CHAPITRE VI
njE LA tràn^ormation ctlirdriode et CONIQine.
i;niiiif^«ifaCtaK/<''ictteiëroîl« «en urne ^amire Hvétêe, et dtAinpIan m un eMre plan.
4WI. *Si Ton a une droHe f) dans Tespace et an plan H, si par la flroite D on 4Bk passer on plan P coupant le plan H suivant une droite D, on peut dire que la droite ©, est la transformée sur le plan H de la droite D deTespace.
Le plan P que nous faisons passer parla droite D peut être considéré : V comme engendré par une droite G se mouvant parallèlement à elle-même et à une droite 'K située dans ce pîan P et aflors l'on regarde le plan P comme engendré cylindri" quement ; 2* comme engendré par une droite J passant par un point s situé sur ce plan P et se mouvant sur une droite L située aussi dans ce plan P , et alors Ton regarde le plan P comme engendré coniquement. Dans le premier cas la droite D, est la projection cylindrique ou oblique de la droite D ; dans le deuxième cas la droite©, est la projeétion conique on centrale de la droite D;
Dans le premier cas : si l'on mène une droite G parallèle à K et coupant les droites ï) et D, respectivement aux points d et d^ , ces deux points d et d, seront deux points homologues et nous dirons que le point d , est le transformé du point d dans le mode de transformation cylindrique y et les droites G... sont dites droites de transformation cylindrique.
Dans le deuxième cas : si l'on mène par le point s une droite J coupant les droites D et D, respectivement aux points 6 et 6, , ces deux points b et b^ seront deux points liomologues et nous dirons que le point b^ est le transformé du pointa
dans le mode de transformation conique; et les droites J divergentes du point s
sont dites droites de transformation conique.
n est évident que dans le mode de transformation cy li ndrique y le point milieu
d'iiae droite D se transforme en le point- miliea de la transfortnée D;^ etiqaeoebi* n'a pas lien généralement dans le mode de transformation conique^ m* (Tautresy termes , que cela ne pent avoir lien , lorsque Ton emploie le mode, de transibraia** tion conique , que dan» quelques cas très-particuliers;
Si Ton a un plan P dans l'espace et deun droites A et B' situées sur ce plan P et que par A et B on fasse passer des plans A' et B' parallèles à une même droite J arbitrairement située dans l'espace , et que Ton coupe le. système par un plan Q , on pourra dire que le plan Q est transformé du plan P , car les deux droites A, et B. suivant lesquelles seront coupés par le plan Q les plans A' et B', seront lea^ transformées cylindriques des droites A et B , les droites de transformation étant parallèles à J.
Si l'on a un plan P dans l'espace et deux droites A et B situées sur ce plan, et si par ces droites A et B on fait passer des plans A' et B' assujettis à passer l'un etl'autre par un même point s de l'espace, et si Ton coupe le système par un plan quelconque Q, on pourra dire que le plan Q est le transformé du plan P, car les deux droites A, et B, suivant lesquelles seront coupés par le plan Q les plans A' et B' seront les transformées coniques des droites A et B , les droites de transformation divergeant du point s.
Dans le premier cas : on dira que le plan Q est le transformé cylindrique dix plan P.
Dans le deuxième cas : on dira que le plan Q est le transformé conique du plan P ; cela posé :
Traçons dans un plan P deux droites D et Y se coupant un point a>.
Par les divers points m, m', m'\... de D menons des parallèles à une droite J située dans le plan P et coupant la droite Y en les points p, p', p",... puis par les points p,p',p", ... menons des parallèles à une seconde droite J, et prenons sur ces parallèles des points m, , m\ , m", , ... tels que Ton aie :
mp : m'p : m' Y • etc., :: m^ : m/p' : m/y : etc.
lesTpoints m, , m',, m",..- seront sorr une droite D, passant par le point o.
