GRAPHIQUE

Ne pourrait-on pas dire , avec quelque raison , que si les algébristes qui ne sont pas mécaniciens , et qui écrivent sur la mécanique , dédaignaient moins la géométrie descriptive , ils auraient appris à lire dans l'espace le système dont ils veulent s'occuper , et qu'ils choisiraient fins judicieusementy qu'ils ne l'ont fait assez souvent, les plans sur lesquels ils doivent projeter ce systèmcy de manière à avoir des équations très-simples à traiter , très^faciles à manier?

XTI —

M. PoNCELET a donné très-souvent , à ce sujets de bonnes et utiles leçons , dans son cours , à la Faculté des sciences.

Et lorsque je dis : les algébriiles et les géomètres qui ne sont pas mécaniciens , j'entends parler des savants qui s'occupent de mécanique générale et de mécanique céleste ou d'astronomie, désignant par mécaniciens ceux qui s'occupent delà théorie des machines. Ces derniers ne peuvent ignorer la construction et les formes géométriques des diverses parties des machines dont ils s'occupent ; ils ne peuvent ignorer la nature et la résistance des matériaux employés ; ils ne peuvent être étrangers aux ateliers et aux outils ; en un mot , ils doivent être ingénieurs.

Les mécaniciens doivent , de toute nécessité y savoir la géométrie descriptive ; au reste c'est la pensée de M. Poncelet, qui a dit très-souvent qu'il préférait employer la géométrie j au lieu de Vanalyse^ dans les démonstrations des principes de la méca* nique, parce qu'on était conduit tout naturellement à des tracés graplùques que l'on pouvait immédiatement utiliser dans la construction des machines ; car il est de toute évidence qu'on ne paît pas construire une machine sans en avoir fait V épure.

Je m'étais proposé deux buts en écrivant ce mémoire; le premier, de donner une preuve évidente que la géométrie descriptive pouvait construire et démontrer, ainsi que l'avait dit Monge , et non pas seulement construire, comme l'affirme M. Chasles ; et le second, de remplacer les théorèmes de MM. Quetelet et Dandelin , par d'autres qui fussent plus dans l'esprit de la géométrie descriptive.

Je soumets ce travail au jugement des géomètres impartiaux et de bonne foi , qui aiment la science pour elle-même ; qui , n'étant point des ambitieux politiques , sont dès lors ennemis des intrigues , et ignorent toutes ces mauvaises passions humaines qui gâtent le cœur de l'homme et avilissent le caractère du savant.

Ai-je besoin d'ajouter que, si j'ai mis quelque cluileur dans cette discussion , l'on veuille bien songer à ceci : ce ne sont point mes idées , ce n'est point mon œuvre que je défends ; je défends l'œuvre de Monge et les idées de Garnot , qui furent deux grands savants et deux 'grands citoyens , ayant l'un et l'autre au fond du cœur l'amour de la patrie et des sciences , amour qui fut pur et désintéressé.

Efforçons-nous de les imiter !

COURS

DE

ADDITIONS

DÉMONSTRATION NOUVELLE DES PROPRIÉTÉS PRINCIPALES DES SECTIONS GONIQUEft.

Je me propose , dans ce mémoire ^ de démontrer d'une manière nouvelle ^ et qui me paraît tout à fait dans Tesprit de la géométrie descriptive ^ les propriétés relatives BxuLfoyerê , aux directrices et axisi focales des sections coniques.

}'ai divisé en deux parties ce mémoire , qui forme conmie un petit traité des élections coniques.

Dans la première partie , j'arrive à démontrer qu'un cercle et une section conique ,

situés dans deux plans différents , mais ayant un point de contact, peuvent toujours être enveloppés par un cône et par un seul cône.

Cette proposition fondamentale étant démontrée, elle me sert de point de départ pour rechercher , construire et démontrer, dans la seconde partie , les propriétés des sections coniques , relativement à leurs foyers , à leurs directrices et à leurs focales.

PRE11ÊR£ PARTIE.

Un cercle et une section conique qui ont un point de contact sont toujours enveloppés par un cône et un seul cône.

Pour arriver à démontrer ce théorème , il faut établir, au préalable, plusieurs propositions y ainsi qu'il suit.

Étant donnés un cercle C et une droite D , cette droite peut avoir trois positions par rapport au cercle : 1 * elle peut être extérieure au cercle ; 2* elle peut couper le cercle ; 3^ elle peut être tangente au cercle.

