D'après ce qui précède, on peut énoncer ce qui suit

in. 5î l'on prend un point z hors de Vhyperboloide à deux nappes et de révolution S, et qu^on le regarde comme le sommet d'un cône K tangent à la surface 2, la courbe de contact y sera une courbe plane , et dès lors une section conique.

1*^ Si le point z est dans V intérieur du cône asymptote A , la courbe de contact y sera tme ellipse;

2* Si le point z est sur le cône asymptote , la courbe y sera une parabole ; 3* Si le point z est hors du cône asymptote , la courbe y sera une hyperbole.

IV. Si l'on fait mouvoir un plan 0 tangentiellement à une surface hyperboloide à deux nappes et de révolution £ , et parallèlement à une droite B , la courbe de contact sera une hyperbole diamétrale , et le problème ne sera possible qu^ autant qu'en menant par le centre o de la surface 1^ ouïe sommet o du cône asytnptote A, une droite B' parai* lèle à B, cette droite B' sera située dans l'intérieur du cône'^.

V. Une suite de plans parallèles coupent C hyperboloide à deux nappes et de révolu-^ tian suivant des sections coniques semblables et semblablement placées.

En vertu de ce qui a été démontré touchant deux sections coniques, concentriques et semblables, et semblablement placées, on peut énoncer ce qui suit :

VI. Si l'on a deux hyperboldides à deux nappes et de révolution 1 et l' ayant même axe de rotation Z et concentriques et semblables; si Con mène un plan T tangent en un point m à la surface intérieure 1 , ce plan T coupera la surface extérieure 1' suivant une section conique y dont le point m sera le centre.

Si l'on fait rouler sur la courbe y un plan tangent à la surface 2', ce plan engendrera, un cône K dont le sommet z sera sur une troisième surface 2" qui sera un hyperboloïde à deux nappes et de révolution concentrique et semblable aux deux premiers 1 et 1\

Si Con a deux hyperboldides à deux nappes et de révolution 2" et 2' concentriques et semblables , et si l'on considère chaque point z de la surface 2" comme le sommet d^un cône K tangent à la surface intérieure S' suivant une section conique y, la surface enveloppe de tous les plans des courbes y sera un troisième hyperboloide à deux nappes et de révolution 2 , concentrique et semblable aux deux premiers 2' et 2".

On peut appliquer à l'hyperboloïde à deux nappes et de révolution, et cela mol à mot, la démonstration qui a été donnée pour la sphère au sujet des polaires réciproques; il suffit de changer le mot cercle en le mot section conique.

On peut donc énoncer ce qui suit :

VII. Si par une droite D extérieure à un hyperboloide à deux nappes et de révolution S, on mène deux plans T et V tangents aux points m et m', la droite D' qui unit les points de contact m et m' est la polaire réciprrjque de la droite D.

Les points m et m' seront sur un,' même nappe de la surface 1, si la droite D coupe le cône asymptote A; ces points m et m' seront, l'un sur une des nappes et Contre sur ta seconde nappe de la surface S, si la droite D ne rencontre pas le cône A.

578. Toutes les propriétés que nous avons reconnues exister pour l'ellipsoïde de révolution et le paraboldide de révolution, subsistent pour V hyperboloide à deux

na^peê et de révolution; et tout ce qui a été établi rigoareusement ci-dessu&, permettra de les démontrer (ces propriétés) ou de les déduire comme eanÊé* quences ; et il ne sera pas difficile de reconnaître les modifications que doit faire apporter dans le» énoncés la forme particulière de Thyperboloïde à deux naj^s.

Transformation de rhyperboloide à deux nappes et de révolution en tm hyperboMde

à deux nappes et à trois axes inégaux.

579. Concevons un hyperboloïde à deux nappes et de révolution S dont Taxe de rotation Z soit vertical.

Prenons pour plan vertical de projection, un plan passant par Taxe Z et pour plan horizontal de projection , un plan perpendiculaire à cet axe Z.

Le plan vertical coupera la surface! {fig. 296) suivant une hyperbole méridienne H y et le cône asymptote A suivant deux génératrices droites G et G'. Le plan horizontal coupera la surface 2 suivant un cercle C et le cône A suivant un cercle C ; ces deux cercles C et C seront concentriques et auront le point Z* pour centre commun.

Cela posé :

Traçons dans le plan horizontal une ellipse E concentrique au carde C et ayant le diamètre aa' de ee eercle C pour Tun de ses axes.

L'ellipse E sera la transformée cylindrique du cercle C, de sorte qae pour

même abscisse qm!" , les ordonnées mnf et m, m'' seront dans un rapport constant.

Si par Taxe Z on fait passer un plan X, ce plan coupera la surfece de révoliH tion 1 suivant une hyperbole méridienne H^ qui «se projettera >8ur le^plan vettîml de projection en une hyperbole H'".

On transformera cylindriquement le plan X en un plan X, passant par Taxe Z, etrhyperboleH' en une «hyperbole H/ située dans le plan'X^; et eette courbe H/ sera dès lors la section faite par le plan X, dans le cylindre $ ayant H'* pour section droite.

En menant par Taxe Z une suite de plans X , X', X^, etc., ils couperont la surface de révolution S suivant des hyperboles .B[,H^, H% etc., et. ces plans se transformeront cylindriquement en des plans diamétraux (passant tous. par Taxe. Z) X,, X/, X/', etc., sur lesquels seront les hyperboles H,,iH,f, H/f, etc., transf^r^ mées cylindriques des diverses courbes méridienaes H, E', H^', etc., de la wrface 2.

Toutes ces hyperboles H^,H/, H/', etc., détermineront une surface 2, composée de deux nappes séparées entre elles comme pour la surAice 2. Et il est dèB

lors évident que tout plan passant par l'axe Z coupera la surface ^; suivant une hyperbole, et que tout plan perpendiculaire à l'axe Z coupera cette surface 2, suivant une ellipse.

Et il est encore évident, en vertu du mode de transformation cylindrique employé, que les sections faites dans la surface 2, par des plans perpendiculaires à Taxe Z seront des ellipses semblables et semblablement placées. Cette surface 2, a reçu le nom d* hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux.

Il est, en outre, évident que toutes les propriétés que nous avons reconnues exister pour l'hyperboloïde à deux nappes et de révolution 2, passeront au moyen du mode de transformation cylindrique sur l'hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux l^. Ainsi, V hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux jouit des mêmes propriétés que Vellipsoïde à trois axes inégaux et que le parabotoîde elliptique , sauf les modifications que la forme de chacune des surfaces peut et doit y apporter, modifications qu'il est facile de reconnaître.

Ainsi, en se servant du même mode de démonstration que celui employé pour la sphère , nous démontrerons avec facilité que :

I "^ Si un cône coupe un hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux suivant une section conique , il recoupe cette surface suivant une seconde section conique;

2^ Deux sections planes d'un hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux , peuvent toujours être enveloppées par deux cônes , si les sections planes ne se coupent pas ou se coupent en deux points j et par un seul cône si les deux sections planes ont un point de contact ; et cette propriété subsiste , les deux sections planes étant situées en même temps sur une sexde des deux nappes de Chyperbokfidej ou Pune des sections planes étant sur Vune des deux nappes^ C autre section plane étant sur C autre nappe de VhgperboUade.

Des trois axes de l'hyperboloïde à deux nappes et non de révolution.

580. Nous avons dit ci-dessus que la surface S^ avait été nommée, â trois axes inégaux; cherchons ces axes.

II est évident que si Ton emploie le même mode de transformation cylindrique , qui nous a servi à transformer l'hyperboloïde de révolution en un hyperboloïde non de révolution , on transformera le cône de révolution A asymptote à Thyperboloïde de révolution 2 en un cône oblique (non de révolution) A, qui sera asymptote à l'hyperboloïde 2,.

Les deux surfaces A, et 2. seront telles que si on les coupe par un plan Q perpendiculaire à Vaxe Z, l'on obtiendra deux ellipses concentriques et semblables

et semblablement placées , et dont le centre sera au point q en leqael le plan Q coupe Taxe Z.

Or, lorsque nous avons (n"" 374 ter) cherché les axes d'un cône oblique, nous avons déterminé , par ces axes combinés deux à deux , trois plans qui étaient rectangulaires entre eux, et qui étaient de plus des plans conjugués^ chacun d'eux coupant , rectangulairement et en parties égales , les cordes parallèles à Vaxe par lequel il ne passait pas.

Dès lors, on voit que Thyperboloïde l^ aura pour systèmes de plans diamétraux conjugués tous ceux de son cône asymptote A,.

Dès lors, aussi, on voit que Thyperboloïde 2, n'aura qu'un système de plans diamétraux conjugués rectangulaires entre eux et qui sera précisément celui de son cône asymptote A..

On peut donc énoncer ce qui suit :

i* Un hyperbobide à deux nappes et non de révolution a une infinité de systèmes de plans diamétraux conjugués et un seul système de plans diamétraux principaux ou rec" Umgukùres entre eux ;

2" Ayant déterminé le cône asymptote (Cun hyperbolcUde à deux nappes, on détermi" nera les trois axes rectangulaires entre eux de ce cône, et l'on aura la direction des trois axes rectangulaires entre eux de C hyperbolcUde à deux nappes.

Déterminons maintenant la longueur des axes de l'hyperboloïde à deux nappes et non de révolution.

L'axe Z coupe la surface hyperboloïde S. en les deux points d et cf {fig. 297).

Un plan perpendiculaire à l'axe Z coupe la surface 2, suivant une ellipse E, et le cône asymptote A. suivant une ellipse E., et ces deux courbes E et E. sont concentriques et semblables et semblablement placées.

Si par le point d on mène un plan 0 perpendiculaire à l'axe Z, il sera tangent en cf à la surface £, (en vertu du mode de transformations cylindriques qui nous a fait passer de l'hyperboloïde de révolution 2 à la surface non de révolution 2.) et coupera le cône A, suivant une ellipse E' semblable et semblablement placée, par rapport à l'ellipse E,.

Cela posé ;

Si par l'axe Z on fait passer un plan quelconque, il coupera la surface S, suivant une hyperbole, et le cône A, suivant deux génératrices droites qui (en vertu du mode de transformation employé pour passer des surfaces de révolution 2 et A aux surfaces non de révolution £, et AJ seront les asymptotes de cette hyperbole de section.

Or, on sait, que si au sommet d d'une hyperbole on mène une tangente 0 à cette courbe et coupant une des asymptotes en un point n, en désignant par o

T PÀiTDi. 40

le ceirtrd de la coui4)ey les droites od et dn donnent les longnevre des demi-axai èè l'hyperbole.

Dès lors, si par Taxe Z on mène un plan X coupant Thyperfooloîde Z, suivant nne hyperbole H et la courbe E' en un point a', les demi-axes de la courbe H serooi ^aux à od et daf.

Et si Ton conçoit un cylindre ayant FeUipse E' pour section droite et ayant dès lors ses géuératrices droites parallèles à Taxe Z, ce cylindre sera coupé par un plan P passant par le centre o de la surface 2, (ou le sommet o du cône asymptote A,) et mené perpendiculairement à Taxe Z, .suivant une ellipse d identique à l'ellipse W; le plan X coupera l'ellipse i en un point p, et dès lors les demi-axes de Thyperbole H seront op et orf, le point o étant le centre de cette courbe H.

On voit donc que toutes les hyperboles H, situées dans les divers plans X, qui passent par l'axe Z, ont un même centre o et un demi-axe commun et transverse oJj et que le second axe qui est non transverse varie comme les diamètres de l'ellipse J.

Si l'on conçoit les axes A et B de l'ellipse 3, les trois plans (A, Z), (1J, Z)et (A, B) seront les plans diamétraux principaux de Ta surface Z., et ce sotft les axes de Tellipse d et la droite dd^ située sur Z, qui sont dits les axes de Iliyperboloïde 2; ; et les points d et d' en sont dits les sommets.

Bes seciions oircukdreê de rhyperMoUe à dêum mifpes eê à ircù axes inégaux.

881. L'hyperboloïde non de révolution et à deux nappes 2, est toujorns ccnipé par un plan quelconque P^uivant une section conique E qui est concentrique^ et semblable et semblablement placé à la section conique E, obtenue dans son cÔne asymptote A, par le même plan P.

Or nous savons qu'un cône oblique A^ peut être coupé par un plan et son deux directions contraires, suivant des cercles; dès lors, il est évident que les plans qui donneront des sections circulaires dans le cône asymptote A,, donneroirt aussi des sections circulaires dans Thyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux 2,.

Ainsi, il est démontré que : Niyperbotaïde à deux nappes et à trois axes inégaux jouit de la propriété d'avoir des sections circulaires et qvlon peut tes déterminer JacHe^ ment au moyen de son cône asymptote.

De plus , il est démontré que : les plans des sections circulaires de Thyperèe^ lotde à deux nappes et à trois axes inégaux sont parallèles à taxe moyen de cette surface.

Des divers modes de génération dont est susceptible Chyperbolmde à detix nappes

et à trois axes inégaux.

582. Ce qui a été dit au sujet des polaires réciproques^ nous permet de voir sor* le-cbamp que Ton pourra engendrer chaque nappe de Thyperboloïde à deux nappes oomme nous avons engendré le paraboloïde elliptique, et qu'il suffira de remplacer les paraboles considérées soit conaine des génératrices j ou soit comme des directrices dans le paraboloïde elliptique, par des hyperbolesy pour obtenir iliyperboloïde à deux nappes.

Ainsi, on aura deux modes principaux de génération cm de constructionj savoir : 1* par des ellipses génératrices se mouvant sur une hyperbole directrice; 2° par des hyperboles génératrices se mouvant sur une ellipse directrice^

Dans le premier cas^ chaque ellipse coupera en deux points la même branche de l'hyperbole.

Dans le deuxième cas, chaque hyperbole coupera Tellipse en deux points et par une seule de ses branches.

OBS HTPEBBOLOÏJ>BS ▲ UNE NAPPE.

583. Nous avons vu, dans le chapitre onzième, que si Ton faisait mouvoir «ne droite sur trois droites, on engendrait une surface 1 qui, l"" était doublement lél^lée; 2° avait un centre o; S"" ce centre o était le sommet d'un cône A intérieur à la surface 2 et ayant pour directrice ou b(/se une section conique , et qu'il était tel que chacune de ses génératrices droites G était parallèle à deux génératrices droites et é» systèmes différents K et L de la surface 2, la première génératrice K appartenant au premier systètne de génération en lignes droites, la seconde génératrice L appartenant au second système de génération en lignes droites de la surface 2; 4*" le plan T tangent au cône A suivant la génératrice G coupait la surGace 2 suivant les droites K et L et était un plan asymptote de cette surface £ ; S'' tout plan P coupait )a surface 2 et le cône A suivant des sections coniques, concentriques et semblables et semblablement placées.

La surface S a reçu le nom d'hyperboloïde à une nappe et à trois axes inégaux.

Cela posé :

Le cône A étant un cône oblique non de révolution , nous pourrons toujours déterminer ses axes X, Y, Z (n""* 374 bis et suivants),, et en menant un plan P per- {Modiculaire à l'axe Z, miua aurons pour section dans le cône A une ellipse Ë, et [pnr sectioB dans la surface 2. une ellipse £', et les courbes £ et £' seront sem*

blables et semblablement placées, et auront pour centre commun le point p en lequel Taxe Z est coupé par leur plan P.

Si Ton mène par Taxe Z un plan Q, ce plan coupera le cône A suivant deux

génératrices droites G et G' (et les angles Z,G, et Z,G' seront égaux, puisque la droite Z est un des axes du cône A), et si nous menons deux plans tangents T et T' au cône A, le premier par la droite G et le second par la droite G', le plan T coupera Thyperboloïde 1 suivant deux génératrices droites K et L, et le plan T' coupera aussi l'hyperboloïde £ suivant deux génératrices droites K'etL'. Les droites K et U, K' et L se couperont respectivement en les points /' et /, comme étant des génératrices de systèmes différents.