On pourra dire que la droite D, est la transformée cylindrique de la droite D; mais elle ne sera plus sa transformée d'une manière directe, car pour' passer dé la droite D à la droite D, on s'est appuyé sur* la droite Y; c'est pourqttor on doit donner à la droite Y le nom d'axe de transformation cytindriqmg:
Ce qae non» venons de faire dans un pkia^ uQiM.pouTOi&fi 1 effisctucr dliiia^ l'es* pace et de la manière suivante.
Rar une dcoite Y mnons* deux. plans P et P,; oouptoflfi les deiu^plflu»? P etP,
suivant les droites J et J, par un plan quelconque Q; cela fait, traçons dans le plan P une droite D coupant la droite Y au point o , puis menons par les divers points m, m', m", ... de D des parallèles à J, lesquelles couperont Y aux points p, p', p", . . . enfin menons par les points p, p, p", ... des parallèles à J^ et prenons sur ces parallèles des points m,, m/, m'\ etc. , tels que Ton aie :
mp : frip' : miy : etc., :: m,f : m/p' : ml'p" : etc.
les divers points m,, m/, m/', seront sur une droite D, située dans leplan P, et passant par le point o.
Il est évident que si l'on prend sur la droite D deux points x et 1/ , le point q milieu de xy aura pour transformé sur D, le point 7, qui sera le milieu de la droite ar,i/, , les points x, et y. étant les transformés sur la droite D, des points o; et y de la droite D.
Gela posé :
Remarquons que les droites mm^,m'm\jm"m"^y..* seront toutes parallèles entre elles et situées dans le plan X passant par les droites D et D., et de plus on aura :
mm, : m'm,' : m"m" : etc. ::mp: m^p' imy : etc. :: m,p : m/p' : m/p' : etc.
On aura aussi :
mm, : m'm,' : m"mj' : etc. iimoim'o: m"o : etc. :: mft : m,'o : ml'o : etc.
on peut donc regarder les deux droites D et D, (en tant que situées dans le plan X) comme étant l'une D, la transformée cylindrique directe de l'autre droite D.
Si Ton a deux plans P et P, se coupant suivant une droite Y et si l'on trace dans le plan P deux droites D et D' on pourra déterminer , en s'appuyant sur la droite Y comme axe de transformation, deux droites D, et D', qui situées sur le plan P, seront les transformations des droites D et D'. On peut donc dire que le plan P, est le transformé du plan P au moyen de Taxe Y de transformation.
D'après ce qui précède on voit : 1* que si l'on a un prisme S coupé par deux plans P et P, se coupant entre eux suivant une droite Y , on peut dire que la section (P, S) a pour transformée cylindrique la section (P, , S), l'axe de transformation étant la droite Y.
2* Que si l'on a une pyramide S coupée par deux plans P et P, se coupant entre
eux suivant une droite Y , on peut dire que la section (P, S) a pour transformée conique la section (P, , £) , Vaxe de transformation étant la droite Y et le centre de la transformation étant le sommet s de la pyramide donnée 2. Appliquons ce qui vient d'être dit à quelques exemples.
Transformation dans C espace dCtm polygone plan en un autre polygone plan.
192 bis. Si V nous traçons sur un plan H une droite D ^ et si nous prenons sur le plan H deux points a et 6 arbitraires , la droite qui les unit coupant la droite D en un point p (fig. 1 69).
Si 2"* nous dirigeons dans l'espace une droite R venant percer le plan H au point X,
Si S"" nous prenons sur la droite R deux points arbitraires s et s\
is et a
. . ]s et b\
Si 4* nous joignons les points ( , > par quatre droites.
s' et b
Si 5* nous prenons sur la droite R un point arbitraire z.
Si 6* nous joignons les points xet a^ xetb par deux droites venant couper la droite D , la première au point a et la seconde au point p.
Si 7* nous joignons les points s et a , z et |3 par deux droites , savoir :
% a coupant sa en d % (3 coupant sb en b'
o- o« 11 .. i^a' coupant s'a en a".
Si 8* nous menons les droites < , , ^ ,, , .,
( xb coupant sb enb .