Quelle que soit la position de la droite D par rapport au cercle G , je dis que si Ton prend un point m sur cette droite et si de ce point on mène deux tangentes au cercle , en unissant les points de contact du cercle et des deux tangentes , on aura une corde qui passera par un point fixe situé : 1 "" dans Tintérieur du cercla dans le premier cas , et %^ par le point de contact de la droite D et du cercle G dans le troisième cas , ce qui est évident et n^a pas besoin de démonstration , et S"* par un point qui sera situé hors du cercle dans le deuxième cas , et dès lors ce sera le prolongement de la corde qu^il faudra considérer.

Nous allons démontrer le théorème pour le premier et le deuxième cas.

Premier cas. La droite D étant extérieure au cercle G.

Nous pourrons considérer le plan du cercle G et de la droite D comme étant un . plan diamétral P d'une sphère S , coupée par ce plan P suivant un grand cercle G, cette sphère S ayant pour centre le centre o du cercle G (Jig. I). Nous pourrons mener par le centre o un plan R perpendiculaire à la droite D et la coupant en un point d^ et coupant de plus la sphère S suivant un grand cercle G' (prenons ce plan R pour plan vertical de projection); menant du point d^ qui sera évidemment

extérieur au cercle C, deux tangentes 9 et 9' à ce cercle C, ces droites toucheront le cercle C en les points x et x\

Les plans (a;, D) et {x\ï)) seront tangents à la sphère S en les points x et Xi car Ton pourra mener, dans le plan ( a; , D ) et par le point x , une droite B parallèle à D , et dans le plan {x,D) et par le point x une droite B', parallèle à D ; et il est facile de démontrer que le rayon ox est perpendiculaire aux droites 6 et B, et que le rayon ox' est perpendiculaire aux droites 9' et B'; par conséquent les plana {xy D) et {x\ D) sont respectivement perpendiculaires aux extrémités du rayon qui leur correspond;, donc, etc.

La droite xx fera un angle droit avec la droite D , et elle sera coupée par le plan P, auquel elle est perpendiculaire, en un point p qui évidemment sera situé dans l'intérieur du cercle C,

Cela posé :

Nous savons que si nous prenons un point m sur la droite D, et qu'on le considère comme le sommet d'un cône 2 tangent à la sphère S , ce cône touchera la sphère suivant un petit cercle A qui contiendra les points x et x\ et dont le plan Q passera dès lors par la droite xx'.

Or le plan Q sera coupé par le plan P, auquel il est perpendiculaire , suivant une droite passant par le point p et qui sera sur le plan P la projection orthogonale du cercle A ; et le cône 1 sera coupé par le plan P suivant deux génératrices droites qui seront tangentes au cercle C ; en faisant varier la position du point m sur la droite D, on aurait les mêmes résultats.

Le théorème est donc démontré (*).

Deuxième cas. La droite D coupe le cercle G.

Prenons un point n sur là droite xx' précédente (fig. I), et considérons- le comme le sommet d'un cône l' tangent à là sphère S , on aura un petit cercle de contact A', et il suffit de démontrer que le plan Q' de ce cercle A' passe par la droite D ( mémeyî^. I ) pour- que le théorème se trouve démontré.

Car en considérant le plan R (qui n'est autre que te plan vertical de projection) , ce plan contiendra la droite xx' et le cercle C, lequel sera coupé par la droite xx' en les points xet x; ce plan R coupera le cône l' suivant deux tangentes 3 et ^ au oerde C, lequel sera touché en les points i et î' par ces tangentes i et y, et la corde H' prolongée passera par le point rf, en lequel la droite D est coupée par le plan R , puisque cette corde ii sera l'intersection du plan R et du plan Q' du cercle A'.

(*) Cette démoBstraUoaeat de Monob, ainsi que la suivante*.

Ainsi, en désignant la droite xx par D', on aura bien démontré qu^étant donnée une droite D' coupant un cercle C, si d'un point n de D' on mène deux tangentes au cercle C, le prolongement de la corde n de contact passe par un point fixe d situé hors du cercle C

Démontrons donc que le plan Q' passe par la droite D; et d'abord énonçons le corollaire suivant , qui est évident en vertu de ce qui a été dit ci-dessus.

