PROBLÈMES SUR LE POINT, LA DROITE ET LE PLAN
Droites et plans perpendiculaires entre eux,
81. Les projections d'une droite perpendiculaire à un plan sont respectivement
perpendiculaires aux traces de ce plan. En effet, en prenant pour nouveau plan
vertical de projection le plan projetant horizontalement la droite , la ligne de terre
coïncidera avec D* et la trace H' devra lui être perpendiculaire (n* 33, 4**), on
verra de même que D'' et V doivent être perpendiculaires entre elles. On peut aussi
démontrer facilement ce théorème au moyen d'un mouvement de rotation , car si
l'on fait tourner le système autour d'un axe vertical , jusqu'à ce que le plan P soit
devenu perpendiculaire au plan vertical , alors la droite D sera parallèle à ce même
plan , donc D* sera parallèle et H' perpendiculaire à LT, donc enfin D* et H' seront
des droites perpendiculaires entre elles. En faisant tourner le système autour d'un
axe perpendiculaire an plan vertical , jusqu'à ce que le plan P soit devCTfH perpendiculaire au plan horîzoutal ^ on démoutrera que D"" et Y" sont des droites perpendiculaires entre elles. Au reste cette démonstration revient à la précédente ( n* 68). Il sera facile d'en exécuter Fépure ainsi que celle de la première.
82. Problèbie i. Par un point donné p, mener une ligne perpendicutaire à un plan donné. Par les projections du point donné p, il suffira d'abaisser des perpendiculaires sur les traces du plan donné. Mais si le plan n'est pAs donné par ses traces, ou que celles-ci se trouvent situées au ddà des limites du dessin , on devra opérer con^me il suit. Soit le plan ( A^ B), déterminé par deux droites A et B se coupant en un point {fig. 73) ; je mène dans ce plan une horizontale quelconque G, sa projection verticale G*' est parallèle à LT et coupe A' et B* aux points d* et b""^ projections verticales des points a et 6 en lesquelles les droites A et B sont coupées par rhorizontale G, et l'on déduit immédiatement les projections horizontales a* et 6*, et, par suite, G*; et comme G'^ est parallèle à la trace horizontale du plan (A, B), abaissant de p* une perpendiculaire sur G'^, ce sera la projection N* de la normale demandée. Menant de même une verticale K du plan (A, B) on en conclura N^ Enfin, si aucune horizontale, ni aucune verticale du plan, n'a ses deux projections dans les limites du dessin, il faut changer de plans de projection , et l'on pourra, par exemple, prendre d'abord pour nouveau plan horizontal le plan projetant verticalement l'une des droites A, puis choisir un nouveau plan vertical passant par la droite B, de sorte que les droites A et B sont alors les traces du plan donné sur les nouveaux plans de projection ; on leur abaissera donc des perpendiculaires par les nouvelles projections du point donné p , et l'on repassera des projections de cette normale sur les nouveaux plans à ses projections sur les plans primitifs.
83. Problème 2. Par un point donné m mener un plan perpendiculaire à une droite donnée D {fig. 74). Par le point m passe une horizontale K du plan cherché P, sa projection horizontale doit être parallèle à la trace horizohtale de ce plan P, et par conséquent perpendiculaire à D*. La trace verticale a de celte horizontale K sera u» point de la trace verticale V du plan P, laquelle doit être perpendiculaire à D*", eCsi, par le point p, où V rencontre LT, on abaisse une perpendiculaire sur D*, on aura H'. Si V ne rencontre pas LT dans les limites du dessin, on déterminera directement un point de H' en faisant passer par le point m une verticale G du plan P. Il peut arriver que les traces de ces deux droites K et 6 soient hors des limites du dessin ; dans ce cas on peut d'abord remarquer qu'elles déterminent suflBsamment le plan cherché, sans qu'il soit nécessaire de construire ses traces; mais toutefois on peut avoir les parties de ces traces existant dans les limites du dessin ; car on pourra , à l'aide de l'horizontafe K et de la verticale G passant par le point m, déterminer une infinité d'autres droites situées dans le plan cher-
dié, en unissant deax points quelconques k et g pris respectivement suf chacane de ces deux droites K et G, Fun de ces points pouvant être à une distance infinie , ce qui veut dire que la droite qui unit les deux points ket g peut être parallèle à la droite K si c'est le point k qui est supposé situé à Tinfini sur la droite K et vise penâ pour la droite G.
84. Problème 3. Par une droite donnée^ mener un plan perpemtàmdaire à un plan donné. Soient D la droite donnée et P le plan donné, si par un point quelconque de D, on abaisse une perpendiculaire N sur le plan P, elle ne sortira pas du plan cherché, donc ce plan sera déterminé par les deux droites D et N (n*" 31 )»
Si la droite D était elle-même perpendiculaire au plan P, oo n'aurait plus qu'une seule droite , puisque les deux droites D et N se confondraient. On sait que tout plan P, mené par une droite D perpendiculaire à un plan Q, est perpendiculaire à ce plan Q ; mais dans ce cas les projections D'' et D* de la droite donnée D seraient respectivement perpendiculaires aux traces V** et H' du plan donné P. Il en serait de même si, au lieu de donner une droite D, on donnait un point.
85. Problème 4. Par un point donnée mener une droite perpendiculaire à une droite donnée. Si le point donné est hors de la droite, on sait que par un tel point on ne peut abaisser qu'une seule perpendiculaire sur la droite , et le problème peut se résoudre de plusieurs manières.
V La droite donnée D (fig. 75) et le point donné m déterminent un plan (D, m) (n° 27), que l'on peut prendre pour l'un des plans de projection, ou que l'on peut rabattre sur un des plans de projection dont LT est la ligne de terre , en em<ployant Tune des quatre méthodes (n"" 76 ) ; nous choisirons la seconde en supposant que l'on rabatte le plan (D, m) sur le plan horizontal ; pour cela il faut prendre d'abord un nouveau plan vertical perpendiculaire au plan (D, m), de telle sorte que UT' soit perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan (D, m) ; il n'est pourtant pas nécessaire de construire cette trace, il suffit de mener par le point m une horizontale K du plan (D, m), telle que K" passe par m' et soit parallèle à LT ; la droite K" rencontre D*' en un pdat b"" d'où l'on déduit 6^, qui doit se trouver sur D^ ; puis joignaiit ^ avec m* on aura la projection K*, à laquelle LT' doit être perpendiculaire ; pour plus de simplicité nous choisirons le nouveau plan vertical passant par le point m; comme ce point m et la droite D sont sur un plan perpendiculaire au nouveau plan vertical de projection, leurs projections verticales m et D**' se trouvent sur une même droite qui est en même temps la trace verticale Y" du plan P ou (D, m), louant à H% elle doit être perpendiculaire à L'T', et peut toujours se trouver dans les limites du dessin en plaçant convenablement la nouvelle ligne de terre. Si l'on fait ensuite tourner le plan P autour de H% la droite D et le point m se rabattront sur le plan horizontal de projection en D' et m' ; nous abaisserons de m' sur D' la pèrpoAdi-
culaire N', coupant D' au point p'. En ramenant ce point p' sur 'a position primitive de la droite D, nous en obtiendrons les projections p* et p"". Joignant les projections des points m et p par des droites, ce seront les projections de la perpendiculaire demandée. On aurait pu prendre V' pour nouvelle ligne de terre, et employer la première méthode (n" 76) ; on pouvait aussi opérer par l'une des deux dernières méthodes. Remarquons que la méthode que je viens de suivre est plus simple quo celle que Ton trouve ordinairement dans les traités de géométrie descriptive, car dans ta solution que Ton donne habituellement on est obligé de mener une droite par le point m, qui coupe D ou qui lui soit parallèle, et de plus on doit chercher les deux traces du plan déterminé par ces deux droites avant d'effectuer le rabattement.
2* La droite cherchée N coupe D en un point p par lequel on pourrait mener une seconde droite N' perpendiculaire à D, alors le plan (N, N') sera lui-même perpendiculaire à la droite D et la coupera en le point p. On est donc conduit à mener par le point m un plan perpendiculaire à D ( n** 83 ), à chercher l'intersection p de ce plan et de la droite D, puis joignant ce point d'intersection p avec le point donné m , on aura la droite demandée. Mais cette méthode, que l'on trouve souvent exposée seule dans les traités, exige la résolution d'un problème appartenant à une série de questions qui seront résolues plus loin, tandis que le problème qui nous occupe trouve naturellement sa place au point où nous en sommes arrivés; la première solution est donc celle qui lui convient réellement, elle a, en outre , l'avantage de fournir une nouvelle application de nos principes fondamentaux , et de donner ainsi une nouvelle preuve de leur généralité.
86. Problème 3. Étant donnée la projection horizontale (tune droite perpendicU" laire à une droite donnée et passant par un point donné sur cette droite ^ trouver sa projection verticale {fig. 76).
