelle convenue ( lorsqu’on n’exécute pas un dessin de grandeur nulu- ; relie ) , du poiut m oii mène une droite U faisant avec il* un angle a, et le point m* intersection de B et B* est lu projection oblique demandée. [aV fi'Wii''

1 Si la droite b représentait la direction d'un rayon de lumière, ce point »r sera.

I ombre portée du point m sur 1^ plan horizontal. Ou aurait de même son ombre portée sur le plan vertical. iHtisL j-

180. l‘H(im.t*i. 17. Connaissant la projection et l’ombre portée tf un point, et l’in- ’ r/inoison du rayon de Imnicre , trouver la cote de hauteur du point (Jig. 162). Si l’on joint les projections m* et m° du point m par une droite elle représentera la pro joction orthogonale de là droite Lt projetant obliquement le |H»int m; donc si point m • ou mène une droite B faisant avec B* l'angle a égal à l'inclinaison connue du rayon de lumière, cl si de m*on élève une perpendiculaire à B* jusqu'à sa «nicoiitrc m avec B, ta droite m*m sera égale à la cote de hauteur cherchée du

''-ftaiul in. 'xs °..^v -» » '>■ '

181. I’boiilksc 18. Trouver Tinnhrc porter dm polyèdre quelconque sur le pldU

; horizontal. Soit, parcxcuiple, un tronc de pyramide à bases nonparalièleslyiÿ.lO^,

■ tlwu on demande l'ombre portée sur le plan horizontal. Supposons que le plan horizontal soit précisément le plan de la base abede de la pyramide, les points de

DigÜized bÿ Gtfôgle

la section peuvent être donnés par doux projections orthogonales, ou simplement par leurs projections horizontales et leurs cotes de hauteur, et comme ces dernières données conduisent immédiatement à la détermination de la projection verticale, je suppose le tronc pyramidal donné par ses deux projections et de plus je prends le plan vertical de projection perpendiculaire au plan de la section , cas auquel on pourra toujours so ramener par un changement de plan vertical ; puis donnant la droite R ( direction des rayons de lumière) par sa projection H‘ et son inclinaison a sur le plan horizontal, nous en conclurons sa projection verticale R'. Cela posé, nous déterminerons les projections obliques (n* 179) des sommets a’, b', c 1 . d', e', delà base supérieure du tronc de pyramide et unissant ces projections par des droites, nous aurons la projection oblique de cette base supérieure; unis sant de même ces projections respectivement aux sommets correspondants de la base abede, nous obtiendrons les projections obliques des arêtes du tronc de pyramide et par suite les projections des diverses faces de ce tronc.

Pour trouver maintenant l'ombre portée du tronc de pyramide sur le plan horizontal, remarquons d'abord que tous les rayons lumineux étant parallèles à R, ceux qui passent par les divers points de l'arête bb' forment un plan dont bb'“ est la trace horizontale, de sorte que bb'° est l'ombre portée de cette arête; de même b'°a° cl aa'° sont les ombres portées des arêtes b'a et aa, et la droite ab étant sur le plan horizontal, est à elle-même son ombre portée; il résulte évidemment de là que l'ombre portée d’un point quelconque de la face nbb'a est toujours dans le quadrilatère nbb'°a’, ou , en d'autres termes, que ce quadrilatère est l’ombre portée de la face abb'a; on verra do même que aa’e’e, ee'°<(°d, dd'°c‘c, cc‘b'°b sont les ombres portées des faces aa'e'e, ee'tld, dd'c'c, ccb'b, et que a°b , ' , c’(t°e’° est l’ombre portée de la base supérieure ab'c'tfe ; mais comme l'ombre portée doit être évidemment au delà de la pyramide, il est évident qu'elle sera comprise dans l'espace bacd(f”e'°a''b'°b, en supprimant des quadrilatères ci-dessus les portions comprises dans la base a bede.