Je dis que les trois points a\6\ p, sont en ligne droite , ainsi que les trois points a ,0 ^p.
Je dis aussi que les droites aal'j ^b'\ étant prolongées se coupent en un point y situé sur la droite R.
En effet, la droite abp peut être considérée comme la trace, sur le plan H , d'un plan X coupant la droite R au point s. La droite abp peut encore être considérée comme la trace, sur le plan H, d^un plan X' coupant la droite R au point s'.
Les droites ax^ ^x^ peuvent être considérées comme les traces , sur le plan H , de deux plans A et B passant par la droite R.
Ui< droite D peut ^re considérée comme la trace^ sur le plan H,, dfmi jrian P oQunaQt» la dnoite &. au pointi z*.
Ainsi y la droite a'6'p. est rinterseotioii'deB'deuK plans P et X.-
Par les trois points a', ft',«, on peut fttire passer un plan Z; ce plan Z' coupera le plan A suivant la droite xa'b' et le plan B suivant la droite xb'b"j et le plan X' suivant la droite a'b".
Or : les droites ab', a"b" étant dans le plan Z , et ab' coupant la droite D an point p , la trace sur le plan H du plan Z sera ocp ; donc la droite a"b'* passe par le point p.
Les trois droites (xa\ p6", a"b"pj déterminent un plan Q ayant la droite D pour trace sur le plan H„ et oe plan Q coupera: la droite R en un point y tel qne les droites «a", (Î6" devront passer par ce point y , puisque les droites «a" et (36'' sont les intersections de ce plan Q avec lea plana A^ et B, lesquels passent par la droite R.
On peut supposer que la droite R ne perce paa le plan H , mais lui soit parallèle {fig. 169, e).
Alors le point x est situé à Tinfini.
Alors les droites R , aa^ (36, aa\ b^b'\ sont parallèles entre elles.
Le reste des constructions subsiste sans autre modification.
Nous pouvons étendre ce qui précède à trois points a, 6, c, pris arbitrairemeni sur le plan H {fig. 1 69 , a) •
Ainsi , la droite R perçant le plan H en un point x , on pourra considérer le triangle abc comme la base commune à deux pyramides ayant, Tune son sommet en 8 et l'autre en s'.
Le plan P , dont la trace sur le plan H est là droite D ,. coupera la pyramide («, abc) suivant le triangle a'6V, et la^- dtxî'ite R' au point z.
Si roft considère le point a^comme le^sovDmet d^une* pyramide ayant le -triangle a'6V pour base, cette pyramide {x^a^b'c) coupera la pyramide (sjobc), suivant le triangle «i?6'VV dont la plan Q passerai par la droite D»
* Ainsi Ton peut dire :
Ayant ,.{)ouF deux, pointa a et 6, déterouAé lespoints % et«y, lapyramide {s\ abc) seta.QOupée par le pteniP 0111(29. D):? suivant :1a triangle a 6 V^'..
La< pyramide. («'yAfe:) sera coupée, par le: plan Qou((y,.D), suivant le triangle a 0 c *
Le^ deuxx^ triantes. aW,a/6V,. seront aur une pyras^ide dont le somiBet. sera en x.
Cài9L anra iîeu four «n ffvtygocie d'an nombre vide côtôs , i|ue les côtés soient ikûifr ou infinhoeiit petits*
Ainsi l'on peut dire :
Étairt donnés sur un plan H , tin polygone C eft une droite D ; Btaift dirigée dans Tespace , tme droite H coupant le plan H en un point ^; Faisant passer par la droite D un plan P coupant la pyramide (s, C) , suivant un polygone C.
La pyramide {xjC) coupera la pyramide (sj C) , suivant un polygone C" qui sera plan , et dont le plan passera par la droite D.
Si la droite R est parallèle au plan H , le point x sera situé à Tinfini , et dès lors , les triangles ab'c\a"b''c\ seront sur un prisme dont les arêtes aa!'^b'b"^cc'\ seront parallèles à la droite R {fig. 469, b).
