CHAPITRE PREMIER
NOTIONS PRÉLIMINAïaSS.
1 . La géométrie ordinaire montre parfaitement la disposition relative des parties d^une figure entièrement située sur un seul plan, mais elle n'est plus suJËsante pour représenter les constructions que Ton doit exécuter dans l'espace, pour la solution des problèmes à trois dimensions , comme on peut s'en assurer par des exemples fort simples ; ainsi par exemple :
On sait que la distance d'un point à un plan est mesurée par la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan; mais comment fixer la direction de cette perpendiculaire? Gomment déterminer le point où elle rencontre le plan? La géométrie ordinaire n'enseigne pas à résoudre ces questions ; les méthodes graphiques dont elle fait usage sont à cet égard complètement impuissantes. On est obligé
d'employer des méthodes particulières , dont l'étude dépend de la géométrie descrip-
tive; mais pourtant la géométrie descriptbe est mal définie (ou plutôt incomplètement définie) lorsqu'on dit qu^elle a pour but (Rapprendre à représenter sur une feuille de dessin^ qui rCa que deux dimensions 9 des corps qui ont trois dimensions. Ce n'est là qu'une faible partie de cette science ; la géométrie descriptive enseigne en outre des méthodes de recherche qui peuvent s'appliquer avantageusement à tous les problèmes de relation de position; car, en général, l'analyse seule peut donner la solution des problèmes de relation métrique. Enfin , en faisant marcher ensemble ces deux branches des mathématiques , il n'est pas de problème que Ton ne puisse parvenir à résoudre.
MoNGE a dit de la géométrie descriptive que c'est la langue de f ingénieur ^ il faut donc apprendre à la lire et à l'écrire.
Tous les travaux des ingénieurs se réduisent à la résolution des deux problèmes suivants :
1 •* Faire un lever, c'est-à-dire : représenter sur une feuille de dessin Timage d'un corps ou d'un système de corps existant, de manière à pouvoir le reproduire identiquement partout où l'on voudra ;
2* Faire un projet , c'est-à-dire : ayant conçu un corps ou un système de corps , en faire un dessin , à l'aide duquel on puisse l'exécuter exactement.
2. Lorsqu'on imprime un mouvement quelconque à un plan ou à une surface, en général elle n'éprouve aucune altération -dans aucune de ses parties. Les dispositions relatives des points et des lignes entre eux demeurent les mêmes à une époque quelconque du mouvement. Les angles que les lignes forment entre elles ne changent pas de grandeur, et les longueurs des lignes non indéfinies se conservent les mêmes. Si Ton fait tourner un plan autour de son intersection avec un autre plan, jusqu'à ce qu'il se confonde avec celui-ci, on dit qu'on rabat le premier plan sur le second. Cette opération est fréquemment répétée en géométrie descriptive dans le but de ramener sur la feuille de dessin des constructions qui n'y sont pas contenues, ou, en d'autres termes, qu'il faudrait exécuter dans l'espace. Nous y parviendrons aussi par d'autres considérations également fécondes (*).
Représemation (Cun point.
3, Un corps, une surface, une ligne, sont connus, quand on peut, au moyen
(*) Ayant mené un plan sécant à travers un corps, le rabattre, soit sur le plan horizontal . soit sur le plan vertical de projection , c'est faire en géométrie descriptive identiquement ce que Ton &it en analyse lorsqu'on emploie les formules d'Euler pour trouver l'équation d'une courbe de section dans le plan même de section ^ en rapportant cette courbe à deux axes, rectangulaires entre em t tracés dans son plan.
des données , trouver tons les points qoi composent le corps, la surface et la ligae. Il faut donc ayant tout savoir fixer la position d'nn point dans Tespace.
Pour cela on peut employer plusieurs méthodes dont nous parlerons par la suite, mais dont la plus simple consiste à considérer deux plans (qui se coupent à angle droit) HH' et VV {fig. 4)/0n suppose que l'un d'eux, HH', est horizmuU^ Fautre, VV, est alors vertical y leur intersection LT prend le nom de ligne de terre. Ces deux plans, qu'il faut concevoir indéfiniment prolongés dans tous les sens, se coupent mutuellement en deux parties ou régions.
La partieXTH du plan horizontal , située en avant du plan vertical, se nomme jMHie antérieure; la partie LTH', située derrière le plan vertical, se nomme parHe postérieure.
La partie LTV du plan vertical , située au-dessus du plan horizontal , se nomme partie supérieure;- la partie LTV, située au-dessous du plan horizontal, se nomme partie inférieure.
De plus ces deux plans forment quatre angles dièdres , que l'on désigne par las noms des parties qui les comprennent , ainsi :
HLT V se nomme angle antérieur-supérieur et s'écrit ainsi : A , S H'LTV — angle postérieur-supérieur — P , S
H'LTV — angle postérieur-inférieur — P , I
HLTV — angle antérieur-inférieur — A , I
4. Cela posé , si d*un point m de l'espace on abaisse nde perpendiculaire mn sur le plan horizontal Hff , le pied n de cette ligne est dit la projection horizaniale du point m , et la perpendiculaire mn est la ligne pngetant horixontatement le point m ; de même si l'on abaisse mp perpendiculaire sur le plan vertical VV, le pied p de cette droite est la projection verticale du point m , et la perpendiculaire pm est la ligne projetant verticalement le point m.
5. Si l'on conduit un plan par les droites mit et mp, la figure mnop située dans ce plan est évidemment un rectangle ; de plus ce plan est perpendiculaire aux deux plans HH' et W, et par suite à leur intersection LT ; donc :
1* la distance mn du point m au plan vertical est égale à la distance ]m> de sa projection verticale à la ligne de terre ;
8* La distance mp du point m au plan vertical est égale à la distance no de sa projection horizontale à la ligne de terre;
3* Si des deux projections d'un même point on abaisse des perpendiculaire» sur la ligne de terre , elles la coupent au même point.
^. Les deux projeciims netp <Cun poim m«i fixent ta position dans t espace. En
effet le point doit se trouver sur une perpendiculaire au plan HH' élevée par la projection horizontale n et à une distance égale à op^ donc en prenant 9tm=op, le point m est le point cherché ; on obtient aussi le même point m de Tespace en prenant pjmzzionj sur une perpendiculaire élevée du point p au plan vertical YY'; enfin on sait que les perpendiculaires aux plans HH' et YY', élevées respectivement par les points n et p, sont dans un même plan , elles se coupent donc au point m , dont les points n et p sont les projections^
7. Un point est encore déterminé par la condition d'être situé à la fois sur deux droites ou sur une droite et un plan, c'est même toujours ainsi qu'il est donné; car assigner les deux projections d'un point c'est dire que le point est sur deux droites perpendiculaires aux plans de projection , et passant par les projections données de ce point.
8. Dans ce qui précède nous avons considéré deux plans perpendiculaires entre eux ; pour ramener toutes les constructions à n'être exécutées que sur la feuille de dessin et ainsi sur un seul plan et non. dans l'espace , on suppose que le plan vertical YY' tourne autour de la droite LT, comme charnière , pour se rabaitre sur le plan horizontal HH' et de telle manière que la partie supérieure LTY de ce plan vertical se couche sur la partie postérieure LTH' du plan horizontal , et que la partie inférieure LTY' se recouche sous la partie antérieure LTH.
Dans ce mouvement la projection verticale p^du point m de l'espace, est entraînée, ainsi que la ligne op laquelle vient se placer, après lé rabattanent , en oq sur le prolongement de la droite no, de telle sorte qu'après le rabattement du plan vertical les deux projections n et 9 d'un même point m de l'espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. On doit conclure de ce qui précède que , sur le dessin tracé sur une feuille de papier, dessin que l'on appelle épure : deux points choisis arbitrairement y /'tin sur le plan vertical et C autre sur le plan horizontal des projections ne peuvent représenter les projections d^un même point de t espace ^ quaU" tant quUs sont situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.
9. A l'avenir, nous désignerons un point de l'espace par une lettre minuscule , et ses projections par la même lettre avec un indice supérieur h ou v. Ainsi le point m de l'espace est celui dont les projections horizontale et verticale sont respectivement m* et m** {fig. 2). Un point étant déterminé, en géométrie descriptive, par ses deux projections, quand on dit, qu'un point est donné, il faut entendre que l'on donne les projections horizontale et verticale de ce point ; et quand on demande de trouver un point de l'espace , il faut entendre qu'on demande de trouver les deux projections de ce point.
Quand une figure est énoncée ou décrite dans l'espace, il faut pouvoir l'écrire immédiatement sur la feuille de dessin , ou , en d'autres termes , sur un seul plan ; et
réciproquaiaent, quand une figure est écrite sur la feuille de dessin, il faut savoir la lire inunédiatement dans Tespace. Pour cela il faut, au moyen des projections d'un point y concevoir de suite la position qu'il occupe dansTespace; et, réciproquement, connaissant la position d'un point dans Tespace, il faut savoir en déduire de suite les positions de ses deux projections.
40. Alphabet du point. — Un point peut occuper dans Tespace plusieurs positions qui seront indiquées par celles de ses projections à l'égard de la ligne de terre , comme elles le sont dans la géométrie analytique par les signes et les grandeurs des coordonnées.
1* Lorsqu'un point est situé dans l'un des quatre angles dièdres formés par les plans de projection , il est facile de voir que les projections de ce point se trouvent sur les parties dps plans qui comprennent cet angle ; les quatre positions que le point peut affecter dans ce cas sont indiquées par la^i^. 3.
2!" Le point peut être sur l'un des plans de projection ; il est alors à lui-même sa projection sur ce plan , et son autre projection est évidemment sur la ligne de terre. On a encore quatre cas représentés dans la fig. 4, où l'on a écrit la lettre tn , qui dé»gne le point, sans indice pour exprimer que c'est le point lui-même et non une de ses projections.
3* Si le point est sur la ligne de terre, il n'a pas d'autres projections que lui-même, c'est pourquoi on écrit seulement la lettre m à côté du point (fig. S).
4"* Un point , situé dans l'un des quatre angles dièdres, peut être également distant des deux plans de projection, c'est-à-dire que l'on peut avoir om''=owl' {jig. 2) { N" 5 ) ; dans ce cas les deux projections se confondent lorsqu'elles sont du même côté de la ligne de terre; on a donc encore les deux cas représentés dans layî^. 6. On conclut de là que :
1 "* Tous les points dont les projections sont distinctes et également éloignées de la
ligne de terre , se trouvent sur le plan bissecteur des angles dièdres A, S et P» I ; Si"" Tous les points dont les prmections sont confondues , se trouvent sur le plan bissec-
teur des angles dièdres P, S el A , I.
Représentation de la ligne droite.
il. Si par tous les points d'une droite on abaisse des perpendiculaires sur le plan horizontal, leurs pieds sont les projections horizontales des divers points de la droite , et la ligne qui les unit est la projection horizotitale de la droite. Toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan perpendiculaire au plan ho-
rizontal et dont rintersection avec ce plan est la projection de la droite ; on raisonnerait de même à l*égard de la projection d'une droite sur tout autre plan ; donc ta projection (tune droite sur un plan est une ligne droite. On obtient les deux projections d'une droite en menant par cette droite deux plans respectivement perpendiculaires aux plans de projection ; on les nomme plan projetant horizontalement la droite et plan projetant verticalement la droite.
i 2. Nous désignerons une droite de l'espace par une lettre majuscule , et ses projections par la même lettre avec des indices supérieurs h ou t; ; ainsi D^ et D* {fig. 7) sont les projections horizontale et verticale de la droite D. Quelquefois aussi nous indiquerons une droite par deux de ses points, et principalement une droite finie de longueur, qui doit très-souvent être désignée par les points auxquels elle se termine; ainsi, la droite passant par deux points aetb sera désignée de la manière suivante : droite (a, 6).
13. Une droite est^ en général^ déterminée par ses deux projections; car en élevant par D* un plan perpendiculaire au plan horizontal, et par D'' un plan perpendicu» laire au plan vertical , la droite D doit se trouver à la fois sur ces deux plans , elle est donc leur intersection. Il résulte de là qu'une droite donnée par ses deux projections est réellement donnée par deux plans dont elle est l'intersection.
Une droite est aussi complètement déterminée par deux de ses points; car ils feront connaître deux points de chaque projection. Parmi les points d'une droite on considère d'une manière spéciale les deux points en lesquels elle perce les plans de projection et que l'on nomme les traces delà droite; ces deux points remarquables sont très- propres à fixer la direction d'une droite par rapport aux plans des projections et par suite sa direction dans l'espace.
1 4. Problème i . — Étant données les traces d'une droite , construire ses projections (fig. 7). Soient a la trace horizontale et b la trace verticale d'une droite D; a" et 6* seront sur la ligne de terre (n"" 40, 2*) et sur des perpendioulaires à cette ligne abaissées des points a et b {u'' S) ; on aura donc deux points a et b^ de D* et deux points a et a" de D* ; donc ces projections D* et D'' sont connues.
15. Problème 2. — Trouver les traces d'une droite, dont on connaît les projections [fig. 7 ) . La trace horizontale appartenant à la fois à la droite D et au plan horizontal , sa projection verticale doit être sur D' et sur LT, donc en a" ; le point a est à lui-même sa projection horizontale , donc il se trouve sur D* et sur une perpendiculaire menée à la ligne de terre par a*", c'est-à-dire à l'intersection a de ces deux droites. De même la trace verticale étant sur D et sur un plan vertical, sa projection horizontale est en 6^, et le point est lui-même en b.