Mais dans la théorie des ombres, outre l'ombre portée, on se propose encore de découvrir quelles sont les parties de la surface du corps proposé qui reçoivent des rayons de lumière, ou qui sont éclairées, et celles qui n’en reçoivent pas ou sont dans l’ombre, et, par suite, de déterminer la ligne de séparation de ces deux parties et que l’on nomme ligne de séparation <t ombre et de lumière. Or, dans notre exemple, il est facile de reconnaître que si l’on mène des rayons lumineux par tous les points du contour de la face bb'c'c, ce qui formera quatre plan*ayant pour traces horizontales les droites bc,bb'°, b’’c'°, ce*, tout rayon de lumière mené dans l'intervalle compris entre ces quatre plans rencontrera la face bb'c'c; donc celle face est éclairée; il en est de même des deux faces ccd! d, a'h'c'if e' ; mais les rayons

lumineux menés par les divers points des arêtes bb' et b'a', passant au delà de la l'ace abb'a', cette face est dans l’ombre, il en est de même des deux autres faces aa'e'e et ce d'd, c’est pourquoi nous les avons ombréee ; enfin la ligne brisée bb'a'e'rfd forme la ligne de séparation d'ombre et de lumière de la surface proposée.

Remarquons que la série des plans formés par les rayons lumineux menés par les divers points de la ligne brisée bb'ae'tfd, le plan horizontal et les deux faces bb'c'c cl cc'ifil, déterminent un polyèdre qui cache les droites aa°, ec'°, ce", b‘‘c‘, c°tf‘, que nous avons, par cette raison, |x>ncluécs ; de sorte que l'ombre portée de la ligne île séparation d'ombre et de lumière a seule été tracée en plein. C'est toujours ainsi que l’on doit ponctuer quand on résout une question d'ombre portée ; mais si l’on s’était proposé une simple question de projection , alors les autres lignes étant les projections de lignes vues, auraient dû aussi être tracées en plein.

182. Si l'on connaissait la projection horizontale et l'ombre portée d'un polyèdre sur le plan horizontal, en même temps que l'inclinaison des rayons lumineux, il serait facile de trouver la projection verticale du polyèdre , ou les cotes de hauteur de tous ses sommets, et par conséquent le polyèdre serait complètement connu. En effet, soient données la projection horizontale «éedea'WW* d’un tronc de pyramide pentagonale, son ombre portée baed({"e' c a'°b''‘b sur le plan horizontal, et l’inclinaison « du rayon de lumière; prenant R‘ parallèle à »V ou à b*b'“, etc..., celte droite nous représentera la projection horizontale du rayon de lumière; menant ladroitcll, faisant avec R* l’angle a, on aurace rayon dans son plan vertical projetant, nous pourrons en conclure sa projection R’ sur un plan vertical quelconque LT ; puis les points b'‘,a'°, e’’,tf° étant les traces horizontales de droites parallèles à R et menées respectivement par les sommets h', a', e, <f du tronc de pyramide, si on les projette sur la ligne de terre en (3, a, t, i, et si, de ces points on mène des parallèles à R% les points b 1 ', a", c’’, tf’ seront les intersections «le ces droites et des perpendiculaires à LT, abaissées des points />'*, o'\ Pour

avoir le cinquième sommet c, nous remarquerons que si l’on connaissait c* on trouverait c' r comme on a trouvé les projections verticales des autres sommets; on peut se procurer ce point c'% car il est évident que les droites aa °, bb“, dit", ee‘‘, projections obliques des arêtes de lu pyramide, concourent en un point projection du sommet » de ce polyèdre; donc c'“ doit être sur la droite es’; il est d'ailleurs sur une parallèle à R*, menée de c* ; donc il est à l'intersection de ces deux lignes. Le point s°, que nous avons considéré, sera souvent hors des limites du dessin et la construction précédente ne fournira plus dés lors ce point c'*; mais dans ce cas , menons |>ar c' k une parallèle à cb et rencontrant bb' k en un point sd, la droite c*x* sera la projection horizontale d'une droite c'a, située dans le plan de la face bcc'b' et parallèle à bc, et par conséquent d’une horizontale dece plan ; si

donc on prend la projection oblique x * du point x (n* 177), et si de x° on mène une parallèle à xV* ou à bc, cette droite sera la projection oblique de xc (n* 177) , elle contiendra donc le pointe'*, qui se trouve aussi sur une parallèle à R‘ menée du point c'\ On trouverait de la même manière la projection oblique de tout autre sommet non situé sur la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Des projections coniques et de la perspective.