Dans ce problème, le point donné étant sur la droite donnée, on pourra par ce point mener une infinité de perpendiculaires à la droite , mais parmi toutes ces perpendiculaires, on peut se proposer de construire celle qui a déjà une projection horizontale donnée. Soient donc D la droite donnée et N^ la projection horizontale de la perpendiculaire N à la droite D et menée par un point m de cette droite D ; la droite N est dans un plan P mené perpendiculairement à la droite D au point m ; ayant donc construit les traces de ce plan (n* 83), nous serons conduits à chercher la projection verticale d'une droite dont on connaît la projection horizontale (n** 28 ) située dans un plan dont un connaît les traces.
Intersection des droites et des plans.
87. Une surface est en général engendrée par une ligne qui se meut dans l'es-
pace suivant ane loi donnée. Une surface a généralement deux faces , une face extérieure et une face intérieure ; on les considère indistinctement en géométrie descriptive ; dans les arts il faut les distinguer et les considérer séparément (*) .
88. Deux surfaces S et S' se coupent suivant une ligne qu'on ne peut pas toujours obtenir immédiatement par la seule considération de la génération particulière à ces deux surfaces ; on est dès lors obligé , dans presque tous les cas , de la déterminer par points. Pour cela on prend une série de surfaces auxiliaires; chacune d'elles coupe la surface S suivant une ligne C , et la surface S' suivant une ligne G^; ces deux lignes situées sur la même surface auxiliaire 1 se couperont en un point m appartenant à l'intersection cherchée des surfaces S et S'. Il faut^ dans chaque cas, choisir la surface auxiliaire S , quant à sa nature et à sa position par rapport aux plans de projection et aux deux surfaces données S et^S', de manière que les projections de ses intersections avec les surfaces données S et S' s^ob* tiennent plus facilement que celles de l'intersection de ces surfaces S et S' ellesmêmes (**). Lorsque tes surfaces S et S' sont des plans, il est évident que les surfaces auxiliaires S doivent aussi être des plans.
Ou doit choisir ces plans auxiliaires : ^
l"" De manière que leurs traces coupent, dans les limites du dessin, les traces des plans donnés; parce que l'on connaît immédiatement les projections C* et C de la droite C , intersection de deux plans S et 2 dont les traces horizontales et verticales se coupent dans les limites du dessin.
S"" De manière que les intersections du plan auxiliaire avec les plans donnés se coupent elles-mêmes dans les limites du dessin.
89. Problèmb 6. Trouver rintersection I de deux plans dont les traces se coupent dans les limites du dessin. Il est évident que les points a et 6 intersection des traces des plans donnés {fg. 77 ) appartiennent à cette intersection I et en sont les traces (n* 28). Il sera donc facile, dans ce cas, de trouver les projections de la droite d'intersection I des deux plans donnés (n^ 1 4).
(*) Tout relief est terminé par une surface S dont on ne voit qu'une des faces, la face externe, pour obtenir la face interne, il faut mouler le relief, alors le moule ou a^eux est terminé par la face interne de la surface S.
(**) Autant que possible il faut choisir la surface auxiliaire s telje que Ton puisse immédiatement tracer les projections de ses intersections respectives G et G' avec les surfaces données S et S'. n faut donc que ces courbes C et G' soient des lignes dont on connaisse d'avance les projections Gn, C* — C'", G* comme courbes géométriques et que Ton projette dès lors sur les deux plans de projection , en construisant graphiquement les courbes G", G* • G'", G'*, au moyen de certaines propriétés géométriques qui leur appartiennent et qui sont connues d'avance en vertu de la nature géométrique des surfaces données S et S' et de la smface auxiliaire S; on considérera donc ces courbes comme des courbes planes, sans s'occuper si elles sont ou non les projections de certaines courbes de l'espace.
90. PROBLàiBE 7. Trouver t intersection I de deux plans V etQj dent les traces ho' rixôntales sont parallèles. Le point b où se coupent les traces verticales des plans P et Q (/S^. 78) est évidemment la trace verticale de cette intersection I, V passe donc par b^ et doit rencontrer H' et H^ à leur point d'intersection a qui est sitoé à l'infini , puisque ces traces H' et H^ sont parallèles , donc die leur est parallèle ; r doit passer par le points et couper LT à Tinfini , lieu où se trouve situé le point a", donc r est parallèle à LT. D'ailleurs T étant parallèle à H% la droite est une horizontale du plan F sur lequel elle est située, donc T doit être parallèle à LT. Enfin on voit à priori que Tintersection I doit être horizontale, sans quoi elle percerait le plan horizontal en un point a commun à H' et à H^, et ces traces ne seraient plus dès lors parallèles entre elles. De même Tintersection de deux plans, dont les traces verticales sont parallèles, est parallèle an plan vertical.
91 . Problème 8. Trouver l'intersection I de deux plans dont les traces se confondent en une seule droite. Les deux traces a et 6 (fig. 79 ) de dette intersection étant confondues en un seul point , il en résulte évidemment que Tintersection I est située dans un plan perpendiculaire à LT ; ses projections sont donc toutes deux perpendiculaires à LT, et Ton connaît en même temps deux points, qui sont les points a et b. Remarquons que cette droite I fait des angles égaux avec les plans de projection , car elle forme avec ses deux projections un triangle isocèle.
92. Problème 9. Trouver F intersection I de deux plans P et Q, dont les traces liorizontales ne se coupent quau delà des limites du dessin. Deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan suivant des droites parallèles , si donc on construit un plan X {fig. 80) parallèle au plan Q, son intersection K avec le plan P sera parallèle à Tintersection I des deux plans P et Q; or, on connaît un pointé de cette intersection I , il. faut donc mener par b^ une parallèle à K^ , et par le point b une parallèle à K*" (n** 24) , et l'on aura les projections P et F de Tintersection I demandée.
93. Problème 10. Trouver rintersection I de deux plans P ef Q, dont les quatre traces se croisent au même point a de la ligne de terre. Le plan auxiliaire X (Jig. 81) doit être choisi de manière que les intersections de W et V* avec H' et H" et avec y et Y^ se fassent à peu près à angle droit ou tout au moins sous un angle égal à 45^ Ce plan X coupe les plans P et Q, suivant deux droites A et B qui se rencontrent en un point m appartenant à l'intersection I cherchée ; il est d'ailleurs évident que cette intersection I passe par le point a , donc elle est entièrement déterminée par ces deux points.
94. A Toccasion de ce problème , nous dirons que sous le point de vue géométrique, quelle que soit la position du plan auxiliaire, il en donnera toujours la solution, mais il n'en est pas de même sous le point de vue graphique. Les lignes de la figure
ne sont pas des lignes mathématiqaes, il faat donc les diriger de manière que leur intersection ne laisse pas d'incertitude j condition d'autant mieux remplie que les droites qui se coupent font entre elles un angle plus près de Tangle droit. (Dans les constructions graphiques, un point est considéré comme étant déterminé d'une manière suffisamment rigoureuse lorsque les deux droites, qui en se coupant donnent ce point , font entre elles un angle au moins égal à un demi-droit.)
95. Problème 11. Trouver Ciniersection l de deux plans V etQ^ parallèles à ta ligne de terre. Nous prendrons le plan auxiliaire perpendiculaire à LT (fig. 82), ce sera par conséquent un nouveau plan vertical de projection sur lequel nous trouvions les traces V'et V", et comme les deux plans P et Q sont perpendiculaires à ce nouveau plan vertical , leur intersection lui est elle-même perpendiculaii'e ; elle se projette donc tout entière en un point P' , et sa projection horizontale I* sera perpendiculaire à LT' ou parallèle à LT ; d'ailleurs la droite I est parallèle à LT et située au-dessus du plan horizontal à une hauteur égale à c*P' ; prenant donc odt=àV% nous aurons un point delà seconde projection P , laquelle doit aussi être parallèle à LT. On aurait pu de même considérer le plan auxiliaire comme un nouveau plan horizontal de projection, et chercher alors H" et H'**.
96. Problème. 12. Trouver l'intersection I de deux plans Pe£ Q, dont aucunes traces ne se coupent dans les Umites du dessin* Nous allons donner de ce problème plusieurs solutions.
1** On peut le résoudre comme il suit : menons un plan Q' {fig. 83) parallèle au plan Q, et construisons son intersection l'avec le planP; concevons les traces V'et V^ prolongées jusqu'à ce qu'elles se coupent en 6 , et imaginons la verticale 66*, les triangles pbq et pb'q , pbb^ et p6'6'* , pba" et pb'a'' sont semblables et donnent p6' : pb llpq : pq et pb' ipbil pb'^ : pb^ et pb' i pb II pd'' : pet" , et éliminant pb entre ces proportions, il vient pq^ :pq *- pb''' ' p6* et pq' :pq :: pa"" : pa''*^ donc on trouvera, par ces quatrièmes proportionnelles , un point 6* de I* et un point (f de P ; d'aiJleurs cette intersection I est parallèle à V , donc elle est connue. On peut aussi suppléer à la construction des quatrièmes proportionnelles par l'emploi de nouveaux plans auxiliaires , comme dans les méthodes suivantes.