De là on peut conclure que pour avoir une des traces d'une droite, il faut prolonger la projection de nom contraire jusqu'à la ligne de terre et par le point de rencontre
avec cette ligne de terre j élever une perpendiculaire à cette ligne de terre^ et le point où cette perpendiculaire coupe Poutre projection de la droite sera la trace demandée.
16. Une droite indéfiniment prolongée peut n'ékre pas todt entière contenue dans un seul des angles dièdres formés par les plans de projection ; alors la porUon
située dans l'angle dièdre A, S est vue, mais tout ce qui se trouve derrière le plan vertical ou au-dessous du plan horizontal est caché par l'un de ces pians; on exprime cela sur la figure par la manière d'écrire les projections de ces portions de la droite. On est convenu d'écrire en lignes pleines les projections de la partie
comprise dans Tangle dièdre A, S, et en lignes ponctuées (ou formées de points ronds) les projections des parties de droite comprises dans Tun des trois autres angles dièdres, comme nous l'indiquerons sur les figures suivantes : il est évident qu'une portion de droite vue a , sur l'épure, sa projection horizontale au-dessous et sa projection verticale au-dessus de la ligne de terre.
Mais cette ponctuation ne convient qu'aux lignes principales d'une figure c'est-à* dire, aux lignes qui représentent les données ou les quantités cherchées du pro- Même. Quant aux autres lignes on les distingue en deux classes :
1* Lignes auxiliaires qui, sans être au nombre des lignes principales ci-dessus indiquées, jouent dans la figure un rôle assez important ; on les écrit en lignes mixtes, c'est-à-dire formées de petits traits longs et séparés entre eux par un ou plusieurs points ronds ;
3* Lignes de construction , que l'on nomme aussi quelquefois lignes de projection, qui sont censées ne pas exister, parce qu'elles n'ont dans l'épure qu'un rôle d'une très-faible importance; on les trace en lignes pointillées, c'est-à-dire formées de petits traits plus courts et plus fins que ceux des lignes mixtes (les lignes de projection sont celles qui unissent entre eux, sur l'épure, les points qui sont les projections d'un même point de l'espace, elles sont dès lors perpendiculaires à la ligne de terre).
Outre les parties d'une figure cachées par les plans de projection, d'autres parlies peuvent l'être par les parties antérieures de la figure elle-même; mais pour ne pas multiplier sans nécessité les lignes ponctuées, ce qui en outre nuirait à l'intelligence de la figure, on suppose souvent que ces portions de la figure sont seulement représentées par les lignes tracées sur les plans de projection, lignes qui sufiîsent ordinairement pour les déterminer complètement.
1 7. Alphabet de la droite. Une droite peut affecter dans l'espace (et ainsi par rapport aux deux plans de projection) un grand nombre de positions, qu'on exprime, sur l'épure, par les situations respectives de ses projections par rapport à la ligne de terre, et par la ponctuation de ses projections.
V La droite peut être oblique par rapport aux deux plans de projection, et la
portion comprise entre ses traces horizontale et verticale, peut être située dans Tun des quatre angles dièdres ; il est évident que les traces de la droite sont situées sur les parties des plans qui forment cet angle ; ainsi on aura les quatre positions indiquées ( fig. 8), qu'il serait facile de lire par la ponctuation seule. Pour établir cette ponctuation, remarquons que dans le premier cas la partie ab étant dans
Fangle A, S est vue j les portions a^ et a^'b des projections doivent donc être en ligne pleine ; mais au delà du point a la droite D passe au-dessous du plan horizontal y et au delà du point b elle passe derrière le plan vertical : c'est pourquoi les parties de la projection horizontale situées en dehors des points a et b^ et les parties de la projection verticale situées en dehors des points a et b"" sont en lignes ponctuées. On trouverait de même la ponctuation qu'il convient d'adopter dans les trois autres cas. Supposant maintenant les droites tracées sans notation ; pour conclure de la ponctuation seule où est la projection horizontale, nous dirons : la partie de la
droite dont les projections sont en ligne pleine doit être dans l'angle A, S; donc dans le 4* cas, par exemple, c'est la portion à gauche du point a ; donc pour cette partie la projection horizontale est au-dessous et la projection verticale au-dessus de la ligne de terre. Par suite le point a est la trace horizontale et le point b la trace verticale de la droite. On trouverait de même la direction de la droite dans les trois autres cas.
2*" La droite peut être parallèle au plan horizontal ; sa projection verticale est alors parallèle à la ligne de terre, car tous les points de la droite D sont à la même distance du plan horizontal; la projection horizontale est quelconque, et l'on aies trois positions indiquées {fig. 9), suivant que la droite D est au-dessus du plan horizontal, dans ce plan, ou au-dessous de lui.
3* Si la droite est parallèle au plan vertical ; sa projection horizontale est parallèle à la ligne de terre , sa projection verticale est quelconque , et l'on a les trois positions indiquées {fig. 10), suivant que la droite D est en avant du plan vertical, dans ce plan, ou derrière lui.
4"* La droite peut être parallèle à la fois aux deux plans de projection, et par conséquent à la ligne de terre ; ses deux projections sont alors parallèles à LT. Ce cas présente neuf positions, savoir : quatre ^ lorsque la droite est située dans l'un des quatre angles dièdres {fig. 11); quatre, lorsqu'elle se trouve sur Tune des quatre régions des plans de projection {fig. 12); enfin elle peut être confondue avec la ligne de terre (fig. 13). Ces neuf positions sont les mêmes que les neuf positions du point {fig. 3, 4, 5), il suffit de remplacer les points m, m*, m*', etc., par des droites D, D*, D', etc., parallèles à la ligne de terre. Si dans ce cas la droite est également distante des deux plans de projection, ses deux projections seront
distinctes ou séparées et placées à la même distance de la ligne de terre, lorsque
cette droite sera située dans les angles dièdres A, S ou P, I. Elles se confondront quand elles seront situées du même càléX fig» 1 4 ) de la ligne de terre; et, dans ce
cas, la droite se trouvera dans les angles dièdres A, I et P, S. Dans le premier cas
la droite sera sur le plan bissecteur de l'angle A, S, et dans le deuxième cas elle
sera sur le plan bissecteur de l'angle A , I.
5" Si la droite est perpendiculaire au plan horizontal , sa projection horizontale se réduit à un seul point et sa projection verticale est perpendiculaire à la ligne de terre, car le plan projetant verticalement la droite et le plan vertical de projection sont tous deux perpendiculaires au plan horizontal. La droite peut dans ce cas affecter trois positions : elle peut être située en avant du plan vertical , dans ce plan , ou derrière lui {fig. i 5) .
6* Trois positions semblables (fig. 16) répondent au cas d'une droite perpendiculaire au plan vertical et située au-dessus du plan horizontal , dans ce plan^ ou au-dessous de lui.
Il résulte de ces deux cas que om* (fig. 2) est la projection verticale de la droite projetant horizontalement le point m, laquelle a pour projection horizontale le point m^j et om!" est la projection horizontale de la droite projetant verticalement le point m, laquelle a pour projection verticale le point m^.
?• Si la droite D a dans l'espace une direction perpendiculaire à la ligne de terre LT, ses deux projections se confondent en une seule droite perpendiculaire à la ligne de terre; car si l'on fait passer par la droite D un plan vertical , ce plan est de plus perpendiculaire à LT ; donc ses intersections avec les deux plans de projection , ou D* et D*", sont toutes deux perpendiculaires à LT et la coupent au même point, et par conséquent se confondent après le rabattement du plan vertical. Les deux projections de la droite ne suiBsent donc plus, dans ce cas, pour en fixer la direction dans l'espace , mais elle sera complètement déterminée si l'on donne deux de ses points. La droite dans ce cas peut affecter quatre positions suivant que la portion comprise entre ses traces est interceptée dans l'un des quatre angles dièdres {fig, 1 7).
8* Si la droite rencontre la ligne de terre , ses traces a et 6 se confondent en un même point de cette ligne ; dans ce cas il peut arriver que les projections D* et D" (fig. 18) fassent des angles aigus avec la même portion de LT, Tune au-dessus et l'autre au-dessous ; cette disposition appartient évidemment à une droite traversant les angles A, S et P, I. Si les angles aigus sont formés avec les deux parties de LT (fig. 19), cela représente évidemment une droite traversant les angles P, S et A, L Si les angles aigus sont égaux, la droite est sur l'un des deux plans bi-
secteurs (n* 10, 4*) et dans le dernier cas les denx projections se oonfondent en une seule droite (fig. 20) .
9"" Si la droite rencontrant la ligne de terre lui est perpendiculaire , les deux projections se réunissent en une seule droite perpendiculaire à LT; dès lors elles ne suffisent plus pour la déterminer ; il faut alors donner un autre point quelconque de la droite {fig. 21 ).
1 8. On voit par tout ce qui précède qu'une droite est toujours entièrement déterminée par les projections de deux de ses points, tandis que, dans quelques cas particuliers^ les projections de la droite ne sont plus suffisantes.
49. Deux droites qui ne sont pas perpendiculaires à la ligne de terre peuvent toujours représenter les projections d'une droite de Tespace. Car en élevant les deux plans projetants , ils se coupent suivant une droite déterminée. La droite est indéterminée quand les deux projections se confondent en une perpendiculaire à la ligne de terre LT. Deux droites dont une seule est perpendiculaire à la ligne de terre , on qui lui étant toutes denx perpendiculaires ne la coupent pas au même point, ne peuvent pas être les projections d'une même droite de l'espace.
20. Deux droites D et D' situées dans l'espace peuvent se couper, être parallèles, ou n'être pas situées dans un même plan.
1" Si elles se coupent {fig. 22), les projections de leur point d'intersection m appartiennent à la fois aux projections de ces deux droites D et D', donc m!" et nC en lesquels se coupent respectivement les projections D*, D'* et D", D", doivent {sur C épure) être situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (n'' 8).
2"" Si elles sont parallèles, leurs projections de même nom sont parallèles (fig. 23), car les deux plans projetants correspondants sont parallèles.
3"" Si elles ne sont pas situées dans un même plan , le point d'intersection de leurs projections verticales n'est pas sur une même perpendiculaire à la ligne de terre avec le point d'intersection de leurs projections horizontales {fig. 24).
21. Les réciproques de ces trois propositions sont vraies, c'est-à-dire que, 1 ** si les projections de deux droites se coupent eu deux points m'' et m* situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 22), les droites se coupent dans l'espace ; car le point m , ayant ses projections sur celles de la droite D, appartient à cette droite et par une même raison il appartient à la droite D'.
2" Si les projections de même nom sont parallèles {fig. 23) les droites sont parallèles , car les quatre plans projetants sont deux à deux parallèles et par conséquent les quatre intersections dont deux ne sont autres que les droites D et D', sont aussi parallèles.
3^ Si les projections des droites se coupent en des points non situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre, les droites ne sont pas dans un même
{dan (fig. 2i)> cae deox droites traoée» sur on plan se coupent oa sont parallèles, et \w£^ projections suaient disposées comme dans les fig^ 32 ou 23, Il en résulte que si les deux projections horizontales seules ou si les deux projections verticales seules sont parallèles, les droites ne sont pas parallèles.
22. Lorsque deux droites sont perpendiculaires à LT, leurs projections sont respectivement parallèles; mais il n'en résulte pas que les droites dans Tespace le soient» Mais si D et D' {fig^ 25) sont parallèles, choisissant deux pointe a et 6, of et 6' sur chaque droite, si Ton conçoit des verticales abaissées des pointe b et b' et des horizontates menées des pointe a et a! qui coupent les verticales en des pointe que nous désignerons par i et i', on formera deux triangtes abi , ab'V qui seront semblables comBOts. ayant les càtés respectivement parallèles, on a donc :
ia : ib :: t'a : iV mais
ia = €^b\ ib = a^b\ i'a'r=aH'^, fb' = a'^V'' donc
23. Réciproquement, si cette relation a lieu, les droites D et D' sont parallèles ; car ayant construit comme ci-dessus les triangles abi et aVi' rectangles en i et f', ils sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels ; ces côtés sont en outre parallèles , donc aassi les hypoténuses ab et ab' ou les droites D etD' sont parallèles.
24. Problème 3. Par un point donné mener une droite parallèle à une droite donnée {fig. 26). Les projections de la droite cherchée X doivent passer respectivement par les projections du point donné m, et être parallèles aux projections de la droite donnée D.
Représentation des. lignes courbes.
25. Si de tous les points ajbjC,....m (Jig. 27) d'une courbe C on abaisse des perpendiculaires sur le plan horizontel, les pieds a*,fr*,c'^,....m* de ces perpendiculaires forment une ligne C*, qui est la projection horizontale de la courbe C. Toutes
les perpendiculaires cki*, 66*, cd" mm^ sont parallèles et forment une surface
que nous désignerons plus loin sous le nom de sur/ace cylindrique y et qui est dite surface ou cylindre projetant horixontalemmt la courbe C. En abaissant de même des perpendiculaires jsur le plan vertical, elles formeront le cylindre projetant verticalement la courbe C. Due courbe C peut donc être t^iqours considérée comme Tintersection de deux surfaces cylindriques.
Si ]a courbe G était tracée dans an plan perpendiculaire au plan horizontal , par exemple, toutes les droites oo*, bb^, etc. , seraient situées dans ce plan , C^ serait Tintersection de ce plan avec le plan horizontal , et par conséquent cette projection de la courbe C serait une droite et l'autre projection serait nécessairement une courbe. Si la courbe C était dans un plan perpendiculaire à LT, ses deux projections seraient Tune et Tautre des droites.