183. Étant donné un point fixe o dans l’espace , et un point quelconque m , la droite om sera une ligne projetante du point m , et le point où elle ira rencontrer un plan donné sera une projection conique, ou centrale, ou polaire du point m, le point o étant le centre ou le pôle de ces projections. Si l’on projette de même tous les points d’un corps, la projection conique ainsi obtenue sera l’ombre portée du corps sur le plan de projection, si le point o est un point lumineux, et elle en sera la perspective, si le point o est l'œil d’un observateur. Il faut cependant, pour avoir l’ombre portée, que le corps éclairé soit placé entre le point lumineux et le plan do projection , sans quoi ce serait une simple projection conique. Dans la théorie de la perspective, le plan qui reçoit la projection conique et que l’on nomme tableau, est ordinairement placé entre le corps et l’œil de l’observateur, mais rien n’empèchcrait de le placer au delà du corps projeté coniquemenl sur ce plan.

184. Les droites projetant coniquement les divers points d’un système , passant toutes par le pèle o , il est évident que les projections orthogonales de ces droites sur le géométral (n° 159), que nous considérerons comme plan horizontal deprojection , passeront toutes par le point o h , et leurs projections sur le tableau passeront toutes par o*(*), pied de la perpendiculaire abaissée du point o sur le plan servant de tableau.

Les projections horizontale et polaire d’un point m sont telles , que si l’on joint m* et o* par une droite D‘, elle ira rencontrer la base du tableau au pied de la perpendiculaire abaissée de m r sur cette base.

185. La projection conique d’une droite est une droite qui est l’intersection du tableau et du plan mené par la droite donnée et le point o. Tous les plans projetants passant par le point o se coupent, donc si l’on a deux droites parallèles D et D' leurs plans projetants se couperont suivant une droite K parallèle à D et D', 4J^ira rencontrer le tableau en un point b , par lequel passeront les intersections

(*) Désignant pur or la projection polaire ou centrale sur le plan du tableau , on , en d'antres ternies , la perpective du point o de l'espace, et par D* la projection centrale on polaire, ou, en d'antres termes , la perapectire d'une droite D de l'eapace sur le même plan ou tableau.

de ces plans cl du tableau ; donc les projections coniques ou les perspectives de deux droites parallèles se coupent. Quel que soit le nombre des droites parallèles, leurs plans projetants se couperont tous suivant une même droite, et par conséquent les perspectives de toutes ces droites passeront par un môme point b , que l’on nomme point de concours. Si l'on a plusieurs systèmes de droites parallèles, il existe un point de concours pour chaque système.

Si les droites parallèles sont perpendiculaires au tableau, la droite K est aussi perpendiculaire au tableau , et le point de concours b n’est autre que ci’’. Si les droites proposées sont parallèles au tableau, la droite K est aussi parallèle au tableau, et le point A est transporté à l’infini ; donc les perspectives de droites parallèles entre elles et au tableau sont parallèles. Si les droites données sont inclinées à 45” sur le tableau , la droite K fera aussi un anglo de 45“avec le tableau, qu’elle percera en un point b, de sorte que le triangle obt /, rectangle en </, sera isocèle , et I on aura o'fe=oo F . Enfin si dans ce cas les droites parallèles sont de plus horizontales, la droite lésera aussi horizontale, le point de concours b et le point t/ seront donc sur une même parallèle à la base du tableau, et dans ce cas le point de concours prend le nom de point de distance. Il y a deux points de distance situés de part et d'autre de t/.

18G. Un plan indéfini est déterminé par scs traces sur le gcométral et sur le tableau , comme nous allons le démontrer en résolvant le problème suivant :

Problème 19. Connaissant la projection orthogonale d'un point situé sur un plan donné par ses traces, trouver sa projection conique, et réciproquement (Jitj. 164).

