PRÉFACE

Dans ce nouvel ouvrage sur la géométrie descriptive , que je livre à Texamen de ceux qui aiment et cultivent avec intérêt la science de l'espace figuré , je me suis proposé deux buts que j'exposerai un peu plus loin.

Ainsi qu'on le sait , j'ai appuyé j dans le Cours de géométrie descriptive publié en 1844 , toutes les propriétés des sections coniques sur les théorèmes que l'on doit à MM. Quetelet et Dandelin {*); ces théorèmes sont relatifs aux foyers y à la tangente et axa focales.

Les démonstrations données par les deux savants géomètres de Belgique sont d'autant plus remarquables , qu'outre leur simplicité et la facilité avec laquelle les trois sections coniques se trouvent soumises à un même mode de recherche géométriqucy elles sont comme un reflet de la géométrie antiqtie. Et en effet, il est impossible de ne pas se dire , après avoir lu leurs mémoires imprimés dans les Actes de l'académie de Bruxelles , que les géomètres anciens auraient pu dire tout ce qu ils ont dit y attendu que les anciens géomètres savaient et connaissaient parfaitement bien tous les théorèmes qui conduisent MM. Quetelet et Dandelin à démontrer, ainsi qu'ils l'ont fait :

i* Que la sphère inscrite à un cône droit (ou de révolution) et à un plan sécant touche ce plan en le foyer de la conique y section faite dans le cône par ce plan ; ou , en d'autres termes et par déduction , que pour une section conique à deux foyers 'a somme ou la différence des rayons vecteurs est constante ;

9!" La propriété des directrices , propriété qui appartient aux trois courbes , en remarquant que la parabole n'a qu'une seule directrice;

(*) Nous sommes dans Thabitude de désigner ces théorèmes sous le nom de théorèmes de MM. Quetelet et Dandelin ; mais il ne faut pas oublier que c*est à M. Dandelin que l'on doit le théorème des foyers et des tangentes \ un peu plus tard M. Quetelet démontra la propriété des focales ^en se servant de la sphère inscrite au cône droit et au plan sécant, mode de démonstration que l'on doit à M. Dandelin.

Je viens d'apprendre la mort de M. Dandelin ; c'est une perte bien regrettable pour la géométrie qu'il cultivait avec un grand talent. M. Dandelin , colonel du génie belge et membre de Tacadémie royale des science de Bruxelles , est décédé en mars 4 847.

3* La propriété dont jociit la tangente à une section conique, savoir qu'eDe divise en deux parties égales Tangle des deux rayons vecteurs ;

i"" L'existence des courbes focales et les propriétés géométriques dont elles jouissent.

Car toutes ces propriétés fondamentales des sections coniques sont démontrées par MM. Quetelet et Dandelin , en s'appuyant sur ce que :

1 "^ Un cône droit est tangent à une sphère suivant un cercle ;

2* Un plan tangent en un point d'une sphère contient les tangentes à tous les cercles , grands ou petits , tracés sur la sphère et se croisant en ce point ;

3"" Les tangentes menées par un point extérieur à une sphère sont égales; et les tangentes menées à un cercle et par un point pris sur le plan de ce cercle sont •égales;

4* Le plan tangent à un cône de révolution , suivant une génératrice droite , contient les tangentes aux courbes planes tracées smc le cône et se coupant en am point de la génératrice de contact.

Cette dernière propriété n*" 4 était connue des géomètres grecs, mais ils ne s'en sont point servis dans leurs recherches géométriques , tandis que les géom^res modernes ont fait un emploi fréquent du plan tangent; et nous devons aussitôt ajouter à ce qui précède : la propriété du plan tangent en un point d'un cône était connue des géomètres avant l'invention admirable due à Desgârtes, et ainsi avant l'application de Talgèbre, ou àdY analyse j à la géométrie; quelques géomètres s'en sont servis dans leurs recherches ; mais ce n'est qu'après Descartbs , et en se servant de l'analyse infinitésimale appliquée à la géométrie , que l'on a démontré que le plan tangent en un point d'une surface quelconque , contenait les tangentes à toutes les courbes qui , tracées sur cette surface , se croisent au point considéré (^) , et c'est depuis cette époque que l'emploi du plan tangent est devenu familier dans les recherches géométriques.