26. Problème i. Trouver les points en lesquels une courbe rencontre les plans de projection (fig. 28). Les points en lesquels la courbe C rencontre le plan horizontal se projettent verticalement sur C et sur LT (n° 20, 2*) donc à leur intersection en a" et en 6% les points a et A seront sur C* et sur des perpendiculaires à LT élevées par les points a^ et b^ ; mais ces perpendiculaires rencontrent généralement la courbe C^ en plusieurs points , qui peuvent indifféremment être pris pour les traces de la courbe G, à moins que par une circonstance quelconque on soit conduit à exclure quelques-uns d'entre eux, comme dans ce cas* ci, par exemple, nous excluons les points a et ^ qui , évidemment , ne peuvent être les traces de la courbe C. On trouverait de même les traces verticales de la courbe G.
Remarquons qu'une partie de G* ne correspond à aucune partie de G" et ne peut pas par conséquent être la projection d'une portion de la courbe G ; de même une partie de G*' n'appartient pas à la projection de la courbe G : nous donnerons ailleurs l'explication de cette circonstance.
Les lignes courbes étant représentées de la même manière que les lignes droites, au moyen de deux projections, on doit en conclure que , si deux courbes, G et G' situées dans l'espace, se coupent en un point m, leurs projections G*, G'* et G*, G'" se couperont respectivement en des points qui seront m* et m" projections du point wi, et dès lors tels qu'ils pourront {sur l'épure) être unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre.
Représentation du plan.
27. Par deux droites parallèles, ou qui se coupent, par une droite et un point, par trois points, on peut faire passer un plan et on ne peut en faire passer qu'un ; parmi les droites qui peuvent fixer la position d'un plan dans l'espace , on choisit celles en lesquelles il coupe les plans de projection et que l'on nomme les traces du plan. Il est évident que les deux traces d'un plan doivent rencontrer la ligne de terre au même point, qui est le point d'intersection de cette ligne et du plan.
Nous désignerons un plan dans l'espace par une lettre majuscule, et ses traces horizontale et verticale respectivement par les lettres H et V avec la lettre
qui désigne le plan, pour indice, ainsi (fig, 29) H' et Y' sont les traces du plan P.
Lorsqu'un plan sera donné par deux droites nous l'indiquerons par les lettres qui désignent ces droites mises entre parenthèses : ainsi le plan (A, B) signifiera le plan déterminé parles deux droites A et B; nous dirons de même le plan (A, a) pour indiquer le plan déterminé par la droite A et le point a ; et enfin le plan (a, bf c) exprimera le pian passant par les trois points a, b et c.
38. Problème 5. Étant connue la projection horizontale dune droite située sur un plan donné par ses traces ^ trouver sa projection verticale {fig. 29). II est évident que les traces d'une droite située sur un plan se trouvent sur les traces de ce plan , donc la trace horizontale de la droite D sera le point a , intersection de H' et D^, d'où l'on déduit un point a"* de D". La trace verticale de D se projette horizontalement au point 6*, intersection de D* et de LT, et le point lui-même est en b sur V; donc on connaît D^ Si l'on donnait D*" on en conclurait de même D*.
29. Problème 6. Étant connue la projection horizontale d'un point situé sur un plan donné par ses traces^ trouver sa projection verticale {fig. 29). Si par le point m et dans le plan P on conduit une droite D quelconque , D* passera par m*, et Ton en conclura D" (n** 20) ; puis m", devant se trouver sur D'' et sur une perpendiculaire à LT et abaissée du point m*, sera à l'intersection de ces deux droites. Si Ton donnait m"; on en conclurait de la même manière m*.
II résulte de là qu'un plan est complétetnent déterminé par ses traces.
30. Un plan est aussi complètement déterminé par deux droites quelconques y qui se coupent (fig. 30). En effet soit m* la projection horizontale d'un point appartenant au plan (A^B) (n"" 27); par le point m et dans le plan (A, B) menons une droite quelconque X ; X* passera par m*, cette droite X rencontrera nécessairement les droites A et B en des points a et 6, dont les projections horizontales sont les points a* et 6*, intersection de X* avec A* et B* ; on en conclut a"" et b"" qui font connaître la droite X*' sur laquelle est située la projection verticale m"" du point m, donc ce point est déterminé. U est évident qu'il en serait de même si les droites A et B étaient parallèles.
31 . Problème 7. Un plan étant donné par deux droites (qui se coupent)^ en trouver les traces {fig. 31 et 32). Les traces de chacune des droites devant se trouver sur les traces du plan , nous chercherons ces traces (n"* 1 5) et nous aurons deux points a et b de H' et deux points a' et 6' de V; il faut en outre que ces traces coupent LT au même point , ce qui servira de vérification à l'exactitude des constructions.
Nous dirons à cette occasion que dans tous les problèmes à résoudre , l'élégance des méthodes consiste à se ménager le plus possible des moyens de vérification ,
sans toatefoÎB en augmenter le nombre aux dépens de la simplicité des oonstrac* tiens.
33. Si ron voulait trouver les traoes d'un plan donné par une droite D e^ un point m, par le poittt m on mènerait une droitaD' parallèle à D , ou la coupanb, et ensuite on chepoherait les traces du plan (J>, D').
Si le plan était donné par trois poinis, unissanik ces points deux à deux onobtiendrait trois droites , ou. bien on pourrait noir deux points par une- droite à laquelle on mènerait une parallèle. B«ir k tcoi^^ième point U sera facile de. résoudre ces diverses questions.
33. Mphabet du plan. Un plan peut ajQtecter plusieurs positions dans Tespace.
1* n peut être oblique par rapport aux deux plans de projection» il y a deux cas» à diatinguer (fig. 33) suivant que les traces font des angles aigus a et |3 avec la môme partie de, LT> ou avec des parlves différente».
2^ Dans les deux cas les angles a et^ peuvent être égaux, et dans le dernier ca3 les deux traces se confondent (Ji^, 34).
3* Si le plan est perpendiculaire au plan horizontal > sa trace horizontale serait au3si perpendiculaire au plan horizontal {fig., 35.) et par conséquent à la lig^e de terre.
4"* Si ce plan était perpendiculaire au plan vertical la trace horizontale serait perpendiculaire à la ligne de terre {fig. 36).
&" Si le plan était perpendiculaire à la ligne de terre, les deux traces se confondraient évidemment en une seule droite perpendiculaire à la ligne de terre {fig. 37).
&" Lorsque le plan est parallèle au plan vertical , sa trace horizontale est parallèle à LT, sa trace verticale n'existe pas ou plutôt elle est située à Tinfini ; le plan peut alors affecter deux positions {fig. 38).
7* Un plan parallèle au plan horizontal n*a pas de trace horizontale et sa trace verticale est parallèle à LT ; il peut encore affecter deux positions {fig. 39).
S*" Le plan peut être parallèle à la ligne de terre, ses traces sont alors toutes deux parallèles à LT, car s'il en était autrement la ligne de terre rencontrerait le plan. Suivant que les traces sont situées sur Tune ou sur l'autre des parties de chaque plan de projection, le plRn P peut affecter quatre positions (fig. 40).
9"* Le plan peut être également ineliné par rapport aux deux plans de projection , ses deux traces sont alors à égale distance de la ligne die terre, et si elles sont du même côté elles se confondent (fig. 41).
1 0"" Un plan passant par la ligne de term ne peut plus être déterminé par ses traces, qni ne forment qu'une seule droite; mais un plan étant déterminé par une droite et un poî«t , on ohoisil la lig^ de terreet Tan donneien^ outrer uapmnt quel-
cDttqwe que Û0ÏI8 lïoteroBS par la même tetlre qtie le plan. Ce plan peot affecter
deux positions {fig. 42) suivant qu'il traverse l'angle A, S et son opposé , ou les deux autres angles dièdres.
1 1 * Enfin le plan pourrait être l'un des plans de projection, le point donné devrait alors avoir une de ses projections sur la ligne de terre.
34. De tout ce qui précède nous pouvons conclure qu'un plan est toujours déterminé par une droite et par un point ., tandis que ses traces ne sont (pas isuiBsantds dans un cas particulier, celui où il passe par la ligne de terre.
35. Parmi les droites que l'on peut tracer sur un plan, il faut principalement distinguer :
1 " Les horizontales du plan ; ce sont des droites Situées dans le plan et parallèles au plan horizontal.
â"" Les verticales du plan ; ce sont des droites situées sur le plan et parallèles , au plan vertical.
.3"* Les lignes de plus grande pente par rapport au plan horizontal ; ce sont des droites perpendiculaires à la trace horizontale de ce plan. En effet par un point m [fig. 43) du plan MP menons mo perpendiculaire et mq oblique sur MN, abaissons aussi mp perpendiculaire sur le plan AN et joignant po et j>q ; po sera perpendiculaire et pQ oblique sur MN, donc po < pg, d*où — > — ; or, ces rapports sont
po pq
ce qu'on nomme les pentes des droites mo et mq tracées sur le plan AN, donc mo est la ligne de plus grande pente du plan AN.
Remarquons que — == tang. a , et nous en conclurons que la pente d'une
po
droite ou d'un plan sur un autre plan est exprimée par la tangente trigonométrique de l'angle que fait cette droite ou ce plan avec le second plan.
4* Les lignes de plus grande pente par rapport au plan vertical ; ce sont des perpendiculaires à la trace verticale de ce plan (d'après la démonstration précédente).
36. Problème 8. Tracer une horizontale et une verticale (Tun plan (fig, 44). Une horizontale D du plan P étant parallèle au plan horizontal , sa projection verticale D'' est parallèle à LT, sa trace verticale doit être sur V et sur D% donc en 6, dont la projection horizontale est A*; la droite D étant parallèle à H', sa projection horizontale D* doit être aussi parallèle à H* (n* 20, 2") et passer par b\
Une verticale B du plan P étant parallèle au plan vertical, sa projection horizontale B* est parallèle à LT, et sa projection verticale B^ est parallèle à V. Les deux droites D et B étant sur le plan P se coupent en un point m ; donc m^ et
nf doivent être sur une même perpendiculaire à LT, ce cpii sert à vérifier («tir P épure) Texactitude des constructions.
37. Problèhe 9. Tracer dans un plan donné les lignes de plus grande pente. La fig. 43 prouve que la projection po de la ligne de plus grande pente mo du plan MP sur le plan AN est perpendiculaire à Tinterseclion MN de ces plans.
Gela posé , la projection horizontale D^ {fig. 45 ) d'une ligne de plus grande pente par rapport au plan horizontal doit être perpendiculaire à H', on en déduit D" ( n° 28 )• De même la projection verticale K* d'une ligne de plus grande pente par rapport au plan vertical est perpendiculaire à V% et Ton en déduit la projection horizontale K*.
Les deux droites D et K situées sur le plan P se coupent en un point m ; donc m* et m^ doivent être sur une même perpendiculaire à LT.
38. On voit par là qu'une ligne de plus grande pente d'un plan suffit pour le déterminer complètement , puisqu'on peut par son moyen obtenir tant d'horizontales (si la ligne de plus grande pente est donnée par rapport au plan horizontal) ou de verticales (si c'est la ligne de plus grande pente par rapport au plan vertical de projection qui est donnée), que l'on veut, de ce plan; on connaît dès lors deux droites qui se coupent et sont situées dans ce plan , le plan est donc bien fixé de position dans Tespace par rapport aux deux plans de projection.
39. Problème 10. Par un point donné mener un plan parallèle à un plan donne. Deux plans parallèles ont évidemment leurs traces de même nom parallèles ;
de plus nous savons que si deux plans P et Q sont parallèles , que par un point quelconque m du plan Q on mène une parallèle à une droite située dans le plan P, elle est tout entière contenue dans le plan Q.
Cela posé, dans le plan P donné {fig. 46) conduisons une droite quelconque 1), puis par le point m menons la droite K parallèle à D ; elle est située dans le plan cherché Q , donc sa trace horizontale a est un point de H" et sa trace verticale b est un point de V^ ; d'ailleurs ses traces doivent être respectivement parallèles à H' et V , elles sont donc connues , et de plus , comme vérification , elles doivent se couper sur LT.
On peut se dispenser de mener la droite D, car par le point donné m, si l'on fait passer une horizontale K {fig, 47) du plan Q, K* sera parallèle à H^ et par conséquent à H% et K* sera parallèle à LT ; puis la trace verticale b de cette droite sera un point de V^ qui doit être parallèle à V; cette trace rencontre LT en un point q , par lequel on mènera H* parallèle à H'. Au lieu d'une horizontale , on pourrait employer une verticale du plan, et l'on trouverait ainsi directement un point de H*.
40. Si le plan P n'est pas donné par ces traces, mais par deux droites qui se
coapent , il suffira évidemmeut de mener par le point donne deux droites respectiyement parallèles aax deux droites données, elles détermineront le plan cherché.
Si le plan P était donné par deux droites parallèles, par une droite et par un point, ou par trois points, on se ramènerait d'abord à Tun des deux cas précédents en construisant les traces du plan donné (n"" 31 et 32), ou deux droites situées dans ce plan et se coupant , et Ton déterminerait alors le plan Q comme ci-dessus (n* 39).
