DES PARABOLOÏDES HYPERBOLIQUES
563. Nous avons vu, chapitre XI, que si Ton faisait mouvoir une droite K sur deux droites L et U et parallèlement à un plan P, on engendrait une surface gauche S et que cette surface était doublement réglée, parce que si Ton faisait mouvoir la droite L sur deux positions K et E' de la droite K , et parallèlement au plan Q construit parallèlement aux droites L et U, on engendrait précisément la même surface 21 ; cette surface £ est dite , paraboloïde hyperbolique.
Dans le chapitre XI nous avons aussi vu ce qui suit :
Les plans directeurs P et Q se couperont suivant une droite I , et il existera toujours une position K, dé la droite K , telle qu'elle fera un angle droit avec I ; de même il existera toujours une position L, de la droite L, telle qu'elle fera un angle droit avec la droite I, et ces deux droites K, et L. seront dans un plan R perpendiculaire à la droite I ; et ces deux droites E. et L. se couperont en un point s qui sera dit sommet de la surface 2 ; et la droite Z menée par le point s, parallèlement à la droite I , sera dite axe de la surface £ ; et si l'on projette orthogonalement les génératrices droites E, E', E^', etc. , dites du premier système , et les génératrices droites L, L\ U\ etc., dites du second système j sur le plan R (pris pour plan vertical de projection), on aura des droites E%E'*', E^'*', etc., qui seront parallèles entre elles, et on aura aussi des droites L*", U% L''% etc., qui seront parallèles entre elles.
Tonte» les droites K, K', IL", etc., projetées oUtqmement sur le plan directeur Q qui leur est parallèle (la projection s'effectuant par des droites parallèles à E,), donneroil des droites L^, L'*, U\ etc., qui se couperont au point k en lequel la droite K, perce le plan Q.
Cela posé :
561. Faisons mouvoir la surface S parallèlement à elle-même, et le long de Y axe Z. Le sommet $ se transportera sur Z en un point 8% et la surface 2 aura pris la position 2'; et chacune des droites Z\ 1!\ V^ etc., parallèles à Z, couperont les surfaces 2 et S' en deux points dont la distance sera égale à «y.
Cela posé :
Démontrons que si , en un point m de la surface 2 , nous menons un plan tangent T, ce plan T coupera la surface £' suivant une courbe i dont le point m sera le centre.
Par le point m passent deux génératrices droites de systèmes différents ^ K et L; par le point m menons une droite Z^ parallèle à la droite Z et par suite à la droite I. Prenons sur la droite L parallèle au plan Q , un point T, et par ce point menons la génératrice droite K' de la surface 2 ; prenons sur la droite Z' un point arbitraire m\ nous pourrons toujours construire une droite J passant par le point m\ s^appuyant sur la droite E' et parallèle au plan T. Cette droite J coupera la droite E^ au point i\
Si , sur la droite J , je prends un point i" distant du point m' comme Test le
point a y en sorte que Ton ait mV=mTy je dis que le point t" sera sur la surface £ ; de sorte que si l'on mène par le point i'^ une génératrice E'^ de la surface Z, elle coupera la droite L en un point f , tel que Ton aura : mV=^m(!^.
Et en effet ,
Nous savons que si l'on a trois droites E, E', E', non parallèles entre elles, mais parallèles à un plan P, elles sont coupées en parties proportionnelles par une suite de plans Q, (y,Q^ etc., parallèles entre eux.
Si donc nous considérons les deux génératrices droites E et L du paraboloide If qui se croisent au ppint m, et si l"" nous prenons sur la droite L deux points /' et l" également distants du point m , et que nous construisions les génératrices K' et E^ du paraboloide 1 passant respectivement par ces points /' et l" ; et si , 2"" nous pre*nous sur la droite E deux points k' et k" également distants du point m, et que nous construisions les génératrices II et U' du paraboloide £ passant respectivement par ces points k! et k\ les quatre dr<Âte8 ES E^, \J et \J\ détermineront on quadrilatère gauche.
Les sommets de ce quadrilatère seront les points, t' intersection des droites
K' et L\ i\ intersection des droites V et K'', i'' interaection des dmites K"" et L\ il' intersection des droites \f et K^
Les points f , l"y k!^ kf^ sont par constniction les oHlieox des côtés de œ quadri-* latère gauche.
Gela posé :
Si 9 par la droite K , nous menons un plan P, parallèle à K^ ce plan sera parailële à K^
Si, par la- droite L 9 nous menons un plan Q, parallèle à U, il sera parailèle à L^
Les deux plans P, et Q, étant respectivement parallèles aux plans directems P et Q y se couperont suivant la droite Z' parallèle à la droite I.
Cela posé :
Menons par K^ et K^' les plans P/ et P,^ parallèles à P, ou P, menons par V et L^ les plans Q/ et Q/ parallèles à Q. ou Q, et coupons tout le système par un plan T perpendiculaire à la droite Z^ ce plan sera dès lors perpendiculaire aux six plans P.,P/, P/'f Q|f Q/>Q/'; nous obtiendrons sur le plan Y un parallélogramme qui sera sur ce plan Y la projection orthogonale du quadrilatère gauche de Tespace {fig. 293). Par conséquent la droite J qui unit dans l'espace les points i' et 1"^ et la droite 1, qui unit dans Tespace les points i\ et T, se projetteront suivant des droites r et J,*" qui se croiseront au centre du parallélogramme (î''î.V*î/0 projection sur le plan R du quadrilatère gauche (iX'i\'').