(*) 4« Les anciens géomètres devaient savoir que le plan tangent contenait les tangentes à tous les cercles qui , tracés sur la surface d'une sphère , se croisaient en un point.

Et en eflét , les anciens géomètres disaient :

La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon passant par ce point ;

Le plan tangent en un point d'une sphère est perpendiculaire au rayon passani par ce point.

Et ils démontraient que la tangente au cercle et le plan tangent à la sphère , définis ainsi qu'on vient de le dire, étaient tels que la tangente et le cercle , que le plan tangent et la sphère, n'avaient qu'un seul point en commun, qu'ils appelaient point de contact ; et ils démontraient que telle était la relation de position entre le cercle et sa tangente , entre la sphère et son plan tangent en un pointjm, en démontrant que si l'on menait par le centre o du cercle ou de la sphère , une ohlique au rayon om , et coupant le cercle en un point â? et sa tangente en un point y, ou coupant la sphère en un point x et son plan tangent en un point y, on avait toujours \ ox<oy.

De cette proposition, les anciens géomètres pouvaient très^acilement arriver à la conséquence suivante.

Ainfii y nou6 pouvons dire que les géomètres anciens , et surtout ceux qui vivaient du temp» de DescAUfes , auraient pu donner les démonstrations géométriques que nous devons à MM. Qaetelet et Dandelin , et dès lors nous avons pu dire en toute vérité que ces démonstrations étaient comme un reflet de la géométrie antique j reflet vraiment remarquable.

Toutefois , les solutions géométriques de MM. Quetelet et Dandelin ne me satisfeisaientpas, pan^ (pleines n'étaient pas dans Tesprit de la géométrie descriptive , qui seule mérite le nom de géométrie moderne.

Lorsque je me proposai d'écrire sur la géométrie descriptive , avec des vues que je puis (fire iioufvdies j quoiqu'elles ne fussent réellement que la continuation de

savoir : que si par un point m d*une sphère S on faisait passer un plan tangent T et une suite de plans sécants P, P', F',... coupant la sphère S suivant des cercles G , C\ G",... et le plan T suivant des droites 9 , B\ 6",... les droites d, è\ 6",... étaient respectivement tangentes en le point m aux cercles G , G', G'',... car ils savaient que si du centre o de la sphère Son abaissait des perpendiculaires R , R', R",... sur les plans,?, P', P^',... ces normales perçaient ces plans en des points r, r', r"»... qui étaient les centres respectifs des cercles G, G', G",... et que les droites B , d', a",... étaient respectivement perpendiculaires aux plans (m, R), (m,R')» (m, R"}v en sorte que les droites 9, 9'« B",..,éiaieïii respectivement perpendiculaires aux rayons'mr , mP, nvr^\.,, des cercles G , G', G",... et que dès lors ces droites B , B\ 6",... é taient les tangentes respectives des cercles G, G^ G",... pour le point m.

2« D*après le mode de démonstration alors adopté , les anciens géomètres pouvaient démontrer trèsfacilement que le plan tangent T en un point m d*un cône droit à ou d'un cône oblique a' à base circulaire j contenait les tangentes à toutes les courbes planes qui ^ tracées sur ce cône â ou a', se croisaient au point m.

Et en effet :

Désignant par G le cercle base du cône droit a ou du cône oblique a', par $ le sommet de ce cône , on savait que tout plan X parallèle à la base coupait le cône suivant un cercle i"; par conséquent faisant passer le plan X par le point m, on avait pour section dans Tun ou l'autre cône un cercle /, et Ton savait que la droite qui unissait le sommet $ du cône et le centre o du cercle base G, coqpait le plan X en un point d , centre .du cercle /• # •

Dès lors, menant par le sommet $ et le point m une droite, on avait une génératrice droite du cône a ou A\ laquelle coupait le cercle base G en un point n , et les rayons 'an et dm des cercles G et / étaient évidemment parallèles; dès lors les tangentes I en n au cercle G et d en m au cercle i étaient parallèles; dès lors les trois droites t, B et sm étaient dans on même plan T, qui était dit plan tangeni en m au cône A ou a'.