Cela aura lieu pour un polygone d'un nombre arbitraire de côtés finis ou infi* aiment petits.
Dès lors on peut dire :
Si Ton a une droite R parallèle au plan H^ un polygone C et unie droite S tra« ces sur ce plan H;
Si Ton prend deux points arbitraires s et $'j sur la droite R ; si Ton fait pMser par la droite D un plan arbitraire P , ce pla* coopéra la pyramide («, €)^ suivant «a polygone C\
Si Ton regarde G' comme la base d'un prisme £ ayant ses génératrices parallèles k la droite R , ce prisme S coupera la pyramide {s'j C) , stflvant on polygone C" qui sera plan et dont le plan passera par la droite D.
De ce qui précède, on peut déduire certaines propriétés de transvefrmles ; ainsi :
Si Ton suppose un plan V perpendiculaire au plan H et à la droite D , ce plan y coupera la droite D en un point d, le plan H suivant une droite K {fig. 169 , c).
Les sommets du polygone tracé sur le plan H se projetteront sur la droite K en ^
les points a^b^c La droite R se projettera suivant R, les sommets des deux
pyramides se projetant en s et /, et le point x en lequel R perce le plan H, se projettera sur K en x.
Le plan P sera coupé par le plan V suivant la droite rfP.
Les sommets a', b\ c' du polygone se projetteront en les points a', 6', c', situés
sur la droite P et sur les droites sa, sb^ se
n est alors évident que :
1' Si Ton mène les droites xd^xh^océ , elles couperont les droites sa^sbj
s'c , en des points a", 6",c', qui seront en ligne droite, et la droite Q qui les
contient passera par le point d.
2* Si la droite R était parallèle à la droite K (fig. 1 66 , d) , les droites a a", 6'6",
c'c" , seraient parallèles entre elles et à la droite R, et les points a, b\ c\ étant
sur une ligne droite dP, les points â\y\c , seront aussi sur une ligne
droite dQ.
Nous pouvons considérer toutes les lignes droites tracées dans les figures (169; 169, a; 169, 6), comme étant les projections sur le plan H de toutes les figures considérées dans l'espace; on serait, par ce qui précède, facilement conduit aux propriétés si remarquables et appartenant à trois polygones ou à trois courbes (*) situées sur un plan H, dont chacun des sommets ou des points sont liés entre eux et aux droites R etD, ainsi que le sont [^g. 169, a et 169, b) les trois points a, a', d\
On pourrait supposer que la droite D fût située à l'infini , alors les plans P et Q deviendraient parallèles entre eux et au plan H.
La figure (169, /) fait voir en effet : (la droite R perçant le plan H en x) que le plan P ou (aVz), et que le plan Q ou {a"b"y) seront parallèles au plan H ou (abx).
La figure ( 1 69 , gf ) fait voir en effet • ( la droite R étant parallèle au plan H ) que les plans P et Q sont parallèles au plan H , et de plus se confondent en un seul et unique plan.
3** Dès lors {fig. 169, 'A), si sur les droites «a, sb, «c, on prend les points a%b\c'j situés sur une droite P parallèle à la droite K; si l'on mène xa\xb\ xcy les points a", b'\ c ', intersections i*especlives de ces droites concourant au point x avec celles «a, s'bf s'c^ concourant au point s\ seront sur une droite Q parallèle à K.
4* Et (Jig. 169, /c) les droites R et K étant parallèles, on doit avoir les points a , b\ c', et a", b"^ c'y situés sur une seule droite P ou Q parallèle à K.
(*) £d considérant une courbe comme élant un polygone d*un nombre infini de côtés, chaque côté étant infiniment petit.
FIN DB Là première PARTIE.
COURS
DE
PARIS. — IMFRIMi PAR B. THUIIOT ET C*, RCB RAGIHB , PRÈS DB L^ODÉON»
COURS
Dl