Ainsi les droites J et J, , qui unissent deux à deux les sommets opposés du quadrilatère gauche intercepté par les quatre génératrices K', E^', L\ Uj du paraboloïde £ y s'appuient sur la droite Z\
Démontrons maintenant que ces deux droites J et J, sont parallèles au plan T déterminé par les deux droites K et L.
La droite qui uuit les points H et k" est dans le plan T ; or ces points étant les milieux des côtés Ti/, IV ^^ triangle (i't.V), il s'ensuit que Ja droite TF on J est parallèle à la droite Pk"^ et par conséquent au plan T.
Ainsi , les deux droites J et J, sont parallèles au plan T , et de plus elles coupent la droite Z% savoir : J en un point m', et ), en un point m/, tels que Ton a :
Cela posé :
Si par le point mf de la droite Z' nous menons un plan V parallèle au plan T, ce plan T' coupera la surface S suivant une courbe i dont le point m' sera le centre. Dès lors si nous faisons glisser la surface S parallèlement à elle-même , et le long de VaxeZ^ d'une quantité égale à mm\ le point m' se superposera sur le point m ,
— asile plan T' se superposera sur le plan T et la sarface 1 prendra la position S' , et le plan T coupera la surface S' suivant une courbe d' qui ne sera autre que la position que la courbe d est venue occuper dans l'espace après le mouvement de translation de la surface £.
Ainsi il est démontré que le plan T coupe la surface S' suivant une courbe if dont le point m est le centre. ^
Si nous coupons les deux paraboloïdes S et S' par un plan quelconque X, nous obtiendrons deux courbes planes g et g', et si , par un point quelconque m de g « nous menons un plan T tangent à la surface S , ce plan T coupera la surface S^ sui* vaut une courbe Sf dont le point m sera le centre , et ce plan T coupera le plan X suivant une droite 9 tangente en m à la courbe g ; et cette droite 9 coupera la courbe g' en les points t et {' qui sont précisément ceux en lesquels se coupent les courbes g' et 3'; on aura donc : mt=mi\
Par conséquent , les deux courbes g et g' jouissent de la propriété , savoir : que le point de contact m d'une tangente 9 à la courbe g est le milieu de la corde a' interceptée sur 9 par la courbe g'. En vertu de ce qui a été dit (n*" 342 bi$ et suivants) les deux courbes g et g' sont donc deux sections coniques, concentriques et semblables.
Nous pouvons donc énoncer ce qui suit :
I. Tout plan, quelle que soit sa direction, coupe un paraboUMe hyperbolique suivant une section conique.
IL Une droite ne peut couper un paraboloide hyperbolique en plus de deux points.
S65. Démontrons maintenant que les sections planes d'un paraboloïde hyper* bolique ne peuvent être que des paraboles ou des hyperboles.
Si Ton prend sur une génératrice droite L d'un paraboloïde hyperbolique 1 un point m , le plan tangent T en ce point m passe par la génératrice du second sys^ tème K qui passe par ce même point m.
Or^ à mesure que le point m s'éloigne sur la droite L du sommet s du parabo* loïde S, la droite K tend de plus en plus à devenir parallèle au plan directeur Q auquel la génératrice L est elle-même parallèle ; en sorte que pour le point m, situé à l'infini sur la droite L, le plan tangent T, à la surface S est parallèle au plan Q*
Cela posé :
Tout plan sécant X ne pourra occuper que deux positions par rapport à Vaxe Z ^ ou i " être parallèle à cet axe , ou 2' couper cet axe,
1* Le plan X étant parallèle à Vaxe Z.
Dans ce cas il existera une génératrice du système K et une génératrice du système L, parallèles au plan X, mais qui seront situées à l'infini.
Lorsque le plan X sera parallèle à l'un des plans directeurs P ou Q^ et ainsi le
2* PAETII. 44
plan X étant parallèle an plan P, toutes les gtoératrioes an système K Ivi seront parallèles, et la section de la sarface 1 par le plan X ne sera antre qu'une des génératrices droites du système K.
De même si le plan X est parallèle au plan Q, il coupera le parabotoïde 1 sui-* ▼ant une génératrice droite du système L.
Lorsque le plan X coupe les deux plans directeurs P et Q, et quMI est parallèle à leur intersection I, ou, en d'autres termes, qu'il est parallèle à Vaxe Z, il est évident qu'il sera parallèle à deux génératrices de systèmes différents , mais situées à rinfini, car la génératrice du système K ou du système L, située à Tinfini, esl parallèle aux deux plans directeurs P et Q, et dès lors à leur intersection I.
Le plan X , dans ce cas , coupera donc la surface I suivant une courbe S infinie.
Mais pour le point situé à Tinfini sur la courbe S, le plan tangent T^ à la snr*face 1 est parallèle à Tun des plans directeurs^ et le point sitné à Tinfini sur la courbe 6 est sur nne génératrice située à Tinfini, par conséquent le plan T, est tout entier à l'infini ; il ne peut donc couper le plan X que suivant nne droite située tout entière à l'infini ; la courbe 6 est donc une parabole.
8* Le pUm X campant Caxe Z.