Gela dit :

Si le plan T coupait par hasard le cône a ou a' en d'autres points que ceux situés sur la génératrice droite «iïj^dlte génératrice de contact, en désignantcepointpar Ar,on pouvait mener par ce pointer un phni Y parallèle au plan X et coupant le cône a ou A'saivant us cercle /y etlag^ératrioe «ôTen un point m' et le plan T suivant unç droite,0', et la droite êo en utt point 4^,«entre du oevele /; |^ eftnsétiuent ^ ladroisclie' étant perpendiculaire à l'exlrémîlé du rayon 4fm' du eercle ^, ne pouvait couper ce cercle en un point s aatre qnrle pohit m'.

Odla posée

MenMit par le.poii^t m \m plaii ablnpe. gueloonque B, il oèupâil^^lè'eèlld a e^ à' suivant tkne ocfnique C , et le plan T suivant une droite x qui , d'après cequi pudeède , ne potftàit àtoif du commun avec

celles de Monge, fondateur dé cette science (*), je dis en 1834 à M. Quetelet, que je baserais toutes les recherches touchant les propriétés géométriques des sections coniques et des surfaces du second ordre sur les iliéorèmes belges , c'est-à-dire sur le mode de démonstration employé par lui et M. Dandelin (mon ancien camarade à rÉcole polytechnique ) , pour la manifestation des propriétés principales des sections coniques.

C'est ainsi que j'ai procédé dans la rédaction de l'ouvrage que j'ai publié sous le titre : ùmrs de géométrie descriptive.

Mais tout honmie impartial reconnaîtra sans peine , qu'à part les théorèmes relatifs aux /oj/er« , à la tangente (divisant l'angle des deux rayons vecteurs en deux

la courbe C d^autres points que le point m, et d'après la définition adoptée la droite x était bien la tangente au point m à la conique C. «

Mais, en partant de la définition de la tangente , savoir : que c'était une droite qui n'avait en commun avec une courbe qu'un seul point , les anciens géomètres pouvaient bien démontrer le théorème relatif au plan tangent en ud point d*une sphère et en un point d'un cône droit ou d'un cône oblique à base circulaire, tant qu'ils ne considéraient que des courbes planes tracées sur ces surfaces; mais ils ne pouvaient pas démontrer que le plan tangeot contenait les tangentes à toutes les courbes à double courbure tracées sur les surfaces coniques et sphériques et se croisant au point de contact; et à plus forte raison ils ignoraient que cette propriété du plan tangent existait pour toutes les surfaces, quel que fût leur mode.de génération.

Pour arriver à la démonstration du théorème général énoncé ci-dessus , il fallait que la géométrie entrât dans une voie nouvelle et fût amenée à considérer une courbe comme étant la limite d'un polygone, dont les côtés pouvaient devenir tnd^/fntment petits; en sorte que l'on pouvait, dans les recherches géométriques, remplacer et rigoureusement une courbe par un polygone d'un nombre infini de côtés , chaque côté étant infiniment petit, ce polygone prenant le nom de polygone infinitésimal.

Si les géomètres anciens ont quelquefois employé les considérations de Vespace pour résoudre certains problèmes-plans , et ainsi , si pour résoudre un problème relatif à des lignes tracées sur un plan , ils ont considéré un système de lignes qui, situées dans l'espace, donnaient pour projection le système plan proposé, ils n'ont jamais employé la considération du plan tan^nt , parce qu'à ce sujet leurs connaissances géométriques étaient très-bornées ; c'est ainsi qu'ÀRCHiMÈDB vit bien que sa spirale était la projection sur un plan de la spirale à double courbure, qui était l'intersection d'un cône droit et d'un filet de vis carrée , mais il ne put pas , et ne pouvait pas , trouver la construction de la tangente en un point de sa courbe plane , en la déduisant de la construction de la tangente en un point de la courbe à double courbure , parce que s'il .connaissait le plan tangent en un point du cône droit, il ignorait la construction du plan tangent en un point de la surface gauche.