La droite //' passera par le centre o de la surface 1 ou le sommet o du cône asymptole A; le plan 0^ passant par E et L' et tangent au point / à la surface S, et le plan 0' passant par K' et L et tangent au point /' à la surface 2, seront parallèles entre eux et au plan Q.

Si Ton mène par le centre o de la surface £, ou sommet o du cône A, un plan R perpendiculaire à Taxe Z, ce plan R, qui ne sera autre que le plan diamétral principal (X, Y) du cône A, sera perpendiculaire aux trois plans 0, 0' et Q, et coupera la surface 1 suivant une ellipse i qui aura le point o pour centre; et puisque le plan 0 est perpendiculaire au plan R, les droites K et V seront projetées orthogonalement par le plan 0 sur ce plan R suivant une seule et même tangente 0 à la courbe d ; par la même raison, les droites K^ et L se projetteront orthogonale* ment sur le plan R suivant une droite 6' (intersection des plans 0^ et R) qui sera tangente à la courbe d; et comme évidemment la surface 2 est symétrique par rapport aux trois plans diamétraux principaux (X, Z), (Y, Z), (X, Y) de son cône asymptote A, et que ces plans sont en même temps les plans diamétraux conjugués et principaux de la surface 2, il s'ensuit que les points / et l' sont nécessairement sur Tellipse d et ne sont autres que les points de contact des droites 9 et B' a^ec cette ellipse d. Mais la chose est évidente en remarquant que les deux plans T et T' se coupent nécessairement suivant une droite I perpendiculaire à Taxe Z (puisque les génératrices G et G' sont dans un plan Q passant par Taxe Z du cône A), et cette droite I ne sera autre que U\

Cela posé :

Si l'on coupe la surface 2 par une suite de plans perpendiculaires à l'axe Z, on aura une suite d'ellipses semblables et semblablement placées d, y, d", etc., dont les centres seront sur l'axe Z; on peut dès lors considérer la surface S comme engen* drée par la droite K se mouvant en s'appuyant sur trois de ces ellipses; or, comme nous avons vu ci-dessus que la droite K était projetée orthogonalement sur le plan

R (qui doDoe d pour section) suivant une droite 6 tangente à cette courbe d au point /, on voit que tous les points de la droite E autres que le point / décriront des ellipses plus grandes que i.

C'est ce qui a fait donner à la courbe d, le nom d'ellipse de gorge de Thyperboloïde à une nappe.

Construction des trois axes de t hyperboloide à une nappe et non de révolution.

584. Menons par Taxe Z un plan P, ce plan coupera Thyperboloïde à une nappe 2 suivant une courbe a composée de deux branches infinies et le cône asymptote A suivant deux génératrices droites G et 6\

Démontrons que la courbe a est une hyperbole.

Par un point x de la courbe a nous pourrons mener une suite de plan X, X\ X'^ , etc. y coupant respectivement le cône A et la surface 2 suivant des ellipses S , 6' , &^ , etc. , et 6, , 6/, 6/', etc. , les courbes 6 et 6, , 6' et 6/, etc. , seront concentriques et semblables et semblablement placées ; le plan P coupera les plans X , X', X^% etc. , suivant des droites L, L% U j etc. , et ces droites couperont les courbes Sf 6^ etc. , et 6, , 6/, etc. , chacune en deux points, ainsi :

La droite L coupera 6 aux points a et 6 et 6, aux points x et b^

— L' — 6' — a! et 6' et 6/ — a: et b/ L" — 6" — a" et b" et 6/' — a: et 6/'

— etc.

Les points a et 6 , a^ et 6' , a^' et b" , etc. , seront situés respectivement sur les droites G et G'; rappelons -nous qu'il a été démontré (n*" 326 , 11""; que si Ton avait deux droites G et G' situées dans un plan P, et si l'on prenait sur ce plan P un point x, et si par ce point x on menait une suite de droites L, L^L^', etc. , coupant respectivement les droites G et G' aux points a et 6 , a' et 6', a" et b^\ etc. ; puis si l'on portait sur L, A6,=ax; sur L', A'6/=a'x; etc., les points 4,, 4/, b" , etc. , déterminaient une hyperbole passant par le point x et ayant les droites G et G' pour asymptotes.

Or, les courbes 6 et 6,, 6' et g/, etc. , étant des sections coniques concentriques et semblables , il s'ensuit que les parties interceptées par elles sur les droites L , L% Uy etc. , sont égales, on a donc :bb^=axt bb/=^a!xy etc. , donc, etc.

Cela posé :

Démontrons que ayant mené par le centre o de la surface hyperboloide 1 , ou le sommet o du cône asymptote A , un plan P perpendiculaire à Taxe Z, lequel plan coupe la surface 1 suivant une ellipse i (qui est l'ellipse de gorge) , si l'on conçoit un cylindre B ayant pour section droite cette ellipse d et ayant dès lors ses généra-

trices droites parallèles à Taxe Z^ démontroDs, dis-je, que ce cylindre B coupera Time et Taulre des nappes du côoe A , savoir : la première aappe suivaat uae dlips» if identique à d, et la seconde nappe suivant une ellipse i" aussi idenlique à i.

Et en effet : deux ellipses semblables et semblablemefii placées sont identiques si leurs dianïèlres parallèles sont égaux.

Or, remarquant que les deux courbes planes ôet J' ont chacune leur centre sur Taxe Z, si nous menons par l'axe Z un plan Y, lequel coupera d en un point de\.V en un point d' , la droite rfrf' sera parallèle à Taxe Z , puisque dd' sera une génératrice droite du cylindre B ; on aura donc en désignant par o et oMes ceatres des coarbes 3 et d' , od = od' ; donc , etc.

Cela posé : le plan Y passant par Taxe Z coupera la surface hyperboioïde 2 soî-^ vaut une hyperbole a et le cône asymptote A suivant deux génératrices droites 6 et G' asymptotes de la courbe a.

Le point d sera le sommet de Thyperbole a et dd' sera égal au demi-axe aon transverse de cette hyperbole a et son axe transverse sera précisément ovi=^dd'.

Dès lors , il est évident que les divers plans Y , Y', Y" , etc. , passaot par Taxe Z couperont la surface hyperboioïde 2 , suivant des hyperboles *,«,«'% elc. , ayant même axe non transverse oo' et dont les demi-axes transverses od, etc. , seront les divers demi-diamètres de Tellipse de goi^ d.

On peut donc concevoir la surface hyperboioïde à une nappe 2 comme engendrée par une hyperbole a tournant autour de son axe non transverse, son sommet parcourant une ellipse d, et cette courbe a variant de forme à chaque instant de son mouvement, de manière à ce que son axe transverse varie comme les diamètres de Tellipse d , son axe non transverse restant constant.

Cela posé :

Le cylindre B coupera évidemment le cône Ùl suivant deux ellipses if ei if identiques et parallèles à d , les plans Q' de la courbe if et Q^' de la conrbe d^ couperont Taxe Z , le premier au point (/ et le second au point o'^ et Ton aura : oo' =- oo''.

On donne le nom d'axes de Thyperboloïde à une nappe 2, aux deux axes de Tellipse de gorge i (qui sont les axes transverses de la surface 2), et à ofo" (qui est Taxe non transverse de la surface 2).

Et si Ton désigne par X et Y la direction des axes^ de l'ellipse de gorge iy lea plans (X, Y), (Y, Z), (X, Z) seront les plans diamétraux conjugués et principaux de l'hyperboloîde 2 et de son cône asymptote A.

Des diverses variétés des hyperboldides à une nappe et de révolution.

€85. L'ellipse de ftfr^e dpeat être un cercle, alors la surface 2 et son oèiie asymptote À sont des surfaces de révolatioii ayant Taxe Z pour axe commun de rotation.

I"* L'hyperboloïde à une nappe et de révolutiOQ est dit aplati , lorsque le 4emiaiigle an sonimet du cène asymptote est plus grand qu'un angle demi -droit;

2^ Uhyperboloïde à use nappe et de révolution est dit allongé , lorsque le demiangle au sommet du cône asymptote est plus petit qu'un angle demi-droit ;

S"" L'hyperboloïde à une nappe et de révolution est dii équilatéral y lorsque ie demi-angle au sommet du cône asynrptote est égal à un angle demi-droit.

Toutes les propriétés que nous avons reconnues exister pour l'hyperboloïde à deux nappes et de révolution, subsistent pour Thyperboloïde à une nappe et4ke révolution ; on les démontrera facilement par les mêmes considérations géométriqu&ê.

Seulement, on doit remarquer que certaines propriétés n'existeront qu'avec des modifications qui dépendront évidemment de la forme de la surface , et dès lors parce qu'elle n'a qu*cme naf^pe au lieu de deux , et qu'elle enveloppe son cône asymptote au lieu d'en être enveloppée ; ainsi :

L Si un point z pris dans l'espace est regardé conmie le sommet d'un oàne A tangent k l'hyperboloïde £, surCace à une nappe et de révolution^ la o<Mirbe de contact d sera toujours plane, et dès lors cette «^urbe sera tme section conique; mais :

V Si le point z est extérieur à la «orface X 4a courbe d sera tme InfpeiMe ImtPnée dans le même sens que l'hyperbole méridienne de la surfeoe 2 ;

^ Si le point z est intérieur à la surface S, mais situé entre >oeMe surface 2 et son cône asymptote A, la courbe 9 sera une hyperbole taornée an sens iuverse de l'hyperbole méridienne de la snrfece 2;

S"" Si le point z est sur la surface conkfue et asymptcrte  , la i)ourlie i «era ^ne parabole ;

4* Si le point % est dans Tinténeor dn oène asymptote A , la coarbe d «era tine ^eltrpse.

H. Si Ton mèae le plan T langent en un point «#aa kyperbolevde A «newrppe •t de révolution 1 , ce plan T coupe cette surface 2 suvant decix génératrices droites K et L de systèmes différents.

Si entre le centre o de la surface 2 et le jp\«m T, on mène un ^plao T^ parallèle à T, il coupe la surface 2 suivant une hyperbole ec\ dont les asymptotes K' et L' sont parallèles à K et L , et les branches de la courbe a! sont tournées dans le même sens que l'hyperbole méridienne.

Si an delà du plan T par rapport au centre o de la surface S , on mène un plan T^ parallèle au plan T , ce plan T^' coupera la surface 2 suivant une hyperbole a dont les asymptotes K'' et U seront parallèles à K et L , mais les branches de cette courbe <x!^ seront tournées en sens opposé par rapport à l'hyperbole méridienne de la surface 2.

Il s'ensuit donc , que les sections parallèles de Thyperboloïde à une nappe ne sont pas toujours des courbes semblables et semblablement placées ; cela n'a lieu que pour les sections elliptiques j mais pour les sections hyperboliques , la chose n'a lieu que pour des plans parallèles situés d'un même côté par rapport au plan tangent qui leur est parallèle , et pour les sections paraboliques , cela n'a lieu que pour des plans coupant une seule des deux nappes du cône asymptote A.

586. Dès lors 9 par deux sections coniques d'une surface hyperboloïde à une nappe , on ne pourra pas toujours faire passer un cône ; le problème ne sera possible que dans les cas suivants :

On pourra faire passer deux cônes :

4 "" Par deux ellipses qui se coupent ou ne se coupent pas ;

2* Par une ellipse et une parabole qui se coupent ou ne se coupent pas ;

3"* Par une ellipse et une hyperbole , si l'ellipse ne coupe pas l'hyperbole ou coupe une de ses branches en deux points ;

4* Par une parabole ou une hyperbole , si la parabole ne coupe pas l'hyperbole ou coupe une de ses branches en deux points ;

6"" Par deux hyperboles tournées dans le même sens , et dont deux branches se coupent en deux points ou ne se coupent pas.

On pourra faire passer un seul cône :

1"^ Par deux ellipses tangentes l'une à l'autre;

âr Par deux paraboles tangentes l'une à l'autre ;

3* Par une ellipse et une parabole tangentes par un point ;

4* Par une ellipse et une hyperbole tangentes par un point ;

S* Par une parabole et une hyperbole tangentes en un point ;

6"" Par deux hyperboles tournées dans le même sens et tangentes par un point ;

7* Par deux paraboles tournées dans le même sens ou en sens opposé; dans le premier cas, les deux paraboles seront situées sur la même nappe du cône; dans le deuxième cas , elles seront situées , l'une sur la nappe inférieure et Tautre sur la nappe supérieure du cône.

Mais , on ne pourra pas faire passer un cône par deux hyperboles tournées en sens opposés.

Des polaires réciproques de F hyperbolaide à une nappe et de révolution.

587. Si Ton a une droite D et on hyperboloïde à une nappe et de révolution 2, si Ton mène par la droite D deux plans P et F coupant la surrace 1 suivant deux sections coniques C et G', on pourra toujours envelopper ces deux courbes par deux cônes dont les sommets a; et j/ détermineront une droite D,. Les droites D etD, sont dites po/nîre^ réciproques^ parce qa^elles jouissent de cette propriété, savoir : si jMir la droite D on mène nne série de plans P, P', P", P*',.,.. coupant Thyperboloïde à une nappe 2 suivant les sections coniques G, G', G^', G"V*-* les sommets des cônes tangents à la surface 1 suivant chacune de ces courbes et les sommets des cônes enveloppant deux à deux ces courbes , sont tous distribués sur la droite D^ et réciproquement^ si par la droite D, on fait passer une série de plans P^, P/, P/', P/'',..-. coupant rhyperboloïde S suivant les courbes G,, G/, G/', G/V-les sommets des cônes tangents à la surface 2 suivant chacune de ces courbes, et les sommets des cônes enveloppant deux à deux ces courbes sont tous distribués sur la droite D«

Et en effet, nous avons démontré, chapitre sixième, que si Ton avait trois sections coniques G, G', G^, dont les plans se coupaient suivant une même droite D, et si les courbes G et G', G et G^', étaient sur des cônes A' et A'^, les sommets xf et x'^ de ces cônes déterminaient une droite D, sur laquelle se trouvait le sommet x du cône enveloppant les courbes G' et G'^

Si donc on a quatre courbes G, G', G", G'", situées sur rhyperboloïde 2, et dont les plans passent par la même droite D, comme ces courbes sont nécessairement enveloppées deux à deux par un cône, il s'ensuit que Ton aura :

Le cône A enveloppant G et G' et ayant pour sommet un point x A' — Cet C' — — af

A'^ — G et G'" — — af

A, — G' et G" — — ^ X,

A/ — G'etG'^ — — x/

A/' — G" et G'" — — x,"

Et si Ton prend un point y sur la droite D et qu'on le regarde comme le sommet d'un cône B tangent à la surface 2, le plan Q de la courbe de contact coupera les quatre courbes, G, G', G", G'^, savoir :

La courbe G en les points a et 6 C — a! et 6'

e — a" et b'

C'^ ««et *"'

s** PAlITiB. 47

Et ses points pourront être unis deux à deax par des draites qui seront toutes situées dans le plan Q.

Or il est évident :

que le plan {y^ aa') sera tangent au cône A survadt la géDérotrioe aal

— [y, aa") — à' — mi'

— etc* — ete. — étc»

Ainsi tous les sommets x, a/, x"j... des cônes A, A', A%.*. seront sur le |daii Q;

en prenant sur la droite D qu autre point g\ on trouverait que tous les êcfmta^ Xf x% x^\... soDt sur le plan Q\ plan de la courbe de contact d^iin cône B^ tangeat à la surface 2 et ayant le point y' pour sommet, et dès kyrs tous les «omnaets x^ a/j x"y... sont sur la droite D^ intersection des plans Q et Q'.

Le théorème relatif aux polaires réciproques étant démontré en général, voyons quelle modification il subit suivant la position particulière que la droite D ocoupe dans Tespace , par rapport à la sur&ce hyperboloïde À une nappe et de révotation 1.

1*" Si la droite D perce Thyperboloïde 1 en deux points p et p'^ on «nra detK génératrices droites de systèmes différenls G et K (appartenant à la snrfaoe 2) qui passeront par le point p^ et nous aurons de môme deux génératrices droàles G' 6t K^ passant par le point p'.