Dans ce cas, le plan X coupe la droite I intersection des deux plans ttirecieun P et 0; on pourra donc toujours construire deux génératrices K (du système K) et L (du système L) parallèles à ce plan X , ces droites K et L étant situées à distance finie, et se coupant en un point m,.
Le plan X coupera donc la surface 2 suivant une conrbe S infinie , puisque cette coorbe aura des points situés à l'infini sur les droites K et L.
Or, si par K, nous menons un plan 0 parallèle an plan Q, le plan 9 sera tangent à la surface 1 au point situé à l'infini sur K ; ce plan O coupera dès lors le j^an X suivant nne droite 9 tangente à l'infini à la section 6.
De même, si par L nous menons un plan O, parallèle au plan P, ce plan O, sera tangent au paraboloïde 2 au point sitné à l'infini sur L, ce plan 9. coupera donc le plan X suivant nne droite 0, tangente à l'infini à la section S.
La courbe 6 ayant deux asymptotes 0 et 9, , et étant nne section conique, ne sera antre qu'une hyperbole.
Et comme nous avions établi précédemment que les droites E et L étaient parallèles au plan X, on voit que les asymptotes 0 et 9, de l'hyperbole S sont respective* ment parallèles à ces génératrices de systèmes différenH K et L.
En sorte que l'on peut énoncer ce qui suit :
III. Un paraboloide hîfperbolique 1 ne peut être coupé par un plan X que stdtHmi des paraboles j si ce plan X est parallèle à taxe 1 de la surface 2, ou suivant c(et hyperboles , si ce plan X coupe l'axe Z de la surface 2.
Ei dans le cas où la section est wse hyperbole , ks asymptotes de ceUe courbe sont parallèles aux génératrices de systèmes différents qui détermuent tm plan qui y tangent à la surface 2, est parallèle au plan sécant X.
566. D'après le mode de génération du paraboloïde hyperbolique 2, la forma de cette surface est telle que si Ton mène en son sommet s le plan tangent T, œ pian, qui coupera la surface suivant les deux génératrices droites K. 6t L,, partagera la surface en deux parties , Tune située à droite et Tautre située à gauche par rapport à ce plan T , et de telle sorte que si , 1 "* Ton mène par Vaxe Z une suite de plans V, Y, \\ etc., compris dans Tun A des deux angles X et X' (supplémentaires) formés par les droites K, et L,, ces plans couperont la surface 2 suivant des paraboles y, y\ y\ etc., tournées dans un sens, et que si 2* Ton mène par ce même axe Z une suite de plans Y, t V/, Y/, etc., compris dans le second angle X', formés par les droites K, et L, , ces plans couperont la même surface 2 suivant des paraboles 7^ , y/, 7,% etc., tournées en sens opposé par rapport aux premières 7, /, y^'y etc.
Et si Ton conçoit deux plans passant respectivement par les droites K, et Z , L, et Z , et que Ton coupe la surface 2 par un plan P perpendiculaire à Taxe Z et dès lors parallèle au plan tangent T, œ plan P coupera les plaDfi(K^yZ) et (L, , Z) suivant des droites fi et 9^ qui comprendront entre elles les angles X et X' (supplémentaires Fun de l'autre )^ et ce même plan P coupera la surface 2 suivant une hyperbole fi qui sera comprise entre ses asymptotes 0 et fi' dauB l'angle X et son opposé au sommet, si le plan P est À gauche du plan T, et au contraire , dans l'angle X^ et son opposé au sommet , ù le plan P est à droite du filaii T.
Cela posé :
Si, en un point m d'un paraboloïde hyperbolique 2, on mène un plan tangent T, ce plan coupera la surface 1 suivant deux génératrices droites K et L de sysièmes différents^ et si, par le point m on mène une droite Z' parallèle à Vaxe 2 de la surface 2, et que par cette droite Z' et chacune des droites K et L on mène deux plans Q et Q'^ ils seront coupés par une suite de plans P, , P, , P, , etc. , parallèles entre eux et au planT suivant des droites B, et 9/, 6, et 6/, fi, et 6,', etc., qui seront les asymptotes des sections hyperboliques €,,€,, €3 , etc., données dans la esrface 2 par les plans P,, P,, P^, etc., ei les oeaires o^^o^^ a,, etc., de ces courbes , seront situés sur la droite Z\
le dis que les courbes €,,€,, €3 , etc. , sont des hyperboles semblables et semblablement placées, en admettant que les pians P,, P,, P«, etc., sont tous situés d'un même côté par rapport au plan T. ^
Et en efiet:
Les asymptotes 9,, 9,, O,, etc., sont parallèles à la droite K, les asymptotes 9/, 0/, 83', etc., sont parallèles à la droite L : par conséquent si Ton faisait glisser parallèlement à eux-mêmes les plans P^^Pj^etc., pour les superposer sur le plan P, , les points o^yO^, etc., viendraient se superposer sur le point o, , et les droites 9,, 63, etc., se superposeraient sur 9,, les courbes 6,, 63, etc., prendraient les positions 6/, 63', etc., et les courbes 6,, 6/, 63^ etc., auraient mêmes asymptotes 9. et 9/; elles seraient donc semblables et concentriques : donc, etc.