I" Soient H’ et P‘ (”) les traces d’un plan H, et x* la projection d’un point do ce plan sur le yéométrul ; par ce point x passe une horizontale D du plan R, sa projection D* est parallèle à H*, et elle perce le plan du tableau en a , ce point a est un point de IV* ; pour connaître cette seconde projection de la droite D, il suffirait d’avoir le point de concours des horizontales du plan R; or, parmi ces horizontales, il y en a une O' située avec le point o sur un plan horizontal , et dont la projection D' p est par conséquent parallèle à LT ; elle perce le plan du tableau au point u qui se projette en a*, d’où l’on conclut D'*; puis les plans projetants de D et D' se coupent suivant une droite K qui leur est parallèle, et comme elle passe par le point o, elle est tout entière dans le plan (D', o), menant donc K* parallèle à D*, et K' parallèle à LT, la trace b de cette droite est le point de concours demandé; puis joignant a et b par une droite, on a D p . Si' maintenant on msi A* et x* par une droite B*, etqu’ou la prolonge jusqu’à LT en « , que par ce point a

(*) Noua désignons par P la trace d’un plan sur le tableau ; le plan étant désigné par R, sa trace sur le tableau sera P*.

on élève une perpendiculaire à LT jusqu'à sa rencontre avec D', on aura x\

Remarquons que si l’on joint tf et x’’ par une droite B', les deux droites B‘ et If seront les projections orthogonales sur le géométral et sur le tableau de la droite B, qui projette coniquenient le point x.

2* Si l'on donne x?, pour avoir x* nous remarquerons que par ce point x passe une horizontale D du plan B; D' doit passer par le point de concours des projections polaires des horizontales du plan, nous le construirons comme précédemment; puis unissant j?b, nous aurons la projection conique If de l'horizontale; elle rencontre P" au point a, trace de la droite I) sur le tableau, projetant ce point sur la base du tableau en a*, et menant par o* une parallèle à h", ce sera If, le point cherche xfi se trouve sur celle droite et aussi sur la projection horizontale de la droite B, menée du point o au point x ; mais celte droite perce le plan du tableau au |>ointaf, qui se projette en a sur LT, joignant ao\ cette droite cou|>e D* précisément au point x\

187. Problème 20. Connaissant les projections orthogonales d'un pointe I celles du fuite, trouver la projection conique du premier point sur un plan donné ( fig . 105 ). Soient o le pèle, m le point donné, et supposons le plan du tableau perpendiculaire à la ligne de terre et rabattu sur le plan horizontal. La projection du jx>le sur le tableau doit toujours être orthogonale, nous la trouverons par un simple changement de plan vertical (n* 44) en </, puis la question proposée revient à mener la droite om, et à chercher sa trace sur le plan du tableau, celte trace a pour projection horizontale le point a* dont la hauteur verticale est égale à ia"; élevant donc par a* une perpendiculaire à L'T', et prenant xnf—ia’, on aura le point cherché m'.

Si les points oel m étaient donnés par leurs projections horizontales et leurs cotes , on chercherait sur la droite om la cote du point qui se projette en a* (n* 162) et l'on prendrait aSn’ égale à cette cote.

188. l'noiiLéuE. 21. Connaissant les projections horizontale et conique d'un point et celles du pfile, trouver la projection verticale du premier point. Le tableau est un plan vertical sur lequel la droito om est projetée orlhogonalcmenl (n* 186 1*), or on connaît les projections horizontales o‘ et a* de deux points do cette droite, et leurs hauteurs uV et a"m p , donc abaissant de o* et de a* des perpendiculaires sur LT , et prenant <oo’=at’o', W=g. k nt, et joignant oV, il n’y aura plus qu’à abaisser de m* une perpendiculaire sur LT, et elle ira couper B" au point cherché m*.

189. Problème 22. Trouver la perspective d'un polyèdre quelconque. Soit demandée la perspective du polyèdre (fig. 106 ) composé d’un parallélipipéde rectangle vertical surmonté d’une pyramide quadrangulaire. Supposons le tableau perpendiculaire à LT, et rabaltons-le sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa trace verticale V' ; ce qui revient à prendre le plan vertical (tour le

géométral. Pour obtenir ensuite la perspective demandée, nous chercherons la projection du point de vue sur le tableau en abaissant du point o sur le plan P une perpendiculaire qui viendra le couper au point o'; puis lorsque le plan P tourne autour do V, ce point o reste évidemment à la même distance t o' du plan horizontal et à la même distance aussi so'*de l’axe V, nous prendrons donc sur o'o'* une longueur o'(/=zo"', et nous aurons le point o F demandé; on voit que cela revient à décrire du centre z et du rayon so'* un arc de cercle qui vient couper LT au point * et à élever par ce point une perpendiculaire à LT jusqu’il la rencontre do oV* ; tous les autres points s’obtiennent de la même manière. Pour le point o, on pouvait aussi effectuer un simple changement de plan horizontal en considérant V comme la nouvelle ligne do terre.