Les droites G et K' se couperont en un point p^.

Les droites G' et K se couperont en un point p/.

£t la droite D^, qui unira les points |i, et p\\ sera la polaire réciproque de D.

2"" Si la droite D ne perce Thyperboloïde Iqu'encin point m, on aura deux gêné-, ratrices G et K se croisant en ce point*

Puisque la droite G ne perce l'hyperboloïde qu'en un point, elle est parallèle à une génératrice droite du cône asymptote, elle est donc parallèle à un plan R, asymptote de l'hyperboloïde 2; ce plan R coupera la surface 2 suivant deux génératrices droites G' et K' parallèles entre elles et à la droite D.

Les droites G' et K se couperont en un point n;

Les droites G et K' se couperont en un point «' ;

Et la droite nn' ou D, sera la polaire réciproque de D.

Or il est évident que la droite D, sera située dans le plan asymptote R.

3* Si la droite!) ne perce pas'la sufface 2, sa polaire réciproque D, ne rencontrera pas la surface 2.

4' Si la droite D touche la surface 2 en un point m, sa polaire réciproque!), touche la surface 2 au même point m.

Dans ce cas les deux polaires réciproques D et D, sont dans un même plan T, tangent au point m à l'hyperboloïde à une nappe.

iUiiii^^ avadt donaé à ces deax droite» le aom de kmgenles conjuguée».

588. On pourra toujours, ea employant la trwÊsfiannaikm cgUndrùfne^ tvaosform^r «a hyberboloîde à une nappe et de révolution en un hyperboloïde à une nappe et à trois axes inégaux, et cela de la même manière que nous avons transformé Thyper* boloïde à deux nappes et de révolution en un hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux (et à ce sujet il suffît de comparer entire elles les fig. 396 et 298 ; la première est relative à la transform^ion de Fhyperboloîde à deux nappes et de révolutioa en un hyperboloïde à deux nappes et à trois axes inégaux, et la secondei est relative à la transformation de T hyperboloïde à une nappe et de révolution ea msk hyperboloïde à une nappe et à trois axes inégaux).

Toutes les propriétés qui existent pour Thyperboloïde de révolution et à une nappe , existent donc pour Thyperboloïde à une nappe et à trois axea inégaux.

Pour déterminer les trois axes de Tbyperboloïde à une nappe et non de révolution, on pourra employer une construction analogue à celle que nous avons employée lorsqu'il s'est agi de l'hyperboloïde à deux nappes et non de révolution ; Ma ce sujet on peut comparer entre elles les j!^. $197 et 299.

th$ sections drculaires de f hyperbolinde à une nappe et à trois axes inégaux.

589. Le cône asymptote A et l'hyperboloïde 2 étant coupés par un plan suivant des sections coniques, concentriques et semblables et sembiablement placées, et quelle que soit la direction du plan sécant lorsque les sections sont des ellipses (le théorème n'étant en défaut que dans le cas où les sections sont des hyperboles)^ il s'ensuit que les plans des sections drcutarres du cône oblique A seront en même temps les plans des sections circulaires de Thyperboloïde 2 à une nappe et à trois axes in^ux.

Des divers modes de génération par des sections coniques dofU est suscepiibU

C hyperboloïde à une nappe et à trois oxe inégaux^

500. Ce que nous avons dit touchant les polaires réeiproqu^i nous montre que Ton peut engendrer l'hyperboloïde à une nappe conune l'hyperboloïde à deux nappes, ei ainsi :

I * Au moyen d'ellipses gémérairiceê et d'une hyperbole dwectxice.

V An moyen d'hyperboles géuéruuekeis et d'une ellipse direeirice^

Dans le premier cas , chaque ellipse génératrice aura deux peints CMdttfiM $Mm

rhyperbole directrice ^ mais Tan de ces points étant sar l'une des branches, et Tantre de ces points étant sur l'autre branche de Thyperbole.

Dans le deuxième cas j chaque hyperbole génératrice aora denx points communs avec Tellipse directrice^ mais Tnn de ces points appartiendra à la première branche, et l'autre de ces points appartiendra à la seconde branche de Thyperbole.

Et en se rappelant ce qui a été dit touchant Thyperbololde à deux nappes , on voit que les modes de génération ou de construction pour Tun et l'autre des deux hyperboloïdes (à une nappe et à deux nappes) ne diffèrent entre eux que parce que ces deux points sont^ pour l'une des surfaces, situés ensemble sur une même branche de l'hyperbole, et que, pour l'autre des surfaces, ces deux points sont séparés et situés l'un sur une branche, et l'autre sur l'autre branche de l'hyperbole.

Nomenclature des surfaces qui peuvent être coupées par un plan et quelle que soU sa

direction suivant une section conique.

591 . Nous venons d'étudier quelques-unes des propriétés géométriques dont jouissent les cinq surfaces connues sous le nom d'ellipsoïde , de paraboloïde ellip* tique, de paraboloïde hyperbolique, d'hyperboloïde à deux nappes et d'hyperboloïde à une nappe. On a démontré par V analyse qu'il n'existait que ces cinq surfaces (en mettant de côté le cône et les trois cylindres à base section conique) qui jouis* saient de la propriété d'être coupées par un plan , et quelle que soit sa direction suivant une section conique , voyons si la méthode des projections ne pourrait pas nous conduire à la démonstration du même théorème, et ainsi si, par le rat^nne* ment géométrique seul, et en nous appuyant sur ce que nous avons dit touchant les cinq surfaces étudiées ci-dessus, nous ne pourrons pas démontrer rigoureuse^ ment qu'en effet il n'existe que ces cinq surfaces (en mettant de côté le cône et les trois cylindres à base section conique, que nous avons étudiés. dans le chapitre YIII) qui puissent être coupées par un plan , et quelle que soit sa direction suivant une section conique.

Pour qu'une surface 2 puisse être coupée par un plan P quelconque suivant une section conique G, il faut que cette surface n*ait qu'un seul centre o, et en effet :

Si la surface 2 avait plusieurs centres o, o\ o" j... on pourrait unir deux à deux ces centres par une droite; je désigne l'une de ces droites (o, o') par exemple, par D. Par la droite D faisons passer une série de plans Q, Q'» Q"»-- chacun de ces plans coupera la surface 1 suivant une courbe, et l'on aura ainsi les sections C, C, G",... et chacune de ces courbes aura nécessairement deux centres qui seront les points o et o'.

La surface 2 ne serait donc pas coupée par un plan quelconque suivant une section conique, la surface 1 ne peut donc avoir qu^un seul centre.

Cela posé :

La surface 2, ayant un seul centre o, ne pourra affecter que trois formes distinctes , et en effet : si par le centre o nous menons nn plan quelconque Q , ce plan coupera la surface 1 suivant une ellipse E ou suivant une hyperbole H , puisque parmi les sections coniques , Fellipse et Thyperbole sont les seules courbes ayant un centre.

, Le plan Q pourra prendre autour du point o toutes les positions imaginables, et il ne pourra évidemment arriver que les trois choses suivantes :

1* Quelle que soit la position du plan Q, la section sera toujours une ellipse;

2* Quelle que soit la position du plan Q, la section sera toujours une hyperbole.

3* Pour certaines positions du plan Q, la section sera une ellipse^ et pour d'autres positions du plan Q, la section sera une hyperbole.

On voit donc que, dans le premier cas ^ on aura des surfaces ayant la forme d'un ellipsoïde.

Dans le deuxième caSj on aura des surfaces ayant la forme d'un kyperboUnde à deux nappes.

Et dans le troisième cas y on aura des surfaces ayant la forme d'un hyperbolmde à une nappe.

Examinons le premier cas.

Comme la surface £ doit être coupée par tout plan P passant par le centre o suivant une section conique, cette surface ne pourra être coupée que suivant une ellipse j puisque la forme qu elle affecte est celle d'un ellipsaidey et ainsi cette surface devra pouvoir être engendrée par une ellipse génératrice se mouvant sur une ellipse directrice; c'est précisément le mode de génération qui nous a donné la surface connue sous le nom d'ellipsoïde à trois axes inégaux.

Examinons le deuxième cas.

Nous pourrons toujours couper l'une des deux nappes de la surface 2 par an plan y de manière à obtenir une ellipse; cette surface pourra donc être engendrée par une hyperbole génératrice et une ellipse directrice ^ une seule branche de l'hyperbole génératrice s'appuyant sur Tellipse directrice ; et c'est précisément le mode de génération qui nous a donné la surface connue sous le nom d'hyperboloïde à deux nappes.

Examinons le troisième cas.

Nous pourrons toujours couper la surface par un plan suivant une ellipse , nous aurons donc une hyperbole génératrice et une ellipse directrice , mais chaque branche de l'hyperbole génératrice s'appuiera sur l'ellipse directrice , et c'est ce

mode de génération qui nous a donné la suriace comme sou» le nom d'hyperiboloïde à une nappe.

Or, dans le cas d'une surface ayant un seul centre ^ nous venons de conibiiier de toutes les manières possibles les deux, section» coniques ayant on centre , et nous ne trouvons que trois formes de surfaces possibles et ayant des modes de génération identiques à ceux reconnus précédemment exister pour Tdlîpsoïde et les deux hyperboloïdes ; n'en doit-on pas conclure que ces trois sorfaces sont les seules surfaces ayant un seul centre , qui puissent être coupées par un plan et quelle que soit sa direction suivant une section conique ?

Une surface S peut avoir un seul centre, mais ce centre psvt être situé à rm" fini ; dans ce cas , pour que la surface 2 soit coupée par tout plan suivant une

section conique , il faut évidemment qu'une série de plans P, F, F', passant

par une même droite D , coupe cette surface 2 suivant des paraboles i, if^^,

ayant respectivement leur axe infini parallèle à la droite D.

Mais les paraboles d^Sf^S^^ pourront affecter les unes par rapport aux

autres des positions différentes, et ainsi : i"" certaines courbes d, d^, i>\..... seront tournées dans un sens, et certaines autres d. , d/, d/\^.... seront tournées en sens

opposé; ou 2" toutes les courbes 3, y, 3", et 3,, a/, d,\ seront townésn

dn même côté.

Dès lors il est évident que dans le premier cas la surface 2 est composée de deux parties, donjt Tune aura son centre situé à l'infini à éraile sur la droite D, et dont l'autre aura son centre situé à Tinfini, mais d gauche ^ sur la même

droite D.

Et, dans ce cas, un plan dirigé de manière à couper la droite D devant donner pour section dans la surface 2 une section conique, on ne pourra obtenir qu'une

hyperbole.

On doit donc avoir, dans* ce premier cas^ une surface 2 ayant la forme d'un paraboloïde hyperbolique , et comme cette surface 2 aura ponr mode de génération une parabole génératrice s'appuyant sur une hyperbole directrice , on doit en condiire que cette surface 2 ne sera autre que le paraboloïde hyperbolique.

Il est de même évident , dans le deuaàème cas , qu'en vertu de ce que la surface £ ti*a qu'un centre situé à l'inini sur la droite D, tout plan oblique à la droite D coupera cette surface 2 suivant une ellipse , et que dès lors son mode de génération sera donné par une parabole génératrice s'appuyant sur une ellipse directrice , ce qui nous donne le paraboloïde elliptique.

Ainsi il se trouve démontré qu'il n'existe que neiçf surfaces du second ordre ou du deuxième degré, savoir : le cône k base section coniqne^ les trois cylindres {parabolique j etliptiqne et ktfperbQlique), l'ellipsoïde, les deux para-

bokA'dee (elUfftkitie et bf/perhoUque) et les deux hyperboloïdeft (k me mçpe^k cf^tio: nappes).

DE QUELQUES PROPRlÉSOfiB JMtf T idUIMBNr DBUX «ffT VAGEJ» «U SBGOW MWS » JUOa«ODE

CES SURFiiCES &ONT COMBIIUteS XVJ^ Â DBUX.

Ô92. Z>0tia; gwrface^ du second &r(ke ^ coupant mivaut une courbe composée dedeux branches f se Pune des branches {ou courbe d*wtrée) eal plane ^ Sauêre branche (ou courbe de sortie ) esi ausù plane.

Si deux surfaces du second ordre 2 et 2^ se coupant (d'abord) suivant une seption conique C, se recoupent (ensuite) suivant une seconde courbe C, jcette seconde courbe G' n'est autre qu'une section conique.

Et eu effet :

Prenons trois points arbitraires m, m', iw", sur la courbe C; ces trois points détermineront un plan P^ lequel coupera : 1 Ma surface 2 suivant une section conique B, et 2*" la surface 1' suivant une section conique B'; ainsi, les deux sections coniques B et B' sont dans un même plan P et ont en commun trois points m y m\ m".

Cela posé :

Nous pourrons toujours envelopper, 1* les deux sections coniques C et B par un cône A, et les deux sections coniques C et B' par un cône A'.

Les deux cônes A et A' auront donc en commun leur base qui est la section conique € et les trois points m , m', mf^, et comme ils doivent se recouper (en vertu de ce qu'ils ont déjà une section conique C commune) suivant une seconde section conique X , cette section conique X passera par les trois points m , m', m^, c* sera dès lors située dans le plan P.

Or le? courbes X et B étant des sections faites dans le cône A par un même plan P , se confondent en une «eule et même courbe.

Or tes courbes X et V étant aussi des secthms faites dans le cône A' par H miéme plan P , se confondent en une seule et même courbe.

Ainsi les trois sections coniques X, B et B' ne ^ont qu'une seule jet môme courbe.

Ainsi par la section conique C et les trois points m , nt et m'', on peut toujours faire passer un cône coupant l'une et l'autre surface 2. et S', suivant ua^ même «ection conique X ayant pour plan te plan (m, m', m").

Les deux surfaces 2 et S' ayant en commun une qourbe plane C et les trois points m, m', m'' (situés hors du plan de cette courbe G), se coupent donc suivant une seconde section conique X passant par les trois points m,m', fla'^; ainai la

courbe C (de sortie) n*est autre et ne peut être autre que la sectioD conique X. Donc, etc., etc. (*).

593. Deux surfaces du second ordre étant enveloppées par un même cône y ne peuvent s entrecouper que suivant une ou deux sections coniques.

Si deax surraces du second ordre 2 et 1' sont tellement placées dans Fespace, Tune par rapport h l'autre , qu'elles soient enveloppées par un même cône A, elles ne pourront s'entrecouper que suivant des sections coniques. Mais la réciproque n'a pas lieu. Ainsi deux surfaces du second ordre S et 1' peuvent s'entrecouper suivant une ou deux sections coniques y sans pour cela pouvoir être enveloppées Tune et l'autre par le mémecônlB.

Désignons par d le sommet du côoe A enveloppant, et par C la section conique qui est la coube de contact de ce cône A et de la surface 2, et par G' la section conique qui est aussi la courbe de contact de ce même cône A et de la seconde surface l\ Les plans des deux courbes G et G' se couperont suivant une droite I ; je dis que les plans des sections coniques, suivant lesquelles s'entrecouperont les deux surfaces 1 et l\ passeront par la droite I.

Pour démontrer ce théorème important (ou cette propriété remarquable) concernant deux surfaces du second ordre , nous sommes obligé de considérer d'abord les propriétés de relation de position dont jouissent deux sections coniques situées sur un même plan et ayant des tangentes communes.

Des propriétés géométriques et des relations de position dont jouissent deux sections coniques situées sur un même plan , et ayant une , ou deux , ou trois , ou quatre tangentes communes {**).

594. Goncevons deux sections coniques G et G', situées sur un plan, et telles qu'on puisse leur mener, l"" deux tangentes communes extérieures 0 et 9, se coupant en un point p , et 2"* deux tangentes communes intérieures 6' et 8/ se coupant en un point p'.

n Voyez, dans le Complément de géométrit descriptive , le mémoire qui a pour titre : Propriétés des courbes du second degré considérées dans Cespace, mémoire qui a été publié pour la première fois dans la Correspondance mathématique et physique des Pays-Bas ( Vol. III, n* 3).