Ainsi Ton peut énoncer ce qui suit :
IV. Si l'on mène um plan tangent T en un point m d'un paraboldde hyperbolique 2t et si l'on coupe cette surface 1 par une suite de plans parallèles entre eux et au plan T et situés tous à droite ou tous à gauche j par rapport à ce plan T, les sections seront des hyperboles semblables et semblablement placées ^ et dont les centres seront situés sur la droite TJ qui , passant par le point m , sera parallèle à l'axe Zdela surface 3.
y. Si ron prend un point z extérieur à un paraboloïde hyperbolique 1 , et qu'on le regarde comme te sommet d'un cône A tangent à la surface 1 , la courbe de contact d sera toujours une hyperbole.
Cela posé :
Concevons par la droite Z' un plan Y, ce plan coupera les hyperboles 6, > 63, 63, etc., en les points b^ et 6/, b^ et 6,', é, et b^\ etc., et les droites
^fiii ^Aj ^3^3? ^*^-» ^i*/> ^ïV? ^a^aS ^'^'j seront parallèles entre elles; et comme les hyperboles S,, €,,63, etc., sont semblables et semblablement placées, les tangentes B, en 6, à 6, , B, en 6, à 6, , B, en b^ à 63 , etc., seront parallèles ; toutes ces droites B, , B, , B, , etc., parallèles entre elles et au plan T, seront tangentes à la surface 2 et formeront un cylindre A , tangent à la surface S suivant la parabole d, section faite dans la surface 1 par le plan Y.
On peut donc énoncer ce qui suit :
yi. Si Pon fait rouler un plan Y tangentiellement à un paraboldide hyperbolique 2 y ce plan Y restant pendant son mouvement parallèle à une droite y la surface enveloppe de C espace parcouru par le plan Y sera un cylindre ayant pour courbe de contact avec la surface 1 une parabole d , dont l'axe infini sera parallèle à l'axe Z de la surface 2.
Et réciproquement :
Si l'on fait rouler tangentiellement sur un paraboldide Ityperbolique 1 un plan Y, de tnanière que le point de contact du plan Y et de la surface 2 parcoure une parabole , tracée sur cette surface 2, ta surface enveloppe sera un cylindre (*).
(*) Ce théorème nous conduit à la démonstration d*uu problème-plan et que Ton énonce ainsi qu'il suit : ^
Étant données sur un plan P deux droites  et B se coupant en un point d, prenons sur la droite À deux points arbitraires a et a' et sur la droite B deux points aussi arbitraires 6 et b'; de telle sorte
567. DémontroDS maintenant que si Ton coupe un paraboloïde hyperbolique 1 par une suite de plans parallèles entre eux et à Vaxe Z de la surface S , on obtiendra des paraboles identiques ou superposables.
Nous avons fait voir (n** 381) que lorsqu'une surface S était engendrée par une courbe C qui se mouvait parallèlement à elle-même sans changer de forme ni de grandeur , Ton pouvait envelopper cette surface S par un cylindre A tangent à cette surface suivant la courbe C; et qu'ainsi désignant par C, C, C", etc. les diverses positions de la courbe génératrice C, on avait les cylindres A, A', A", etc., respectivement tangents à la surface 2 suivant les courbes C, C, C, etc.
Et la réciproque est également vraie, savoir : si Ton peut construire une suite de cylindres A, A', A'^, etc. tangents à une surface 2 suivant des courbes C, C, C", etc., parallèles entre elles, ces courbes C, C\ C", etc., seront identiques ou superposables.
Nous pouvons donc énoncer ce qui suit :
VIL 5î Con coupe un parabobnde hyperbolique 1 par une suite de plans parallèles entre eux et à Caxe Z de la surface S» l'on aura une suite de paraboles identiques ou superposables.
568. On démontrera comme pour la sphère (en employant le même mode de
que les droites aa' et bb' seront égales ou inégales en longueur; de telle sorte que le point d sera en dehors ou en dedans des points a et a' ou b et b'; de telle sorte que les lougueurs ad et bd seront égales ou inégales entre elles.
Les points a et a\ b et b' étant placés sur les droites A et B, divisons la droite aa' en n parties égales et divisons aussi la droite bb' en le même nombre n de parties égales entre elles, unissons les points de division de la droite A avec ceux de la droite B, en croisant ou ne croisant pas les lignes ainsi que Tindiquent les figures 294 et 295, nous obtiendrons une série de droites qui, par leur intersection deux à deux (en considérant deux droites successives), détermineront un polygone dont les côtés seront tous tangents à une môme parabole.
Et en effet :
Nous savons que si Ton a deux droites Ai et B^ , situées dans l'espace (dont A et B seront les projections orthogonales sur le plan P), si Ton mène une série de plans Q, Q\ Q", etc., parallèles entre eux et coupant ces droites A^ et B^ ainsi qu'il suit :
Q coupera A^ en un point a^ et Bi en un point b^
etc. — — etc. — etc.
Si ron mène les droites unissant les points homologues a, et b^, a/ et 6/, etc. , on aura en ces droites a^bu a\b\^ etc., les génératrices droites (d'un système) d'un paraboloïde S; et considérant un cylindre A tangent à la surface 2, ce cylindre A ayant ses génératrices droites perpendiculaires au plan P, comme ce cylindre A sera tangent à la surface 2 suivant une parabole \, il sera coupé par le plan P suivant une parabole S (laquelle sera la projection orthogonale de la courbe SJ.