2** Menons un plan auxiliaire quelconque X {fig. 84) , il coupera le plan P suivant une droite A, et le plan Q suivant une droite B, ces deux droites A et B étant dans le plan X se coupent en un point m , qui appartient à l'intersection I des deux plans P et Q ; à l'aide d'un second plan auxiliaire Y , coupant le plan P suivant une droite C , et le plan Q suivant une droite D , on trouvera un second point n de cette intersection I , qui par là sera complètement déterminée. Mais il est facile de reconnaître que l'emploi de plans auxiliaires quelconques ne donnera pats to^urs des points de l'intersection I des plans P et Q.
3* Si Ton prend un plan auxiliaire X (fig. 83) parallèle au plan horizontal, il coupera les plans P et Q suivant des horizontales A et B de ces plans ; ces deux horizontales se rencontreront en un point m qui appartient à l'intersection I cherchée. Si l'on prend ensuite un second plan auxiliaire Y parallèle au plan vertical de projection , il coupera les plans P et Q suivant des verticales D et E de ces plans; ces droites se rencontreront aussi en un point n de Tintersection I demandée ; joignant les points m et n , on aura Tintersection I des plans P et Q.
Remarquons qu'en prenant les plans X et Y le plus loin possible de la ligne de terre , les intersections auxiliaires se couperont en des points qui se rapprocheront de la ligne de terre ; si donc il arrivait que les points m et n de notre figure actuelle sortissent encore des limites du dessin , il faudrait avoir recours à un autre procédé que nous expliquerons prochainement (n*" 97) .
4"* On peut encore choisir le plan auxiliaire parallèle à la ligne de terre , tel que X {fig. 86); il coupe les plans Pet Q, suivant deux droites A et A' dont les projections horizontales se croisent au point a^ appartenante I*; il est évident que les projections verticales ne se rencontreraient qu'au delà des limites du dessin , c'est pourquoi je ne les construis pas ; un autre plan X' donnera deux nouvelles intersections B et B' fournissant un second point b^ de T, qui est ainsi déterminé. En choisissant maintenant deux nouveaux plans Y et Y' dont les traces horizontales soient très-éloignées de LT, ils couperont respectivement les plans P et Q suivant des droites D et D\ et E et E' dont les projections verticales se rencontrent dans les limites du dessin, et fournissent deux points, cf et e" de T, qui est ainsi déterminée ; on a donc trouvé l'intersection I des plans P et Q.
97. Problème 13. Trouver f intersection de deux plans dont les traces font y avec la ligne de terre j des angles presque droits {fig. 87). Soient les deux plans P et Q, il est facile de reconnaître que dans ce cas les plans auxiliaires précédents ne conduiraient plus à la solution du problème , car un plan parallèle au plan vertical couperait les plans P et Q , suivant des verticales qui ne se rencontreraient pas dans les limites du dessin , ce qui tient à ce que les plans P et Q ne se coupent qu'à une très-grande distance. Mais la partie de cette intersection qui avoisine sa trace horizontale se projette verticalement aux environs de la ligne de terre; si donc ou choisit un plan auxiliaire passant par LT et très-peu incliné sur le plan horizontal , il coupera les plans P et Q suivant des droites , dont les projections verticales s'éloigneront très-lentement de la ligne de terre , et par conséquent se couperont dans les limites du dessin , ce qui fournira un point de la projection verticale de l'intersection demandée; en répétant une ^seconde fois cette construction, on obtiendra un second point de l'intersection, et la projection verticale sera déterminée. On aura de même la projection horizontale en conduisant par la ligne de
terre deux plans faisant un très-petit angle avec le plan vertical. Exécutons ces constructions.
Considérons d'abord un plan X déterminé par LT et par un point x situé trèsprès du plan horizontal , et aussi loin du plan vertical que les dimensions du dessin peuvent le permettre; il coupe les plans P et Q suivant des droites passant évidemment par les points p et </, en lesquels les plans P et Q coupent LT; pour avoir un second point de chacune d'elles, nous prendrons un autre plan auxiliaire R, parallèle au plan vertical et passant par le pointa;; il coupe évidemment le plan X, suivant une droite A parallèle à la ligne de terre, et les plans P et Q suivant des verticales B et C de ces plans. A*' et B*' se croisant en un point a!' qui appartient à la projection verticale D*' de l'intersection D des deux plans P et X , car le point a se trouve à la fois sur les deux droites A et B situées respectivement sur ces plans P et X ; par une raison semblable les droites A*' et C" se croisent en un point 6% qui appartient à la projection verticale E' de l'intersection E des deux plans Q et X. Les droites D et E étant dans le môme plan X , se rencontrent eu un point m dont on connaît la projection verticale m% et qui appartient à l'intersection I des plans P et Q , puisque les droites D et E appartiennent respectivement à chacun de ces deux plans P et Q. Il est évident que cette construction ne peut donner aucun point de I*, c'est pourquoi je n'ai pas écrit sur la figure les projections horizontales D* et E* des intersections D et E des plans P et Q avec le plan X. Nous aurons un second point de P à l'aide du plan X' mené par LT et par le point x, que nous choisissons pour plus de simplicité, ayant même projection horizontale que le point x précédent ; le plan R le coupe suivant la droite A', et l'on obtient les intersections D' et E' de ce plan avec les^plans P et Q ; enfin ces droites D' et E' déterminent la projection verticale m'*' d'un point m de l'intersection I , intersection dont la projection verticale P est maintenant tout à fait déterminée. Pour avoir la projection horizontale!* de l'intersection I des deux plans donnés P et Q, nous ferons passer un plan Y par LT et par un point y choisi très-près du plan vertical , et aussi loin du plan horizontal que les dimensions du dessin peuvent le permettre; il coupe les plans P et Q suivant des droites G et K, que Ton obtiendra comme précédemment par le secours d'un plan R' parallèle au plan horizontal ; les projections horizontales G* et K\ les seules que je construise ici , parce que les projections verticales ne peuvent évidemment rien fournir, se croisent en un point «*, qui est la^projection horizontale d'un point n de l'intersection I; on trouvera un second point n* de P par l'emploi d'un plan Y' mené par LT et par un point y. L'intersection I des plans P et Q est ainsi entièrement déterminée.
98. On pourrait se proposer encore beaucoup d'autres cas que l'on résoudrait
facilement à Taide des méthodes employées dans les exemples précédents. Ainsi on peut chercher Tintersection de deux plans , Tun parallèle à la ligne de terre, Tautre dont les traces se confondent en une seule droite, etc., etc. {*).
99. PftOBCÈME i 4. Trotwer finter$eciion de deux plans datmés par leur trace horizontale et un point (fig. 88). Soient les plans P et Q donnés par les traces H' et H"" et chaonn par Tun des deux points p eiq.
1 • On pourrait construire les traces verticales V et V^ en menant par le point p une horizontale du plan P qui ferait connaître un point de Y% et par le point q une horizontale du plan Q, qui donnerait un point de V^ On pourrait mener par les points p et 9 des verticales des plans P et Q , alors V et V^ seraient respectivement parallèles aux projections verticales de ces droites. Ënûn on pourrait employer des droites quelconques , menées des points peiq et respectivement à un point de H' et de W. On rentrerait ainsi dans les cas précédents.
2° Mais on peut aussi résoudre directement le problème sur les données ac* tuelles. Pour cela joignons les points p et q par une droite D, qui rencontre le plan horizontal en d, puis menons par cette droite un point quelconque X , et Ton peut choisir pour plan auxiliaire X le plan projetant borizcmtalement la droite D , ce plan X coupe le plan P suivant une droite B passant par le point p, et le plan Q suivant une droite G passant par le point q; ces droites B et G se coupent en un point m appartenant à Tintersection I cherchée , le point d'intersection a des traces W et H^ en est un second point , donc cette intersection I est connue.
3* La construction précédente est la plus simple , elle suflSt pour trouver l'interseotion demandée, mais noos pouvons choisir un plan X {fig. 89) quelconque. 1.0 plan X devant , dans tous les cas , contenir la droite D , sa trace horizontale doit
(*) Lorsque deux plans P et Q sont tels qu'après le rabattement du plan vertical de projection sur le plan horizontal , les traces V et H' se confondent en une seule ligne P» , et que de même les traces V« et H« se confondent en une seule ligne Qj ; alors les plans P et Q sont tous deux perpendiculaires au plan B bisecteur des angles dièdres S . P et J . A.
Les deux plans P et Q se coupent dans ce cas suivant une droite I perpendiculaire au plan B; dès lors I'^ et P se confondent en une seule ligne I| perpendiculaire à la ligne de terre LT, et la droite I de Tespèce fait des angles égaux entre eux et à un demi-droit avec les plans de projection.
De môme , si les deux plans donnés P et Q sont tels que leurs traces V et H« tïasent des angles égaux a avec la ligne de terre LT et avec la môme portion de cette ligne, et que les traces V^ et H^ fassent aussi des angles égaux 6 avec la môme portion de LT, Tun de ces angles étant en dessus et l'autre en dessous de LT, alors les deux plans P et Q font perpendiculaires au plan B' bisecteur des
cingles dièdres A . S et P J.