(**) Je suppose, pour tout ce qui va suivre , que Ton a présent à Posprit tout ce qui est relatif, !• à Vépure de la section du cône par un plan; et 2« à Vépure de Tintersection de deux cônes ou de l intersection d*un cône et d*un cylindre , et qu*ain8i on se rappelle le mode de construction employé pour déterminer un point de la courbe de section ou dlntersection et pour déterminer la tangente en ce point

Désignons les points de contact des courbes et des tangentes de la manière suivante :

0 touchera G au point e et G' au point e'

Gela posé :

Je dis que les propriétés suivantes existent :

V Les deux cordes ee^ et ee/ étant prolongées, se couperont en un point ç, et

les deux cordes tt. et t't/ étant prolongées, se couperont en le même point q.

H" Si par le point q on mène deux tangentes 6 et 6, à la courbe G, et 6' et 6/ à la courbe G', les quatre points de contact seront sur une droite Q passant par les points p et p\

3* Si par le point p on mène une suite de droites Y, Y', Y", coupant chacune

des deux sections coniques G et G' en deux points , les quatre tangentes construites pour ces points aux courbes G et G', se couperont deux à deux en six points ,

dont deux seront , Tun sur la corde de contact ee, et Tautre sur la corde de

contact eV, , et dont les quatre autres seront distribués deux à deux sur deux droites E et I ; Tune de ces droites E sera extérieure aux deux courbes G et C^ Vautre droite I sera intérieure à ces courbes G et G' et ces deux droites I et E passeront par le point q.

i"" Si par le point p' on mène une suite de droites X, X', X'' coupant cha*

cune les deux sections coniques G et G' en deux points , les quatre tangentes construites pour ces points aux courbes G et G' se couperont deux à deux en six

points, dont deux seront, Tun sur la corde de contact tt, et Tautre sur la corde

de contact tV, , et dont les quatre autres seront distribués deux à deux sur les deux mêmes droites E et I (dont il a été parlé ci-dessus).

Nous allons établir Texistence de ces diverses propriétés , en ne nous servant que de la méthode des projections oriliogonales .

PasMiBR CAS. Les sections coniques G et C étant extérieures tune à Vautre et tCayant aucun point commun*

595. Soient données sur un plan , que nous prendrons pour plan horizontal de projection, deux sections coniques G et G' (fig. 300), telles qu'elles n'aient aucun point en commun , et qu'étant extérieures Tune à l'autre , on puisse leur mener deux tangentes communes et extérieures B et 9, se coupant en un point p, et deux tangentes communes et intérieures B' et 0/ se coupant en un point p\

V PAATIB. 48

Cm iangerfle» Umoheront les o^unbes C et €' cbacnoe en an point, et amsi on aura :

9 touchant la courbe G au point e

— -^ C — ef 9, touchant la courbe G au point e,

— - C - e,' 9' touchant la courbe G au point t

— -- G' — t' 9/ touchant la courbe G au point î,

Désignons respectivement par P, P,, P', P/, les cordes de contact ee^j lî,, e'e/, î'i/

ces cordes étant supposées indéfiniment prolongées.

On voit de suite que pour la courbe G : IMe point p est pâle et la droite P polaire y 2" le point p' est pôle et la droite P, polaire; que pour la courbe G' : <• le point p est pôle et la droite F polaire ^ 2"* le point p' esl pâle et la droite P/ polaire.

Ainsi les deux courbes G et G' sont liées l'une à l'autre par deux pôhs p et p', qui sont communs aux deux courbes, et chacune de ces deux courbes ia tine polaire distincte, chacune de ces polaires correspondant à l'ini des de«x p61es communs p et p^

Gela posé:

Imaginons par le point p une verticale Z , et prenons sur c^tte droite Z vai poinl Miiilraire «, et considérons ce point s comme le sommet d'im odne A ayant pour bme'ou 4raoe ^horizontale la section conique G.

inMigmcms >eBsuite un cylindre vertical (G^) aysRUt ses génératrices dnûtes par^lèles kZ^ et ayant pour base ou trace liorizontale ( et en mâme temps pour section droite ) la section conique G^

Les deux surfaces A et (G^ se couperont suivant deux courbes planes (sections coniques) G, et G, qui se projetteront horizontalement et orthogonalement suivant la courbe G', puisque évidemment ces deux surfaces ont deux plans tangents communs (lesquels sont verticaux , puisqu'ils passent tous deux par la droite Z) et dortt leslraees horizontales ne sont autres que les tangentes extérieures 9 et B, ; et de plus ces deux plans, que je désignerai par 0 et ©, , touchent 1** le cône A , swoir : le pvêmier Clivant la génératrice droite se -et le second suivant la génératrice (dnMte M/; ils toucheront 2^ le cylindre (G^) soivatft deux génératrices dnsîtes K*6t K, ^ni sont verticales et qui percent le plan horizontal de projection aux points <e'«t'e/.

Gela posé :

— 9Sè —

Les droites K et wem coupent en uo point e^', et tes droite» K, et ae^ se co«pent en an point e/; et ees deux points ont respectivement pour projections faoriy zontales les points e' et e\.

Ces points e" et e/' sont évidemment ceux en lesqnels se* coupent les deux courbes C, et C, , et la droite ef^e/' (qui prolongée sera désignée par S) sera Tînlersection des deux plans (C,) et (C,) des courbes C, et C, ; et il est évident que le plan (S , P) , qui contient les génératrices droites se et se^ du cône A et te plan (F) qui sera vertical et qui contient les génératrices droites K et K, du cylindre (C) y se coupent suivant la droite S.

Dès lors il est évident que les trois droites S, P et F viennent se couper en un même point </, qui sera la trace horizontale de la droite S.

Dès lors encore les plans (C,) et (C J couperont le plan lK>rizontal de projection suivant des droites I et E , qui devront passer par le point q.

Cela posé :

Si du point q on mène deux tangentes 6 et 6, à la courbe C, leurs^ points de contact b et 6, et le point p seront en ligne droite ; et en effet : les droites sb et sb^ seront des génératrices droites du cône A , les pians B et B, tangents à ce cône A suivant ses génératrices sb et ab^ j auront respectivement ptmc traces horizontales les tangentes 6 et 6, ; ces deux plans tangents B et B, se couperont suivant la droite sq j et devront contenir les tangentes en chacun des quatre points en lles*quels les courbes C, et C, coupent les génératrices droites sb et sb^ , et ces tangentes se projetteront horizontalement suivant des tangentes 6' et 6/ à la courbe C. Dès lors puisque ces tangentes aux courbes C, et G, se projettent deux à deux suivant une seule droite, il s'ensuit que leurs points de contact avec les courbes C^ et C, sont deux à deux sur une verticale , et ainsi sur une génératrice droite du cylindre (C). On aura donc deux génératrices droites, l'une K' projetant deux points (situés , l'un sur la courbe C, et l'autre sur la courbe CJ en le point b^ con^ tact de la courbe C avec sa tangente 6^; et l'autre K/ projetant deux autres points (situés, l'un sur la courbe C, et l'autre sur la courbe C,) en le point 6/ contact de la courbe C avec sa tangente è\. Et ainsi il se trouve démontré que les deux géné^ ratrices droites sb et sb^ sont dans un même plan vertical passant par le sommets du cône A et parles deux génératrices droites E' et K/ du cyKndre (C).

Nous pouvons donc afSrmer que les trois points 6 , fr. et p sont en Kgne droite.

Cela posé :

Puisque les droites T et E passent par le point q^ ainsi que les tangentes g et 6, , il s'ensuit que tes tangentes 6' et S/ passeront aussi par ce mâme point q^ puisqu'efîes sont les projections horizontales des droites suivant lesquelles les plans tangents B et B, sont coupés par les plans (G,) et (€J. Ainsi tes cinq points

b,b^y b\ bl (contact des tangentes 6, 6, , g' et 6/, menées du point q aux deux courbes G et C) et le point p sont sur une droite que j'ai déjà désignée ci-dessus par Q.

Et il est évident que le point q est un ip6ie commun aux deux courbes G et G^, et que la droite Q est polaire commune à ces deux mêmes sections coniques G et G'«

Examinons comment les droites I et E sont liées aux courbes G et G^

Menons par le point p une droite Y coupant la courbe G aux points m et n, et la courbe G' aux points m! et nf ; construisons les tangentes en ces points et respectivement aux courbes G et G^ on aura les quatre tangentes , savoir : M au point m , N au point n. M' au point m% N' au point n'y et ces droites se couperont deux à deux en six points Xjxl^yjtjfjl^ /^

Les points / et /' seront évidemment situés , le premier sur la droite P polaire de la courbe G pour le pôle p , et le second sur la droite P' polaire de la courbe G' pour le même pôle p.

Gela posé :

Je dis que les quatre autres points seront situés , savoir : deux y x eix^ sur la droite E ; et deux , y et y' sur la droite I ; et en effet :

Les génératrices droites sm et sn du cône A seront situées dans un plan sécant vertical ayant la droite Y pour trace horizontale.

Ges droites sm et sn couperont les courbes G^ et G, , chacune en deux points, en sorte que Ton aura quatre points qui se projetteront horizontalement et deux à deux en les points m' et rJ sur la courbe G'.

Les tangentes M' et N' à la courbe G' en ces points w! et n' seront donc les projections horizontales des quatre tangentes menées en les quatre points des courbes G, et G, ; ces droites M' et N' seront donc les projections des intersections des plans (GJ et (C,) avec les plans (M) et (N) tangents au cône A suivant les génératrices sm et sn , ces plans (M) et (N) ayant respectivement pour trace horizontale les droites M et N ; dès lors il est évident que les points a: et a/, y et y' seront situés sur les droites E et I, traces horizontales des plans (G,) et (GJ.

Ge que nous venons de dire en considérant le point p , nous pourrons le dire en considérant le point p\ Ainsi nous pourrons imaginer par le point p' une verticale Z' et prendre sur Z' un point ^ arbitraire , et regarder ce point s' comme le sommet d*un cône A^ ayant la courbe G pour base ou trace horizontale ; puis considérer la courbe G' comme la section droite d'un cylindre vertical (G') ; les deux surfaces A' et (G') ayant deux plans tangents communs, se couperont suivant deux courbes planes G/ et G/, et nous retrouverons toutes les propriétés ci-dessus exposées; nous aurions donc un point ç' homologue du points/, une droite <y homo-

togue de la droite Q , des droites F et E' respectivement homologues des droites I et E y et il faut démontrer que les points q et q^ ne sont qu'un seul et même point , et que chaque groupe des droites Q et Q^, I et l\ E et E', n'est aussi qu'une seule et même droite Q, I et E.

Pour démontrer cette proposition , nous ferons remarquer que nous savons , que lorsque deux sections coniques sont situées sur un cône , si ces sections coniques n'ont aucun point commun , on peut toujours les envelopper par un second cône. Ainsi en considérant la courbe C et la courbe C, que nous savons être situées sur le cône- A qui a son sommet placé sur la droite Z passant par le point p, nous pourront faire rouler un plan tangentiellement à ces deux courbes G et C, mais intérieurement, et nous obtiendrons pour enveloppe de l'espace parcouru par ce plan le second cône enveloppant les deux courbes C et C, ; mais il est évident que j parmi toutes les positions que peut prendre dans l'espace le plan mobile y considéré en chacune de ses positions comme une enveloppée , il y en aura deux où il sera vertical , et où il aura dès lors pour trace horizontale les tangentes intérieures 6' et e/ aux deux courbes C et C. Le sommet s/ du second cône A/ sera donc situé sur la verticale Z' passant par le point p^

Dès lors , en considérant le point p' , ainsi que nous avons considéré le point p y nous voyons que les droites I et V se confondent en une seule et même droite.

Mais nous aurions pu combiner la courbe C avec la courbe G, , et nous aurions trouvé un second cône A/ ayant encore son sommet sj situé sur la droite Z^ , et dès lors nous aurions établi que les droites E et E' se confondent.

Il se trouve donc démontré que la considération du point p ou du point p' conduit toujours aux trois mêmes droites Q , I et E.

Gela posé , si nous désignons par R la droite qp , par R' la droite çp' , par r, r^^ r', r/ les points d'intersection des droites P, P, , F, P/ avec la droite Q, nous pourrons établir la nomenclature des divers systèmes polaires , qui lient l'une à l'autre deux sections coniques G et G^, qui, situées dans un même plan, ont deux tangentes communes intérieures et deux tangentes communes extérieures.

Gette nomenclature peut être établie ainsi qu'il suit :

1* Un système complet, composé d'un pâle q et de la polaire Q (système polaire commun unique).

2* Deux systèmes composés , l'un du pâle p et des polaires P et P' , et l'autre du pâle p' et des polaires P, et P/ (pôle unique conjuguant deux polaires séparées).

3* Deux systèmes composés , Tun de- la polaire R et des pôles r et r', et l'autre de la polaire B! et des pôles r, et r/ (polaire unique conjuguant deux pôles séparés).

Pour la courbe G (dans les deux systèmes polaires) , les polaires P, et R', P et R passent respectivement l'une par le pâle de l'autre.

^ar la courbe C (dans les deux systèmes polaires) , les polaires V^' et R', F et R passent respectivement Tune par le pôle de Tautre.

Deuxième cas. Les deux sections coniques G et C étant extérieure» ei ayant tm peinl de contact.

506, Les deux sections coniques C et C peuvent être extérieures Tune à l'autre et avoir un point de contact ; dans ce cas elles pourront avoir trois tangentes conamunes. Examinons quelles sont les modifications que subissent dans ce cas les propriétés polaires qui lient Tune à l'autre les deux sections coniques.

Il suffit de jeter les yeux sur la fig. 304 et de la comparer à la fi^. 300 précédente , pour voir de suite que les droites tangentes 9\ 9/ , 6, , 6' , ainsi que les polaires R', P,, P/ de la /y. 300 se confondent sur la fig. 301 en la seule droite!, et que par conséquent les points A,, *', r, , r/ se superposent sur le point p' qui , dans la fig. 301 ^ devient le point de contact des deux sections coniques don-

C et a.

Troisième cas. Les deux courbes C et C se coupant en deux points.

597. Les deux sections coniques G et G' peuvent se couper en deux pomia et avoir deux tangentes communes extérieures.

Dans ce cas, les tangentes intérieures 9' et 9/ n^existent plus, ainsi que les points r, et r/ et les polaires P et P/.

Démontrons que, pour ce cas particulier (fig. 302), les droites I et R' se confondent. Si l'on regarde la courbe G comme la base ou trace horizontale d*un cône À ayant son sommet s situé sur une verticale Z passant par le poiflit p , et si Ton regarde la courbe G' comme la base et section droite d'un cylindre vertical (C) , tes deux sarfaees A et (C^) se couperont suivant deux courbes planes C, et G, , puisqu'eUes ont deux plans tangents communs et verticaux , dont les traces horizontales ne sont autres que les tangentes commîmes et extérieures- 9 et 9,. Or comme la courbe G' coupe la courbe G aux deux points a et s' , il s'ensuH que le plan de l'une des deux courbes G, et G, aura pour trace horizontate te corde z%' pix>)ongée , ainsi la droite zz' n'est autre que L Gette droite I coupe la droite Q en un point p' que je dis jouer ici le même rôle que le point p' de la /y. (301) précédtonte , c'est-à-dire que ce point p' est la projection horizontale des sommets de cônes qui , ayant la courbe G pour base , seraient coupés par le eyfindre (C ) suivant une courbe plane C, projetée en G'.

Et en ettet :

Nous savons q«e par âeux courbes G et G, qui ont deux points d^intersection z et z' ou une corde commune »b' , on peut toujours faire passer deux cônes À et A',

qui ont deux fiaos UMOigeots commcms (T) et (T'), en les points z et z' extrémités de la corde a^ oooMBMuie'aux deux sectioas coniques C «et C^..