La droite oa rencontre le tableau en un point a que nous ramènerons comme le point o sur la perspective , en menant par a’ une parallèle à LT, et prenant n'V = Ki'*, on obtiendra de même tous les autres points ô F , c r ,... de la perspective. Ayant obtenu les perspectives a p et 6* des points a et b, la droite cfb p sera la perspective de la droite ab et ainsi des autres. Nous avons ainsi en a p b p <?<jP la perspect ive de la base inférieure du parallélipipède, en ePb p f** p , b f <^f r , c p d F i , g p , u?dWe p les perspectives de ses quatre laces latérales verticales , et en e p f f g p i f la perspective de sa base supérieure ; puis on a en fk’P’m* la perspective de la base de la pyramide et en Pj p k p , Pk p l”, s p l p m p , s r m p j p les perspectives de ses quatre faces.

Il est évident que l’observateur placé en o ne peut voir que la face abfe du parallélipipède, toutes les arêtes qui n’appartiennent pasà celte face lui sont cachées, c’est pourquoi nous les avons ponctuée s sur la figure. Quant à la pyramide, il est évident que l’arête sj est entièrement vue et l’arête si entièrement cachée, mais les arêtes tk et sm sont vues au-dessus de leurs points d’intersection par le plan (e/b) , jioinls dont nous n’avons représenté que les projections verticales n * et q r et dont les perspectives sont évidemment aux intersections n* et q p des droites iW et * F / F avec *'/»•

Remarquons encore que les droites ab, cd , ef, gi étant horizontales et parallèles au tableau, leurs perspectives a p b p , c F d F , e p f p , g*?. doivent être parallèles à LT(n‘ 185); les droites ad, bc, ei, fg étant perpendiculaires au tableau, leurs perspectives cfd”, b'tf, e p i p , f p (f doivent concourir au point o p \ par la même raison les point j r , l p , <f doivent être en ligne droite; il est évident que les côtés jk, kl , Im , mj de la base de la pyramide sont inclinés à 45* sur le tableau et que les côtés opposés sont parallèles; si donc on prend ffr* — oV*(de sorte quo H 1 sera un point de distance) les perspectives ÿWet k p l p des côtés jm et kl iront concourir au point r*; les perspectives j p k p et Pm p des deux autres côtés iraient concourir en un autre point r' F situé de l’autre côté de o* et à une distance égale à </r *.

Enfin , nous terminerons par celle dernière remarque : par chaque point que l'on veut mettre en perspective , on peut concevoir deux horizontales, l’une perpendiculaire au tableau , et l'autre inclinée à 45*; on les prolonge jusqu'à leurs intersections avec le tableau , et il est évident que ces points appartiennent respectivement aux perspectives de ces horizontales; donc , en unissant le premier de ces points avec o*, et l’autre avec le point de distance correspondant, ces deux droites se croiseront à la pcrpeclive du point donné. Celle manière de trouver la perspective d’un point est en général très-prompte.

190. Ordinairement pour rendre la ligure plus intelligible, on ne construit |ias la perspective au lieu où nous l'avons placée, mais avant de rabattre le tableau, on le suppose transporté à une certaine distance, ou bien on prend sur le tableau deux axes perpendiculaires entre eux, et I ou peut prendre ces deux traces sur une autre feuille de dessin que celle où l'on a tracé le géométral, et l'on rapporte les distances de chaque point de la perspective à ces axes. C’est ce que nous allons montrer clairement dans le problème suivant.