Dans ce cas, la droite I intersection des deux plans P et Q est une perpendiculaire au plan bisecteur B' et ses projections I*^ et P se confondent en une seule ligne I, perpendiculaire à LT, la droite ï fait alors des angles égaux entre eux et à un demi-droit avec les plans de projaotioa.
conteDir la trace horizontale de cette droite; c'est d'aitleurftla seule coodition à laquelle cette traee doive satisfaire; nous pourrons donc par le point d mener une droite quelconque , et la considérer comme la trace ff d'un plan auxiliaire X. Par les mêmes opérations que dans le cas précédent, ce plan X donnera un point m de Tinter section I. Un autre plan X' donnera un second point m' de cette intœsedion I, qui sera ainsi déterminée.
4* Si le point d était hors des limites du dessin , on pourrait mcore trouver rintersection I par les constructions de la fig. 88? Si le point a était hors des limites du dessin, on pourrait encore employer les constructions de la fig. 89. Mais si les points a et of sortaient Tun et l'autre des limites du dessin, on ne pourrait plus trouver Tintersection I par les méthodes précédentes. Dans ce cas , concevons par les points p et q (fig. 90 ) deux plans X et X\ parallèles au plan vertical , ils seront coupés par le plan P suivant deux droites A et Â' parallèles entre elles ; or Tune d'elles^ Tintersection des plans X et P, doit passer par les points a et p , Tautre doit passer par le point a' , donc ces droites A et A' sont connues ; de même les plans X et X' sont coupés par le plan^Q suivant deux droites B et B', parallèles entre elles , dont Tune , l'intersection des plans X' et Q , doit passer par les points b' et q ; et l'autre par le point b , donc ces intersections B et B' sont connues ; mais les droites A et B , étant situées dans le même plan X, se coupent en un point m qui appartient à l'intersection I cherchée , de même A' et B' se coupent en un second point m' de cette intersection I , qui est ainsi déterminée. Il est évident que les constructions resteraient exactement les mêmes si l'on conduisait par les points p et 9 defux plans verticaux quelconques , mais parallèles entre eux , car il n'est pas ab* solument nécessaire que les plans auxiliaires X et X' soi^it parallèles au plan vertical de projection , on serait môme obligé de les prendre dans une autre direction si les points p et ç étaient à la même distance du plan vertical de projection; mais on peut aussi ramener ce cas à l'un des précédents par un changement de plan vertical de projection. On ne pourrait pas employer un changement de plan horizontal de projection , parce qu'on n'aurait plus alors les données d'après lesquelles on désire résoudre le problème.
100. Problème 15. Trouver F intersection de deux plans donnés par leur ligne de plus grande pente par rapport au plan horizontal {fig. 91). Soient P et Q les lignes de pins grande pente des deux plans P, et Q,.
1* Pi-enons pour plan auxiliaire un plan horizontal X, qui coupera les droites P et Q aux points p et q (n" 56 , S*») , et par suite les plans donnés P, et Q, suivant des horizontales A et B passant respectivement par ces points p ciq; mais P^ est perpendiculaire à H^' (n° 37) , et par conséquent à A* (n* 36) ; de même Q* est perpendiculaire à B*; ces horizontales sont donc entièrement connues, et comme elles
sont dans le même plan X, elle se coupent en un point m de Tintersection I des deux plans P, et Q,. Un second plan horizontal X' fera connaître un autre point m de rintersection demandée I ; donc enfin cette intersection I est déterminée.
2* Si les droites P'^ et Q* sont parallèles {fig. 92), les droites A* et B'^ le sont aussi et ne donnent plus de point de Tintersection I demandée; mais alors cette droite cherchée I est horizontale (n* 90) , et Ton en trouve un point comme il suit. Coupons les plans donnés , P, et Q,, par deux plans horizontaux X et X', qui donnent les horizontales A et B, A' ^ B' des plans P, et Q^ ; prenons deux points quelconques a et A sur A et B, et lions-les par la droite C , puis plaçons sur A' et B' une droite C parallèle à C, nous pourrons considérer C et C comme des horizontales d'un troisième plan coupant le plan P^ suivant la droite D , et le plan Q, suivant la droite E; les deux droites D et E se coupent elles-mêmes en un point x appartenant à l'intersection I , nous aurons donc I* en menant par ai" une perpendiculaire sur P* et Q*. Je n'ai pas construit les projections verticales des droites D et E et du point x; pour avoir 1% je remarque que cette intersection rencontre nécessairement les droites P et Q en des points dont nous avons les projections y* et z* ; on en conclut facilement if et z*, qui déterminent P; il faut, de plus , que cette projection P soit parallèle à LT.
101. Problème 16. Trouver P intersection de deux plans donnés par leurs traces horizontales et les angles qu ils font avec le plan horizontal (Jig. 93). Il est évident, par un théorème connu de géométrie élémentaire , que si un plan est perpendiculaire au plan vertical de projection, l'angle qu'il fait avec le plan horizontal est mesuré par l'angle que fait sa trace vertical avec la ligne de terre ; prenant donc un plan vertical perpendiculaire au plan P , la trace V' de ce plan fera avec la ligne de terre L'T' l'angle donné « ; prenant de même un plan vertical perpendiculaire au plan Q, la trace V'^ de ce plan fera, avec la ligne de terre L"T", l'angle donné |3. Comme les deux plans P et Q sont ainsi rapportés au même plan horizontal et à des plans verticaux différents, on pourrait changer, par rapport à chacun d'eux , de plan vertical , et trouver leur trace V et V*^ (n** 47) sur un même plan vertical LT ; mais cela n'est pas nécessaire , car si l'on conçoit un plan horizontal X , ses traces , sur les deux plans verticaux , seront parallèles à L'T' et à L"T" et également distantes de ces deux lignes de terre ; ce plan X coupe les plans P et Q suivant les deux horizontales A et B , et ces deux droites se coupent elles-mêmes en un point m , dont nous avons la projection horizontale m* par l'intersection de A* et de B*; donc joignant am'', on aura la projection horizontale I* de l'intersection I des plans P et Q. On en a en même temps les deux projections verticales P' et P" ; cette intersection I est donc déterminée.
1 02. On peut encore varier les données des plans en ne les supposant pas donnés
tous les deux de la même manière. 11 sera facile , par ce qui précède , de voir quelle modification on devra , dans chaque cas , faire subir aux solutions que nous avons successivement exposées.
103. La géométrie plane, et la géométrie de l'espace, se prêtent des secours mutuels , de sorte que souvent des propriétés connues de la géométrie plane conduisent à la découverte de quelques propriétés de la géométrie de l'espace ; souvent aussi des propriétés connues de la géométrie dç l'espace conduisent à des propriétés nouvelles de la géométrie plane; en géométrie descriptive, on emploie souvent ces sortes de constructions , que l'on exprime en disant : // faut savoir passer de C espace sur le plan, et remonter du plan dans l'espace. Par exemple, dans le problème 14 (n* 99, S**), chaque plan auxiliaire X {fig. 39), donne un point m de l'intersection I, tous les points m ainsi obtenus seront donc sur une ligne droite; de sorte que si l'on considère seulement la projection horizontale , on verra que toutes les droites telles que B* et C* se coupent en des points tels que m'' , qui sont ^ sur une même droite I* passant par le point a, d'où l'on déduit ce théorème (*) :
Si Con a trois droites D,P,Q {fig. 94) qui se coupent deux à deux, et trois points d,p,q sur Cune cC elles y D; si par l'un de ses points d, on mène des transversales T,T,T, coupant les droites V etQ; que Con joigne les points en lesquels P est coupée, avec le point p par des droites B^B^B^ et les points en lesquels Q est coupée
par les mêmes transversales avec le point q par des droites C.Cfi;, les droites B, et
C, , B^ et Cj , B3 et C3..... se coupent en des points m.m^mg qui sont avec l'inter-
section a des droites V etQ sur une même droite I.
11 est évident qu'on peut prendre les droites D,P,I pour les données, le point p
pour origine des transversales B, B, B3 , coupant P et I aux points b^b^b^,
et m^m^m^ , et Ton en conclura que les points d'intersection des droites C^ et
ï, , Cj et 1\, C3 et T3 , sont en ligne droite avec le pointa. On pourrait aussi
donner les droites D,Q,I, le point 9 pour origine des transversales C^C^Cg, qui
coupent les droites Q et I aux points cfi^c^ , et m.m^m^ , et Ton en conclura
que les points d'intersection des droites B, et T,, B, et T, , B, et T3 sont sur
une droite P passant par le point a.
n La plupart des théorèmes sur les transversales, quand il s'agit de points de concours et non de rapports entre les longueurs des parties interceptées, peuvent être résolues comme nous le faisons ici pour quelques-uns, soit par les considérations des projections de certains systèmes situés dans Tespace, soit par la solution graphique (ou en d'autres termes par la méthode des projections) de certaines questions relatives & des points, droites, plans et surfaces réglées formant un système situé dans l^pace.
104. L'un des trois points d^p^q peut être situé à Tinfîni , soit :
V Le point d situé à l'infini; les transversales TJ^T^ sont, dans ce cas, parallèles à D;
Soit 2° le point p situé à Tinfiai; les transversales B, B^B, sont parallèles
àD;
Soit 3"" le point 9 situé à TinÛAi; les transversales G, €,€,.«.. . sont alors parallèles à D.