Or paisque nous suf^aaas que la ceuii)e C est sur le plaa horizontal de projeotioB^ les tM^eAtes T et T^ pour les points s et x! seront les toaces horizontales des plans langests (T) et (T'), et ces plans (T) et (T) seront déterminés de posi* tîon daes Teopaoe par les tangentes aux mêmes poiats 2 et is^ ji ia courbe C, dont C est la ptPOjectioB horizontale.

Si donc par le point i, «n lei|U6l «e oeiqpeat Jes tangeiites T et T' (point i qui est évidemment sur la droite Q) , on fadt passer une droite D située dans le plan vertical passant par Q , cette droite D coopeca Ja verticale Z passant par le point p en un point 8j et la verticale Z' passant par le point j/ en un point «% et si Ton considère ces points s et s' comme les sooNnets Tespectâfs de deux oànes A et A^ ayant la courbe G pour base cooiaiune , oes deux cônes se recouperont dès lors et néces* sairement suivant une seconde courbe plane €, dont la trace horizontale de son plan ne sera autre que la droite l.

•Quelle que sok la direction de la droite D, pourvu qu'elle s'a(ppuie toujours sur les droites Z et Z' , et qu'elle passe toujours par le point i, les points s^ et </ 4iue Ton obtiendra pour une autre position D, de cette droite D, seront les sommets de deux nouveaux cônes A, et A/, qui, ayant toujours pour base commune la courbe C, se recouperont toujours et nécessairement suivanft une coui^be plane €/ Aofift la trace horizontale de^son plaoD Bera toujours la droite L

Démontrons maiirtenafit que les courbes C, , C/,.^ «e projetteraot toujours horizontalement suivant to courbe G', ou, en d'autres termes ^ «fue oes dtversee oourbes planes €,, C /,.... seront situées sur le cylindre verâoal (C) ayant ia section conique G' pour section droite.

Puisqu'en faisant varier la position de ia droite D , on obtient une série de courbes <G, dont les plans passent tous par la drcdte I, il suffit rdé démontrer qu'un plan quelconque passant par la droite I, coupera toujours un certain cône ayavt son sommet sur la droite Z^ suivant une courbe se projetant suivant C ; ou, en d^autres fermes , îl si^t de démontrer que la courbe C et une cemrbe C, ayant la courbe G' pour projection (le plan de cette courbe G, passant par Ja droite i), sottt toujours enveloppées par un cône ayant son sommet sur la droite Z.

Or la courbe G, aura son plan (G,) déterminé par •sa trace horizontale 1, et par par un point de Tespace; prenons pour ce point un point e'' ayant pour projection horizontale le point e' ; la droite ee^' coupera la verticale Z en un point s qui sera le sommet du cône A ayant la courbe G pour base et étant coupé par le pim {e^\ I) suivant une section conique G,,

Gette section conique G, passera par les points z, z' et e''; sa prqjection horizon*

taie passera donc par les points 2, z' et e' ; et comme le plan vertical, qui a pour trace horizontale la tangente 6, est tangent au cône A suivant la génératrice droite ee% il s'ensuit que la projection horizontale de la courbe G, devra être tangente en e' à la droite 6; de plus, la courbe C, devra se projeter horizontalement suivant une courbe tangente à la droite 9, , puisque cette droite 6, est la trace horizontale d'un second plan vertical et tangent au cône A ; la projection horizontale de la courbe C. doit donc passer par les trois points s, J, e'j et être tangente aux droites 6 et 6. , elle ne peut donc être autre que la courbe C^ puisque cette courbe G satisfait aux cinq mêmes conditions. Donc , etc.

Et comme nous pouvons arbitrairement choisir Tune des deux courbes C et C, pour la base du cône sur laquelle se trouvera placée la courbe C, il s'ensuit que si aux points z et z', nous menons à la courbe G^ les tangentes 0 et G' qui se couperont en un point t situé sur la droite Q, nous pourrons faire passer par ce point t une droite B coupant les verticales Z et Z' en des points d et (t qui seront les sommets de deux cônes X et y! ayant la courbe G' pour base commune , et se coupant suivant une seconde courbe plane dont la projection horizontale sera la courbe G , et le plan de cette seconde section passera par la droite I.

Quatrième cas. Les deux sections coniques G et G ayant un point de contact et deux points d^ intersection.

598. Traçons sur le point horizontal de projection deux sections coniques G et G' se coupant en deux points z et z' et se touchant en un point b^. Ges deux courbes pourront être telles qu'elles aient trois tangentes communes (^) {fig. 303), savoir : la tangente au point 6, , et les deux tangentes extérieures 6 et G, touchant la courbe G aux points e et e. , et la courbe G' aux points e! et ^/.

Les trois tangentes communes se coupent en les points p'y p"^ p'", et ces trois points sont les sommets d'un triangle circonscrit aux deux courbes données G et G'.

Gela posé :

Le point p peut être regardé comme la projection horizontale et orthogonale du sommet d'un cône A ayant la courbe G pour base, et la courbe G' peut être regardée comme la base ou section droite d'un cylindre vertical (G^) ; or , puisque évidemment ces deux surfaces A et (G') ont deux plans tangents communs , verti-

(*) Nous verrons plus loin , lorsque nous examinerons le cas où deux sections coniques se coupent en quatre points, que ces sections coniques peuvent élre telles qu'elles aient quatre ou trois ou aucune tangentes communes, car le nombre des tangentes communes ne dépend pas du nombre des points communs entre les deux sections coniques, mais des positions quWectent l'une par rapport à l'autre les deux sections coniques.

eaux et ayant pour traces horizontales les tangentes 6 et 6. , ces deax surfaces A et (C^ se couperont suivant deux courbes planes G, et G, ayant la courbe G' pour projection horizontale , et il est évident que la corde zt! prolongée sera la trace du pian de la courbe G. , et que la tangente au point 6, sera la trace du plan de la seconde courbe G,.

Dès lors ces droites ne seront autres que les droites désignées ci-dessus par I et E et se coupant au point q ; et si Ton mène du point q des tangentes 6 et & aux courbes G et G', les points de contact b et b' seront en ligne droite avec le point b, ^ et ainsi la droite Q sera déterminée.

Il est évident qne^ ni le point k (en lequel les droites Q et zz^ se coupent) ni le point de contact b^ des deux courbes G et G' ne peut être considéré comme la projection horizontale du sommet d'un cône A' ayant G pour base, et coupant le cylindre (G') suivant une courbe plane projetée en G' , car il est évident pour ceux qui sont habitués à lire dans l'espace , que, pour que le point A: put être le sommet d'un tel cône, il faudrait que la courbe G' ne fût pas tangente à la courbe G, et que pour que le point 6, fût le sommet d'un tel cône , il faudrait que la courbe G' fût enveloppée par la courbe G, ou enveloppât cette courbe G.

Ainsi le point p' n'existe pas dans le cas particulier qui nous occupe.

Mais il existe deux nouveaux points qui jouent le même rôle que le point p , ce sont les points p" et p'".

Ainsi le point p" peut être considéré comme la projection du sommet d'un cône A'^ ayant la courbe G pour base , et qui sera coupé par le cylindre (G') suivant deux courbes planes G/' et G/^ projetées horizontalement en G', et cela parce que les deux surfaces A" et (G') ont deux plans tangents communs , verticaux et ayant pour traces les tangentes 0 et qb^»

Il est évident que les traces horizontales des plans de ces deux courbes G/' et G/' se confondront en une seule droite qui ne sera autre que qz^ , en sorte que celte droite sera en même temps pour le point p" les deux droites I" et E".

Par les mêmes raisons, la droite z^b^ jouera, par rapport au point p'^\ le rôle des droites F et E"\ et le point 6, sera un second point q' jouant le même rôle que le point 9, et la droite qb^ sera une droite Q' jouant, par rapport au point ç^, le même rôle que la droite Q par rapport au point q.

GiNQUiÈME CAS. Lôs dcux sections coniques G et C n'ayant qu'un seul point de contact et s enveloppant Cune Cauire.

599. Soient tracées sur le plan horizontal deux sections coniques G et G^

{fig» 304), n'ayant en commun qu*un seul point de contact p, s'enveloppant l'une

l'autre et n'ayant dès lors qu'une seule tangente commune. Nous pourrons re- 2* PÀ&Tn. 49

garder le point p comme la projection orthogonale da sonmet d'un c6Qe À ayant la conrbe C pour base , et nous pourrons*con8idérer la courbe C comme la base ou section droite d'un cylindre vertical (C^. Démontrons qae les deux snrfaces se coupent toujours suivant une oourbe plane C..

Les deux surfaces A et (G^ ont pour génératrice de contact la droite rerticale Z passant par le point p, on doit donc considérer cefi deux surfaces A et {G) comme se coupant déjà suivant une courbe plane C, (qui n'est autre que la droite Z) et dont le plan sera le plan tangent (I) commun à ces deux surfaces; ce plan (1) aura pour trace horizontale la droite I tangente commune en p aux deux courbes données C et C.

Puisque les deux surfaces A et (C')ont déjà une section plane C, commune , elles doivent se recouper suivant une seconde courbe plane C, : par conséquent, si, par la droite Z, on mène une suite de plans verticaux (Y)...., ils couperont la surface conique A suivant des génératrices droites G.... lesquelles couperont la courbe C, en des points y.... et la courbe C en des points tu..», et les tangentes à la courbe C, pour les points y. . . • et les tangentes à la courbe C pour les points m.... se couperont en des points op.... qui seront sur la droite £ trace horizontale du plan (C,) de la courbe C,.

Il suffit donc 9 pour déterminer cette droite E , de mener par le point p une suite de droites Y, Y',.... coupant C en les points m', m/,.... et coupant la courbe C aux points m. m,,.... et de construire les tangentes m^x, m/x\.... à la conrbe CJ pour les points m', m/,.-., et les tangentes ma:, m,a;V'-' à la oourbe G pour les points m ftn^.».. Les tangentes m'x et tnx se couperont en un point a:, les tangentes m/a/ et m^x^ se couperont en un point x' et ainsi de suite, et les divers points Xjx\.... seront sur une droite E qui coupera la droite I en un point q , tel que si de ce point q on mène deux tangentes 6 à G et g' à G', les deux points de contacta et b* seront avec le point p en ligne droite , et la droite bl/p sera précisément la droite Q.

Sixième cas. Les deux sections coniques C et C n'ayant aucun point commun ^ et étant intérieures l'une par rapport à C autre.

600. Étant données deux sections coniques G et G' satisfaisant à la condition de s'envelopper Tune Tautre , on voit de suite que si Ton prend dans l'espace un point «, et qu'on le regarde comme le sommet commun à deux cônes $ et $' ayant pour base, le premier la courbe G, et le second la courbe G', ces deux cônes devront aussi s'envelopper l'un l'autre , et que dès lors on pourra toujours les couper par un plan , de manière à avoir pour section deux ellipses, dont l'une sera intérieure par rapport à l'autre; de plus, il est évident que l'on pourra toujours choisir fa position du point s et diriger le plan sécant , de manière que l'une des sections.

soit im cercle B^ et qoe Tautre section soit ane ellipde A , intérieure on extérieure au cercle B.

Il nous suffit donc d'examiner ce qui doit arriver pour un cercle B et une ellipse A enveloppée par le cercle B, pour avoir résolu la question dans toute sa généralité, et ainsi quelles que soient les sections coniques C et G.

Si au lieu d'avoir un cercle B et une ellipse A , on avait deux cercles B^ et A\ intérieurs Tun à Tautre, alors il serait facile de déterminer leur pôle unique et leur polaire unique j car la polaire serait Yaxe de similitude y et le pôle serait le centre de similitude.

Et au moyen des projections y on détermine de suite cet axe et ce centre.

Car d'abord l'axe de similitude S (fig. 305), passe évidemment par les centres ^' et (/ des deux cercles B' et A' , et si l'on prend pour ligne de terre la droite S il suffira de déterminer la position (sur le plan vertical de projection) du sommet s d'un cône A, qui, ayant le cercle B' pour base, serait coupé par un cylindre vertical et de révolution (A') ayant le cercle A' pour base , suivant une courbe plane A/. Or il est évident que, puisque tout plan horizontal coupera le cône A suivant un cercle et le cylindre (A') aussi suivant un cercle, il est évident, dis-je, que les deux surfaces A et (A') se couperont suivant deux cercles horizontaux. Pour déterminer le sommet s , il suffira donc de mener par les points ^ et l"" (en lesquels la droite S perce le cercle A') des perpendiculaires à la ligne de terre et de mener mm parallèle A/** à cette ligne de terre, les points / et T étant unis aux points i et f (en lesquels la droite S perce le cercle B'), on aura deux droites qui se couperont en un point », et abaissant de ce point g une perpendiculaire sur la droite S, on aura en ^ le pôle ou centre de similitude des deux cercles A' et B'.

Mais si Ton a deux ellipses a et g concentriques , il ne pourra arriver que deux cas : ou 4 "" ces deux ellipses seront semblables et semblablement placées , ou 2' elles ne seront pas semblables, ou, étant semblables, elle ne seront pas semblablement placées.

Dans le premier ck», les deax conrbes oc et S auront évidemment une infinité de systèmes de diamètres conjugués, superposés en direction.

Dans le deuxième cas y les deux courbes a et 6 n'auront qu'Hun seul système de diamètres cotijogués superposés en direction ; et en effet , supposons que Tellipse % soit intérieure à Tellipse 6, nous pourrons construire une infinité d'ellipses a', <x",«... concentriques et semblables à l'ellipse a , et il est évident que, parmi toutes ces ellipses, il y en aura ooe «, qui sera tangente en deux points k l'ellipse 6, et ces deux points seront les extrémités d'un diamètre d commun aux ellipses a, et 6; dès k>r»il est évident qoe le eenjugné d/ de d pour TeUipse « . aura la même di-

rectioD que le conjugué d! de d pour l'ellipse 6 ; par conséquent le système des diamètres d et d' de la courbe 6 se superposera avec Tun des systèmes de diamètres conjugués de Tellipse a.

Cela posé :

Ayant deux ellipses concentriques et semblablement placées a et 6, si Ton conçoit dans Tespace un point s pris pour sommet commun à deux cônes ayant respectivement pour base les courbes a et 6 , si un plan coupe Tun de ces cônes suivant un cercle, il coupera le second suivant une ellipse, et si Ton a denx ellipses simplement concentriques , le plan qui coupera Tun des cônes suivant un cercle coupera encore le second cône suivant une ellipse. Mais il est évident que, dans les deux cas , le cercle et Tellipse ne pourront pas avoir entre eux les mêmes relations polaires. On voit donc que , si Ton a un cercle B et une ellipse A intérieurs l'un à l'autre , il ne serait pas convenable de ramener le problème à la solution du problème si simple , mais si particulier, de la recherche du pôle de simi* litude de deux cercles , et de plus on voit très-bien que Ton se trouve traiter , dans toute sa généralité , la question polaire relative à deux sections coniques intérieures Tune à l'autre, en examinant le cas simple d'un, cercle et d'une ellipse intérieure à ce cercle.

De plus , ce qui précède nous fait voir que nous pouvons passer de ce qui existe polairement pour deux ellipses simplement concentriques, à ce qui doit être polairement entre deux ellipses , ou entre un cercle et une ellipse (intérieures Tune à Tautre, et non concentriques) et que les propriétés polaires y auxquelles nous arriverons par ce moyen , auront toute la généralité possible.

Or, si nous considérons deux ellipses seulement concentriques, et ayant dès lors un seul système de diamètres conjugués superposés en direction, et pour rendre lafig* 306 plus simple, nous supposons que le système soit celui des axesj nous voyons que les deux courbes sont telles qu'on peut circonscrire à chacune d'elles un parallélogramme , ou , d'après la fig. 306 , un rectangle , et que ces deux parallélogrammes ou rectangles ont leurs côtés respectivement parallèles , mais que leurs diagonales ne se superposent pas en direction.