41 . Ârrétons-nous un instant sur les figures précédentes afin de montrer les avantages de la notation adoptée dans ce cours. Lafig, 18 est exactement reproduite dans le premier cas de la fig. 33, la notation seule rappelle qu'il s'agit dans la première (fig. 18) d'une droite rencontrant la ligne de terre et dans l'autre (Jig. 33) d'un plan quelconque; la notation (*) par lettres accentuées sur le plan vertical ne serait pas encore suffisante puisqu'elle s'applique également aux plans et aux droites. Le premier et troisième cas des figures 11 et 40 ne diffèrent aussi que par la notation. La figure 12 est identiquement reproduite dans les figures 38 et 36. Dans la figure 14 la notation seule peut indiquer qu'il s'agit de droites dont les projections se confondent et non de droites tracées sur la partie postérieure du plan vertical {fig. 12), ou encore de plans parallèles au plan vertical {fig. 38) ou au plan horizontal {fig. 39 ). Sans la notation employée dans la figure 41 , on ne reconnaîtrait pas des plans parallèles à la ligne de terre et dont les traces se confondent, mais bien plutôt des plans parallèles au plan horizontal {fig. 39) ou au plan vertical {fig. 38). Enfin la figure 42 ne présenterait que les projections d'un point, et ne pourrait pas rappeler un plan passant par la ligne de terre. Il est essentiel de remarquer que la ponctuation des lignes ne peut pas suppléer à l'inéuffisance des autres notations dans les exemples que je viens de citer; ils sont donc très-propres à prouver l'utilité de la notation que j'emploie depuis vingt-trois ans dans mes leçons.
En résumé :
1"* Un point de l'espace peut occuper treize positions par rapport aux deux plans de projection , eu y comprenant les quatre positions où il est également distant do ces deux plans.
2' Une droite de l'espace peut occuper trente-neuf positions par rapport aux deux plans de projection en y comprenant celles où elle se trouve située dans I'ud
(*) Cette notation qui est adoptée et conservée malgré ses inconvénients et qui consiste à représenter les projections d*UQ point A de Tespace par a sur le plan horizontal et par à sur le plan vertical, ne peut se prêter que très-difficilement à écrire les solutions graphiques des problèmes» lorsque Ton emploie la méthode du changement de plans de projection.
deB deux plans bissecteurs et celles où elle est perpendiculaiœ à Ton fdoces d&m plans* bissecteurs, ainsi qu'il suit :
4 Positions où la droite coupe les plans de projection d'une manière arbitcaire.
4 Positions où elle est perpendiculaire à Tun des plans bissecteurs. 6 Positions où elle est parallèle à Tun des plans de proJecijx)n et ohIi(iii8
à l'autre.
6 Positions où elle est perpendiculaire à Tun des plans de projection. 6 Positions où elle est parallèle à la ligne de terre et à une distance arbitraire
des deux plans de projection.
5 Positions où étant parallèle à la ligne de terre elle est située dans rua des plans bissecteurs.
2 Positions où coupant la ligne de terre elle fait un angle aigu avec elle. 2 Positions où elle est située dans un plan bissecteur. 2 Positions où coupant la ligne de terre elle lui est perpendiculaire* 2 Positions où elle est située dans un plan bissecteur. 3* Un plan de Tespace peut occuper vingt et taie positions par rapport aux deux plans de projection en y comprenant celles où il est perpendiculaire à Tun des deux plans bissecteurs et celles où il n'est autre que Tun de ces deux plans bissecteurs, ainsi qu'il suit :
2 Positions où le plan coupe les deux plans de projection et la ligne de'terre.
4 Positions où il est parallèle à l'un des plans de projection.
2 Positions où il est perpendiculaire à l'un des plans de projection etobliiine
par rapport à l'autre plan de projection. 2 Positions où il passe par la ligne de terre. 2 Positions où il n'est autre que l'un des deux plans bissecteurs. 4 Positions où il est parallèle à la ligne de terre et oblique aux plans de projection.
4 Positions où il est parallèle à la ligne de terre et perpendiculaire à J'an des
plans bissecteurs.
4 Position où il est perpendiculaire à la ligne de tene*
CHAPITHE IL
emOJftIi&lL&ft FûlfQÀMENTAUX DE. LA. GÉaKÉTRIB MSIZBIPIVra» (dteBgeant des plaas dé projecUÔB et rotalioa dès figores avtoor d*aB tn. )
42. Lorsque réqaalion d'une ligne oo d'une surrace est trop compliquée, o» chercha, eu analyse y à la simplifier en rapportant la courbe ou la surrace à (fe nouveaux axes choisis de manière à faire disparaître certains termes , comme par exemple les rectangles des coordonnées et les termes dn premier degré .dans lea équations des courbes ou des surfaces du second ordre. Dans la 4>éométrie descrip*» tive;, une figure tracée sur les plans de projection peut él»e très- compliquée^ el parmi les lignes qui la composent, quelques-unes sont une conséquence nécessaire de la nature de la question, on ne peut pas s'en débarrasser ; d'autres peuvent provenir de la position des plans de projection par rapport à la figure de lespace qu'on veut représenter ; ces dernières disparaîtront par un clioix convenable de plans de projection ; on peut aussi conserver les mêmes plans de projection et changer la position de la figiu*«e par rapport à ces plans ; cette dernière opération s'efiectue toujours en faisant tourner la figure autour d'un axe. Nous aurons donc à pésoudre les deux problèmes suivants :
4* Connaissant les projections d^une figure de l'espace sur deux planS' rectangur laires entre eux , trouver la projection de cette figure sur un troisi^ne plan^perpen*dicnlaire à l'un des deux premiers ;
2* Connaissant les projections d'une figure de l'espace sur deux plans rectangU'laureS' entre eux^ trouver les projections de cette figure sur les^ mêmes plans après^ l'aïKrir fait tourner, autour d'un axe fixe d'une quantité angulaire donnée. Chacun de ces problèmes se. subdivise en. plusieurs cas- dont l'étude détaillée seca l'objet de. ce chapôlre*
43» Avant d'entrer en matière nous préviendroBs^ que toute ligne datecraisom. re{^éKatée par les. lettres. LX^ avec oa sams^aosent.^ eesi lettres. L et T étant yl&eâG»^
de telle manière qu'en se supposant au-dessus du plan horizontal et en face du plan vertical, on ait la lettre L à gauche et la lettre T à droite ; de sorte que la position respective de ces lettres indique la partie de la feuille de dessin où l'on doit chercher les régions de chacun des deux plans de projection. Les projections des points ou des lignes sur les nouveaux plans de projection seront encore marquées par rindice v ou h portant le même nombre d'accents que les lettres L et T de la nouvelle ligne de terre , pour marquer que c'est le même point ou la même ligne , mais rapportées à un nouveau plan vertical , on a un nouveau plan horizontal. De même les nouvelles traces des plans seront marquées par les lettres Y ou H affectées du même nombre d'accents. Quelquefois aussi , surtout dans les questions d'application , on ne met aucune lettre à la ligne de terre , mais on Tébarbe du côté de la partie antérieure du plan horizontal.
44. Problème 1. Changer de plan vertical par rapport à un point {fig. 48). Soient m* et m" les projections d'un point m sur deux plans caractérisés par la ligne de terre LT, supposons qu'on cherche sa projection sur un autre plan vertical LT. La position des lettres montre que la partie supérieure de ce plan vertical est rabattue vers la gauche du dessin, et la partie inférieure vers la droite. Puisque le plan horizontal n'est pas changé , la projection m^ ne change pas et le point m conserve la même hauteur au-dessus de ce plan 5 donc sa nouvelle projection verticale m"' doit se trouver avec m'^l^ur une même perpendiculaire à LT ( n" 8), sur la partie supérieure du nouveau plan vertical (n* 10, 1') et à une distance o'm'' de.LT égale à la distance oin' du point m au plan horizontal (n* 5, V).
On peut écrire cette relation sur là figure en menant, par le point t intersection de LT et L'T', les droites perpendiculaires, savoir : il à LT et ik à L'T'; puis l'on tracera la droite nCl parallèle à oï^ l'arc Ik décrit du centre î , et la droite frin"' parallèle à io'. Il est évident par ces constructions que l'on a : oni'=:H:=:ikz=zo'n%''\
45. Problèhe 2. Quinger de plan horizontal par rapport à un point {fig. 48). Ce problème ne diffère en rien du précédent, si ce n'est que l'on doit faire, par rapport au plan horizontal, les opérations qui ont été faites par rapport au plan vertical. Si l'on voulait changer à la fois les deux plans de projection il faudrait effectuer ces opérations successivement, c'est pourquoi nous supposerons qu'après avoir changé comme ci-dessus , de plan vertical , on se propose de changer de plan horizontal; soit L"T" la nouvelle ligne de terre, de sorte que la partie antérieure de ce nouveau plan soit située au-dessous et la partie postérieure au-dessus de L"T". Puisque le plan vertical reste le même , le point ou projection m"' ne change pas et le point m de l'espace demeure toujours en avant du plan vertical défini de position dans l'espace par la ligne de terre L'T' et à la même distance de ce plan vertical ; donc la nouvelle projection horizontale m*" doit se trouver avec m*' sur une même
perpendicalaire à L'T' (n* 8), au-dessous de cette ligne de terœ (n* 10, 1^") et à une distance o"fn!''=^ow!' (n* 5, 2*"). On écrira cette égalité graphiquetnent par des constructions analogues aux précédentes, desquelles on conclut :
Par des changements successifs de plans horizontal et vertical , on pourra rapporter un point à deux plans rectangulaires quelconques, dont l'un sera toujours dit horizontal quelle que soit sa direction , et Tautre vertical quelle que soit aussi sa direction dans Tespace, par rapport aux deux plans primitifs de projection
46. Problème 3. Changer de plans de projection par rapport à une droite. On peut ^ résoudre relativement à une droite les mêmes problèmes que nous venons de résoudre par rapport à un point ; car une droite étant déterminée par deux points, il suffira de trouver les projections de deux de ses points sur les nouveauux plans. Soit L'T' (fig. 49 ) la trace d'un nouveau plan vertical , la position des lettres sur cette nouvelle ligne de terre montre que la partie supérieure est rabattue a droite, et la partie inférieure à gauche de la feuille de dessin (n"" 43) ; prenant donc sur la droite D deux points quelconques m et n, leurs projections horizontales ne changeront pas, et comme ces points sont au-dessus du plan horizontal , les nouvelles projections verticales devront se trouver à gauche de L'T' et à des distances o'm"' = ont" et p'ri^'^iipn" (n** 44). La trace horizontale a de D ne change pas ; donc si Ton a bien opéré, la droite aà'' doit être perpendiculaire à la nouvelle ligne de terre L'T'. On aurait pu choisir ce point a et un autre point quelconque , pour trouver la nouvelle projection D"' de la droite D. •
Remarquons encore , à Foccasion de ce problème , l'avantage de la nouvelle notation adoptée dans ce cours, car n'est-il pas évident que par son moyen on peut lire sur la figure non-seulement la signification de chaque ligne, sa position et sa direction dans l'espace, mais encore le sens du rabattement des plans qui situés dans l'espace ne coïncident avec la feuille du dessin et ne coïncident qu'après avoir effectuée (par la pensée) ce rabattement. Observons encore que les accents des lettres h et Vf analogues à ceux de la ligne de terre correspondante, montrent au premier coup d'œil , par quels changements successifs de plans de projection , on a fait passer les projections de la figure de l'espace, ce que l'on n'obtiendrait pas par la notation ancienne, c'est-à-dire : par lettres accentuées, à moins de compliquer extrêmement cette notation.
Il serait maintenant très-facile de trouver la projection de la droite D sur un nouveau plan horizontal, c'est-à-dire, sur un plan perpendiculaire au plan vertical LT. Pour ne pas surcharger la figure, nous ne ferons pas ici cette recherche.
:47. .PatuÈlB. 4jk Changer •^dejjiàns: de- profûctkm par rapport à w» piùn (fiff. 90). Sàw GOosidôreFon^le plan conune étant dotiDé par ses traces H% V% ei novs cbercherons ses tracesiauirres nouveaux plaos de pnojeeiien* Pttypmon8*ntim detnîHaver la trace du plan P sur un nouveau plan vertical L'T'. La trace horizontale H* ne changeant pas, le point o', où elle rencontre lanoruvelle ligne de terre LT, sera déjà un point de la nouvelle trace verticale cherchée (n* 27) ; si Ton prenait sur le plau* P une droite qiielconcpie, fe .point où elle rencontrerait Te nouveau plan vertical de projection en serait nn second' point (ti* 28), et par conséquent \h problème serait i^ésoiu. Pour plus de simplicité, on choisit une horizontale K, parce qu'alors tous ses points sont à Fa mémo distance b^b du plan horizontal qui no varie pas; donc en prolongeant K* jusqu'à L'T' en fr*, élevant par ce point 6* une perpendiculaire à LT et prenant sur cette perpendiculaire une longuenr 6'*^'=ft*fr, on aura en- b' la nouvelle trace rerticale de Thorizontale E du plan P' ( tf 1 5.) 5 et par conséquent en V" (droite qui unit tes points o' et b') la nouvelle trace verticale du plan P. Remarquons qu'il était inutile d'écrire la projection verticale de la droite K , puisqu'il suffisait d'en déterminer le point b , qui seul notts a servi.
Parmi toutes les horizontales du plan P, il vaut mieux, quand on le peut, employer celle A dont la projection A* passe par le point d'intersection de LT et LT. Le point a appartenant à la fois aux deux plans verticaux, nous le soulignons sur le plan LT. S'il arrivait que la trace horizontale H' ne renconlrât pas la nouvelle ligne de terre L'T' dans les limites du dessin, sans pourtant lui être parallèle, on ne connaîtrait pas le point o'; il faudrait alors trouver directement deux points de la trace verticale V" par la considération de deux horizontales du plan P. Et si dans ce cas la trace verlicale sortait tout entière des limites du dessin, on prendrait sur le plan P deux droites, dont on pût trouver les nouvelles projections verticales, et le plan serait suffisamment déterminé par ces deux droites (n° 27).
Pour changer de plan horizontal , il faut opérer d'une manière semblable en employant une ou deux verticales du plan donné, suivant que la trace verlicale de ce plan rencontre ou ne rencontre parla nouvelle li^ne de terre dans les limites du dessin , sans pourtant lui être paraUèle.