Dans les trois cas on en conclut ce théorème , que nous appliquerons , pour plus de clarté , au premier cas (fig. 9o) : Si l'on a trois droites D,P,Qy qvi se coupent deux à deuXf et deux points p el q ^r Cune d'elles D ; si l'on mène une série de parallèles à cette droite et coupant les deux autres droites P et Q,. que Von joigne les points deV au point f y et les points de Q avec le point q , les droites B, et G, , B, etC^..... se croisent
en des points m^m^m, , qui sont, avec l'intersection a des droites VetQ, sur une
même droite L Ge casse déduit desfig. 86 et 87, en ne considérant que la construction exécutée sur le plan horizontal.
105. Si Ton prend D,P,I pour les droites données, le point p pour origine des
transversales B^B^B, , on en conclura que les points d'intersection des droites
G, et T, , G, et T^ , G3 et T^ sont sur une même droite avec le point a. Si Ton prend les droites D,Q,I et le pointe/ pour origine des transversales G^G^G^ on trouvera que les droites B, et T,, B^ et T^ , B, et T3 se coupent en des points situg*
sur une droite passant par le point a. On pourra donc énoncer le théorème suivant.
Si l'on a trois droites D,P,I et deux points ip et q sur l'une (Telles D ; que , par Tun
de ces points p, on mène tant de transversales B, B^Bj que l'on voudra; que l'on
joigne les points d! intersection de ces transversales et de la droite I avec le second point q de D par les droites G,G,Gj ; que par les points d'intersection de ces mêmes transversales et de la droite P, oi^mène des parallèles T,T^... à la droite D, ces parallèles
T,Tj et les droites GjG^ se coupent respectivement en des points situés sur une
droite passant par le point d^ intersection a des droites V etl.
106. De ces propositions on peut déduire les réciproques suivantes:
1"* Si l'on a quatre droites D, P, Q, I (^fig. 94), dont trois concourent au même point a, et coupent cliacune la quatrième ; que ton joigne tous les points de l'une des premières I avec deux points p et q , pris sur la quatrième^ les droites menées au point p couperont P; les droites menées au point q couperont Q ; enfin , toutes les droites menées par les
points b, et c^, b, et c^y b, et c^ ainsi obtenus vont couper la droite D au même
point d, ou lui sont parallèles (&g« 95).
Si Ton joignait les points de Q avec les points qr et d, on trouverait de même que toutes les droites B, B^ B^ concourent au môme point p delà droite D. Si Ton
joignait les poiats de la draîleP avec les pointe p et d, on trouverait que toutes lee droites G, C, C^...*. conoourent au même point q de la droite D.
i!" Si Von a nvis droiies PfQyl issues d'ttn même point a et un point d hors de ces droites; que dafoini d on mène deux transversales quelconques T, ^t T, coupant les droites V etQ respectivement aux points b^ et b, , c^oL c,; si Ton prend deux points quelconques m, et m^ sur la troisième droite T, etqiCon les joigne aux points (Tintersection précédents ^ les droites B, et B, se couperont en un point p, et les droites G, et G, en un point q, et les trois points d, p, q sont en ligne droite.
Si Ton eût donné le point p, et mené les transversales B, et B, , on aurait trouvé les deux points d et </ en ligne droite avec le point p ; de même , donnant le point q et menant les transversales G, et G,, on trouvera les deux points d et p en ligne droite avec le point q.
3"" Si l'on a trois droites P, Q, I (fig. 95) concourant au même point a, et deux droites parallèles T, et T, , coupant V etQ respectivement en b^ et b, , c, et c,; que l'on joigne ces points avec deux points pris arbitrairement sur I , les droites B, et B, se couperont en un point p. G, et C, en un point q, et les deux points p el q sont sur une droite D parallèle àH.etT^.
1 07. Si F on a deux droites V etQ (fig. 96), qu'on les coupe par une série de transversales parallèles T, T^ T3 , que par les points b^ b^ h^ , c, c, c^ , où ces
transversales rencontrent P etQ, on mène deuxséries de droites parallèles B, B^B^,
G, Gj G, , les droites B^ et G, , B, e£ G, , B3 et C^^ se couperont en des points
ni, m, m, , qui seront en ligne droite avec le point a , intersection de P et Q.
En effet, si l'on considère les droites P et Q comme les traces horizontales de
deux plans et les transversales T^ comme les traces horizontales de plans
auxiliaires parallèles , coupant les plans donnés suivant les droites B, et G, ,...... les
points m^m^ intersection des droites B, et G,, B, et G, appartiendront,
ainsi que le point a , à la projection horizontale de Tintersection I des deux plans donnés; tous ces points m^ seront donc situés sur une même droite.
10s. Ou conclut évideuLinent de là ce théorème réciproque : Si ton a trois
droites P^ Q, I, concourant au point a, que par tous les points m,, m,, m,, de
Cune d'elles l oninène deux séries de droites parallèles B,, B^, B,,..,.. et G., G,, G,, les pftemiêres couperout P et les secondes couperont Q en des points tels que les droites qui joindront b ^ et c.,., b, et c^^ b, et c^ seront toutes parallèles entre elles.
409. PaosLÈSB 17. ÉtOBt données deux droites V etQ concourant en un point situé hors des lindtBs dm dessmBt un peiiU m , faire passer par m une droite çpd concoure au même point que les droites P et Q. On sait lîéftondre ce problème par les deux constructions suivantes :
1* Menons une droite quelconque T {fig. 97) coupant P et Q aux points b et c, joignons btn et cm, ces droites coupent respectivement Q et P aux points c, et b ; unissons ces points par une droite T, rencontrant T au point dj par ce point menons une troisième droite T, coupant P et Q aux points b^ et c, , joignons b^c^ et 6,c, , ces droites se coupent en un point m y appartenant à la droite demandée. En effet, considérons P, Q, T, comme les traces horizontales de trois plans passant par un même point de l'espace dont m serait la projection horizontale; B et C seroitt les projections horizontales des intersections du plan T avec les plans P et Q ; considérant alors le point c^ comme la projection horizontale d'un point du plan P çt b^ comme celle d'un point du plan Q, enfin T, comme la trace horizontale d'un second plan auxiliaire, il coupera les plans P et Q suivant des droites dont B, et C, sont les projections horizontales, et par suite m, serait la projection horizontale d'un second point de l'intersection des plans P et Q.
On pourrait par le point d mener tant d'autres transversales que Ton voudrait,
et continuant la même construction on obtiendrait une série de points m^m^jm^
qui seraient en ligne droite , d'où l'on peut conclure facilement un nouveau théorème de transversales qu'il est inutile d'énoncer ici.
2** Du point m ( fig. 98 ) abaissons sur les droites P et Q, des perpendiculaires qui les coupent aux points 6 et c , joignons bc , menons b^c parallèle à bc et par les points 6' et d les parallèles P' et Q' à P et Q , ces droites P' et Q' se coupent en un point m appartenant à la droite cherchée. En effet , considérant P et Q comme les traces horizontales de deux plans, m comme la projection horizontale d'un point de leur intersection , mb et me comme deux lignes de terre , on rentrera dans la construction du problème XVI (n** 101 ) , P' et Q' seront les projections de deux horizontales des plans P et Q situées à la même hauteur, et se coupant en un point vi de la projection horizontale de l'intersection des plans PetQ.
110. Problème 18. Trouver C interjection d'une droite D et d un plan V. V Si par la droite D {fig. 99), on fait passer un plan auxiliaire X, qu'on cherche son intersection I avec le plan P, le point x intersection des droites I et D sera le point demandé.
Parmi les plans que l'on peut faire passer par la droite D, nous en distinguerons sept, qu'il sera préférable de choisir quand la disposition delà figure le permettra, et parmi lesquels on devra choisir suivant la disposition de la figure sur chaque plan de piojection par rapport à la ligne de terre ou mieux suivant les relations de position qui existeront dans l'espace entre les données de la question à résoudre ; ce sont :
1 "^ Le plan projetant horizontalement D ;
2** Le plan projetant verticalement D ;
3* Le plan dont D est la ligne de plus grande pente, par rapport au plan vertical ;
4* Le plan dont D est la ligne dé plus grande pente , par rapport au plan horizontal ;
6* Le plan mené par D parallèlement à la ligne de terre ; 6' Le plan dont la trace horizontale est parallèle à H' ; ^
?• Enfin le plan dont la trace verticale est parallèle à V ; L^s intersections de ces plans avec le plan donné P couperont toutes la droite D au même point a:, qui est le point cherché. Dans chaque cas particulier, on choi-^ sira, comme nous Tavons dit ci-dessus , celui des plans qui conviendra le mieux ; il serait inutile de les représenter tous sur la figure; on peut facilement s'y exercer. 2' Par le choix du plan auxiliaire, lès projections I* et D*, et P et D* peuvent se couper sous des angles très-aigus, alors les points o^ et «" et par suite le point x sont mal déterminés. Mais on peut toujours choisir à iprxori le plan auxiliaire X de manière que T et D*, par exemple, se coupent sous un angle droit ou presque droit. Pour cela je mène dans le plan P une droite A telle que A* soit à peu près perpendiculaire sur D*, ce qui est toujours possible puisque je peux me donner A*, à volonté , pour conclure A*' ; si ensuite par un point m de D je mène une parallèle A' à A, si je fais passer un plan X par les droites D et A', si je cherche l'intersection 1 des plans P et X, le point a:, où les droites I et D se coupent, est le point demandé. Remarquons que les droites I et A doivent être parallèles , ce qui servira à vérifier l'exactitude des constructions.