Le cylindre A, comme étant tangent à la surface S, aura donc pour tangentes les diverses gênératrices droites a^ai\ b^b^\ etc. de la surface £; dès lors il est évident que les droites a^a^, b^b^, etc., se projetteront sur le plan P, en des droites tangentes à la parabole ^ projection de la parabole \.
démonstration), que si Ton a deax sections planes d*nn paraboloïde hyperboUqae 86 coupant en deux points ou n^ayaut aucun point commun, on peut les envelopper par deux cônes, et que si ces sections ont un point de contact on ne pent lesenv^ lopper que par un seul cône ; mais il faudra que les sections soient tournées dans . le même sens lorsqu'elles seront des hyperboles.
De sorte que le théorème admet une restriction pour le paraboloïde hyperbolique.
569. On démontrera comme pour la sphère (en employant le même mode de démonstration), que si un cône ou un cylindre coupe un paraboloïde hyperbolique 2 suivant une section conique, il recoupe cette surface S suivant une seconde section conique.
570. Il est facile de démontrer que : 1* lorsque Tune de& polaires réciproques perce le paraboloïde hyperbolique £, l'autre polaire perce aussi cette surface 2.
Et 2" lorsque l'une des polaires réciproques ne perce pas le paraboloïde hyperbolique 2^ l'autre polaire ne perce pas aussi cette surface 1.
Et 3*" lorsque Tune des polaires réciproques touche le paraboloïde S en an point m» l'autre polaire lui est tangente en ce même point m.
Et i"" si Ton a une droite D perçant la surface hyperboioïde 2 en an seul point m, alors cette droite D est parallèle à l'axe Z de la surface I, et elle est un diamètre infini de la surface.
Cela posé :
Si l'on mène deux génératrices droites G et K d'un paraboloïde hyperbolique S se croisant en un point m de la surface £, et si l'on mène par le point m une droite D parallèle à l'axe infini Z de la surface S, les deux plans (6, D) et (K, D) seront tangents à cette surface S, et ils seront l'un et l'autre parallèles à Taxe Z. Le premier plan (6, D) sera parallèle au plan directeur P des génératrices du système G, et le second plan (K, D) sera parallèle au plan directeur Q des génératrices du système K ; l'un et l'autre de ces plans sera donc asymptote au paraboloïde £, la polaire D. réciproque de la polaire D sera donc tout entière située à l'infini .
Ce qui vient d'être énoncé ci-dessus est facile à vérifier ; en effet :
Soit donnée une droite D, de direction arbitraire par rapport à un paraboloïde hyperbolique S; désignons par s le sommet, et par Z Taxe infini de la surface £ ; désignons par G et K les génératrices droites de sysièmes différents se croisant au point s.
Les deux droites G et E comprennent entre elles un angle a et un angle 6 supplémentaire de a.
Supposons un plan Y passant par l'axe Z et partageant l'angle a, il coopéra la
surface 2 suivant une parabole ij et supposcms un second plan Y' passant par l*aM Z et partageant Fan^ 6» il coupera la surface S suivant une parabole à\
Or, nous savons que les paraboles d et d^ seront tournées ea sens opposés. Tune i étant en dessous du plan (G, K), Tautre ^ étant en dessus de ce même plan (6, E).
Si nous considérons un cylindre A tangent à la surface S, et dont les génératrieas soient parallèles à la droite D, ce cylindre A touchera la surface S suivant une parabole d* dont le plan contiendra la polaire D^ réciproque de D.
Et il est évident que si la droite D perce la surface 2 en deux points^ la droite D, percera aussi la surface 2 en deux points*
n est encore évident que si la droite D ne rencontre pas la surface 2, la droite D, ne rencontrera pas aussi la surface £•
D'ailleurs on peut facilement construire la droite D,, la droite D étant donnée de position et quelle que soit sa position dans l'espace par rapport au paraboloïde hyperbolique 2 ; car il suffit de mener par D deux plans P et F coupant la surface 2 suivant des sections coniques C et C\ ces deux courbes seront enveloppées par deux cônes dont les sommets xeta/ détermineront la droite D, . Lorsque les sommets X et a/ seront à l'infini, ou, en d'autres termes, lorsque les deux cônes enveloppant les deux courbes G et C se réduiront à un seul cylindre et quelle que soit la direction des plans P et P\ alors la polaire réciproqiLe D, sera située tout entière à l'infini; or, c'est oe qui a lieu évidemment lorsque la droite D est parallèle à Taxe Z de la surface S.
571 . Nous démontrerons, comme nous Tavons fait pour le paraboloïde elliptique, les diverses propriétés qui existent pour deux paraboloïdes hyperboliques concentriques et semblables. Les énoncés de ces propriétés sont les mêmes pour l'un et l'autre paraMotde.
On doit distinguer deux variétés de paraboloïde hyperbolique : celui pour lequel les plans directeurs se coupent sous Tangle droit, la surface est alors dite recUmgfi^ laire, et celui pour lequd les plans directeurs se coupent sous un angle aigu ou obtus, alors la surface est dite oblique.
Des ékvers modes de génération du paraboltnde hyperbolique ^ par des
sections coniques.