Désignons par o le centre commun aux deux ellipses a et 6 ; par m et n , p et ^ , les extrémités des axes mn et pq de l'ellipse a; par m' et n% p' et q' les extrémiiés des axes înV et pY de l'ellipse 6; par M, N, P, Q, M', N', F, Q', les côtés des parallélogrammes ou rectangles circonscrits, en supposant ces côtés indéfiniment prolongés ; par x et a;, , y et y^ les extrémités des diagonales xx^ et yy, du parallélogramme ou rectangle circonscrit à l'ellipse a; par x' etx/i y' et y/ les extrémités des diagonales xfx/ et y'y/ du parallélogramme ou rectangle circonscrit à

Tellipse g; parX, Y, X^, Y% les diagonales elles-mêmes , en les supposant prolongées indéfiniment ; par S et T les axes prolongés.

Cela posé :

Prenons dans l'espace un point Sj et regardons ce point comme le sommet com* mun à deux cônes A et A' ayant respectivement pour bases les courbes a et 6 , et de pins y par chacune des droites du sysième plan et par le point s faisons passer un plan; nous désignerons par (M), (N),.... les plans passant par le point s et les droites M, N,...,

Les couples de plans qui passeront par des droites qui sont parallèles entre elles sur le système plan (sur le plan des courbes a et g) , se couperont suivant une droite qui passera par le point s et qui sera parallèle aux droites parallèles entre

elles et situées dans le plan (a, è), et par conséquent qui sera parallèle au plan des bases a et S.

Menons donc par le point s un plan y parallèle au plan des bases a et 6 , nous aurons des droites S,, T, , M, , N, , P, , Q, , X, ^ Y, , X/, Y/, respectivement parallèles aux droites situées dans le plan des bases.

Coupons tout le système conique par un plan quelconque X , nous obtiendrons sur ce plan deux ellipses a! et 6^ , sections faites par ce plan X dans les cônes A et A' , et une droite R , intersection de ce plan X avec le plan y , et les droites M, , N, , . . . couperont cette droite R en des points par lesquels passeront respectivement les intersections des divers plans (M) , (N) ,.... par le plan X.

Nous aurons donc la fig. 306 bis y qui nous montre que les deux courbes a et o' intérieures Tune à l'autre , sont liées Tune à Tautre par un triangle polaire dont les sommets sont respectivement les pôles des côtés opposés qui en sont les polaires ^ Tun des côlés prolongé de ce triangle étant la droite R : en sorte que les deux courbes a et S'ont trois systèmes polaires en commun , chaque système étant composé d'un pôle unique et d'une polaire unique.

Si , au contraire , nous avions considéré deux ellipses « et 6 , concentriques ^ semblables et semblablement placées (fig. 307) , on aurait pu circonscrire à chacune de ces courbes une infinité de systèmes de parallélogrammes ayant leurs côtés respectivement parallèles et leurs <]iagonales étant superposées en direction, et Ton obtiendrait sur le plan X la fig, 307 bis , qui nous montre que, dans ce cas , les courbes a et & ont une infinité de systèmes polaires communs , ou une infinité de triangles polaires communs ayant tous un sommet commun , qui est le pôle de la droite R , sur laquelle sont placées les bases de tous ces triangles.

Ainsi , il se trouve démontré que lorsque l'on a deux sections coniques C et C, intérieures Tune à l'autre , elles seront toujours liées l'une à l'autre par l'un des systèmes polaires représentés par les fig. 306 bis et 307 bis.

Lorsque l'on a deux comices a et 6' liée$ entre elles comme elles le sont sur la fig. 307 bis , en menant par le point s une droite D de direction arUtraire dans Fespace , deux cônes A et A' ayant leurs sommets d et d' situés arbitrairement sur cette droite D et ayant pour base , le premier la courbe a' , et le second la courbe 6', s'entrecouperont suivant deux courbes planes dont les plans passeront par la droite R; en sorte que cette droite R joue le m^e rôle que les droites I et Ë de la fig. 300. Et cela est évident, puisque les points conjugués l et u, i' et u'^.... sont tous distribués sur la droite R.

Mais si , par le point s de la fig. 306 bis j on menait une droite D de direction arbitraire dans l'espace , les cônes A et A' ne s'entrecouperaient pas suivant deux com-bes planes, et cela est évident en considérant isifig. 306 ; car si, par le pointer, on élève une droite verticale ou une droite de direction arbitraire, peu importe, deux cônes qui auront leurs sommets sur cette verticale ou sur la droite de direction arbitraire, et qui auront respectivement pour bases les courbes ^x et g, ne pourront jamais se couper suivant des courbes planes ; tandis que Ton voit trèsbien par Idi fig. 307 , que lorsque les ellipses a et 6 sont semblables et semblable* ment placées, les deux cônes A et A' s'entrecouperont toujours suivant deux courbes planes dont les plans seront parallèles entre eux et horizontaux , ou , en d'autres termes , parallèles au plan des courbes a et S.

Ainsi, dans le cas de \aifig. 306 bis y les droites I et E seront remplacées par des lignes courbes.

Septième cas. Les deux sections coniques G et C se coupant en quatre points.

601 . Lorsque nous avons examiné les propriétés polaires qui devaient exister entre deux sections coniques, 1"* n'ayant aucun point commun , et extérieures ou intérieures l'une à l'autre, 2"" ayant un point de contact, et étant intérieures ou extérieures l'une à l'autre , 3"" se coupant en deux points , 4"" se touchant en un point' et se coupant en deux points , nous aurions dû combiner les diverses espèces de sections coniques et examiner dès lors ce qui devait arriver dans chaque cas particulier, en considérant les divers systèmes formés , 1"* de deux ellipses , %"" de deux hyperboles, 3* de deux paraboles, 4^ d'une ellipse et d'une hyperbole, 5' d'une hyperbole et d'une parabole, et 6" enfin d'une ellipse et d'une parabole.

C'est ce que nous allons faire en discutant le cas où les deux sections coniques données G et G' se coupent en quatre points ; et l'on pourra revenir aux cas précédents et y appliquer tout ce que nous allons dire sur ce dernier cas, savoir : celui où les deux sections coniques données ont quatre points communs.

Toutefois je n'entrerai pas dans le (iétail complet des diverse» propriétés pôtmes

da système de deux sections coniques ayant quatre points communs. Ceux qui voudront étudier dune manière complète la théorie des polaires y doivent lire l'ouvrage remarquable publié par M. Poncelet sous le titre de Théorie des propriétés projectives (*).

1** Les courbes C eî C étant deux ellipses.

Nous, pouvons supposer d'abord que les deux ellipses C et C se coupant en quatre points, ont même centre {fig, 308). Alors elles auront nécessairement quatre tangentes communes formant un parallélogramme circonscrit en même temps aux deux courbes, et les quatre points d'intersection seront les sommets d'un parallélogramme inscrit aussi en même temps aux deux courbes , et il est évident que ces deux courbes auront un système de diamètres conjugués tel que ces diamètres seront superposés en direction.

Cela posé :

Il pourra arriver deux cas : ou V les diagonales du parallélogramme inscrit seront respectivement parallèles aux côtés du parallélogramme circonscrit; ou g** les diagonales du parallélogramme inscrit ne seront pas respectivement parallèles aux

n Je D*exposé ici quelques-unes des propriétés polaires des sections coniques et des surfaces du second ordre, combinées deux à deux ou trois à trois, que pour faire voir que Ton peut établir toute la théorie des polaires^ relativement aux sections coniques et aux surfaces du second ordre, par la seule méthode des projections, et ainsi en employant la langue graphique ou, en d'autres termes, la Géométrie descriptive^ et sans avoir besoin de recourir ni aux rapports harmoniques employés par les anciens géomètres, ni à Tinvolution de six points, théorème qui est dû à D£sargcis8«

Il y a bien longtemps que j*ai reconnu que la géométrie descriptive pouvait suffire pour rechercher, et établir, et démontrer les propriétés polaires dont jouissent les sections coniques et les surfaces du second ordre, combinées deux à deux ou trois à trois, lorsqu'elles ont entre elles certaines retotions de position.

En i824, je montrai dans mes leçons, à Técole de Marieherg, près Stockholm, et après avoir lu Touvrage de M. Pokcblbt, que les belles et nouvelles propriétés trouvées par ce savant géomètre, pouvaient facilement être démontiées par Xd^Géométrie descriptive, attendu qu'elles étaient écrkes dans les épures de la section faite par un plan dans un cône à base section conique, et dans tes épures de Tintersection de deux cônes ayant chacun pour base une sectioh conique et s'entrecoupaut suivant deux courbes planes, et qu'ainsi il suffisait d*apprendre à lire les propriétés polaires écrites sur nos épures.

Étant venu à Paris en i825, j'exposai à la Société philomathique mes idées à ce sujet, et plus tard , je publiai dans la Correspondance de mathémathiques et de physique des Pays-Bas^ rédigée par M. QuÉTELKT, de Bruxelles, plusieurs mémoires basés sur cette manière d*envisager la théorie des polaires.

Voyez le mémoire Sur les propriétés des courbes du second degré considérées dam Cespace^ le mémoire Sur les propriétis de trois courtes planes situées sur une surface du second ordre, le mémoire iStir les propriétés polaires qui existent entre les huit courbes tangentes à trois sections planes d'une surface du second ardre, etc., etc., etc.

côtés du parallélogramme circonscrit; et il est évident que ces deux manières d'être des deux ellipses, l'une par rapport à Tautre, sont les seules qui puissent exister.

Si donc on prend dans l'espace un point s arbitraire y et qu'on le regarde comme le sommet commun à deux cônes A et à! ayant respectivement pour bases les courbes G et G% et si , par ce sommet s et par chacune des diverses droites du système tracé sur le plan horizontal , on fait passer un plan y on voit de suite que Ton obtiendra pour section plane dans le système conique de l'espace , une figure telle que celle indiquée fig. 308 bis.

Mais cette yî^. 308 bis pourra présenter deux variétés très-distinctes. Ainsi, lorsque {fig. 308) les côtés opposés du parallélogramme circonscrit seront respectivement parallèles aux diagonales du parallélogramme inscrit, h fig. 308 bis nous donnera les points p'" et p'' situés sur la droite qq^ , et ces points p"^ et p" seront en même temps situés sur les diagonales du quadrilatère inscrit aux deux sections coniques se coupant en quatre points; mais lorsque {fig. 308 , a) les côtés opposés du parallélogramme circonscrit ne sont pas respectivement parallèles aux diagonales du parallélogramme inscrit , alors les points p" et p^" seront toujours placés {fig. 308 ter) , sur la droite qq^ , mais en dehors des diagonales du quadrilatère inscrit.

En sorte que lorsque l'on se donne deux ellipses G et G' se coupant en quatre points ayo! ybyb' {fig. 308 bis ou ter) y les quatre tangentes communes et toutes extérieures aux ellipses G et G' se coupent deux à deux en six points , dont quatre p et p% p, et p/ sont situés, savoir : deux sur la droite Q et deux sur la droite Q, ; et les deux autres p" et p'" seront , T les intersections de la droite qq^ et des diagonales du quadrilatère inscrit aalbb' {fig. 308 bis) , ou seront S"" situés tous les deux sur la droite qq^ , mais en dehors des diagonales prolongées bb' et aa' [fig. 308 ter).

Ges deux résultats polaires et différents entre eux , et qui sont les seuls qui peuvent exister, étant signalés, examinons quelles sont les droites du système

{fig. 308 bis et ter) y qui représenteront les droites désignées ci-dessus par I

et par Ë

Du moment que les deux ellipses G et G' ont deux tangentes communes, on peut regarder le point en lequel ces tangentes se coupent comme la projection horizontale du sommet d'un cône A ayant pour base la courbe G , et ce cône A sera coupé par le cylindre vertical (G') suivant deux courbes planes G, et G^ , et les traces des plans (G,) et (G,) de ces courbes G, et G, ne seront autres que les droites I et E demandées.

Or il est évident , d'après tout ce qui a été dit ci-dessus et à ce sujet, que les

cAtés opposés (é et a'b' du quadrilatère inscrit j seront précisément les droites I et E j soit que Ton considère le point p , soit que l'on considère le point p' conune étant la projection du sommet du cône.

Par les mêmes raisons, soit que Ton considère le point p,, soit que l'on considère le point p/, les côtés opposés a6^ et a^b du quadrilatère inscrit seront les droites I. et E..

Lorsque Ton considérera le point p''^ (qu'il soit ou non rinterseclion de la diago* nale et de la droite qq^) comme la projection du sommet d'un cône ayant Tellipse C pour base , les traces des plans des courbes suivant lesquelles le cylindre (C) coupera ce cône , se confondront en une seule et même droite qui ne sera évidem* ment autre que la diagonale bb' prolongée ; on aura donc en cette diagonale bb' les droites P et E'".

Par les mêmes raisons , encore , lorsque Ton considérera le point p" , la diagonale a^ prolongée jouera le rôle des droites V et E".

2* Les courbes C et G étant deux hyperboles.

Traçons {fig. 309) deux hyperboles G et C se coupant en.quatre points a, af^ bj b\ et ayant même centre o; et supposons : 1* que ces deux hyperboles sont tellement placées qu^on puisse leur mener quatre tangentes communes , ce qui aura lieu évidemment toutes les fois que les deux courbes auront un système de diamètres conjugués qui sont superposés en direction , et il faudra en même temps que les deux diamètres transverses se superposent en direction.

Les quatre tangentes communes aux deux hyperboles se couperont en quatre points p et p' , p, et p/ ^ situés deux à deux sur les diamètres conjugués super* posés en direction j et il est facile de voir que jamais les côtés opposés du parais télégramme pp'p.pl circonscrit (par le prolongement de ses côtés) aux deux hyperboles concentriques ne pourront être parallèles aux diagonales aal et bb* du parallélogramme inscrit.

En mettant \^fig. 309 en perspective ^ on obtiendra la forme de système polaire qui lie entre elles deux hyperboles qui se coupent en quatre points et qui ont quatre tangentes conmiunes.

Supposons : S"" que les deux hyperboles concentriques se coupant en quatre points afllbfil {fig. 310) sont tellement placées l'une par rapport à Tautre qu'on ne puisse leur construire de tangente commune, ce qui arrivera évidemment toutes les fois que les deux hyperboles seront inversement placées*

En faisant la perspective de \si fig. 310, on obtiendra deux hyperboles ayant en commun un quadrilatère inscrit , mais comme ces courbes n'auront pas de tan-

i* PAKTIl.

geates oommunes , on ue pourra plus employer la conaidératioa d*aa côae A ayaaA pour base Tuoe G des hyperboles et d'uu cylindre (C) ayant Tautre hyperbole C pour section droite, puisque ces deux surfaces n'auraient pas deux plans tangents communs; car , dans ce cas j nous ne pourrions plus affirmer si ces surfaces se coupent ou ne se coupent pas suivant des courbes planes. Plus loin nous reviendrons sur ce cas et sur d'autres analogues et qui vont se présenter, et je montrerai qu'on ne peut les résoudre que par la considération des surfaces gauches doublement réglées enveloppant deux sections coniques; et qu'ainsi lorsque précisément on ne peut pas résoudre ces cas tout particuliers, par la considération des surfaces coniques, on le peut toujours par la considération des surfaces gauches doublement réglées.

3*" Les courbes G et C étant deux paraboles.

Lorsque deux paraboles se coupent en quatre points (fig. 311) , on peut toujours leur construire trois tangentes communes qui se coupent deux à deux en trois points p, p'y p" ; et ces trois points qui pourront dès lors être chacun considérés comme la projection horizontale du sommet d'un cône A, qui, ayant pour base l'une G des paraboles, sera recoupé suivant deux courbes planes par le cylindre (C) ayant la seconde parabole G' pour section droite; on établira donc le système polaire tout aussi facilement que pour les fig. 300 et 301 .

4"" Les courbes C et C ééani F une me elêp^e et F autre wnekffferMe.