(*) Je puis dire que mes vues en géométrie descriptive étaient nouvelles , car tous les savants qui ont écrit après Monge sur cette science, ont toujours considéré la géométrie descriptive comme n'étant propre qu'à construire les résultats géométriques donnés par Vanalyse\ donnés par la géométrie des anciens, ou donnés par la méthode de l'involution de six points (propriétés géométriques très- restreintes, trèslimitées, puisqu'elles ne peuvent s'appliquer qu'aux sections coniques) , cette méthode est due à Db&4bgiM (citoyen lyonnais) ; après lui Carnot en fit de très-remarquables applications ; ou donnés par la méthode plus générale , dite : des proportions harmoniques ^ employée par Labibb et dont plusieurs géomètres se sont servis avec succès dans ces derniers temps.

parties égales) , aux directrices et anxfocales^ toutes les autres'propriétés des courbes du second ordre j et en général toutes les recherches géométriques touchant les autres courbes et les surfaces diverses dont on a étudié les propriétés dans T ouvrage dont il s'agit , sont établies d'après les vrais principes de la géométrie descriptive , tels que Monge nous les a enseignés^ principes qui sont tout autres que ceux enseignés par les géomètres anciens.

Car si Ton veut réfléchir un instant sur les méthode des anciens géomètres , on verra bientôt qu'elles s'appliquaient essentiellement aux problèmes de relations métriques; les anciens n'avaient pas compris et n'avaient pas connu la science des relations de position ; or cette science est précisément celle que Monge a nommée géométrie descriptive. La géométrie des relations de position est due aux géomètres modernes , et c'est celle que j'ai désignée ci-dessus par le nom de géométrie tnademe (*).

Et lorsque je dis que les anciens géomètres n'avaient pas connu la géométrie descriptive je ne veux pas dire qu'ils n'ont jamais «nployé des méthodes analogues à celles de la géométrie descriptive pour la solution de certains problèmes traités par eux. Mais autre chose est d'employer une méthode particulière pour la solution de quelques problèmes du même genre , et autre chose est de faire de cette méthode un moyen de recherche pour un grand nombre de questions géométriques , et surtout de déterminer les genres de questions géométriques qui sont du domaine de cette méthode.

Or c'est ce que Momgb a fait , et persoime ne peut le nier ; personne ne peut mettre en doute que Monge ne comprît parfaitement la puissance de sa méthode géométrique, la méthode des projections j quoiqu'il n'ait pas publié tout ce qu'il lui devait pour les recherches qu'il nous a données sous une autre forme dans son grand ouvrage sur l'analyse appliquée à la géométrie; car Monge dit positivement , dans l'ouvrage qui a pour titre : Développements sur l'enseignement adopté pour Fécale cmt> traU des travaux publics ^ et qui a été imprimé par ordre du comité de salut public:

a Delà géométrie descriptive.

» La géométrie descriptive est une langue nécessaire et commune à l'homme de » génie qui conçoit un projet , aux artistes qui doivent en diriger l'exécution , et » aux ouvriers qui doivent l'exécuter. Cette langue , susceptible de précision , a » encore l'avantage d'être un moyen de rechercher la vérité et d'arriver à des ré- » sultats inconnus ; comme toutes les autres langues , elle ne peut devenir familière

(*) Les Allemands donnent à la géométrie descriptive le nom de géométrie française. Pour eux, la coqoaiasQOce complète de cette scieqce date de 4 94 5.

» que par Tusage habituel ; ainsi , pendant les trois années que durera le oonrs )> d'instruction dans l'école centrale des travaux publics , les élèves la pratiqueront » continuellement. »

Ainsi j on ne peut nier que Monge ne regardât la méthode des frejeclions j en on ttot la géùméirie descriptive (*) , comme pouvant conduire à la découverte et à la démonstration de vérités géométriques nouvelles.