572. Premier mode de génération. Goncevons deux droites D et R non situées dans un même plan et faisant entre elles un angle arbitraire, et une troisième droite A s'appuyant sur les deux droites D et R, et ayant une direction d'ailleurs arbitraire ; désignons par c/ et r les points en lesquels la droite A coupe respectivement les
droites D et R; désignons par P le plan (D, A), par Q le plan (R, A), par X un plan quelconque passant par la droite D^ par Y un plan quelconque passant par la droite Ry et par Z un plan quelconque passant par la droite A.
Gela posé :
Prenons sur la droite R deux points m et tnlj équidistants du point r, et prenons aussi sur la droite D deux points n et n\ équidistants du point d.
Désignons par T le plan (D, m), par T' le plan (D, m'), par 0 le plan (R, n), et 0' le plan (R, n').
Les plans T et T' seront respectivement coupés par le plan (A, D), ou P, suivant deux droites 9 et ^^
Cela posé :
1 *" Nous pourrons toujours construire dans le plan Q une parabole B passant par les points m et m'y et ayant pour tangentes en ces points les droites l et <'; cette parabole aura la droite A pour diamèire^ et la coupera au point s milieu de la droite dr.
2** Nous pourrons toujours construire dans le plan P une parabole H passant par les points n et n\ et ayant pour tangentes en ces points les droites 0 et 6' ; cette parabole aura la droite A pour diamètre j et la coupera au même point s^ celui en lequel le diamètre A est coupé par la parabole B (*).
La tangente R' à la parabole B pour le point s sera parallèle à la droite R.
La tangente D' à la parabole H pour le point s sera parallèle à la droite D.
Le plan (D', R^ sera donc tangent en même temps aux deux paraboles B et H» et il sera parallèle aux deux droites R et D.
Cela posé :
Parmi les plans X passant par la droite D^ prenons celui qui sera parallèle au plan (ly, R^) f et traçons dans ce plan X une hyperbole X ayant son centre au point d^ et pour diamètre transverse la droite nn'y et pour asymptotes deux droites arbitraires L. et L, se croisant au centre d.
Si Ton fait tourner le plan P autour de la droite A comme axe de rotation, ce plan P prendra diverses positions Zy Vy 1'"^,... et la parabole H prendra ^ en changeant de forme, les positions H', H^', B!"^.... dans chacun de ces plans Z\ Z"j Z"\.... Chaque forme H^, H'', H"^,.... de la parabole mobile et variable H seront faciles à déterminer, car pour le plan Z', par exemple, ce plan Z' coupera le plan (D', R') suivant une droite ^ et Thyperbole X en deux points / et /., et la parabole H'
n Le point s sera le milieu de la droite dr, pour Tune ou pour Tautre parabole B et H, parce que la 80u&-tangeDte est double de Tabscisse dans la parabole, que cette parabole soit rapportée à des axes rectangulaires ou à des axes obliques.
passera par les points t et l^j et elle aura poar tangente au point s la droite if et pour diamètre la droite Â.
La parabole H prendra donc les diverses positions indiquées, ci-dessus, sur les divers plans Z compris entre les plans (A, LJ et (A, L,), chacun de ces plans Z coupant en deux points Thyperbole X, et Ton voit qu'à mesure que le plan Z approche du plan (A, LJ, ou du plan (A, LJ, la parabole H tend à devenir une ligne droite. Ainsi parmi les paraboles H', H", H''',.*-- ^^ ^^^^ deux droites H, et H,, tracées dans le plan (ly, R') et parallèles respectivement aux asymptotes L, et L^ de rhyperbole X, et lorsque le plan Z dépassera le plan (A, L,) ou le plan (A, LJ, alors il ne coupera plus l'hyperbole X; on devra donc, pour achever la surface, concevoir que par la droite R on a mené un plan Y parallèle au plan (ly, R') et que Ton a tracé dans ce plan Y une hyperbole a' ayant son centre au point r, pour diamètre transverse la droite mm\ et pour asymptotes deux droites L/ et L/, se croisant au centre r et parallèles respectivement aux asymptotes L, et L, de Thyperbole X*
Alors la parabole B, en se déformant pendant qu'elle tourne autour de Taxe A , engendrera la seconde partie de la surface.
Il est évident que, par ce mode de génération, on obtiendra un paraboloïde hyperboliqiïfe.
Dans ce mode de génération , on a pour génératrices des paraboles et pour directrices deux hyperboles inversement semblables.
573. Second mode de génération* Tout étant disposé ainsi que nous l'avons dit ci-dessus, nous pourrons faire tourner le plan X (qui contient l'hyperbole X) autour de la droite D ; ce plan X prendra les positions X', X'', X'",.--- et la courbe X prendra les positions successives Xj , X, , X,,.... dont la forme sera déterminée de la manière suivante :
Prenant la parabole H et une seconde position H' de cette courbe H , on considérera ces deux paraboles H et H' comme directrices du mouvement de l'hyperbole génératrice X. Dès lors le plan X' coupera, V la courbe H aux points n et «', et 2* la courbe H' aux points n, et «/, et 3* la droite R en un point ?.
L'hyperbole X, , en laquelle se transforme l'hyperbole X en passant du plan X dans le plan X', passera par les points «,, w/, n , n\ et elle aura pour tangentes en les points n et n' les droites nr' et nV .
On déterminerait de la même manière les diverses hyperboles X,, X,, Enfin
lorsque le plan X , après avoir tourné autour de la droite D , et pris une série de positions en lesquelles il coupera la droite A , viendra passer par cette droite A , l'hyperbole X se transformera en la parabole H.