48. Problème 5. Connaissant les projections dun point sur deux plnns rectangulaires entre euxi, trouver sa projection sur un troisième plan quelconque {Jtg. §1). Le plan P, n'étant perpendiculaire ni an plan* horizontal, ni au plan vertical, ne peut pas être considéré comme un nouveau plan vertical ou horizontal de projection, mais si nous' voulons le prendre comme plan horizontal de projection, nons devons d'abord changer de platr vertical! et choisir ce nouveau plan de manière à ce qu'il soit perpeûdicolarroan plan B ; pour cela if fant qoe IT toit perpendîcnlairB
à la Douvdle li^oeile terre LT; nocrs tracerons donc sur |Ie pkUDharizontalde'piiojectioo (et ainsi.sur répuro) une .droite L'T' perpeadiculaire à H'^tet elle définira' la position du nouveau plan ver.iical de projection (n'^SS, i""); nous. chercherons la trace du plan P (n"" 47) et la projection du point m (n"" 44) sur ce nouveau plan vertical, ; puis prenant le plan F^ pour nouveau .plan horizontal de projection, Ja Aouvelle ligne de terre L'T' ne sera aju^re que Y^" 6t udons tnooverons ni*'' (n^'ilS) .gui sera la .projection du :point m sur le plaa P.
On pourrait se prqposer, considérant ce point m*" comme jetant un point. «du plan P, d'en trouver les projections sur les plans primitifs caractérisés par la ligne de terre LT. Pour cela nous nommerons ce point n (au lieu de le désigner par wi*''); comme il est situé sur le plan horizontal L"T", sa projection verticale doit étreiBor la ligne de terre en n"'. Passant ensuite du système de plans qui se coupent suiviint laJigne de terre L''T'' au système caractérisé par la ligne de terre L'T', la projection n*' ne changera pas et la nouvelle projection horizontale sera en v!" sur une perpoûdiculaire à LT abaissée de if' et à une distance .i'/i'^=R'"/2=^6'W. Enfin nous passerons au système de plans caractérisés par la ligne de terre Lï en changeant de plan vertical, et nous trouverons ila projection n*" sur «une perpendiculaire àLT abaissée du point .n'^ et à une distance iV=:tiV\
49. Remarquons que la droite mV étatit parallèle à LT, est perpendiculaire à H'; or la droite mn dans l'espace est perpendiculaire au plan P et mV en est^la projection horizontale. Au lieu de considérer le plan P comme un nouveau plan Jiorizontal de projection, on aurait pu le considérer comme un nouveau plan vel** iical de projection; il aurait alors fallu changer d'abord dd plan horizontal et choisir
LÎT' .perpendiculaire à V% puis H' aurait été la nouvelle ligne de terre L"T" ; .ek enxbcrchant de même les projections du point m''" considéré comme un poini^n du plan P, on aurait trouvé d'abord n" situé avec tu*' sur une perpendiculaire k Y'; or niV est la projection verticale de la perpendiculaire mn au p!an P. Il résulte donc de ce problème que les projections (Tune perpendiculaire à tin plan smt respâcUvement perpendioufaîres aux traces de méinemmuidu plan. Mais nous démostrenans .direotement ce théorème par la .suite.
&0. :Prdblème 6. Ramener une droiie ù être pavallèle 'à tun des plans de pngteiiBîi (Juj. ht). Pour que ila droite D soit parallèle au plan vertical, il -Tant ()»e D* soit parallèle a la ligne de terre ( nM 7, 3*" ), il suffira donc de prendre L'T' parallèle à D* et de chercher la projection D"' de la droite D sur ce nouveau plan vertical .(fi*" 46^. Si. Fon voulait cendre ladroite parallèle au plan horizontal, il faudriait dianger de plan «horizontal et prendre LT parallèle à D*' (n*" 17, ^%
JM.. J'aoALiHB ?.. Aêmener une éroite àéàne perpendicmlaire à Vun des ptànsdeipnê- JutiûuXfig^ &8I). Si la droite D était paralKlo au plan vertical, tout plan pdr-
pendiculaire à cette droite, serait eo même temps perpendiculaire aa plan vertical, et pourrait être choisi pour nouveau plan horizontal de projection combiné avec le plan vertical. Si la droite D était parallèle au plan horizontal, tout plan perpendiculaire à cette droite serait perpendiculaire au plan horizontal et pourrait être considéré comme un nouveau plan vertical de projection combiné avec le plan horizontal. Mais lorsque la droite D n'est parallèle à aucun des plans de projection , un plan perpendiculaire à cette droite n'est perpendiculaire ni au plan horizontal , ni au plan vertical , et ne peut par conséquent être pris ni comme nouveau plan vertical , ni comme nouveau plan horizontal de projection combiné avec l'un des plans primitifs ; c'est pourquoi, pour résoudre le problème actuel, il faut commencer par rendre la droite donnée parallèle à l'un des plans de projection (n* SO ).
Si , par exemple , on veut ramener la droite D à être perpendiculaire au plan horizontal, on la rendra d'abord parallèle au plan vertical, puis on changera de plan horizontal en remarquant que si la droite D est perpendiculaire au plan horizontal, sa projection verticale est perpendiculaire à la ligne de terre (n* 47, 5'); nous prendrons donc VIl" perpendiculaire à D''', et la projection horizontale sera un seul point situé sur le prolongement de D"' en avant de L"T", et à une distance a''D*"=2aa*'', distance d'un point quelconque de la droite D au plan vertical.
58. Problème 8. Rendre un plan perpendiculaire à F un des plans de projection. Ce problème a été résolu accidentellement (n" 48); nous avons vu que pour rendre le plan P perpendiculaire au plan vertical , il faut changer de plan vertical de projection et prendre la nouvelle ligne de terre perpendiculaire à H' ; et pour rendre le plan P perpendiculaire au plan horizontal , il faut changer le plan horizontal de projection et prendre la nouvelle ligne de terre perpendiculaire à V.
53. Problème 9. Rendre un plan perpendiculaire à la ligne de terre. Le plan doit être perpendiculaire à la fois au plan horizontal et au plan vertical ; nous changerons d'abord de plan vertical , eu prenant LT' perpendiculaire à H', et nous en conclurons V" (n° 47); puis nous changerons de plan horizontal, en prenant L"T" perpendiculaire à V", le plan restera toujours perpendiculaire au plan vertical précédent, et sera en outre perpendiculaire au nouveau plan horizontal; il sera donc perpendiculaire à leur intersection, ou à la nouvelle ligne
de terre.
54. Problème 10. Rendre un plan parallèle à ta ligne de terre (fig. 53 ). Un plan parallèle à la ligne de terre a ses deux traces parallèles à cette ligne (n** 33, 8*); si donc nous voulons résoudre le problème par un changement de plan vertical , il faudra prendre L'T' parallèle à H' ; puis pour obtenir un point de Y'', on pour-
rait, dans le plan P, constraire une droite quelconque et chercher son intersection avec le nouveau plan vertical; mais on y parvient plus simplement comme il suit: les deux plans verticaux et le plan P ont en commun un point a dont la projection horizontale est évidemment le point a*, intersection des deux lignes de terre LT et L'T'; ce point, rapporté au plan vertical LT, est en a sur V; rapporté au plan vertical LT', il est sur une perpendiculaire à L'T' et à une distance a!'a=:J'^ et le point a est un point de T\
Si Ton voulait résoudre le problème par un changement de plan horizontal , il faudrait prendre la nouvelle ligne de terre parallèle à V% et l'on trouverait d'une manière analogue un point de la nouvelle trace horizontale.
55. Problème 1 i . Rendre tm plan parallèle à l'un des plans de projection. Un plan parallèle à l'un des plans de projection est nécessairement perpendiculaire à l'autre; donc pour résoudre le problème actuel, il faut commencer par rendre le plan donné perpendiculaire à l'un des plans de projection (n** 52), puis on le rendra parallèle à l'autre plan. Si , par exemple, ou veut que le plan donné P soit parallèle au plan vertical, on le rendra d'abord perpendiculaire au plan horizontal, puis on changera de plan vertical , en prenant la nouvelle ligne de terre parallèle à H" (u** 33, 6"). Si au contraire ou veut rendre le plan P parallèle au plan horizontal, on le rendra d'abord perpendiculaire au plan vertical, puis on changera de plan horizontal en prenant la nouvelle ligne de terre parallèle à V" (n^ 33, 7**). Il est évident que dans le second changement de plan , il n'y a pas de trace du plan à chercher.
Il faut bien comprendre que , lorsque sur l'épure on trace une nouvelle ligne de terre L'T', elle est l'intersection du plan horizontal qui ne change pas et du nouveau plan vertical de projection , ou l'intersecuon du plan vertical qui ne change pas et du nouveau plan horizontal de projection , suivant que l'on veut effectuer un changement de plan vertical de projection ou un changement de plan horizontal de projection.
56. Avant de résoudre le problème de la rotation des figures autour d'un axe, nous ferons connaître trois principes évidents , et qui nous seront d'une grande utilité :
r Toute figure contenue dans un plan parallèle à l'un des plans de projection , se projette sur ce plan suivant une figure identique. En effet , en abaissant des extrémités d'une droite des perpendiculaires sur le plan de projection, on forme un parallélogramme rectangle, dont la projection de la droite et la droite projetée sont deux côtés opposés, et dès lors parallèles et égaux en longueur; et cela a lieu que la figure soit limitée par des lignes droites finies ou infiniment petites.
2* Toute figure contenue dans un plan P perpendiculaire à l'un des plans de
prtjeetioD , se» projette sur ce plan do projectÎQaB sinvanl. liai traec: da plan 9 qui ta c«M)4iefit; car les perpendiculaires, abaissées de chaque point de la figura ne sûih tenl pos de ce pla» P.
3"* Quand une figure tourne autour d'un axe , sa projection sur unt pla» perpendteulaire à cet axe tourne atstotu* du pied de Faxe- snr ce plan , eni restairl idèa<> tique à elle-même, tandis que sa projection sur tout autre pian change de formera chaque instant du mouvement.
Cela posé, la rotation d'une figure peut se faire autour d'un axe perpendiculaire <m parallèle à l'un des plans de projection , ou dirigé d'une manière quelconque* Après la rotation, les différentes parties de la figure ayant changé de* position dans respace, c'est, à proprement parler, une autre figure identique à la première dont nous cherchons les projections ; c'est pourquoi dans ce cas nous accentuons les lettres caractéristiques des points, des lignes et des plans, et non plus les indices, qui se rapportent toujours aux mêmes plans de projection.
57. Problème 12. Faire tourner un point (Vun angle donné autour dwn axe vertical et trouver ses projections dans sa nouvelle position {ftrj. 54). Soient donnés un point m et un axe vertical A ; si du poinli m on abaisse une perpendiculaire R sur l'axe, elle sera horizontale, et par conséquent se projettera horizontalement en R^ dans sa véritable grandeur (n® 56, <*), et sa projection verticale R** sera parallèle à LT (n* 17, 2"). Si l'on imprime ua mouvement dé rotation au système- et autour de Faxe A , la perpendiculaire R restera toujours perpendiculaire à cet axe A et ne changera pas de longueur ; elle décrira donc un cercle C dans un plan perpendî* culaire à A, on, en d'autres termes, dans un plan horizontal, et dont le centre sera sur Taxe A ; sa projection horizontale C^ sera un cercle identique dont le eentre est en A**et dont le rayon sera égal à R*, sa projection verticale (7 est une droite parallèle à LT'. Le point m ne sortant pas de cette circonférence C pendant son mouvement dé rotation, lorsqu'il* sera? venu prendre dans l'espace la position m', ses projections m'* et m'*' seront respectivement sur G" et C. Si l'on suppose que la point m tourne autour de l'axe A d'un angle « et dans le sens de la flèche F', le rayon R sera venu dans une position R^ faisant avec R un angle égal à a; les projections horizontales R* et R'* devront faire entre elles le même angle a, puisque les droites R et R' sont horizontales ; dès lors il suffira de mener R'* Êaîsant avec R* Ftongle « ; le point en lequel cette droite R'* rencontrera C* sera la projection horizontale in '^ du point m après la rotation; sa projection verticale devant se trouver «ir la projection verticale- du cercle C sera en m'* sur C*. Si la rotation avciit lien en sens contraire , comme l'indique la flèche» F", le rayon R serait venu en R" et le point m en- m".
09. PftOBLÈMB (\. Fmre tourner un pami dun angte donné autour (tnn axe perpen^
ékdmnt ^u plan variicat(fig. 5S}. Ce problème ne dUfère'eB Heu du précédant,
sttdenQeni le cercle C <léciûl par le point m esL àatùê un iplaA parallèle au plan VBtii*
cd, de sorte que l^angje ilonfié« doit'étre foroié par les projeciioiis verticales A*' et
R- *" lies rayoQs ( de ce cercle C } passant par les points m et mL S9. PnoButaiE II 4. Faire tourner une dtaiie d'an ^ng!e donné muêanr dun axemriictu
au perpendiculaire au plan vertical. La droite donnée peut occuper trois posiiiAU
distincles par xappoii à Taxe :
i ^ EUe peut lui >élr« parallèle^ 'oUe décrit alors une surface cyliiidri(iue ii hsm
cÎDCulaire, oommeon Ta vu en géomâtrie élémcntairo;
'S^ EÀle peui couper Taieea ua point, eUe décrit aJors une^irfaoe coniqueàlMun circulaire, comme Tappread égalemeni la géométrie élémentaire;
3** Enfin die peut n*étre pas siluoe daosis ua même plan avec Taxe; dans ce cas die décnt une surface que nous étudierons plus tard sous le nom dVjypen6<»/oSér ée nëooUthii à mne mtpfe.