S"" On peut encore résoudre le même problème par un changement de plan de projection ou un mouvement de rotation , ayant pour but de ramener le plan P à être perpendiculaire à l'un des plans de projection (n** 55 et 67), car alors son ^intersection avec D ee projette sur ce plan à l'intersection de la trace du plan et de la projection de la droite (n* 56, 2**). Prenons donc un nouveau plan vertical de projection perpendiculaire au plan P {Jig. 100) , la ligne de terre UT' sera perpendiculaire à H\ On trouvera les droites V" etD'*' se coupant en o^\ d'où l'on conclut a:* puis x"* qui sont les projections du point cherché. On aurait pu prendre un nouveau plan horizontal L"T" perpendiculaire au plan P , alors la projection a:*" sera l'intersection de D*" et H'.
Remarquons que si l'on prend L'T' plus haut sur la feuille de dessin , le point x"" se trouve plus vers le haut de la feuille de dessin , et vice versa ; en prenant donc L'T' plus bas , le point a:'' descend en même temps , de sorte qu'en choisissant la nouvelle ligne de terre le plus bas possible sur la feuille de dessin , on obtiendra des points d'intersection très-éloignés du plan horizontal , et que ne fournirait aucune autre méthode.
Si Ton changeait de pian horizontal j on devrait alors , par une raison toute semblable , choisir la nouvelle ligne de terre perpendiculaire à Y' et le plus haut possible. Enfin on pourrait rendre le plan P perpendiculaire au plan vertical ou au plan horizontal de projection , en le faisant tourner autour d'un axe perpendieu^ laire au plan vertical , ou perpendiculaire au plan horizontal , la droite D se mouvant dans les deux cas avec le plan P,
111. Problème 1 9. Trouver Cintersectiœi d'une droite avec un pian donné far une droite et un point. 1** Soient (fig. 101) le plan (P,p) donné par la droite P et le ^ point jp , et la droite donnée D ; il faut (n** 110, 1**) par la droite D faire passer un plan auxiliaire et chercher son intersection avec le plan (P^p); or on peut choisir le plan passant par la droite D et le point p , de sorte que Ton connaît déjà un point p de rintersection 1 ; pour en avoir un second point , je mène par le point p des droites P' et D^ respectivement parallèles aux droites P et D ; les plans sont alors donnés par des droites parallèles , et en menant un second plan auxiliaire X ho* rizontal , il coupera les quatre droites respectivement aux points x et tt' , 3 et 3' qui déterminent les intersections A et B de ce plan X avec les plans (P^P') et (D,D') , et enfin les droites A et B se rencontrent en un point m de rintersection t , qui est ainsi entièrement connue. Enfin cette dernière droite I rencontre D en un point x qui est le point demandé
%"" On pourrait prendre le plan X parallèle au plan vertical , ou perpendiculaire à Fvn des plans deprqjection. On résoui, très-simplement ce problème en prenant pour plan passant par D son plan projetant vertical , comaoïe nous le montrerons 4ans le problème suivant (n** 1 1 3, â**)*
3"" Si Fune des droites données, P par exemple, était parallèle au plan horizontal , P" serait parallèle à LT et par conséquent à V , on, ne connattrait plus alors le point 71 y mais dans ce cas il est évident que le plan X qui est horizontal coupe le plan (P,p) suivant une horizontale , ou en d'autres termes, suivant une parallèle à la droite P , qui sera déterminée , car on pourra encore avoir le point ic' en prenant P' , non plus parallèle à P , mais passant par le point p et un point quelconque de P.
4° Si la droite P était la trace ff du plan, on prendrait pour P' une verticale, ou une horizontale de ce plan , et alors on choisira le plan X de manière à ce qu'il soit parallèle au plan vertical de projection.
Enfin si la droite P était une ligne de plus grande pente du plan, elle suffirait pour le déterminer ( n"" 38 ) ; dans ce cas on ne pourrait plus donner le point p , et l'on choisirait pour plan passant par la droite D y celui dont cette droite serait la ligne de plus grande pente par rapport au même plan ; on renb:erait ainsi dans un problème déjà résolu (n** 100).
4 1 2. On poorrait encore chercher Fintersection d'une droite a^ec an plan donné dans d*antres cas particuliers, par exemple, lorsque les deux traces se confondent en une seule droite, et tout autre que Ton pourrait concevoir; tous ces cas se résoudraient par les mêmes principes.
113. Problèmb SO. Par un point donné mener une droite qui s appuie sur deux droites données :
1* Par le point donné et par chacune des droites données on peut faire passer OB plan , l'intersection de ces deux plans sera évidemment la droite demandée ; on rentrera ainsi dans la construction du problème précédent ( n^ 1 1 1 ) , où . p {fig. 411 ) représentera le point donné, P et D les deux droites données, I la droite cherchée; comme vérification , les projections de cette droite I doivent eou« par celles de P et D en des points y" et t^, x"" et xf" situés respectivement sur une même perpendiculaire à la ligne de terre ( n* 8 ).
8* Nous pouvons résoudre ce problème en faisant passer un plan par le point donné m (^fig. 402) et par Tune des droites A, puis cherchant Tintersection de ce plan avec la seconde droite B, nous obtiendrons son intersection avec le plan ( A,ni), en menant d^ix droites K et 6 par m et deux points quelconques fr et a de A , elles seront évidemment dans ce plan et couperont le plan vertical mené par B^ en des points k&tg de Tintersection R de ces plans ; puis la droite R rencontre la droite B au point x qui appartient à la droite D demandée, car cette droite, ayant deux points x etm dans le plan (A, m), y est contenue tout entière et par conséquent elle rencontre la .droite A en un point y.
444. Il serait facile de trouver d'autres solutions de plusieurs des problèmes précédents, de varier les données de quelques-uns d'entre eux et d'en proposer de nouveaux; ce qui précède suffit pour pouvoir les résoudre tous. Au reste nous aurons l'ocGasîcHi d'en reneontrer encore quekpie&-uns dans la suite de ce
COUTS (*).
1» im It ■ III
n Cependant il n'est pas sans intérêt de mentionner d'une manière particulière le problème dans lequel le plan P aurait ses traces V et H' confondues en une seule ligne droite P^* et dans lequel 1» droite D aurait ses projections D* et D^' confondues en une seule ligne droite D^.
Dans ce cas, le point m, intersection du plan P et de la droite D, aurait |ses projections m* et m" Confondues en un seul point m^.
Le point m serait situé sur le plan B, bissecteur des angles dièdres S.P et h A-
Désignons par p le point en lequel le plan P coupe la ligne de terre LT, et par d le point m lequel la droite D coupe cette môme ligne LT.
Si nous coocevoQs une suite de droites D, D', D", etc., perçant la ligne de terre au mèsM pcànt d , et dont les projections se trouvent confondues en tes droites D^, T)\, l>'\, etc., toutes les droites D, D*, D", clc,, seront situées dans le plan bissecteur B.
Dès lors, les points m, m', m", etc., en lesquels les droites D,D', D", etc.. percent respectivement
114 (bis). Remarque, an sujet des problèmes relatifs V à Tintersection de deux plans, 2"" à l'intersection d'une droite par un plan.
Dans cette première partie du cours de i éométrie descriptive, nous nous sommes imposé la tâche de donner, au sujet des problèmes relatifs au point, à la droite et au plan, toutes les méthodes et toutes les solutions qui, fondées sur ces méthodes, se reproduiront dans la seconde partie , qui traite des courbes et des surfaces.
Ainsi lorsqu'il s'agit de l'intersection de deux surfaces, le problème le plus simple est celui par lequel on se propose de déterminer l'intersection de deux plans (le plan étant la surface la plus simple en géométrie). Mais l"" un plan peut être considéré comme engendré par une droite G qui se meut parallèlement à ellemême on s'appuyant sur une droite D ; le plan est alors considéré comme un cylin-^ dre, car un cylindre est une surface réglée, engendrée par une droite G qui se meut parallèlement à elle-même en s'appuyant sur une courbe D. H" Un plan peut être considéré comme engendré par une droite G passant en toutes ses positions par un point fixe s et s'appuyant sur une droite D; le plan est alors considéré comme une surface conique , car un cône est une surface réglée , engendrée par une droite G qui se meut en passant constamment par le sonmiet s ( de la surface conique) et en s'appuyant sur une courbe D.
En géométrie descriptive un plan est employé comme surface ouadliairCf en considérant son mode de génération, tantôt cylindriqucy tantôt conique. Lorsque l'on
le plan P, seront sur une droite K intersection des plans P et B : dès lors les points m^, m\, m'\, etc., seront sur une ligne droite J, passant par le point p.
Ce qui précède nous permet d*énoncer le théorème suivant, relatif aux transversales. Fig. 102 bis.