Problème 23. Trouver la perspective d'un polyèdre et de son ondnre portée sur le plan horizontal (fig. 167). Connaissant les projections du polyèdre cl celles du rayon de lumière, nous trouverons d'abord l'ombre portée (n“ 181) et la ligne de séparation d'ombre et de lumière; par suite, uous connaîtrons les faces éclairées et les faces qui ne reçoivent aucun rayon de lumière. Ces choses étant obtenues, soit le plan P du tableau perpendiculaire à CT, en menant par le point de vue o, des rayons visuels aux divers sommets du polyèdre proposé, ces ray#n$ rencontreront le tableau P en des points dont nous lixurous la position en les rapportant à deux axes rectangulaires situés dans ce plan, cl pour plus de simplicité, nous choisirons les traces mêmes du plan, nommant X l'axe horizontal, H’, et Y l'axe vertical , V'; et nous construirons à part la ligure située sur le tableau P, ou la perspective du polyèdre. Menons par o k deux horizontales O* et IJ * inclinées à 45* sur H’ ; elles iront couper celte trace en deux points r k et r' k , projections horizontales des deux points de distance . ayant donc construit les axes X et Y, nous pren-

u r =i</* , uous élèverons au point u f uue perpendiculaire sur X, et nous prendrons ü>V=wVei uous aurous le point de vue; puis menant par (P une parallèle à X, et prenant </:' =o p r > =oV‘, nous aurons les deux points de distance.

Cela posé, considérons d’abord la lace abcd pur laquelle le polyèdre repose sur le plan houj^ontal, pour avoir la perspective du point a, concevons par ce point deux droiiq| horizontales, l'une perpendiculaire au tableau et l'aulie inclinée à 45" sur le tableau ; la perspective de la pr emière passera pur le point t/ , celle de la seconde par le point r’*\ de plus, la première perce le tableau en un poiul distant du point : d'une quantité ou' , et la seconde en un point distant de ; de la

quantité ta, et comme ces deux droites sont dans le plan horizontal, si nous prenons sur 7 ’es longueurs z’a’—ari', z F cP=zza, et si nous menons les droites (f , t/,a?r p , elles se croisent au point a' qui sera la perspective du pointa. La droite oh pèrco le tableau en un point b' distant de l’axe Y de la quantité *6'*, eide l’axe X de la quantité zh” ; prenant donc z f b‘ , = zb” et élevant sur l’axe X la perpendiculaire b' F b’‘z=zb' f , le point IP sera la perspective du point b. Pour avoir le point <*, nous prendrons z?-/ p z=cd, et nous joindrons y^a?-, et l’on aura la perspective d’une perpendiculaire abaissée du point c sur le tableau ; puis la droite oc perce le tableau en un point c? élevé verticalement de la quantité ic*; prenant donc *V = ic* et menant par c f une parallèle à X , elle va couper la droite y'V au point <? demandé. Quant au point iP, In droite cd étant horizontale et parallèle au tableau, il se trouvera à l’intersection de la même horizontale et de la droite 3'V, perspec- |>ective d’une perpendiculaire au tableau et menée par le point d.

Passant à la face edefg , nous avons obtenu les perspectives des trois sommets e,f,g, par de» constructions identiques à celles employées pour trouver la perspective du pointé.

Pour le sommet i de la face begi, nous avons mené deux horizontales il, il' inclinées à 45” sur le tableau; leurs perspectives passent respectivement par les points de distance d et r* et se croisent au point P cherché; pour obtenir la perspective de il, il faut prendre sur Y, à partir de d, une longueur égale à $i r , mener par le point ainsi obtenu une parallèle à X , prendre sur cette parallèle et en arriére «ne longueur égale à s ).*, puis joindre ce dernier point avec r*; mais si l’on conçoit que toute la construction descende verticalement d’une quantité égale à $ 1 % nous aurons à prendre = zl k , %Y — ET, à joindre l p (f, et il ne nous restera plus qu'à mener par d une parallèle à (fl? ; on construira de même la perspective de »X', et ces deux perspectives se croiseront au point P.

Les perspectives des trois sommets de la face ade étant connues, et toutes les autres faces concourant au point *, il ne nous reste plus qu’à trouver la perspective de cc sommets du polyèdre; pour cela, remarquons que la droite o» coupe le tableau on un point d, dont la hauteur verticale est égale à s»*, prenant xV p s=m* et menant par s’’ une parallèle à X , cette parallèle contient d, puis concevant par * une perpendiculaire au tableau, elle le percevra en un point dont les distances aux axes X et Y sont ai’ et ad ; prenant donc z p a'?=iad , menant par o" une parallèle à X, et prenant o'V = ad et joignant oV, celte droite contient aussi le point **, qui se trouve ainsi déterminé. «fit- 4