Premier cm. Soient Taxe vertical A {fig. 66) et la droite D parallèle a cet axe, €lt par coaséquent verticale ; tous les points de la droite D tournant autour de A cou* aorveront la même distance à cet axe» donc D et A seront toujours parallèles^la traoe korieonlale de la droite D décrira Tangle a, et par suite la droite D viendra en H'.
iDeuxième cas. Soient Taxe vertical A (fig. 57) et la droite D qui coupe cet axe aa point in ; quand on aura fait tourner la droite D dun angle a autour de Taxe A, elle ne cessera pas de passer par le point m ; il suffit donc pour connaître entièrement la non- ^le position D' delà droiteD, defixercelleque prendra unautrequelconque des points de la droite D ; la question est donc ramenée à faire tourner autour de Taxe A un point de la droite D, Parmi tous les points de cette droite, on choisit de préférence sa trace horizontale a, quand elle se trouve dans les limites du dessin, parce que le cercle C qu'elle décrit est situé dans le plan horizontal , et par suite sa projection verticale C" n'est autre que la ligne de terre; le point a viendra en a' dont la projection verticale a" sera sur LT, joignant ce point d avec le point m, on a la droite D'- La trace verticale b sort, pendant le mouvement, du plan vertical, et la nouvelle trace verticale de la droite D' (qui est le point t) n'est pas la poi^ilion qu'est venu prendre le point 6, trace de la droite D, après que D est venu en D'; c'est pourquoi nous désignons la trace verticale de D', non par b\ mais par une autre ietlre^ et ainsi par c\
Troisième cas. Soient l'axe vertical A {fi^. 58) et la droite D, qui n'est pas «ttuée dans un même pian avec l'axe A. Pour connaître la position que prendra la droite D après avoir tourné d'un augle a auto'ur de ra3Le A, il suCiit 'évid^piment de déterminer les nouvelles posiliiMfis «de deux points de cette droite; prenons donc deux points m et n sur la droite D, ils décinronl pendant la révolution des âfcs do oerde C! et €' situés dans des pians ^erpendieulaines ii l'asia A<f fet par
ooDséqaeDt parallèles au plan horizontal, le point m viendra en m' et le point n en n . Après avoir trouvé le point m' comme on l'a enseigné ci-dessus (n* 57), pour n^avoir plus à construire Tanglea, on prolonge le rayon mené par n^ jusqu-en r , on prend Tare rs=rarc m'^m"', et cela au moyen des cordes et ainsi par une seule ouverture de compas; on joint «A*, et cette droite va couper le cercle G'^ au point n'* d'où l'on conclut ensuite n'^
On simplifie les constructions en prenant deux points dont les projections hori* zontales sont à la même distance de A'^, car alors les cercles qu'ils décrivent ont la même projection horizontale; si l'on prend , par exemple , les points a et m, on construira l'un de ces points m, comme ci -dessus (n"" 57), on prendra ensuite sur le cercle C" ou le cercle C*, aa=wf'm'' et l'on aura le point d.
Enfin on peut encore choisir les points d'une manière particulière, qui quelquefois peut seule permettre de résoudre le problème. Abaissons du point A'^ sur D^ une perpendiculaire N, qui la rencontre en p^, projection horizontale d*un point p de la droite D ; supposons que le système de la droite D, de la projection horizontale 1/ et de la normale N, tourne autour de l'axe A de la quantité angulaire a, la normale viendra en N' fj^isant avec N l'angle a; la droite D'^ pendant la rotation ne cessera pas d'être perpendiculaire à N et d'être la projection horizontale de la droite D dans toutes ses positions (n*" 56 , S""); donc en menant D'^ perpendiculaire à N' ou tangente au cercle G'*, on aura la projection horizontale D'* de la droite D après la rotation , et l'on a aussi un point p'" de la projection verticale D'" ; si donc on connaissait la direction, ou un second point, de cette projection D'", on pourrait la construire. On aura le point a'" en ramenant le point a en a sur D'* par un arc de cercle décrit du point A* comme centre. On pourrait évidemment choisir tout autre point que le point a.
On résoudrait de la même manière le problème : faire tourner une droite autour (Tun axe perpendiculaire au plan vertical , seulement les constructions que nous avons effectuées sur le plan horizontal devraient être faites sur le plan vertical , et réciproquement.
60. Problème 15. Faire tourner un plan dun angle donné autour (F un axe vertical, La nouvelle position du plan P donné sera connue si l'on trouve celles de deux droites quelconques situées sur ce plan. Parmi ces droites , on choisit de préférence deux horizontales, et l'on prend pour l'une d'elles la trace horizontale du plan P, parce que dans le mouvement de rotation de ce plan P, elle ne sort pas du plqp horizontal. Abaissant du point A* (Jg. 59) la perpendiculaire N sur H', elle rencontre cette trace au point p, qui décrit pendant la rotation un cercle G auquel la trace horizontale H' demeure toujours tangente , or cette droite N viendra en la position N' faisant avec N l'angle donné a j le point p de la trace H' viendra
donc en p', et si Ton mène une tangente en p' au cercle C , ce sera la trace horizontale H'' du plan P après la rotation , et le point '©*' où elle rencontre la ligne de terre appartient à la nouvelle trace verticale du plan F nouvelle position du plan P. Pour en avoir un second point, nous emploierons une horizontale K du plan P; pendant la rotation elle conservera la même distance au plan horizontal , et par conséquent sa projection verticale sera toujours sur la même parallèle à LT; quant à sa projection horizontale , elle restera parallèle à la trace horizontale du plan P pendant la rotation ; or K* coupe la droite N en un point </* qui se porte en q^ sur N', menant par ce point q^ la droite K'* parallèle à H'', ce sera la projection horizontale de rhorizontale K' après la rotation (n' 56, 3**), et le point b* où K' perce le plan vertical est le second point cherché de la trace V ; joignant donc b'^^'y on aura cette trace V.
Au lieu d'abaisser la perpendiculaire N sur H', on aurait pu chercher les nouvelles positions de deux points quelconques de H'', mais les constructions auraient été plus longues , même en choisissant ces deux points à la même distance du point A*. Nous avons pris une horizontale K quelconque, on aurait simpliGé un peu la figure , en prenant celle qui passe par le point où Taxe A perce le plan P, sa projection horizontale aurait alors passé par le point A^.
Si la trace horizontale H'' ne rencontrait pas la ligne de terre dans les dimensions du dessin, on n'aurait plus le point *^' de la trace verticale V; on serait alors obligé d'employer une seconde droite que Ton choisirait encore de préférence horizontale, et Ton chercherait sa trace verticale après la rotation, ce qui donnerait un point de V" que l'on joindrait à 6' pour avoir cette trace V.
Enfin , le même problème pourrait se résoudre en prenant un axe perpendiculaire au plan vertical ; ce serait alors des verticales du plan que Ton devrait employer.
61. Problème 16. Amener une droite dans une position parallèle à Cun des plans de projection {fig. 60 ). Au lieu de faire tourner une droite d'un angle donné, on peut demander de la faire tourner jusqu'à ce qu'elle soit dans une position dô^ terminée par rapport aux plans de projection. Supposons, par exemple, qu'on veuille faire tourner la droite D autour de l'axe vertical A, jusqu'à ce qu'elle soit parallèle au plan vertical; dans cette position sa projection horizontale sera parallèle à la ligne de terre (n* 17, 3**); il suffira donc d'en connaître un point. 11 est facile de voir qu'on doit ici employer la dernière considération du n' (59, 3 ) ; nous abaissons donc du point A* une perpendiculaire N sur D*, qui la rencontrera en p'' projection horizontale d'un point p de la droite D. Si l'on conçoit un système formé de la droite D , de sa projection horizontale D^, de la verticale abaissée du point p et enfin de la droite N, et qu'on le fasse tourner autour de Taxe A, ces
([aatre droUes oooserveront 'entre elics les i&éines positioDS relatives , doue D*^ sem porpendiccflairo à K ou iaB^eole a« oerde décrit de A* comme centra et avec N pour rayon et en même temps elle sera parallèle à LT; le point fW portera en p h la même bavleur au-'dessus d«i piâo horizontal, le point «a viendra en d\ et par suite D'^serala proh^edion' verticale cle la droite D dans sa nouvelle potsîtîanD'.
Tous les points de la droite D décrivaat des ares 4e cercles JmcixoatamL^ il est facile de conclure de la figure elle mén^î Tangle >a déciiXpar te rayon K, angle dont par suite doivent tourner les antres parties de la figure, supposées enti:ainéea dans le nnonvement de rotation delà droite D.
62. Si Taxe A n'est pas donaé d'avance , on le choisira passant par iin point de la droite D, parce que alors la figure est plus simple. Rcraarquoos que pour amener la droite D à élre parallèle au plan vertical, on est obligé de dboisir nn axe \erticaJ ; nous avoAS vu en eflet que le problème esi alors résoluble. Si au contraire l\axe était perpendiculaire au plan vertical, tous les points de la dt>oite D décriraient des cercles parallèles au plan vertical et conserveraient par coi^équent la môme distance à ce plan , donc la droite D n'aurait pas après la rotation Cous sea points également distants du plan vertical, donc enfin elle noterait pas parallèle à ce plan. Par une raison semblable on ne pourra amener la droite D dans une position parallèle au plan horizontal que par un mouvement de rotation autour d'un axe |>erpendiculairc au plan vertical.
63. Problème 17. Amener une droite dans une position perpendiculaire à Cun des plans de projection {Jifj, 61). Lorsqu'une droite est perpendiculaire à l'un des plans de projection , elle est nécessairement parallèle à l'autre. Or, pour rendre une droite parallèle au plan vertical, on est obligé de la faire tourner autour d'un axe vertical (n°62), mais dans ce mouvement tous les points de la droite conservent la même distance à l'axe, et par conséquent elle ne pourra jamais devenir parallèle à cet axe; d'un autre côté une droite quelconque tournant autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical ne peut jamais devenir parallèle à ce plan, si elle ne l'est pas avant la rotation, donc il sera impossible de rendre une droite verticale par un mouvement simple de rotation autour d'un seul axe. Mais par un premier mouvement autour d'un axe vertical A, nous amènerons la droite D dans la position D' parallèle au plan vertical (n* 61 ), puis par un second mouvement de rotation autour d'un axe B perpendiculaii^ au plan vertical nous l'amènerons dans la position verticale D"; car pendant celte seconde rotation la projection D'* prendra successivement toutes les positions tangentes au cerde C'^, et par conséquent il y auca un instant où «IJe sera {terpeadiculaireà Lï^et alors la droite D" sera verticale (n* 47, 5* }.
Fdhp amener fia liroite' âcmxïéiy daiï» une poBÎlion perpen^cal^re au plam* turtical, il faudrait d'^abord la rendre- parallèle au plan- horrîffonlal parun mofivcm€iif de rotation^ autour d'»n axe* perpendfctibire ati plan» vertical , puis l'amena dans la position demandée par un second mouvement de rotation autour d*'un axe TerlicaK
Remarquons que Ton trouve par la construction les angles « et p dont la droite &9i tourné aulour de chacun des deux axes, de sorte que si Ton avait d'autres Egnes ou d'autres^ points entraînés pendant ces mouvements de rotation, on devrait les faire tourner de quantités angulaires égales respectivement à a et à |3.
64. Pa^BLtaE 18. Amener un pUm dans une position perpendiculaire à F un dé» pkms de projection {fig. 62). Soient un plan P et un axe vertical A, supposons qa\>n demande de faire tourner le plan P autour de Taxe  jusqu'à ce qu'il soil devenu perpendiculaire au plan vertical ; dans sa nouvelle position sa trace borii* nmtale sera perpendiculaire à LT, si donc Ton abaisse du point A* une perpendi^ eulaire N sur H"* cpi la rencontre en r\ oe point décrira un cercle C auquel la traœ borizontalb du plan sera toujours tangente; la normale N deviendra parallèle à LT n N' on N" suivant que la rotation aura lieu de droite à gauche oiu de gauche i droite; on aura ensuite H" ou H*" en menant une tangente an cercle C perpemdiculairement à Ll ; pour avoir la trace verticale , remarquons que Taxe A coupe le plan Pe» un point m qui ne varie pas pendant la rotation , et dont la projectiOTi verticale sera sur la nouvelle trace verticale du plan (n* 56, 2'), si donc nous menons une horizontale K du plan P rencontrant Taxe en f7i, le point m* sera utt ^pmM de la trace verticale V ou V' cherchée, le point p' ou p" en lequel la trace horhrontale H'' ou H^' rencontre LT, en est un second, donc la trace V ou V" est déterminée.
Si l'on avait voulu rendre Je pten perpendiculaire au plan horizontal , il aurait ftBfcp le feire tourner autour d'un axe perpendiculaire an plan vertical.
€&. PfeOBLÈMK 19>. Amener mi plan dans tme position perpendiculaire à la ligne* dt itrre {fi'g. 6^). Le plan, dans sa nouvelle position, sera perpendiculaire à lafws mns rfenx plans de projection; or, nous «tous vn (n* 64) qu'on ne peut pas- te rendre perpendiculaire au plan horizontal par un seul mouvement de rotation amh fcmr d'\in axe vertical ; le problème actuel ne pourra donc se résoudre que par deux rotalfons' effectuées. Tune autour d'un axe vertical A pour amener le plan P dans te position P' perpendiculaire an plan vertical de projection, l'autre autour d^nn axe B perpendiculaire au plan vertical de projection pour amener le plan P' dant h position P" perpendiculaire an plan horizontal; et comme pendant ce second aRnrement 1^ position du plan P' à Tégard du plan vertical de projection ne change pay (h**5ff, 3*), le plan P'' sera perpendiculaire à la* fois aux deux plan» de pro^
jectioD , et par conséquent à la ligne de terre. On simplifiera la figare en faisaat passer les deax axes A et B par un même point m du plan donné P.