Étant données deux droites J et P, se coupant en un point p, si d*un point ûdeJ on mène une suite de droites D», D'j, D"i, etc., coupant respectivement la droite P, en les points q, q', q", etc.; si des points q, q', q", etc., on mène une suite de perpendiculaires à la droite LT, ou une suite de parailèles entre elles et faisant avec la droite LT un angle a , ces droites coupant LT attx points r, r', r", etc. Si du point d, on mène une droite Y perpendiculaire à LT, ou faisant avec LT un angle «, cette droite étant dès lors parallèle aux droites qr, qr, qr", etc., si par le point s en lequel Y coupe P on mène des droites sr,sr', sr", etc., ces droites couperont les droites Dj, D'i, D"^, etc., respectivement aux points mj, m'i, m'\, etc., lesquels seront en ligne droite avec le point p.
Et comme toute droite dont les projections sont confondues, est située dans le plan bissecteur B, on pourra mener les droites D„ D'j, D'i, etc., par des points différents, d, rf, d\ etc., situés sur LT, et non par le même point d; mais alors on devra mener par chacun des points d, (f,d",.... des droites Y, Y', Y", etc., qui donneront sur la droite Pj, des points s, s', j", etc., et alors il faudra joindre les points s et r— i' et r'— 5" et r"— , etc., pour obtenir les points m,, m\ , m'\ , etc., lesquels seront avec le point p en ligne droite.
On trouverait des théorèmes de transversales analogues, si Ton considérait un plan P perpendiculaire au plan B', bissecteur des angles dièdres S . P et P. I , et des droites D, D', D", etc., situées dans ce plan bissecteur B'.
se donue un plan P par sa trace horizontale H' et par un point p dont on se donne les projections p" et p*, il est évident que le plan P est donné par son mode conique de génération ; cela veut dire que, lorsque Ton aura un problème à résoudre par rapport au plan P , il faudra , dans les constructions graphiques , tenir compte do la manière dont le plan P est donné.
Lors donc que Ton a deux plans P et Q donnés l'un par sa trace H' et un point p, et Tautre par sa trace H^ et un point q, et que l'on demandera la solution du problème : construire les projections I* et P de Cintersection I de ces deux plans P ^£ Q , il faudra employer un mode de solution tel que l'on tienne compte du mode par-* ticulier de génération des deux plans donnés P et Q, et ainsi de ce qu'ils sont donnés l'un et l'autre par le mode conique.
Dès lors on voit de suite que la solution donnée dans ce cas peut être employée pour le problème plus général , savoir : déterminer les projections I* et V de Cintersection I de deux canes P et Q donnés le premier par son sommet p et par sa trace horizontale H' (qui ne sera autre qu'une courbe C, base horizontale du cône), et le SBCOND par son sommet q et par sa trace H** sur le plan horizontal (trace qui ne sera autre qu^une courbe C, base horizontale du cône).
Car il est évident que tous les plans auxiliaires X qui passeront par la droite
D qui unit les deux sommets pet q, couperont respectivement les cônes (p, C) et (<jf, C), suivant des génératrices droites qui se couperont en des points a; appartenant à la courbe I, intersection des deux cônes donnés.
Ainsi dans l'épure relative à l'intersection de deux plans , remplaçons les droites H' par une courbe C et H** par une courbe C, et au lieu de construire l'intei-section de deux plans on construira l'intersection de deux cônes.
Si au contraire l'on se donnait 1"" un plan P par sa trace H' et par les projections K** et K** d'une droite K située dans ce plan P, et 2* un plan Q par sa trace H*^ et par les projections q^ et qf" d'un point q situé dans ce plan Q et que l'on demandât de déterminer la droite I intersection de ces deux plans P et Q , c'est-à-dire les projections r et I* de la droite I , on serait obligé , dans les constructions graphiques à employer pour la solution du problème ainsi posé , de tenir compte de ce que le plan P est donné par son mode de génération cylindrique et de ce que le plan Q est donné par son mode de génération conique ; dès lors , il faudrait mener par le point q une droite B parallèle à K, laquelle percerait le plan horizontal en un point
b , et par ce point on mènerait une série de droites H* coupant respectivement
les droites H' et H". Les droites H* seraient les traces d'une série de plans auxiliaires X qui évidenunent couperaient le plan P suivant des parallèles à K et le
plan Q suivant des droites passant toutes par le point q.
Si donc on remplace la droite H' par une courbe G et H^ par une courbe G ^ l'on
aura au lieu du plan P, un cylindre 2 ayant une courbe C pour base hojàzotttale , ses génératrices étant parallèles à la droite K^ et ron aura au Jieu du plan Q» un mm l' ayant une courbe C pour base horizontale et le point q pour sommet, et le mode ée solution employé pourdéterminerla droite lintersectioB des deux plans P etQ^devn être identiquement employé pour déterminer la courbe I intersection des deux suiûices (cylindrique et conique) 1 et 2'. Si , enfin ^ Ton donnait les plans P et Q par leurs traces horizontales H' et H® et deux droites E et 6 , r^ine K située dans le plan P et Tautre G située dans le plan Q ; les deux plans P et Q seraieat alors donnés chnciui par son mode de génération cylindrique. D faudrait donc par un point m de Tespnce mener deux droites K' parallèles à K et G' parallèle à G; tout plan X paraUèfe an plan (K', G') couperait respectivement les plans P et Q suivant des parallèles à K et à G; les traces des plans X.... seront parallèles aux traces du plan (E',G'). IlBaflît donc de déterminer la trace horizontale de ce dernier plan <^ de mener aoe snsle
de droites H"" parallèles entre elles et à cette trace , et coupant i^spectivemml; les
droites H' et H*^ pour achever la construction graphique.
Si donc on remplace H' et H"^ par des courbes planes G et C', Ton aura an lien des deux plans Pet Q deux cylindres 1 eil\ Tun Payant G' pour base horizontale et ayant ses génératrices droites parallèles à E , Tautre l' ayant C^ pour base horizontale et ayant ses génératrices droites parallèles à G et la courbe I intersection de ces deux surfaces cylindriques S et 2' s'obtiendra par la méthode graphique employée pour déterminer la droite I intersection de deux plans P et Q donnés l'un et l'autre par le mode de génération cylindrique.
Ce qui -précède nous montre bien comment l'on procède du connu à l'inconnu , comment l'on doit procéder pour passer de la solution d'un problème relatif à des surfaces simples , à la solution du même problème , proposé pour des surfaces {dus générales du même mode de génération.
Au sujet de l'intersection d'une droite et d'un plan., nous avons des considéra* tions d'un autre genre à présenter. Lorsque l'on se propose la solution d'un pro* blême par la méthode des projections , il faut autant que possible dioésir entiie toutes les constructions graphiques celle qui emploie le moins de lignes; lors donc que l'on a à chercher le point de rencontre d'un plan ^ d'une seide droite , il est évident que l'emploi d'un plan auxiliaire passant par la droite sera préférable à remploi de la méthode du changement de l'un des plans de projection.
Mais si l'on a une série de droites B parallèles entre elles , ou diverysant
d'un point s et que l'on demande de couper toutes ces droites par un plan P donné par ses traces , il est bien évident qu'il vaudra mieux changer de plan vertical de projection et prendre le nouveau plan perpendiculaire an plan P.
D'ailleurs , si les droites D.>... sont les arêtes d'un prisme ou les arêtes d'nne
pyramide, on a très^oQvent et presque toujours besoin dans lés applications de. connattre en Térftable grandeur la section faîte au travers du prisme ou de la pyramide par le plan P; et pour avoir cette section en véritable grandeur, il faut pouvoir considérer le plan P comme un nouveau plan de projection , ou le faire tourner avtour dé sa trace W comme axe de rotation pour le rabattre sur le plan horizontal de projection. Or Tune ou Tautre de ces solutions exige au préalable que Ton effectue le changement du plan vertical de projection , il est donc évident qu'il vaut beftttcoup mieux effectuer tout d*abord ce changement, pour déterminer la projection horizontale et k. projection verticale de la section sur le& plan& primitife , et ensuite en conclure la véritable grandeur de cette aectiDn.
Tous les problèmes sasimpliCb^t en leur solution, par l'emploi de. Tune ou Tautre des deux méthodes^ savoir: 4° changenumt des plauM- de pmij^tkm; ^ rotadondu s^ tème amour (fun axe ; mais suivant la nature du. problème proposé , suivant les relations de position qjui existent entre le& diverses parties du système {H'oposé daiœ Tespace et fixé de position par rapport aux deux plans primitifs de projection , en vertu des positions respectives qulaffectmt par rapport à la ligne de terre LT les projections ds ce système ^ on doit préférer Fune des méthodes à l'autre, et c'est ce choix , judicieusement fait, qui montre si le géomètre comprend bien Part et la sdence des projections, s!il sait.,^ euiun.mot ^ lire dan» l'eapaceu
Angtesides droitei eides pUtm.
Hô. PaoBLtvB 2M. Trouver Fangle de deux droites. L'angle de deux droites est la quantité dont les directions de ces droites s'écartent Tune de l'autre ; il en résulte que :
4* Beux droites peuvent faire un angle sans se couper ;
ST Deux droites parallèles font entre elles un angle nul ;
3* L'angle de deux droites qui ne se coupent pas , sans être parallèles, est égal à l'angle de deux parallèles à ces droites et menées par un même point.