Ayant obtenu les perspectives de tous les sommets du polyèdre, il n’y a plus qu’à les unir par des droites pour avoir la [tcrspcctive demandée. Pour avoir maintenant la perspective de l’ombre portée (as'f'g'cda) , nous obtiendrons celle du

point «* en prenant d'abord la perspective 4V d'une perpendiculaire au tableau abaissée de ce point comme nous l'avons déjà fait plusieurs Ibis, puis remarquant que la droite m' coupe le tableau en un point 4' distant de Y d’une quantité zfjli, il faudra chercher sur 4 V le point situé à celte distance de Y, ce que l’on obtiendra évidemment en prenant s p 4"=î4'\ et menant par 4'' une parallèle à Y, elle ira couper 4 V au point cherché, que nous aurions dù noter d'après les conventions précédentes, et que, pour plus de simplicité, nous notons seulement »*. Nous obtenons de même le point /*, en remarquant que la droite s'f r doit être parallèle à X ; enfin, nous avons obtenu le point g’ de la même manière.

Noos avons varié dans cette épure les moyens employés pour obtenir les perspectives de tous les sommets du polyèdre, afin d'enseigner toutes les méthodes connues, laissant au dessinateur le choix de la méthode qu’il jugera préférable dans chaque cas particulier.

191. Il nous reste à faire quelques observations sur la ponctuation de la figure. Remarquons d'abord que les projections d'un corps sont les perspectives de ce corps pour un observateur dont l'œil serait placé à l'infini sur une droite perpendiculaire au plan horizontal ; ou sous un autre point de vue géométrique , chaque projection sera Y ombre portée pour une direction de rayons lumineux perpendiculaire au plan horizontal; les faces du polyèdre concourant au |>oint s seraient seules vues: donc, sur la projection horizontale , les droites , qui forment le contour de ces faces, devront être pleines; les autres lignes sont ponctuées, et la ligne brisée ab igfea serait pour cet observateur le contour apparent du polyèdre.

Pour un observateur dont l'œil serait placé à une distance infinie sur une perpendiculaire au plan vertical , on trouvera facilement que le contour apparent est la ligne brisée nbsfeda , de sorte que ce contour et les lignes sa, se, ae, doivent être tracées en lignes pleines.

Cette ponctuation des deux projections est sans préjudice des parties cachées per les plans de projection, et qui pourrait obliger d'écrire en ligne ponctuée quelques portions de celles que nous venons d'indiquer comme devant être pleines. Les principes précédents appliqués à tous les corps que nous considérerons dans la suite de ce cours, complètent ce qui concerne la ponctuation des projections des figures de l’espace que l’on veut représenter, et dont la partie la plus simple a été exposée précédemment (n“ 16).

Relativement aux ombres , le polyèdre porte ombre sur la partie adcçffs’a du plan horizontal, de sorte que si le corps était enlevé et que l'ombre restât, elle aurait la forme représentée (fig. 168), mais pour l'observateur regardant la projection horizontale, le corps cache une partie de celte ombre, et elle lui parait avoir la forme ae^J*kg'J i s°a ; c'est pourquoi nous n’avons haché que cette partie du

plan par les hachures affectées 6 l'omérc porter. Quant aux faces ombrées , il est facile de reconnaître que la ligne brisée abcgfsa est la ligne de séparation d’ombre et de lumière; donc, les faces abcd, cdefij , efs,ade, aes , sont dans l'ombre. Mais l’observateur, qui regarde la projection horizontale, ne voit que les faces je/, sae-, c'est pourquoi nous n’avons ombré que ces deux faces sur la projection horizontale, et nous avons eu soin de diriger les hachures dans des sens différents. L’observateur qui regarde la projection verticale ne voit que les faces sef, ade, sae ; ce sont donc les seules faces que nous ayons dû ombrer en projection verticale.

Enfin , sur la perspective , il est évident que pour l’observateur placé en « |e contour apparent du polyèdre est abiseda-, il ne voit donc que les faces sab , sbi , sae, ade, les deux premières éclairées, les deux autres ombrées. Les droites, qui forment le contour des quatre faces, sont seules tracées en lignes pleines. Enfin . il faut hacher toute la partie de la perspective de l’ombre portée, qui est située en dehors de la perspective du polyèdre.