66. Problème 20. Amener un plan dans une position parallèle à la ligne de terre {fig. 64). On pourra résoudre le problème en faisant tourner le plan P autoiird'un axe vertical A, jusqu'à ce que sa trace horizontale soit parallèle à LT (n^* 33>. ;$"*); puis pour avoir la trace verticale , qui doit aussi être parallèle à LT, il est évide&t qu'on ne peut plus employer une horizontale du plan , car après la rotation cette droite serait parallèle à LT, et par conséquent ne rencontrerait pas le plan vertical. Mais nous pouvons chercher le point m en lequel Taxe A rencontre le plan P, ce point reste invariable ; et si dans le plan P et par ce point m on fait passer une droite D, dont nous ne traçons ici que la projection horizontale D*, elle ne cessera pas de passer par le point m , sa trace horizontale a viendra en a y et la droite D prendra la position D', dans laquelle elle a pour trace verticale le point 6'; si donc de ce point b' on mène une parallèle à LT, ce sera la trace V" cherchée. Au lieu de la trace a, on peut évidemment employer un autre point quelconque de la droite D.
67. Problème 21 . Amener un plan dans une position parallèle à (un des plans de projection. Un plan parallèle au plan vertical est en même temps perpendiculaire au plan horizontal , et sa trace horizontale est parallèle à la ligne de terre. Nous devrons donc rendre d'abord le plan donné P perpendiculaire au plan horizonlal par un mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical (n'' 64) ; puis , par un second mouvement autour d'un axe vertical , on le rendra parallèle au plan vertical.
De môme, pour amener un plan dans une position parallèle au plan horizontal , on le rendra d'abord perpendiculaire au plan vertical , par un mouvement de rotation autour d'un axe vertical ; puis parallèle au plan horizontal par un mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical.
68. On pourrait, par des mouvements de rotation tout à fait semblables, amener un plan dans une position telle qu'il eût sa trace horizontale, par exemple, parallèle à une droite donnée dans le plan horizontal. On pourrait aussi fixer telle autre condition que l'on voudrait pour limiter le mouvement qui doit être imprimé au plan.
69. Tous les problèmes de géométrie descriptive peuvent se résoudre à l'aide des changements de plans de projection et des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection, ce qui n'est au fond que le même principe.
En effet , changer de plan vertical de projection , par exemple , revient évidemment à faire tourner l'ancien plan vertical autour d'un axe vertical jusqu'à ce qu'il soit venu prefidre la position nouvelle qu'on veut lui donner. Toute la
différence entre les denx principes fondamentaux qne noas venons d^établir consiste donc en ce que dans le premier y c'est Tun des plans de projection que l'on fait tourner autour d'un axe perpendiculaire à Tautre plan jusqu'à ce qu'il soit venu dans une position convenable à l'égard de la figure que l'on veut projeter ; dans le second c'est la figure elle-même que l'on fait tourner autour d'un pareil axe jusqu'à ce qu'elle soit dans une position convenable à l'égard des plans de projection dit primitifs ^ parce qu'on ne les fait pas varier de position; ils restent immobiles. Il résulte de là que les problèmes pourront presque toujours se résoudre par des changements de plans de projection , ou par des mouvements de rotation, ou enfin par ces deux principes combinés. Cependant, nous verrons qu'il est quelquefois plus simple d'employer l'un plutôt que l'autre.
Déjà, dans ce qui précède, on peut voir qu'un plan est amené dans une position parallèle à la ligne de terre plus simplement par un changement de plan que par un mouvement de rotation , puisque la seconde méthode nécessite l'emploi d'une droite dont on n'a pas besoin lorsque l'on se sert de la première méthode. Mais^ par un choix convenable des axes, l'emploi des mouvements de rotation est préférable à celui des changements de plans pour amener un plan dans une position perpendiculaire à la ligne de terre. Le problème énoncé au n"" 68 ne pourrait évidemment pas se résoudre par des changements de plan.
70. Dans les applications , on est souvent conduit à faire tourner une figure autour d'un axe, qui n'est plus perpendiculaire à l'un des plans primitifs de projection , mais ordinairement parallèle et p^us souvent encore situé dans l'un de ces plans, c'est encore par la considération des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à un nouveau plan de projection que l'on résout ces problèmes ; aussi est-on alors obligé de faire , au préalable , un changement de plan de projection , ainsi que nous allons le voir.
71. Problème 22. Faire tourner un point ou une droite dHun angle donné autour dun axe parallèle à Cun des plans de projection. Soit, par exemple, un axe horizontal A ( /!^. 65) oblique par rapport au plan vertical , et proposons-nous de faire tourner un point m ou une droite D d'un angle donné a autour de cet axe. Le point m et tous les points de la droite D décriront des arcs de cercle situés dans des plans perpendiculaires à Taxe Â, et par conséquent verticaux, lesquels se projetteraient verticalement suivant des cercles identiques , si le plan vertical ( primitif) de projection était lui-même perpendiculaire à l'axe A , c'est pourquoi nous changerons d'abord le plan vertical , et nous en choisirons un perpendiculaire à l'axe A. Nous serons ainsi ramenés à faire tourner le point m et la droite D autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical de projection. Nous avons appris (n** 58 et
59) à trouver les projections du point m' et de la droite D' sur les plans qui se
caupeftl aaiva&t la M^ê» déterre LT, mais U faol rapporter ee powt et cette droite avK aacîens ptaps de pvojeetîon ; U suffit é¥ides)aieiit pour cela de mener par . m'* une perpeadioBlaire à LT et de prendre wnl^'^^ni''* ; prenant de même il>!'':ssiW\ naua aivansda j^rojeetioiii veirticale d'un second point b' dei la droite D\ qui est par là eofeièfiemeBt déterminée ainsi cfm le point m'.
73. La première partie du probième* consistait à rendre Taxe A perpemticulaire à Tun des plans de projection; il est évident qu'on aurait pu y pai venir pair un. miduwemeftt de rotation autour à'xm axe vertical (a** 63), mais les eonstruction» que BOUS avons eu à eSectuer sont plus simples , comme il est facile de s'en con* vaûhciie ; elles répondent aussi plus directement à la question proposée.
Si Ton voulait faire fanirner le point ou la droite autour d'un axe parallèle au plan vertical , on remarquerait que les cercles décrits par chaque point sont perpendieuiaires à cet axe et par conséquent au plan vertical , de sorte qu'on est eon* doit à rendre d'abord cet axe vertical en prenant un nouveau plan horizontal qui lui soit perpendiculaire , parce qu'alors tous ces cercles se projetteront sur ce nou* \em plan suivant des cercles identiques.
73u pROBL^iB 3c3(. Faire tourner un plan dlun angle donné autour cCun axe parallèle àtwt des plans de projection. Soit un axe A {fig. 66) parallèle au plan vertical, mais oblique par rapport au plan horizontal , et proposons-^sous de trouver les traces du plan P quand il aura tourné d^un angle a autour de l'axe A. Tous les poîiMis du plan P décriront pendant le mouvement de rotation des arcs de cercles situés dans des plans perpendiculaires à l'axe A^ et qui se projetteraient suivant des ceccles id^iques si le plan horizontal était perpendiculaire à l'axe A; c'est pour- (|U0i nous changerons d'abord de plan horizontal pour le prendre perpendiculaire à A, la ligne de terre L'T' doit alors être perpendiculaire à A*', la projection horizontale de A sera en un seul point A*"' distant de L'T' d'une quantité égale à la distance de A'^ à LT. Pour avoir H" nous prolongerons V jusqu'à LT en o', puis nous déterminerons un second point b' de H"* par une verticale K du plan P. Cela fait, abaissant du point A'^' une' perpendiculaire M'p sur H'' et décrivant un arc de cercle dont le centre est A*' et le rayon A* p; menant la droite A^'p' telle qu'elle fasse avec A!^p Tangle donné « ; puis en p construisant une tangente à l'arc de cercle décrit , nous aurons la trace horizontale H"*' du plan dans sa nouvelle position:; on en déduit la tnace^ verticale Y^ à l!aide d'une horizontale B du plan P , laquelle fait connattro* le point c de V; enfin on aura un second point de la trace horizontale Hf' du plan P' sur l'ancien plan en prolongeant V' jusqu'à LT , si cela est possible , vu la longueur de la feuille de dessin , ou en déterminant un autre point d' de a" à l!aide d'une verticale E' du plan. P .
PouB^feiice tourner leplan autour d'un axe parallèle au plan borijsontal,. il faudrait
prendre d'abord un nouveaa plan vertical perpendiculaire à det axe« Au lien de donner Tangle u j xm jMnirrdt se proposer d'amener la droite om te ^lan dans une position déterminée par «Tantres conditions.
7i. Problèk Si. Faine touriker tôt fmnî, ou une droite , tCunvngle àmmé aniplir cfim axe ^Icmxfue. Soient Taxe A {fig. €7) donné par ses projections A^ et A**, le point m donné aussi par ses projections m^ et m'', et enfin la droite D donaée de même par ses projections D^ et D'', il faut trouver les projections D''^ et ly*" de la droite D, et celles m'* et m'" du point m après qu'ils auront tourné, ensemble, d'im angle a autour de Taxe A. Pendant la rotation, le point m et tous les points*de la droite D décriront des arcs de cercle situés dans des plans perpendiculaires à Taxe A , et qui se projetteraient suivant des cercles identiques si Taxe A était perpendiculaire à Tun des plans de projection ; il faut donc se ramener à cet état de dbtoses, en choisissant un nouveau plan de projectiiHi perpendiculaire à A; mais ce plan ne serait perpendiculaire à aucun des plans auxquels la figure est actueliement rapportée , c'est pourquoi nous aurons recours à un double changement de plan.
Nous prendrons d'abord uu nouveau plan vertical parallèle à Taxe A, et pour plus de simplicité nous choisirons le plan projetant horizontalement cet axe; la nouvelle ligne de terre L'T' sera alors la projection A* elle^me; les projections horizontales A*, m*, D* ne changeront pas , et les projections verticales sur le nouveau plan de projection défini (ou fixé de poution dans Tespace) par la nouvelle ligne de terre LT, seront respectivement en A, ne\ Yf' (n*' 4i et 46) : nous sommes ainsi ramenés à faire tourner un point m ou une droite D autour d*un axe A parallèle à Tun des plans de projection (problème résolu ci-dessus n"" 71 ). Il faut donc maintenant changer de plan horizontal , en prenant L'^" perpendiculaire à A , la nouvelle projection horizontale de l'axe A sera en un seul point A^" ; les projections verticales m*' et D*" ne changeront pas , les projections horisontales correspondantes seront m*'* et D*''. Enfin, pour faire tourner le point m et la droite D autour de l'axe A , actuellement perpendiculaire au nouveau plan horizontal et qui est défini de position par la ligne de terre L"T", nous joindrons les pointe A*" et m*", et avec cette droite A*''m*" pour rayon et du point A*" pour centre, nous décrirons un cercle coupant D*" en un second point ^", menant ensuite par le point A*" une droite faisant un angle a avec la droite A*' m*", nous obtiendrons le point m'*", ^ portant (^"q'^" sszni'"m^\ »ous aurons un second point de D'*'' ; les projections tri"^ et 9'"' se <vouvent sur des parullèies à L'T' menées par ne' et g'''; nous aurons donc D''\ U faut maintenut ohan^r de plan horizontal en choisissant LT pour ligne de terre ^ ayant soin de prendre m'* derrière et 7'* devant cette ligne comme sont disposés m'*" et
ç'*" par rapport à L'T' (n" 43), on obtient ainsi D'*, puis on en conclut D'*' (n^ 45).
75. Problème 25. Faire tourner un plan d'un angle donné autour dun axe quelconque. Soient l'axe A {fig> 68), donné par ses projections A* et A% et le plan P donné par ses traces H' et V, il s'agit de faire tourner le plan P d'un angle a autour de l'axe A. Pendant la rotation tous les points du plan P décriront des arcs de ôercles situés dans des plans perpendiculaires à l'axe A, et qui ne seront par conséquent ni parallèles ni perpendiculaires à l'un des pians de projection : c'est pourquoi, comme dans le problème précédent, nous changerons d'abord de plan vertical , prenant le nouveau plan parallèle à l'axe A , ou plus simplement passant par l'axe A lui-môme ; la ligne de terre L'T' sera confondue avec A*^, dès lors pour avoir la position de l'axe A sur ce plan , nous chercherons les positions de deux de ses points a et m , et nous aurons A ; la trace H' du plan ne change pas , nous dé* terminerons la trace verticale V par une horizontale B du plan P. Changeons maintenant de plan horizontal , en le choisissant perpendiculaire à l'axe A, la ligne de terre L"T" sera perpendiculaire à A ; la projection horizontale de l'axe A sera en un seul point A^'; la trace verticale V ne changera pas, et l'on obtiendra la trace horizontale H""' à l'aide d'une verticale K du plan P. Il faut enfin faire tourner le plan p donné par ées traces H'" et V" autour de l'axe A actuellement perpendiculaire au nouveau plan horizontal de projection. Pour cela, nous abaissons A'^'^p perpendiculaire sur H"', nous construisons l'angle a , puis décrivant un arc de cercle du centre A*", nous obtiendrons le point p', menant H"" tangente en ce point p' au cercle C , ce sera la trace horizontale du plan P dans sa nouvelle position ; la trace verticale V" rencontre l'axe A en un point n qui est invariable pendant le mouvement de rotation , et qui devra par conséquent appartenir encore à la trace verticale Y". Si maintenant nous changeons de plan horizontal, en prenant L'T' pour ligne de terre , nous déterminerons la trace horizontale H" à Taide d'une verticale R' du plan F; enfin , changeant encore de plan vertical , en prenant LT pour ligne de terre, nous trouvons la trace verticale V à l'aide d'une horizontale S' du plan P'.