Il peut se présenter deux cas : ou (Jig. 312) TelKpse G' coupera chaque branche de l'hyperbole en deux points , et on ne pourra pas construire de tangente conunune aux (teux courbes ; ou 2* {fig. 313) l'ellipse G' coupera seulement une des branches de l'hypei^bote C et en quatre points. Dans ce dernier cas , on aura quatre tangMiles rommuiies à l'ellipse et à la branche d'hyperbole sur laquelle se trouvent atués les quatre sommets du quadrilatère inscrit , si Tellipse ne coope pas les asymptotes de l'hyperbole ; et deux tangentes communes seulement , si Tellipse coupe les deux asymptotes ; et trois tangentes communes , si Tellipse ne coupe qu'une des deux asymptotes. Mais les quatre tangentes communes existeront tonjours, parce que l'on pourra mener, ou deux tangentes, ou une tangente ccmmmune et à l'ellipse et à la seconde branche de l'hyperbole, dans les deux derniers cas particuliers que nous venons d'énoncer ci-dessus.

Dans le cas de la fig. 312, on ne pourra pas établir le système polaire par la considération des cônes, mais bien par la considération des surfaces gauches doublement réglées et enveloppant deux sections coniques.

Dans tous les cas que peut présenter la/!;. 313, on pourra établir le système

poUàre par la eoiMidéntion des cènes eoT^oppaat deux larfaœs cooiqve», et os pourra dès lors rais(miier ^éomélrkfuemeat, ainsi que nous l'avoM fait pour lea fif. 300 et 314 , eto.

5* Le$ courbes C et G étant Cune une parabole et l'autre une hyperbole.

Lorsque la parabole coupera chacune des branches de Thyperbole (/y. 344), nous redirons ce qui a été dit ci-dessus pour la^^. 31 2«

Lorsque la parabole coupera une seule branche de Thyperbole {fig. 315), alors elle coupera toujours une des asymptotes; il pourra donc arriver, seulement y ou 1* que la parabole ne coupe pas la seconde asymptote, et alors on pourra construire trois tangentes communes à la parabole et ^ la branche de Thyperbole qui est coupée en quatre points par la parabole ; ou 2^ que la parabole coupe la seconde asymptote , alors on ne pourra plus construire que deux tangentes communes à la parabole et à la branche de fhyperbole coupée par cette parabole , mais, dans ce cas, on pourra construire une troisième tangente commune à la parabole et à la seconde branche de Thyperbole. Ainsi on aura toujours trois tangentes communes , déterminant , par leur intersection deux à deux , un triangle cîrGDBBcrit aax deux sections coniques données,

Oo pourra donc , dans ee dernier cas, étabEr le gysièwaf poloôer oomne pour les fiff. 300 et 301. Mais, dans le premier cas, on deirra considérer deseorfeoes gao» ches doublement réglées et enveloppant deux sections coniques.

6* Les courbes G et C étant l'une une parabole et l'autre une ellipse.

Il sera toujours possible {fg. 316) de construire quatre tangentes communes à une ellipse et à une parabole se coupant en quatre points. Le système polaire peut donc être facilement établi , comme pour les fig. 300 et 301 .

Des polaires réciproques du système formé de deux cûnes à bote sectwis cmif^.

602. Concevons un oône A du second degré , et ayant son sommet en nn point $ de l'espace; coupoos ce cône par deiUL plaM P et F, on obtiendra deux eeelâsns coniques 6 et 6' qui pourront avioir trois manières d'être enire «Iles, snirairt la direction donnée aux plans sécants Pei F.

V l^ deax <)ourbes S et ff peuvent n^avoir aucun point conniMi, «I aiore la droite S , suivant laquelle se coupent les plana P et F, sera exténfinre an cône ▲ , ou , en d'autres termes , cette droite S n'aura aucun point commua avec le g4m A.

2f Les deux courbes SéL& peuvent m couper en deux poîots éUél^éi alors

les deux plans P et F se couperont suivant une droite S qui ne sera autre que la corde bb' supposée prolongée indéfiniment; cette droite S sera dès lors intérieure au cône A , ou , en d'autres termes , cette droite S percera le cône A en les deux points b et b'.

3* Les deux courbes 6 et & peuvent se toucher en un point a; alors les deux plans P et P' se couperont suivant une droite S qui passera par le point a , et qui s^a tangente en ce point aux deux courbes 6 et &.

Cela posé :

Nous savons que Ton peut toujours faire passer un second cône A' par les deux sections coniques 6 et S' , lorsqu'elles n'ont aucun point commun , ou qu'elles se coupent en deux points beXb'\ et nous savons aussi que lorsqu'elles se touchent en un point a, on ne peut les envelopper que par un seul cône.

Dès lors, dans les deux premiers cas, les courbes 6 et 6' seront enveloppées par deux cônes A et A% dont les sommets « et s' détermineront une droite Z«

Ce sont les droites S et Z qui ont reçu le nom de polaires réciproques des deux cônes.

Il est évident que, V lorsque la droite S est intérieure au cône A , la droite Z est extérieure par rapport aux nappes des deux cônes A et AS et S* lorsque la droite S est extérieure au cône A , la droite Z est intérieure par rapport aux nappes des deux cônes A et A^

Cela posé :

Énonçons la propriété remarquable dont jouissent les polaires réciproques S et Z de deux cônes du second ordre ou du second degré.

Tout plan passant par la droite S coupera le cône A suivant une section conique d , et le cône A' suivant une section conique V.

Tout plan E passant par la droite Z coupera les cônes A et A' suivant des génératrices droites G et G, , G' et G/.

Les diverses sections coniques d... et d'... seront enveloppées deux à deux par des cônes dont les sommets seront distribués sur la droite Z.

Les plans T et T, tangents au cône A suivant les génératrices G et G, , et les plans T' et T/ tangents au cône A' suivant les génératrices G' et G/, se couperont tous les quatre en un point t y situé sur la droite S.

Il est inutile de démontrer la vérité de cette propriété , elle est évidente pour tons ceux qui savent lire dans Tespace.

Et réciproquement :

Si par un point i de la droite S , on mène des plans tangents T et T, an cône A ^

et T' et T/ au cône A' , les quatre génératrices droites de contact 6 et G, , G' et G', seront situées dans un même plan K.

Le point t est dit' pôle j et le plan K est dit plan polaire du système des deux cônes.

Et ainsi : les deux cônes A et A' , se coupant suivant deux courbes planes 6 et g' , jouissent de la propriété , savoir : qu'ils ont une infinité de plans polaires communs K , et une infinité de pâles l, chacun de ces pôles correspondant à un plan polaire particulier :

Tous les plans polaires communs passent par la droite Z ; Tous les pôles communs sont situés sur la: droite S.

C'est cette propriété remarquable qui a fait donner aux droites Z et S le nom de polaires réciproques du système de deux cônes du second ordre.

Lorsque les deux courbes 6 et & sont tangentes Tune à Tautre par un point a , alors on ne peut les envelopper que par un seul cône A.

Dans ee cas particulier, les polaires réciproques du cône A sont la tangente S ^ commune aux deux courbes 6 et g' pour le point a , et la génératrice droite G de ce cône A passant par le point a ; ou mieux , les droites S et G jouent le rôle de polaires réciproques.

Remarquons que , lorsque la droite S est extérieure aux deux cônes A et A', la droite Z est intérieure à ces cônes , et que dès lors , ces cônes ne peuvent avoir de plans tangents communs ; et remarquons aussi que , lorsque au contraire la droite S est intérieure j la droite Z est extérieure^ et que , dans ce cas, les deux cônes A et A' ont deux points de contact , qui sont les points b et b' en lesquels ils sont percés par la droite S , et que dès lors ces cônes ont deux plans tangents communs.

Ainsi on peut énoncer ce qui suit :

Lorsque deux cônes du second ordre se coupent suivant deux sections coniques , ou , en d'autres ternies y suivant deux courbes planes , ils ont un système de polaires réciproques.

Et réciproquement :

Lorsque deux cônes du second ordre possèdent un système de polaires réciproques , ils se coupent nécessairement suivant deux courbes planes.

Et dès lors :

Si deux' cônes du second ordre ^ qui ont deux plans tmgents communs ^ se coupent suivant deux courbes planes , c'est qu'ils ont forcément dans ce cas un système de polaires réciproques ; et dans ce cas la polaire S est intérieure.

Et si deux eôneê du êectmd ordre peuvent 9e couper «nitMerit deux eourbeê fkmei^ sans avoir deux plans tangents communs j c^esi qu^Us ont éams ce em un sgsième 4e pobures réciproqae&, et dmu ce cas la polaire S est exiérieare*

603. Concevons deax cônes A et A' du second ordre, se coupant soi* vaut deux courbes planes é et 6', dont les plans P et P' se eoiif>ent suivant une droite S , et désignons par Z la droite qui unit les sommela s et s' des deuft cÂnea A et A^

Cela posé ;

Nous savons que, si sur la droite S, qu'elle soit intérieure ou extérieure aux deux cônes A et A', on prend un point t, et que Ton mène par ce point rdeux plans T et T, tangents aux cônes A, et deux plans T' et T/ talents aux cônes A', les génératrices droites de contact sont tootes quatre dans un plan K passant par la droite Z.

Si donc nous désignons par o et o' les points en lesqoels la droite Z perce les j^ans F et Fy il est évident que, si de chaque point t de la droite S, on mène deux tangentes 0 et 0, à la courbe S, et 0' et 6/ à la courbe &y les points de contact n et s, y n' et n/ de ces tangentes et des courbes èet^ sfttisferont anx conditions suivantes :

1* Les cordes toi, — passeroat par le point a.

T Les cordes n'rt/ passeront par le point o\

3* Les quatre points n, n,, n', n/, seront dans un même plan E passant par la droite Z, et dès lors les cordes nn,,n'n/ étant prolongées, se couperont en un'poînt £, , situé sur la droite S , et qui sera celui en lequel le plan K coupe cette droite S.

4*" Les quatre points n^n^^n^j n/y seront unis deux à deux par six droites qui se couperont deux à deux en trois points , qui seront le point t^ et les deux som-* mets s*et s' des deux cônes A et A'.

Cela posé :

Si nous projetons tout le système conique précédent sur un plas A^ sons aurons sur ce plan A deux sections coniques C et C, projections des courbes g et è\ et le système polaire de l'espace se projettera suivant an st/gtème poluire plan qui reliera entre elles les deux sections conuinas C et CV quiaomt tracées sof ie plan Â.

Or le plan A peut avoir toute direction par rapport au système conique de l'espace , on voit donc de suite que Fou pourra du système /de Tei^pace pasitt* à^ divers systèmes plans jpartiGaUars^ et pouvoir ainsi établir de snite^e sifstime

polaire qui doit relier Tune à Tanife de«x secAîoi» conqueB C «« C, q«i seraient Tune par rapport è Taiitre eo des poâtioAS très^diSépeates dans le plao sur lequel oHes serofit deanéeo o« tracées.

Des dwerses relations de position qui peuvent exister entre tes projections des courbes

6 et &j intersections planes de deux cônes du second ordre.

604. Nous aurons trois systèmes coniques de l'espace à considérer.

1"" Celui pour lequel la droite Z qui unit les sommets des deux cônes A et A' est intérieur à ces cônes , et dès lors la droite S est extérieure aux cônes A et A\

Dans ce cas » les deux cônes A et A' n'ont pas de plans tangents communs.

S"" Celui pour lequel la droite Z qui unit les sommets de. deux cônes A et A' est extérieur à ces cônes , et dès lors la droite S est intérieure aox cônes A et A'.

Dans ce cas, les deux cônes A et A' ont deux plsfus tangents communs , et ifs ont aussi et nécessairement deux points de contact situés sur la droite S.

S* Celui pour lequel les deux sections coniques ne peuvent être enveloppées que par un seul cône A; dms ce cas, les deux sections coniques ont un point de oontact.

Gela posé:

En prenant le premier système conique de V espace,

Nous pourrcMiST r cKriger te plan A, sur lequel on dort projeter les deux sections coniques 6 -et &, parallèlement à la droite Z et coupant la droite S ; dans ce CM, les courbes 6 et 6', se projetteront suivant deux court)es C et C situées Tune par rapport à Tartre, comrme danç la fig. 300.

Les points p et p' seront les projections des sommets s et s' des deux cônes A' et A ; €68 deux pcnate p et p' seront alors des pâles conjugués.

Nous pourrons : 2* diriger le plan A perpendicufairement à Tune des génératrices droites G du cône A dont le sommet $ est extérieur; alors les courbes C et C seront situées Tune par rapport à Tautre, comme dans la fig. 304.

Nous pourrons : 3* diriger le plan A perpendiculaîrement à l'une des génératrices droites G' du cône A^ dont le sommet s' est inâérieur; alors les couri^es C et C' seront situées Tune par rapport à Tautre, commie dans la fig. 304 .

Nous pourroas : 4* diriger le plan A perpendiculairement à la droite Z; alors les deux oourbes C et C seront intérieures Tune à Tautre , comme dans la fig. 307 bis.

Ea prenant le second sy$tème coniqtie de V espace ,

Nous pourrons : 1 "" diriger le plan A parallèlement à la droite Z , et coupant la droite S ; dans ce cas , les courbes C et G seront situées Tune par rapport à Tautre, comme dans lai Jig. 302.

Nous pourrons : 2^ diriger le plan A perpendiculairement à Tune des génératrices droites G du cône A » ou G' du cône A\ et dans ce cas les courbes C et G' seront situées comme dans la fig. 303.

En prenant le troisième système conique de F espace ,

Nous pourrons : V diriger le plan A perpendiculairement à la génératrice droite G du cône A, génératrice qui passe par le point de contact des deux sections coniques 6 et &^ et alors les courbes G et G' seront entre elles comme dans \9ifig. 304.

Nous pourrons : 2"* diriger le plan A parallèlement à la génératrice droite G ^ qui passe par le point de contact des deux sections coniques € et &y et alors les courbes C et G' seront entre elles comme dans la fig. 301 ou comme dans la fig. 304.

Nous voyons donc que les fig. 301 et 304 nous donnent chacune des projections identiques pour deux systèmes coniques difiTérents entre eux.

I^s propriétés polaires qui existeront dans ce cas entre les courbes G et G' seront donc les projections des propriétés de relation de position qui existent séparément pour Tun et Tautre système conique de Tespace.

De sorte que Fensemble des propriétés polaires dont peuvent jouir les courbes C et G'i placées Tune par rapport à Tautre, comme dans les fig. 301 et 304, ne peut être établi complètement qu*en examinant ce qui existe pour les deux syS' tèmes coniques de Tespace, et non pas seulement ce qui existe pour un seul de ces systèmes coniques de C espace.

Nous pourrions diriger le plan A de diverses autres manières , et nous trouverions alors des cas particuliers se rapportant à Tune ou à l'autre des positions gêné' raies représentées par les fig. 300, 301 , 302 , 303 , 304 , 307 bis.

Il est évident, en vertu de tout ce qui précède , que Tétude et Texameu de ces cas particuliers , ne peut offrir aucune difficulté.

605. Nous venons d'établir ce qui doit arriver lorsque les courbes G et G' sont les projections de deux sections coniques Qeië situées sur un cône A ; mais ii peut arriver que les courbés G et G' ne soient pas les projections de deux courbes planes 6 et 6' situées sur un cône ; et cela peut en effet arriver, car nous devons nous rappeler que lorsque nous avons examiné les propriétés des surfaces du

second ordre, nous avons reconnu qne* parmi ces surfaces, deux d'entre elles, savoir, le paraboloïde hyperbolique et Thyperboloïde à une nappe, pouvaient être coupées par deux plans , de telle manière que les sections coniques obtenues ne soient pas susceptibles d'être enveloppées par un cône.

Lorsque cela arrivera comme dans les fig. 310, 31 S, 314, où les sections coniques G et G' se coupent et n*ont pas de tangentes communes , alors on pourra toujours regarder ces courbes G et G' comme les projections de sections coniques 6 et & enveloppées dans Fespace par un hyperboloïde à une nappe ou par un paraboloïde hyperbolique.