Mais écoutons ce que dit Garnot dans son rapport (**) lu le 23 mars 1 81 2 , à la classe des sciences physiques et mathématiques de l'Institut , sur Touvrage de BàOBxm , ayant pour titre : Supplément à la géométrie descriptive de Momge.

« Le but de la géométrie descriptive est de représenter sur des surfaces planes » qui n'ont que deux dimensions , les objets qui en ont trois ^ et réciproqu^oieat » de retrouver la forme de ces objets à trois dimensions y d'après les dessins qui les » représentent sur ces surfaces planes.

» Le moyen qu'on emploie pour y parvenir consiste à faire sur ces plans les » projections des corps proposés.

» La soiraoe des projections, en général , se divise en deux branches, dont Tune % est l'exécution raisonnée mais purement graphique de ces projections , et TautrQ » est leur théorie puremrat analytique.

» Qumque ces deux branches de la même scimce ne soient, à proprement » parler, que deux méthodes difE6rentes de traiter les mêmes questions , leurs pre* » cédés respectifs ont entre eux si peu d'analogie apparente, que l'idratité constante » de leurs résultats forme des rapprochemmits continuas dont on ne peut s*^n- 9 pécher d'être frappé. On admiré la correspondance intime de deux soi^ices qui » vont toujours d'un pas égal, dont l'une, n'employant jamais le caleul, semble » être entièrement du domaine de l'imagination , et dont l'autre, ne tirant du fond » de la question que les données strictement nécessaires pour l'expression algé« 9 brique des conditions proposées , laisse ensuite à l'analyse la plus abstraite , la » plus dégagée de toute autre considération , le soin de dénouer sueeessivement » toutes les difficultés , et de ramener enfin aux résultats les plus élémentaires que » puisse comporter la nature de la question.

)) Cet accord imperturbable de ce que l'analyse a de plus traQsceudant avec ce ï> que la synthèse offre de plus simple et cependant de plus subtil , donne la ^tis-

i II I I I i II ■■ P I P - ■ I il I ■ I II I . Il W I II ■— ^— i^^

(*) Dans les Détêloppementê sur VemeignefÊMnt , adopté pour l*École centrale des travaux publics, Itotes a dit encore : L'art de décrire les forme$ et les positions des objets , cotmstc à exprimai d'uiu manière complète , sur des dessins qui n*ont que deux dimensions , les objet qui en ont trois. Parmi ces objets^ les uns ont des formes susceptibles d^une définition rigoureuse :les procédés pour les décrire sont soumis à des règles certaines ^ et composent ce qu'on peut appeler la géométrie descriptive.

(**) Imprimé daus la Correspondance de TËcole polytechnique , tome III , page 231.

if> faction de voir deux théories , si disparates au premier aspect, se confirmer cepeny> dantrune par l'autre, s'expliquer, se généraliser réciproquement ; Tune^ en un y> mot, former des tableaux qui parlent aux yeux, tandis que Tautre s'occupe à » les décrire aussi fidèlement qu'exactement dans la langue qui lui est propre. »

Peut-il rester, après avoir lu ces pages écrites par Mongs et par Carnot, le moindre doute dans l'esprit de tout homme de bonne foi ?

Oui , Monge et Carnot ont tous deux regardé la géométrie descriptive comme une scimce, et comme une science d'une utilité incontestable; oui, Monge et Carnot , ont tous deux pensé que la méthode des projections pouvait conduire à rechercher et à démontrer des vérités géométriques encore inconnues.

Depuis i 81 5, Monge et Carnot étant tous les deux proscrits, tous les deux exilés de V Institut de France , de cette France , leur patrie , qu'ils avaient tous deux si bien servie , la puissance de la méthode des projections et l'utilité conmie scieDce de la géométrie descriptive ont été méconnues et niées ; mais il faut le dire , ce fut par des hommes très-savants , sans nul doute , mais, qui n'avaient point passé par les services publics , qui n'avaient point été ingénieurs , ou qui n'avaient fait que traverser l'École des ponts et chaussées et celle des mines, pour s'adonner tout entiers à l'étude purement philosophique, purement spéculatrice des sciences, et qui dès lors ont dédaigné la science qui offre des contacts si multipliés avec la pratique ^ avec l'art de l'ingénieur.