76. Lorsqu'une figure plane est donnée dans l'espace, il est souvent utile d'en avoir la véritable forme; pour cela il faut amener le plan qui la contient en une position parallèle à l'un des plans de projection (n* 56, 1"), c'est à quoi l'on parvient par deux méthodes distinctes :
4* En prenant un nouveau plan de projection parallèle au plan de la figure, ou plus simplement encore en considérant ce plan lui-même conune un nouveau plan de projection , mais lorsque ce plan n'est pas déjà perpendiculaire à l'un des plans primitifs de projection, il faut commencer par l'amener dans cette position particuUère;
2* Ea faisant tourner le plan de la figure autour d*un axe, et Ton choisit ordi» nairement pour axe Tune de ses traces, cette opération porte alors le nom de rabaitemeni; mais comme ce mouvement a lieu autour d'un axe parallèle à Tun des plans de projection, il nécessite encore deux opérations (n* 73). Donc, en général, pour trouver la véritable forme d'une figure située dans un plan quelconque, il faut effectuer deux opérations, qui ont pour but: la première de rendre le plan de la figure perpendiculaire à Tun des plans de projection; la seconde de Tamener à se confondre avec l'autre pian de projection, ou tout au moins à lui être parallèle. Chacune de ces opérations peut s'effectuer soit par un changement de plan de projection, soit par un mouvement de rotation, ce qui donne lieu à quatre méthodes pour résoudre le problème actuel :
1 * Par deux changements de plans de projection ;
t" Par un changement de plan de projection et un mouvement de rotation ;
S"" Par un mouvement de rotation et un changement de plan de projection ;
4* Par deux mouvements de rotation.
Ces questions sont suffisamment résolues par ce qui précède, nous allons d'ailleurs en démontrer directement l'application en résolvant les quatre problèmes suivants , qui nous conduiront aussi à la question réciproque : qui s'énonce ainsi qu'il suit : étant donnée la position d'un point sur un plan rabattu ou considéré comme plan de projection, trouver ses projections sur deux plans donnés et rectangulaires entre eux.
77. Problème S6. Sur une droite donnée dans un plauj construire un triangle équi" latéral {fig. 69). Soit P le plan (donné par ses traces) sur lequel doit être exécutée la construction demandée, la droite ab ne peut être donnée que par sa projection horizontale 0^6^, et la condition qu'elle soit dans le plan P fera trouver sa projection verticale aV (n"" 28); ou mieux la droite étant terminée aux points a et 6, nous chercherons les projections verticales de ces points ( n"" 29 ) en employant pour cela des horizontales du plan P. Cela posé , nous ne pourrons effectuer les constructions demandées qu'après avoir ramené le plan P à se confondre avec l'un des plans de projection ; nous emploierons à cet effet la première méthode (n"" 76), c'est-à-dire deux changements de plans de projection. Supposons qu'on veuille prendre le plan P pour plan horizontal de projection, il faut d'abord choisir un nouveau plan vertical perpendiculaire à ce plan P, la ligne de terre L'T' devra donc être perpendiculaire à H' (n* 33, 4*), et pour obtenir V" nous nous servirons des horizontales déjà construites pour trouver les points a"" et b"". Prenant maintenant le plan P pour plan horizontal de projection , son intersection avec le plan vertical , ou Y" deviendra la nouvelle ligne de terre L'T", et les nouvelles projections horizontales des points a
et 6 9 ne seront antres que ces points eux-mêmes , nous les trouverons par les moyens connus (n* 45).
Ayant ainsi obtenu la droite ab , nous construirons le triangle équilatéral demandé. Pour passer ensuite aux projections de ce triangle sur les plans primittfe , nous remarquerons que Ton connaît déjà les projections des deux sommets a et A ; il ne reste plus à trouver que celles du sommet c; on y parviendra par des changements de plans inverses des précédents, c'est-à-dire que Ton passera du système L"T" au système L'T' par un changement de plan horizontal , puis de celui-ci au système primitif LT par un changement de plan vertical.
Si nous avions voulu considérer le plan P comme un plan vertical , il eût été convenable de déterminer les points a" et 6" par des verticales du plan P, lesquelles auraient ensuite servi à trouver H'' sur le nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire au plan P et par lequel il aurait fallu passer , avant d e pouvoir considérer ce plan P comme un plan vertical de projection.
78. Problème 27. Sur une base donnée de longueur ab comme homologue du côté a)3, construire un triangle abc équivalent à un triangle donné a^y , et dont le sommet c soit situé sur une droite donnée de position (fig. 70). Soit P le plan (donné par ses traces) dans lequel doivent être effectuées toutes les constructions. Les droites ab et D situées sur le plan P ne peuvent être données que par une seule projection, nous en conclurons la seconde (n* 28) ; puis comme nous ne pourrons exécuter les constructions du problème qu'après avoir ramené le plan P à se confondre avec l'un des plans de projection , nous supposerons qu'on veuille le rabattre sur le plan horizontal , et nous emploierons à cet effet la seconde méthode (n* 76) , c'est-à-<iire un changement de plan de projection et un mouvement de rotation.
Pour rabattre le plan P sur le plan horizontal , il faut le faire tourner autour de H" comme axe , et cet axe étant horizontal , nous devrons d'abord le rendre perpendiculaire au plan vertical (n** 73) ; nous changerons donc de plan vertical de projection , en prenant LT perpendiculaire à H% et nous chercherons V" qui doit contenir à la fois a*", 6*", ÏY" (n** 56, 2*). Rabattant ensuite le plan P sur le plan horizontal, nous remarquerons que le pointa, par exemple^ décrira un arc de cercle C parallèle au plan vertical défini de position dans l'espace par la ligne de terre L'T', et comme il doit arriver sur le plan horizontal , sa projection verticale sera alors sur la ligne de terre en a'*"', et par conséquent le point lui-même se trouvera en a'; on aura de même l'autre point b\ et la droite ly. Nous construirons le triangle demandé aW sur le plan P ainsi rabattu. Pour revenir ensuite aux projections de ce triangle sur les plans primitifs, remarquons que Ton connaît déjà les deux sommets a et b; le troisième étant situé sur la droite D, nous n'aurons ^'à abaifiser du pohxt ef une perpendiculaire à H% elle coupera D^ au point ^, d'où
roB conclora é!^ et. joignaoït le& progeetioDs de ce poiot e à ceUe» des pointe a^ b^ OQ aura tes progeetioBS da triangle cherdké abc. Si Vùsl avait voulu rabattre le plan P MUT le plan: vcortkaly il aurait Mla d'aJbord cboaigef de plan horizontal , en prenant la nouvelle ligw de terre yeirpendicailaire à Y*, pwis faire tourner te plam P au* tour de eette tnce vartîeaks. Les eoDBtructiona aevaieat d'ailleurs tout à fait semblakies à celles que nous venoee d'effectuer.
79. Problème 28. Inscriwe d(Ên& une eircmfénence donnée un peniagau régvber, dmt un 89nMmt coinnde once un jmni déterminé (fig. 71). Une: cireonfiérenee de cerde est déterminée par son cenâre et un point de la eirconférence , quand on connaît d'aiUeur& te plan dans lequel elle est située. Soit donc P ce plan , donaons les pffojections hoeizontales o^ et a!" du centre o et du point a , nous en conclurons les pBOjectioos venticales <f et a" (n"" 219^), en employant à cet effet des verticales 0 et A du fia» P. Nous ne pourrons ensuite efifectoer tes constnictions demandées qu'après que le plan P sera venu se confondre avec Tua des plans de projection. Pour ramener dans cette position, nous adopterons la troisième méthode (n** 76) , c'est-à-dire un mouvement de rotation, et un changement de plan de projection. Si nous voulons prendre te planP poui: un; nouveau plan vertical de projection , il faut d'abord le rendre perpendiculaire au plan horizontal en le faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical (pt 64), jusqu'à ce que Y' soit venu dans la position V^' perpendiculaire à LT. L'axe- étant arbitraire, nous te faisons passer, pour plue de simpiiciié, par le point d'intersection n des deux traces. (Le choix de la position de l'axe doit aéeessairemeat dépendre de la disposition particulière de la figure.) Pour avoir les projections des points o et a après la rotation, nous pourrions nous servir des verticaJes déjà construites ; mais on peut aussi remplacer ces droites par dfes lignes de plus grande pente du plan P. Concevons , par exemple , dans le plan P et par le point o une ligne de plus grande pente K par rapport au plan vertical, sa [M^jection v^ticale sera une perpendiculaire abaissée de o^'sur V (n''37), et coupant V au point p qui est te trace verticale de cette ligne de plus grande pente K ; ce point p vient en p; la droite K** demeure perpendicuteire à V*" et conserve la même longueur (n** 56 y 3**);, donc menant pV" =: po** et perpendiculairement à V*", le poîni o'' sera te projection verticale du point o dans sa nouvelle position , sa projection horizontale restera à la.méme distance de LT, elle est donc en o^ sur la projeetion horizontale de la verticale 0 du plan. P, qui nous a déjà servi à trouver le point o'.. On pourra trouver les projections a'*" et «'* de la même manière.
Prenant maintenant te planP' pour plan vertical de projection , sa trace horizon* tate H**' deviendra Ih nouv^e ligne de terre. LT; nous trouverons les projections varlêiales des- points a- et et (nf ik) ,. qui neseconi autres que ces points eux-mêmes ; e&dBant! ensuite la oonstructiou' connue qui consiste à diviser le rayon o- en'
moyenne et extrême raison au point i', eli sera le côté da décagone ; le portant deux fois de a! en b\ a'b' sera le côté du pentagone demandé. Ayant ainsi construit le pentagone a*b*cd!e\ nous reviendrons à ses projections sur les plans primitifs par des opérations inverses des précédentes : ainsi nous passerons du système L"T" au système L'T' par un changement de plan vertical, puis nous ferons tourner le plan F autour de Taxe A en sens contraire de celui marqué par la flèche et d'un angle égal à (f dont il avait tourné dans la première opération.
Ainsi , par exemple , le point b' se projette horizontalement en b'^ sur L'T' ; on a donc sa projection verticale 6'" en prenant (3'6"'= b'^b' sur une perpendiculaire à LT abaissée du point b'^. Si Ton ramène ensuite le plan P' dans sa position primitive P, le point b' se mouvra parallèlement au plan vertical de projection , et viendra se placer sur une verticale B du plan P, dont la projection horizontale B^ doit passer par le point b'^\ on connaît donc aussi B""; cela posé, la projection verticale b^ doit se trouver à la fois sur B'' et sur un arc de cercle décrit du centre n* et du rayon n*'A'*', elle est donc connue et fait connaître le point 6* qui doit être situé sur B'^. On trouvera de même les projections des autres sommets du pentagone , et en les unissant par des droites on aura les projections du pentagone lui-même.
Si Ton avait voulu prendre le plan de la figure pour plan horizontal, il aurait fallu d'abord le ramener dans une position P' perpendiculaire au plan vertical par un mouvement de rotation autour d'un axe vertical ; et Ton aurait pris ensuite ce plan P' pour plan horizontal de projection, sa trace verticale V" devenant la nouvelle ligne de terre.
80. Prolème 29. Trouver le centre et le rayon du cercle circonscrit à un triangle donné {fig. 72). Nous construisons d'abord les traces du plan P sur lequel est situé le triangle donné abc ( n"" 32), puis nous rabattrons le plan P sur le plan horizontal pour pouvoir effectuer les constructions nécessaires à la résolution du problème, en employant, par exemple, la quatrième méthode (n' 76), c'est-à-dire deux mouvements de rotation. Nous rendrons d'abord le plan P perpendiculaire au plan vertical par un premier mouvement de rotation autour d'un axe vertical A, la trace H" décrit un angle <p, les points a, A, c doivent donc décrire le même angle ç, c'est pourquoi du point n (point en lequel la ligne de terre LT est coupée par le plan P) comme centre et avec le rayon na*, iî6*, nd" nous décrirons des cercles sur chacun desquels nous porterons à partir des points o^, 6*, c* des longueurs d'arcs mesurant un angle égal à l'angle cp, et nous aurons ainsi les projections a*, 6'*, c'*; les projections verticales conservent les mêmes hauteurs au-dessus de LT et se trouvent toutes sur V", ce qui sert à vérifier l'exactitude des constructions. Faisant ensuite tourner le plan P' autour de H^' pour le rabattre sur le plan horizontal ,
les projections verticales viendront se placer sur LT en a"% 6"% c"" et les points d\ b'\ c" snr des parallèles à LT menées respectivement par les points a *, ft'*, c'*. Gela fait, nous construirons le centre o" et le rayon o'a" du cercle circonscrit A au triangle a"6V; ensuite., pour avoir les projections, sur les plans- primitifs, nous effectuerons des rotations égales aux précédentes, mais en sens inverse ; le point o" viendra d'abord en o par sa rotation autour de H^', puis en o par sa rotation autour de Taxe A, et nous aurons les projections oV et oV du rayon du cercle A.
Si Ton avait voulu rabattre le plan P sur le plan vertical , en le faisant tourner autour de sa trace verticale , il aurait d'abord fallu rendre cette trace perpendiculaire au plan horizontal par un premier mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical.