Et alors, au lieu de considérer la courbe G comme la base d'un cône, et la courbe G' comme la base d'un cylindre vertical , il faudra concevoir deux surfaces gauches doublement réglées passant Tune et Tautre par la courbe G , et se coupant dès lors suivant une seconde courbe plane G, ayant la courbe G' pour projection.

Du tronc de pyramide quadrangulaire , imcrit à deux sectioiM coniques

envebppées par un cône.

606. Goncevons deux sections planes 6 et & d'un cône du second ordre A; désignons par S la droite suivant laquelle les plans P et P' des courbes 6 et 6' se coupent , et par s le sommet du cône A.

Les deux courbes 6 et g' étant supposées n*avoir aucun point commun , on pourra les envelopper par un second cône A' ayant son sommet «' intérieur par rapport aux plans des courbes g et g', et le sommet s sera extérieur à ces plans.

Désignons par Z la droite qui unit les sommets s ets\

Gela posé :

La droite Z perce le plan P en un point o , et le plan F en un point o', et nous savons que la droite S est polaire , le point o étant pôle pour la courbe g ; nous savons de même que la droite S est polaire , le point o' étant pôle pour la courbe g'. Prenons sur la droite S un point / , nous pourrons construire la droite L qui , passant par le point o, sera polaire de la courbe g pour le pôle /, et cette droite L coupera la droite S en un point f , qui sera le pôle de la polaire V qui unit les . points / et 0.

le point / sera aussi le pôle d'une droite L, , qui , tracée dans le plan de la courbe g', passera par le point o\ et celte droite L, viendra évidemment percer la droite S au même point /' (indiqué ci-dessus) puisque les deux courbes g et 6' sont enveloppées par un même cône A.

¥ PAITU. 51

Ce point t sera le pâh de lu foUme L/ qui unit te» points / et o'.

CoDSlf oisons un qnadrilatère inscrit à \9t oonrbe g et ayant se» côtés opposés, prolongés, passant par les points / et V^ et ses diagonales se croîsairt a» point i^ Désignant les sommets de ce quadrilatère par n , ti', m , m', les diagoaale» éSainl nrn et itW, si par le sommet 9 da cône A ^ et par chacuo des quatre- côtés et. dw deux diagonales , on iait passer un plan , on aura six plans qui paseeront ,. aafveîr : denx par la droite 9I , deux par la droite j<', deux par la droite ^' on Z ; et ees plans détermineront sur la courbe 6' quatre points n, , w/, ?w,, m/, qui seront les sommets d'un quadrilatère inscrit à cette courbe S\ et tel que ses diagonales it^m, et tt/m/ se croiseront au point o\ et que les côtés opposés étant prolongea passeront par les points / et /'.

Ces deux quadrilatères forBieront un tronc de pyramide quadrangulaire, commun à trois pyramides quadrangulaires , ayant respectivement pour sommet les points ^9 / et l\ et les diagonales de ce tronc pyramidal se croiseront au point s\ et les diagonales des quatre faces latérales se croiseront en des points (^i seront^ pour les faces opposées au point / , sur une droite X passant par le point / , et pour les faces opposées au point /', sur une droite Y passant par le point <'.

En sorte que le& six faces du tronc pyramidal forment trois groupes composés chacun de deux faces opposées , et les points en lesquels se croisent les diagonaiee de ces six faces, sont distribués deux à de«x sur les* droites Z, X, Y, passaol respectivement par le» sommets ^jl^l! des trois pyramides quadrangulaires qai interceptent entre elles le tronc pyramidal.

Si Ton projette sur un plan A tout ce système de l'espace y on voU de suite qner la projection des arêtes du tronc pyramidal et des sections coniques g et g' et des points /,/',« et y et de la droite S et des droites Z, X, Y, etc., donnera une figure dans laquelle il sera facile de lire de nouvelles propriétés polaires liant entre elles deux sections coniques C et C tracées sur un plan (*).

Examinons maintenant les propriétés dont jouissent deux surfaces du second ordre lorsqu'elles peuvent être enveloppées par un même cône.

De9 relations polaires qui peuvent exister entre deux surfaces du second ordre. 607. Démontrons d'abord que l'on peat toujiours construire deux surfaces du

n Vo^z la méflioire qui a ^our titre : Des propriétés polaires^ de q^ei^ues- poiyèdres, al qg» j'ai publié pour la première fois dans la Correspondance ruatUénuitique et physique des Pays-Bas. Tome III, n' 4.

Mcondl ordre £ et ty telles «qpi'aUes somit toutes deuK enveloppées par un aiéiiie oâneA.

Poar cela, prenons la fig. 300 , et conoevODS par le point q une droite S de direction arbitraire dans Tespace.

Menons par la droite S et chacun des points b,b^jb\b/^ en lesquels la droite Q perce les sections coniques C et G des plans (S , 6) , (S , 6,) , (S , fe') , (S , 6,').

Cela fait , menons par la droite S et la droite P un plan (S , P) , et traçons dans ce plan une section conique e coupant la courbe G aux points e et e,.

Concevons le cône A ayant le point p pour sommet, et la section conique e pour base ou directrice.

Cela posé :

Nous pourrons faire tourner la courbe C autour de la droite Q y de manière à ce qa'eu variant de fortne , elle s'appuie sur la courbe 6 1 et soit tangente en les points fixes b et b^ aux plans (S, b) et (S, b). Nous savons que par ce mode de génération ou de construction , on obtient une surface du second ordre 2 , tangente au cône A suivant la courbe plane e.

Cela posé :

Coupons le cône A par le plan (S , P') , nous aurons trae section conique t' , et en faisant tourner la courbe C autour de la droite R , de manière à ce qu'en changeant de forme , elle s'appuie sur la courbe e' et soit tangente en les points fixes b' et b' aux deux plans (S, 6') et (S, 6,') , on obtiendra une seconde surface du second ordre 'S tangente au cône A suivant la courbe plane e'.

. On voit de suite que les droites S et Q sont polaires réciproques^ et pour la surface 1 et pour la surface 2', en sorte que ces deux surfaces ont en commun un système de polaires réciproques.

Il est facile de voir que , lonsque Ton considère les deux surfaces 1 et £\ et non plus ^ttlement les deux courbes C et C', le point q est remplacé par la droite S et que les droites P , F, P, , P/, R, B', sont remplacées par les plans (S,P), (S, F) , (S, P,) , (S, P^'), (S, R), (S, R') , et que les cordes de contact ee^ , ee^^ ii^ , i'i/, sont remplacées par des courbes planes e , «% J » J% qui sont respectivement les courbes de contact <tes surfaces 2 et 2^ et du cône A ayant son sommet an point p^ et du cône A' ayant son sonuoet au point p\

Lorsque les courbes C et C se coupeot e& deux points comme dns la fig. 31 2 , elles donneront naissance à deux surfaces du second ordre 2 et 2' se coupant NÎvant une courbe plane dont le pian aéra (S , I) , et «es tdaon âufaces wront eiivtlmyrtm par lui cône A aywt eon «onmet au poÎAt |i.

Lorsque les courbes C et C se coupent en quatre points, comme dans la fg. 308 bis , elles donneront naissance à deux surfaces du second ordre 1 et 1\ qui, pour être enveloppées par deux cônes, ayant Tun son sommet au point p" et Tautre son sommet au point p"\ devront se couper suivant deux courbes planes dont les plans passent par les diagonales bb' et aa' du quadriialère inscrit ; et , dans ce cas, la droite S devra passer par le point fj[ en lequel ces diagonales se croisent. Dès lors les courbes suivant lesquelles les deux surfaces £ et 2' s'entrecoupent, se coupent en deux points z et s' situés sur la droite S, et pour ces points z et z', les deux surfaces 2 et 2' ont deux plans tangents communs, ou, en d'autres termes , les deux surfaces 2 et 2' se touchent en ces deux points z et %'.

lorsque les courbes C et G' se coupent en deux points et se touchent en un point, comme dans la fig. 313, elles donneront naissance à deux surfaces du second ordre 2 et 2^ qui seront enveloppées par un seul cône ayant son sommet au point p, et ces deux surfaces se toucheront au point 6, et se couperont suivant une courbe plane dont le plan passera par la corde zz'.

On voit donc par ce qui précède , que lorsque deux surfaces du second ordre sont enveloppées par un cône , elles peuvent être :

1* Extérieures Tune à Tautre et n'avoir aucun point commun.

2* Extérieures Tune à Tautre et se toucher par un point.

3* Se couper suivant une seule courbe plane.

i"" Se toucher en un point et se couper suivant une courbe plane.

6* Se couper suivant deux courbes planes se coupant en deux points , qui sont en même temps deux points de contact des surfaces.

Deux surfaces du second ordre peuvent se couper suivant des courbes planes , et cependant n'être point enveloppées par un cône ; cela arrivera toutes les fois que les deux surfaces auront en commun un système de polaires réciproques.

Ainsi en considérant les fig. 310, ou 312, ou 314, les courbes G etG^ pourront donner naissance à deux surfaces du second ordre 2 et 2^ se coupant suivant deux courbes planes , et ne pouvant pas être cependant enveloppées par un même cône.

Mais les deux courbes planes S et |% suivant lesquelles s'entrecouperont les deux surfaces 2 et 2^ pourront être enveloppées par deux cônes dont la droite Z unissant les sommets de ces cônes sera (pour Tune et l'autre surface 2 et ^') la polaire réciproque de la droite S suivant laquelle se coupent les plans des courbes l et (^

608. Ge qui vient d'être énoncé ci-dessus nous permet de considéœr les deux sections coniques G et G' (ayant entre elles les relations de position indiquées par

les fig. 308 bi$, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315 et 316), eomme étant la section faite dans le système de deux surfaces du second ordre 2 et 2' par un plan diamétral principal , commun à ces deux surfaces.

Et dès lors nous pourrons, dans toutes ces figures, comme nous allons le faire pour \9ifig. 308 bis , regarder les courbes {sections coniques) C et G', se coupant en quatre points a, a', 6, 6', comme appartenant à trois systèmes différents entre eux et composés chacun de deux surfaces du second ordre, ayant le plan de ces courbes C et G^ pour plan diamétral principal commun.

Et en effet :

Nous pourrons : 1"" concevoir deux surfaces du second ordre 1 et 2' se coupant suivant deux courbes planes projetées orthogonalement suivant les côtés opposés fig. 308 bisj ab et afb' du quadrilatère inscrit. Ges deux courbes (ab) et (a'6') seront enveloppées par deux cônes ayant pour sommets respectifs les points 9^ et 9,.

Nous pourrons : 2'' concevoir deux surfaces du second ordre £. et 2/ se cou* pant suivant deux courbes planes projetées orthogonalement suivant les^ côtés opposés ab* et afb du quadrilatère inscrit ; et les sommets des cônes enveloppant les courbes (ab^ et (a!b) seront les points q' et q.

Nous pourrons : 3'' concevoir deux surfaces du second ordre I, et S/ se coupant suivant deux courbes planes projetées orthogonalement suivant les diagonales bb' et aaf du quadrilatère inscrit , et les sommets des cônes enveloppant les courbes {bb^ et (aaf) seront les points 9 et 9, .

Ainsi , deux sections coniques tracées sur un plan , peuvent être considérées comme la projection orthogonale de deux sections planes d'un cône, et en même temps comme la section faite dans plusieurs systèmes , composés chacun de deux surfaces du second ordre , par un plan diamétral principal commun à chacun de ces systèmes. Dès lors les propriétés polaires de deux sections coniques tracées sur un plan, seront les projections sur ce plan des propriétés de relation de position, qui existent, soit entre les intersections planes de deux cônes du second ordre, soit entre les intersections planes des divers systèmes qui peuvent exister et qui seront composés chacun de deux surfaces du second ordre, ayant un même plan diamétral principal.

• Des propriétés polaires qui peuvent exister entre trois sections coniques

tracées sur un plan.

609. Pour trouver les propriétés polaires qui peuvent exister entre trois sections coniques tracées sur un plan, nous pourrons : 1* considérer deux

sections coniques C et C tracées sqt un phin, pris pour plan horizontal da projection, comme étant les bases de deux oônes, saToir : la oouite C d'un cône A et la courbe C dun cône A% ces cônes A et À' étant tels qu*ih aient deux, plans tapgents communs , ou im système ooonnnn de polaires réciproqves ; dès lors ces deux cônes A et A' se couperont suivant deux courbes planes C, et C,, qui se projetteront horizontalement suivant deux sections oomques C,^ et C/; et eu projetant les relations de position qu'il sera facile d'étadier sur tes deux cônes qui relient entre elles les courbes G, C, C, et G, , et les sommets $ et tf de ces cônes, on pourra énoncer, sans difficulté aucune, toutes les propriétés polaires qui lient les courbes G et G' avec Tune seulement, ou avec les deux courbes G,* et G/.

On peut encore 2* considérer les retations de positions qui existent entpe trois sections planes G, C, G'', d'une surface du second ordre 2, et les pro* jeter sur un plan , et Ton déterminera facilement par ce moyen les propriétés polaires qui peuvent exister entre trois sections coniques G*, G'*, G"*, tracées sur un plan (*).

Pour que le plan sur lequel sont tracées trois sections coniques C^, C^, G''*, joue par rapport à ces courbes le même rôle que la surface du second oidre E^ sur laquelle se trouvent données trois sections planes G , C, G", il faut q«e les courbes G'^, G'*, G^^, soient iiéei l'une à l'autre par les retaiiom géométriqms qui existent forcément entre les courbes G , C , C^ en vertu de ce que ces trois courbes G, G', C'\ sont les sections planes d'une surface du second ordre.

Or j'ai démontré le premier, et par la Géométrie descriptive j en 4814, dans le tome III, n"* I*' de la Correspondance de V école polytechnique , publiée par HjLcaETTE , que si l'on avait , sur une surface du second ordre S , trois sections planes G, G', G", telles qu'eUes puissent être envdoppées deux à deux par un cône , oes trois courbes pourraient dès lors être envdoppées par m eônes dont les sommets seraient distribués trois à trois sur quatre droites situées dans un même plan.

Ge système de l'espace étant projeté sur un plan P , nous donnera pour condition à exister entre trois sections coniques G*, G*, G"*, tracées sur oe plan P et pour que ce plan P joue par rapport à ces courbes le rôle d'une surface de second ordre, la condition suivante , savoir : que les trois points en lesquels se coupent

(♦) Voyez dans la Correspondance de mathémathiques et de physique des Pays-Bas^ les mémoires dans lesquels je me suis occupé des relations polaires qui existent entre les trois sections planes d'une surface du second ordre , et des relations polaires qui existent entre les hu(t sections oimiques tangentes à trois sections planes d^une surface du second mUre.

deux à deux les tangentes , extérieures , menées à ces courbes combinées deux à deux , soient en ligne droite.

Lorsque cette condition sera remplie , les trois courbes C*, C'*, C"*, jouiront de propriétés polaires qui seront les projections des relations de position , reconnues exister entre trois sections planes d'une surface du second ordre.

610. Nous ferons observer en terminant ce chapitre, qu'il existe une corrélation remarquable entre les propriétés polaires des sections coniques et les propriétés des transversales , corrélation facile à saisir, en vertu du mode de recherche et de démonstration que nous avons employé, savoir : celui des projections. Et en effet , on doit se rappeler que , dans la première partie de cet ouvrage , nous avons considéré les transversales comme la projection d'un système de droites de l'espace , données par les intersections de divers plans ayant entre eux certaines relations de position , et nous avons fait voir que les propriétés des transversales se déduisaient en définitive de la solution graphique du problème de l'intersection de deux plans.

Et par ce qui précède on voit : 1* que les propriétés polaires de deux sections coniques tracées sur un plan , se déduisent en définitive de la solution graphique du problème de la section faite dans un cône du second ordre par un plan ; et 2* que les propriétés polaires de trois sections coniques tracées sur un plan , se déduisent aussi en définitive de la solution graphique du problème de Tintersection de deux cônes du second ordre , s' entrecoupant suivant deux courbes planes. •