Aussi , ne doit-on pas être surpris que M. Chasles , nommé en 1 846 professeur de géométrie supérieure à la faculté des sciences de Paris , s'exprime dans son diseours d'ouverture , ainsi qu'il l'a fait ; il dit (*) :

a Mais il ne faut pas perdre de vue que , dans toutes ces questions , la géométrie » descriptive n'est toujours qu'un instrument dont l'ingénieur se sert pour traduire x> sa pensée et exécuter sur le papier les opérations que la science, je veux dire la » géométrie générale , lui indique. La géom^rie descriptive exécuté , mais die ne r> crée pas. Si elle montre aux yeux la courbe d'intersection de deux surfaces^ elle )) n'en fait point connaître les propriétés } elle ne saurait indiquer, mathématique- » ment parlant , si cette courbe est plane ou à double courbure. Elle n'a point Ae » méthodes pour ces recherches , qui sont exclusivement du domaine de la gée- » métrie rationnelle {**). »

Ainsi , nous en sommes revenus > en 1 846 , à l'an deê projections^ qui écrit graphie quement des résultats géométriques obtenus par la géométrie rationnelle.

(*) Voyez le JoumcU des maiJ^ématiques pur«i et appliquées , publié par M. LiocyaLB, tomo XU , pages 4 et suiv. ( û« de janvier 4847 ). (^ Voyes à la fin 4e cet ouvrage Taddition ,w*L

Âinâi y nous revenons an point d*où est parti Mongb ; et , en 1 846 , tons les travaux de MoNGE sont oubliés , ils sont comme non avenus ; bien plus , gardons-nous de considérer la géométrie descriptive , comme une méthode de recherches , c'est une grave erreur que, depuis 1815 jusqu'en 1 846 , les savants en géométrie rationnelle n'ont jamais pardonnée !

Mais pour certains savants , ainsi qu'il y a une géométrie rationnelle , il y a une mécanique rationnelle ; et si l'on veut bien y réfléchir un moment , on reconnattra sans peine que ce que Ton appelle aujourd'hui géométrie et mécanique rationnelles , n'est autre chose que l'emploi de Y analyse à la recherche des propriétés géométriques des surfaces y et à la démonstration des principes de la mécanique.

Mais, quoi qu'on en dise, on reviendra par la force de la vérité à reconnaître que V analyse n'est qu'un outil de recherche ; mais bien plus , c'est une langue au moyen de laquelle Vidée que l'on conçoit devient saisissable par l'intelligence de ceux qui nous entourent , de telle manière qu'ils conçoivent Vidée d'autrui , comme s'ils l'avaient eux-mêmes conçue les premiers.

Vanalyse peut aussi être considérée comme une méthode , mais elle n'est pas la seule méthode que l'homme puisse employer à la récherche des vérités géométriques ou mécaniques.

Comme tout ce qui vient de l'homme , Vanalyse a ses bornes j ses limites , ses avantages, ses inconvénients ; si elle a une grande puissance, elle a aussi sa part de faiblesse ; parfaite en certains points , elle est imparfaite en d'autres*

Toutes les autres méthodes en sont là.

Pour certaines recherches, certaines méthodes sont préférables à d'autres; choisir entre les méthodes , suivant le problème à résoudre , voilà le point important ; c'est ce choix judicieux qui montre l'intelligence du philosophe ( en donnant à €0 nom de philosophe son acception antique , homme qui cherche la vérité dans Cimtérétde Chuinamtéj sans orgueil et sans vanité j n ayant if autre ambition que celle éétte utile).

L'homme ne crée aucunes vérités géométriques , elles préexistent toutes.