ûft nJaura donc jamais à chercher que Fangle de deux droites qui se coupent ; car ,. s'il en était autrement , par un point pris à volonté , on mènerait des parallèles aux deux droites damées (n" 24) , et Ton chercherait l'angle que font entre elles ces parallèlesu Soient dooc lesdeux droites A et B (fig. 1 02) qui se coupent au point m ; oesdeux droites déterminent un plan Q dont la trace horizontale est H*; rabattons ce phm Q SOT le jiam hfflrizcntal (n* 76 ) , en choisissant , pour plus de simplicité , le nouveau plan vertical.de projection passent «par le point m, les droites A et B se rabattront en A' et B' et Tangle am^b sera l'angle demandé.
On poarrait encore chercher les côtés A' et B' de cet angle , en rabattant les plans projetant horizontalement A et B ; puis construire le triangle amb dont on connaîtrait les trois côtés , et il faudrait que les points m et m* se trouvassent sur une perpendiculaire à H^. On pourrait aussi rendre le plan Q horizontal ou vertical par Tune des quatre méthodes connues (n** 76). Les figures de ces constructions sont faciles à exécuter , à Taide de ce qui précède.
Remarquons que la droite o'm=:oiii est Thypoténuse d'un triangle rectangle dont om^ est un côté de Tangle droit; de sorte que Ton a om>oni' et, par conséquent ,
Tangle amb des deux droites est plus petit que l'angle arrl'b de leurs projections.
Cependant y lorsque deux droites AetB font entre elles un angle droit et que Tune d'elles B est horizontale , Tangle que font entre elles les projections A^ et B* est droit, et dès lors égal à Tan^e de l'espace; de même, si Tune d'elles B est parallèle au plan vertical , l'angle que font entre elles A* et B'' est droit, et dès lors égal à l'angle de l'espace. Dès lors , si , sur un plan oblique par rapport aux deux plans de projections, on mène par un point m de ce plan une horizontale H et une verticale Y, puis deux lignes de plus grande pente, l'une K, par rapport au plan horizontal, et l'autre G par rapport au plan vertical, les angles (H*,K*) et (V^G") seront droits.
H 6. Problème 22. Trouver la bissectrice de F angle de deux droites. On peut résoudre ce problème , en cherchant d^abord l'angle de ces droites (n"" 1 5) , puis divisant en deux parties égales l'angle rabattu formé par les droites A' et V (Jig. 103), la bissectrice rencontrera la trace H*^ en un point qui sera évidemment la trace horizontale de la bissectrice demandée ; et comme elle doit passer d'ail* leurs par le point m, elle est entièrement déterminée. Mais on peut aussi trouver cette bissectrice, sans chercher préalablement Tangle des deux droites données; pour cela , remarquons que si l'on prend deux longueurs égales sur les droites A et B (fig. 104), à partir du point m, en lequel elles se coupent, on formera un triangle isocèle, et la droite , joignant le point m au milieu de la base de ce triangle, sera la bissectrice demandée.
Pour résoudre le problème présenté sous celte forme, nous ferons tourner séparément les droites données A et B autour d'un axe vertical passant par leur point d'intersection m, jusqu'à ce qu'elles soient arrivées dans les positions A' et B', où elles sont parallèles au plan vertical de projection (n° 61); décrivant ensuite, du centre m" et avec un rayon quelconque, un arc de cercle coupant A'*" et B'** en e'' et d'*' , ramenant les points e' et d' en e etd sur A et B par des mouvements inverses autour du môme axe , la droite E , menée du point e au point d , sera évidemment la base du triangle isocèle, son milieu n se projettera aux milieux n^ et n"" des pro-
jections E^ et E'' ; enfin la droite D , qui unit les points m et n , est la bissectrice demandée.
II est essentiel de ne pas perdre de vue que les mouvements des droites données A et B sont indépendants Tun de l'autre , sans quoi elles ne deviendraient pas toutes deux parallèles au plan vertical , position k laquelle on ne les amène que pour pouvoir prendre sur chacune d'elles des longueurs égales me et md.
Si les points a' et b' sortaient l'un ou l'autre, ou tous les deux, des limites du des* sin j on prendrait un plan horizontal auxiliaire coupant les droites  et B en des points petq tels que p et q' se trouvassent dans les limites du dessin ; ils serviraient d'ailleurs à trouver À' et B', et le reste de la construction s'achèverait comme cidessus (*).
Remarquons enfin que ces constructions donnent lieu à plusieurs vérifications qu'il est inutile de signaler, car elles sont évidentes si on a lu avec attention tout ce qui précède.
HT. Problème 23. Trouver les angles que fait une droite avec les plans de projection {fig. 405). L'angle d'une droite et d'un plan est l'angle que fait cette droite avec sa projection sur le plan , donc les angles demandés seront ceux que la droite donnée D fait avec D* et D*; il faut donc amener les plans projetant la droite D à se confondre avec l'un des plans de projection , ou à lui être parallèles. Pour cela ou peut prendre directement ces plans -projetants pour nouveaux plans de projection, et l'on trouve ainsi l'angle bal/'=:a que fait la droite D avec le plan horizontal
et l'angle abc^^=^Ç^ , qu'elle fait avec le plan vertical. On peut aussi faire tourner les plans projetant la droite D respectivement autour de leurs traces 6, b^ ou a, a*" pour les rabattre sur le plan horizontal ou sur le plan vertical de projection , et l'on
n Dans un trapèze, les milieux des côtés parallèles, le point de coDcours des diagonales et le milieu des côtés non parallèles sont en ligne droite. La proposition est évidente dans un trapèze isocèle ab'c'd ( /S^. 105 bi$)\ car (désignant par o' le point en lequel se croisent les deux diagonales et par s le point en lequel se coupent les droites qui , passant par les milieux des côtés opposés» sont rectangulaires entre elles) les triangles dsb' et asd sont égaux ; par suite les triangles aso' et o'sh' sont aussi égaux : donc
sd divise Fangle b'sa en deux parties égales, et, par conséquent, so* passe par les milieux de ab' et de ikf. Mais un trapèze quelconque abcd peut être considéré comme la projection orthogonale ou oblique d*un trapèze isocèle, rabattu en ab'c'd; les diagonales ac et bd seront les projections des diagonales ac et 6'd, la droite so sera la projection de s& et les point e eig seront les projections des points é et g\ mais ces derniers sont les milieux des côtés ab' et de', et, dans tout système de projection cylindrique, la projection du point milieu d*une droite est le point milieu de la projection de cette droite: donc les points eeXg sont les milieux des droites ab et cd.
On déduit de là un moyen de diviser une droite, un angle ou un arc de cercle en deux parties égales, et aussi d*élever une perpendiculaire sur le milieu d'une droite.
trouvera de même les angles bab'' = a et afa" = p. Si les traces de la droite D ne sont pas dans les limites da dessin^ on prendra deux jpoints quelconques m et n {fig. 1 06) 9 et Ton trouvera par des i:^hangements de plans de prqjection les angles
wmk:=ia et iwt=g. Onibim^tparles points m etia, «on abaisfiera. des perpendiculaires respectivemettt sur le pton thoriaoakal et sur le tplan vânticaL, 'autour desquelles on fera tourner les plans (D, I/) <et (D, D'') jusqu!à oe qu'ils soient parallèles au plan
vertical ou au plan horizontal , et Ton aura de nouveau les angles mV''&''=a/6t
i 18. Lorsqu'une droite Tait des angles égaux avec les deux plans de projection, ses projections font des angles égaux avec la ligne de terre LT, et ses traces sont également éloignées de LT. En effet (/jr. 105) , 1* les triangles afré* et bad" sont égaux comme ayant rhypoténuse égale et un angle aigu égal; donc a6*=cr6"'et bb''=bb^=aa''=:aa''y donc les triangles aa'^b^ et 6frV sont égaux, et par conséquent
on a : ab^a'' zziba'b^^
Si la droite D rencoflolrait la ligne de terre , la même démonstration subsisterait , et si les proyeclious devaient se trouver du même côté deLT, elles se confondraient (nM7,8'»).
2* Ce cas .particulier est évident , car un point quelconque de la droite D est alors à égale distance des deux plans de projection, d'où l'on déduit l'égalité des triangles analogues aux précédents. Or, on peut toujours se ramener à ce cas; en effet, prenons , par exemple, un nouveau plan vertical parallèle à l'ancien et passant par la trace horizontale tx de la droite D , laquelle Tencoirtrera alors la ligne de terre €(; fera toujours des angles égaux avec les deux plans de projection ,'diwic©* et D*' font le môme angle avec L'T'; mais D^est parallèle à D", et L'T' à LT, donc D*' et D* font le même angle avec LT.
Remarions que E^ cet D^ sonlt parallèles ^ larsque la droite D ne traverse pas
l'angle P.S. Dans le cas contraire^ elles sont dans la position que Ton nomme antiparallèles par rapqpeirt à la Itgue de>terre LT.