— 3ftO —
Par ce mode de génération , on construit la surface en son entier ; il diffère donc du précédent^ qui ne permet de construire la surface que par moitié.
Dansée mode* de génération on a pour génératrices des hyperboles et pour direc" trices des paraboles.
574. Troisième mode de génération. Le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une parabole d de forme invariable se mouvant parallèlement à ellemême , un de ses points parcourant une parabole fixe g y les axes infinis des deux paraboles d et 6 étant parallèles entre eux et les deux paraboles d et 6 étant tournés en sens inverse.
Ainsi, dans ce mode de génération , on a pour génératrices des paraboles, et i^ouv directrice une parabole.
575. Quatrième mode de génération. Étant tracée sur un plan X une hyperbole X^ on construit une corde coupant ses deux branches , Tune en un point n et l'autre en un point n'; par le milieu d de la corde nn^ y on mène une droite A de direction arbitraire par rapport au plan X ; on prend sur la droite A un point a et dans le plan (a , n^n'), on mène par le point a une droite G parallèle à la corde nn' ; ensuite on trace dans le plan {a^ n^ n') une parabole H passant par les points n, n'et a et ayant pour tangente au point a la droite 9.
Cela fait, on fait mouvoir Thyperbole X parallèlement à elle-même; elle variera de forme , mais elle restera toujours semblable et semblablement placée et de telle manière que ses points n et w' décriront la parabole H.
Par ce mode de génération , on ne peut construire que la moitié de la surface ; pour obtenir la seconde moitié il faudrait prendre une seconde parabole directrice & tournée en sens inverse par rapport à la parabole 6 et les hyperboles génératrices ï! seraient inversement semblables aux hyperboles X.
Dans ce mode de génération, on a pour génératrices des hyperboles et pour directrice une parabole.
DBS HYPERBOLOÏMES A DEUX NAPPES.
576. Traçons dans le plan vertical une hyperbole H (fig. 996) et prenons le irfan horizontal de projection perpendiculaire à l'axe transverse de cette coarbe.
Désignons par Z cet axe transverse et par A et A' les deux asymptotes de la courbe H, lesquelles droites se croisent au centrer.
Cela posé :
Faisons tourner la courbe H (comme courbe méridienne) autour de l'axe Z, elle engendrera une surface de révolution 2, et ses asymptotes engendreront un cône de révolution A ayant le point o pour sommet.
La surface 2 est composée évidemment * de doux nappes distinctes, et chacune d'eHes est infinie dans un sens. Cette surface 1 a reçu le nom d'^liyperboldide à deux nappes de révolution , et le cône A est dit cône asymptote de la surface 1 , car il est évident que, puisque les assmptotes A et A' touchent la courbe H à l'infini, le côee A louchera la surface 1 suivant deux cercles situés à l'infini , l'un de ces cercles appartenant à l'une des nappes , l'autre cercle appartenante l'autre nappe de la surface 1.
Cela posé :
Prenons un point x sur la surface 1 et faisons passer i* par l'axe Z et le points; un plan M coupant la surface suivant un méridien H' et 2* par le point x un plan P perpendiculaire à l'axe Z et coupant la surface 2 suivant un parallèle 3.
Les tangentes au point a;, savoir : 9 à H' et g à 3 détermineront un plan T tangent au point :i: à la surface S.
Or , le plan M coupe le cône A suivant deux génératrices droites 6 et G' , asymptotes de l'hyperbole méridienne H' ; donc 9 coupe G et G' en deux points g et g' tels que l'on a : gx=g^x.
Or, le plan P coupe le cône A suivant un cercle C concentrique au cercle d, donc l coupe C en deux points q et q' tels que Ton a : qx=^ q'x.
Or , le plan T coupe le cône A suivant une ellipse E dont le point a: sera le centre, car les deux droites qq' et gg' sont rectangulaires entre elles , et si l'on construit les tangentes à la courbe E pour les points g et g' on trouve qu'elles sont horizontales; les deux droites qq^ et gg' forment donc un système de diamètres conjugués rectangulaires entre eux, elles sont donc les axes de l'ellipse E.
Dès lors , si dans le plan T on mène par le point x une droite quelconque L, elle coupera l'ellipse E en deux points / et /' tels que l'on aura : xl=xl^.
Cela posé :
Si Ton mène un plan Q de direction arbitraire , mais coupant la surface S suivant une courbe 6 et le cône A suivant une section conique S, , il sera facile de démontrer que les courbes S et 6, sont concentriques et semblables et que 6 n'est autre qu'une section conique ; et en effet :
Si par un point x de la courbe ê on mène un plan T tangent à la surface S , il coupera le plan Q suivant une droite L, laquelle percera la section conique 6 ^ en deux points / et T, tels que l'on aura (en vertu de ce qui a été dit ci-dessus) xl=^x(. Et cela aura lieu pour tous les points x de la courbe S.
La courbe 6, qui est inconnue, est intérieure par rapport à la section conique 6,. Mais il a été démontré (n° 3i2 bis^ i°) que lorsque l'on avait deux courbes telles que 6 et 6^ , elles étaient deux sections coniques concentriques et semblables.
Ainei , on peut énoncer ce qui suit :
h Tout plan y quelle que soit sa direction , coupe un hyperboloide à deux nappes et de révolution suivant une section conique , qui peut être ou une ellipse ou une parabole ou une hyperbole , suivant la direction du plan sécant par rapport au cône asymptote de la surface hyperbolmde.