Lorsque l'on engendre une surface par le mouvement d'une courbe , cette surface jouit immédiatement de certaines propriétés géométriques qui dérivent de la nature géométrique de la courbe génératrice et de la loi mécanique du mouvement imprimé à -cette courbe génératrice (que cette courbe reste constante de forme, ou varie de forme à chaque instant de son mouvement , la loi des variations de la forme géométrique de cette courbe génératrice étant liée à la loi mécanique de son mouvement dans l'espace).

Toutes les propriétés géométriques de la surface ainsi engendrée sont implicites. Le géomètre parvient à rendre ces propriétés explicites , en se servant de ce qu'on

— ; XIH —

appelle méthode de recherche. Les méthodes sont des outils dont se sert le raisonne-ment géométrique poor Taider dans la découverte des vérités cachées.

Les méthodes ne créent rien , elles mettent dans la lumière ; elles nous aident à voir les choses telles qu'elles sont réellement , et à démontrer que ce que nous disons être est bien réellement ce qui est.

Mais pour qu'une vérité trouvée , découverte par un homme , puisse être utile à tons , il faut qu'elle puisse être comprise par tous ; il faut donc un moyen de transmission des idées, de l'intelligence d'un homme à celle d'un autre homme; cette transmission s'opère au moyen des langues.

C'est ainsi que pour la transmission d'homme à homme des idées géométriques , nous avons deux langues distinctes j la géométrie algébrique et la géométrie descriptive. La première emploie des symboles j qu'elle combine entre eux suivant des règles certaines; la seconde emploie des lignes^ qu'elle trace aussi suivant des règles certaines ; ces règles sont exactes , parce qu'elles sont établies par le raisonnement , en vertu de déductions successives et logiques fondées sur la nature des choses.

Ces deux langues sont basées sur des principes différents ; la langue algébrique a pour principe fondamental , Varithmétique j c'est-à-dire le nombre ; et aussi s'applique-t-elle en géométrie à la solution des problèmes de relations métriques. La langue graphique a pour principe fondamental la forme , et aussi s'applique-t-elle , en géométrie , à la solution des problèmes de relations de position.

Comme toutes les langues dont la formation dérive de principes différents , ces deux langues algébrique et graphique ont des puissances et une fécondité différentes ; elles demandent aussi à être employées , maniées par le géomètre d'une manière différente , car leur esprit ou génie est différent j puisque les principes qui leur ont donné naissance sont différents (*).

Mais pour bien savoir , pour bien parler une langue , pour qu'elle vous soit familière j comme le dit Monge, il faut plusieurs années d'études et de pratique.

Et dès lors comment des géomètres peuvent-ils se prononcer sur la géométrie descriptive , et sans craindre d'errer, lorsqu'ils en connaissent seulement les premiers éléments !

Une pratique constante peut seule nous faire découvrir toutes les ressources scientifiques que possède la géométrie descriptive. Si un homme qui aurait appris dans sa jeunesse quelques phrases de la langue allemande, et qui ne l'aurait point pratiquée depuis , voulait plus tard discuter sur le génie de cette langue et examiner si elle est plus ou moins poétique que telle ou telle autre langue , ne lui

(*) N'est-on pas dans rhabitode de dire : le génie d'une langue, — le génie de Ces deux langues est différent , —ne pas confondre le génie d'une langue avec celui d*une autre langue.

— XI? — ï

dirait-on pas : apprenez et étudies la langue allemande avant d'en parler ai au long ?

La géométrie descriptive ^ comme méthode , nous permet de trouver des {htopriétés géométriques nouvelles (ou inconnues jusqu'alors) ; comme langue , elle nous permet d'écrire et de transmettre ainsi aux ingénieurs des vériié$ géométriques, et de les mettre à même de les vérifier et de s'en servir ; en un mot de les utiliser dans leurs travaim sur le terrain.

La géométrie descriptive procède ainsi qu'il suit :

Étant donné un système dans l'espace, on le projette sur deux plans) ces pro« jections sont construites rigoureusement , exactement , en sorte que les lignée qui composent une projection sont entre elles en des positions rigoureuses , exactes^ En regardant avec attention l'une et l'autre projection , on peut parvenir à détermia^ les relations de position , rigoureuses , exactes , des diverses lignes qui composcni le système de l'espace.

On peut donc affirmer que les lignes du système de l'espace ont enta^ dles tdlea ou telles relations de position.

En énonçant , en langage ordinaire , ces relations de position f on dicte des théorèmes*

Ainsi , c'est en lisant les projections d'un système situé dans l'espace , comme om lit des équation» j qu'on découvre les propriétés géométriques écrites graphiquemeni sur V épure j et que par suite on arrive à découvrir, d'une manière certaine, las propriétés géométriques qui subsistent , qui existent dans ce système de l'espace ; et il me semble que cette marche conduit bien à une démonstration réelle , positive ^ d'une vérité inconnue et que recelait le système donné dans l'e^iace.

Ainsi , l'on ne peut mettre en doute que cette manière de procéder, que cette méthode j qui constitue ce que l'on appelle la géométrie descriptive y ou la scienee des projections , ne conduise à la découverte d'une vérité géométrique inconnue ; car faire voir qu'unq chose est telle qu'on le dit et non pas autrement qu'on le dit , n'est-ce pas démontra que cette chose est ; en d'autres termes , n'est^^ pas démontrer des théorèmes de géométrie ?

J'ai dit ci-dessus qu'on lisait une épure comme on lisait des pages à^ancdyse, àeê pages remplies de formules algébriques; entrons à ce sujet dans quelques détails.

Lorsqu'on emploie Y analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace.

On combine entre elles ces équations d'après les règles algébriques j et l'on (rf)tîeDl en définitive des formules algébriques qui expriment la solution du problème; et en traduisant en langage ordinaire la solution écrite dans ces formules , on énonce la solution du problème proposé , ou la vérité du théorème qui était à démontrar^

— KV —

On IH donc des éqmtioni comme on lit une phrase écrite en telle ou telle langue y cette phrase exprimant une idée.

Lorsqu'on emploie la géoméirie descriptive à la recherche des propriétés géométriques , on ne fait pas autre chose pour établir les données du problème que dsi tracer sur Yépure les lignes qui sont y sur les deux plans de projection y les projections horizontales et verticales des lignes situées dans Tespace.

On combine entre elles ces liçnes^rojfielioni d'après les règles graphiques (les règles d^ la géométrie descriptive) y et Ton obtient en définitive des figures graphiques qui expriment la solution du problème; et en traduisant en langage ordinaire les rela^ tiùns qui existent entre les diverses parties de ces figures , auxquelles on est arrivé en définitive, on énonce un résultat géométrique , on énonce un théorème; on lit donc nnei figure y une construction géométrique, comme on Ut des équations, coDune on lit des formules algébriques.

On voit donc bien que Y esprit du géomètre procède dans les deux cas de la mâm« manière , et qu'il n'y a d autres différences ( et il ne peut évidemment y en avoir d'autres) que celles qui doivent provenir de Y emploi de deux langues différentes, savoir ; la langue algébrique et la langue graphique.

Aussi LàGaAKGB, écoutant une leçon de Monei, a-t-il dit t /s m savais pasquêja Mooîa la géométrie descriptive»

Les analystes de nos jours ont interprété cet aveu si tuAf et si profond de LiaiAMS de la manière suivante :

Tous ceux qm savent /'am aitse pmawU enseignor ta géoméirie dêseripiivê.

Et par suite ils ont ajouté :

La géométrie descriptive ne peut servir qu^à tracer graphiquement les rénUtOÉê géométriques obtenus par (analyse.

Je crois que ce n'est pas là ce que Lagiiangb pensait ; je crois qu'il fut frappé de Vvnité qui existait dans la manière de manifester les vérités de la géométrie à trois dimensions, d'intelligence à intelligence, d'homme à homme.

Je crois qu*il se rq>lia en lui*mâme , et qu'il se dit intérieurement : En toute vérité , le procédé des projections est le procédé fondamental dont le géomètre se sert , soit qu'il s'exprime dans la langue algébrique , soit qu'il s'exprime dans la langue