II. Une droite peut percer un hyperboloide à deux nappes et de révolution en un ou deux points y mais elle ne peut le rencontrer en plus de deux points.
Menons par le centre o de Thyperboloïde à deux nappes et de révolution £ une droite D coupant cette surface y, en deux points d et d'; le point c( sera sur l'une des nappes et le point d^ sera sur la seconde nappe.
Par Taxe Z de révolution et la droite D nous ferons passer un plan P coupant la surface 2 suivant une hyperbole méridienne H , et ce même plan P coupera le cône asymptote A suivant deux génératrices droites G et G' qui seront les asymptotes de la courbe H, laquelle aura le point o (centre de la surface 2) pour son centre.
La droite D percera l'hyperbole H en les points d et d\
Cela posé :
Par la droite D faisons passer une infinité de plans R , R% R'' , etc. , ils couperont la surface S suivant des sections coniques a , a , a % etc., qui seront toutes des hyperboles en vertu des positions que les plans R ^ R% R'% etc. , affectent par rap* port au cône asymptote A ; puisque chacun de ses plans coupe le cône A suivant deux génératrices droites.
Construisons au point d un plan 0 tangent à la surface 1 , ce plan G sera coupé par les plans R, R', R", etc. , suivant des droites 9, 9', 9", etc., qui seront respectivement tangentes aux courbes a , « , a" , etc. , et au point d.
Construisons au point d' un plan 0, tangent à la surface 2, ce plan 0, sera coupé par les plans R,R\R", etc., suivant des droites 9^, 9/, 9,^, etc., qui seront respectivement tangentes aux courbes ay a , a" , et au point d\
Or, comme la surface S est de révolution, les plans 0 et 0, seront perpendiculaires au plan méridien P; et comme la droite D est un diamètre de l'hyperbole méridienne H , il s'ensuit que les plans 0 et 0, sont parallèles. Dès lors , les hyperboles de section a, «', a'' , etc. , auront toutes le point o pour centre et la droite Don drf' pour diamètre commun.
Cela posé :
Prenons le plan méridien P pour plan vertical de projection , et projetons ortho* gonalement sur ce plan P les courbes a^ay a\ etc. , nous obtiendrons les hyperboles a , a '^ , a"*' , etc. , qui auront la droite dd^ pour diamètre commun , et qui auront en d et d* pour tangentes communes les droites parallèles entre elles X et \ intersection du plan P par les plans 0 et 0,. Or, si l'on mène une droite Y parallèle à X, elle coupera respectivement les courbes a . «"', a"", etc. , en les points
m*, m'% m"% etc. , qui seront les projections des points m , m', in", etc. , situés sur les hyperboles a, «', ol\ etc., et tous ces points m, m', m", etc. , seront sur la section conique y intersection de la surface 2 par le plan X perpendiculaire au plan Py et dont V est la trace verticale ; et évidemment le plan X est parallèle aux plans 0 ( t 0,.
Or, Ton sait : 1® que les tangentes $", ^""j $"'', etc. , menées respectivement aux points m*', m'*', m"^, etc. , des courbes a'', a'"", «''*', etc. , se coupent en un même point s situé sur le diamètre D qui est lui-même situé sur le plan P (n* 346 ter) , par conséquent les droites |, |', $", etc., qui seront les tangentes aux courbes de l'espace ajo!, a\ etc. pour les points m, m', m'', etc., se couperont en ce point «, etc., etc. ; 2* que si l'on mène une seconde droite V"' parallèle à V^ et coupant les courbes a", a'", a"% etc., en les points n*', n'*", n"*', etc., les points w, n', w", etc., de l'espace seront sur une section conique y intersection du plan X' et de la surface 2 ; en sorte que les deux courbes y et / seront des sections parallèles de la surface S , et les droites 3% 3'% d'"", etc., qui uniront les points m'' et n% m'*' etn'% m'"' et n"*', etc., iront se couper en un même point x, de la droite D; dès lors, les droites de l'espace 3, Sfyd"j etc., qui uniront deux à deux les points m et n, m' et «', m" et n", etc., iront se couper en ce même point z^.
Les droites ^, ^^ l", etc., forment donc un cône K tangent à la surface £ suivant la section conique y.
Les droites 3, 3', 3", etc., forment donc un cône K, qui coupe la surface S suivant deux sections coniques parallèles entre elles , y et /.
Si Ton a une suite de plans X, X', X", etc., parallèles entre eux et au plan 0, et dès lors perpendiculaires au plan P, ces plans couperont la surface 1 suivant des sections coniques semblables et semblablement placées y, /, y", etc.
Ces courbes y, y', y", etc., couperont l'hyperbole méridienne H en des points A, A', A", etc., pour lesquels les plans Q,Q', Q^ etc., tangents à la surface 2 seront perpendiculaires au plan méridien P ; dès lors , les tangentes aux courbes y, y', y", ctc, en CCS points A, /i', A", etc., seront perpendiculaires au plan P; dès lors, si Ton fait mouvoir le plan Q tangentiellement à la surface S, son point de contact h parcourant la courbe H, la surface développable î>, enveloppe de l'espace parcouru par ce plan Q sera un cylindre ayant l'hyperbole méridienne H pour section droite.