Si par la droite xx ou D' on fait passer un plan quelconque coupant^a sphère S suivant un petit cercle A , le cône 2 , qui sera tangent à la sphère S suivant ce petit cercle A, aura son sommet m situé sur la droite D.

Cela posé :

Si nous prenons un point y sur le cercle A', qui est le cercle de contact de la sphère S et du cône 2' (ayant le point n situé sur la droite xx ou D' pour sommet), le plan tangent T en t/ à la sphère S contiendra la génératrice droite ny du cône 2', et contiendra la tangente X en y au cercle A', et cette tangente X sera située dans le plan Q' (plan du cercle A') et sera perpendiculaire à la génératrice nj/.

Si par le point y et la droite xx^ ou D' on fait passer un plan Q', il coupera la sphère S suivant un petit cercle A , qui sera le cercle de contact d'un cône 2 et de la sphère S , et ce cône 2 aura son sommet situé en un point m de la droite D (ainsi que nous l'apprend le corollaire ci-dessus). De plus, il est évident que la génératrice wy sera tangente en y au cercle A ; et conmie le cône 2 est de révolution , il s'ensuit que la génératrice ny du cône 2' sera perpendiculaire à la génératrice m}j du cône 2.

Or le plan T, tangent en y a la sphère S, se trouve à la fois être tangent et au cône 2' suivant ny et au cône 2 suivant my ; de plus, ce plan T contient la tangente X en y au cereleA'.

Les trois droites my, ny, X sont donc dans le plan T. La tangente X au cercle A' est perpendiculaire à la génératrice ny , la génératrice wy est tangente en y au cercle A et dès lors perpendiculaire à la droite mij\ donc les droites my et X se confondent.

Donc les cercles A et A' se coupent à angle droit au point y , puisque les droites my et X se confondent; il s'ensuit que X passe par le point m ; il s'ensuit que X étant dans le plan Q^, ce plan plan passe par le point m , c*es^à-dire passe par un point de la. droite D.

Et comme ce qui vient d'être dit pour un point y du cercle A' peut être dit de tout autre point, on voit que le plan Q' (ou le plan du cercle A') passe par la droite D.

Le théorème énoncé est donc démontré.-

Les théorèmes précédents sont les théorèmes fondamentaux de la théorie des po* laires ; nous les devons à Monge.

Concevons une sphère S ayant le point o pour centre; prenons un point y sur la sphère Sy on aura le rayon oy ; menons au point y un plan p^pendiculaire au rayon oy , nous aurons un plan T tangent en y à la sphère S ; menons par le centre o un plan P parallèle au plan T, ce plan P coupera la sphère S suivant un grand cercle C.

Cela posé :

Menons dans le plan P et par le centre o deux droites A et B perpendiculaires «ntre elles , et imaginons par la droite A^ ainsi que par la droite B^ deux plans perpendiculaires au plan P et se coupant dès lors suivant le rayon oy j ces deux plans couperont la sphère S suivant deux grands cercles , Tun A, et Fautre B,.

Un cylindre a tangent à la sphère S suivant le grand cercle A., aura la droite B pour axe*

Un cylindre 6 tangent à la sphère S suivant le grand cercle B,, aura la droite A pour axe.

En sorte que si dans le plan tangent T on mène par le point y deux droites A. et B, respectivement parallèles aux axes A et B, la droite A, sera une génératrice droite du cylindre 6 et la droite B, sera la génératrice droite du cylindre a.

Les deux génératrices A. et B, se coupent à angle droit au point y.

Cela posé :

Si sur la génératrice A^ on prend un point arbitraire a et qu'on le regarde comme le sommet d'un cône 1 tangent à la sphère S , la courbe de contact sera un petit ^rde A , ayant au point y la génératrice B, pour tangente.

De même , si sur la génénératrice B, on prend un point arbitraire b et qu'on \^ regarde comme le sonmiet d'un cône 2' tangent à la sphère S , la courbe de contact sera un petit cercle A', ayant au point y la génératrice A, pour tangente.

En sorte que les cercles A et A' se couperont à angle droit au point y (*).

(*) Au lieu de considérer une sphère S , on pourrait considérer une surface du second ordre £. Alors le plan Aené parallèlement au plan T tangent en y à la surface B, par le centre o de cette surface E , la couperait suivant une section conique C qui serait ou une ellipse , ou une hyperbole, ou une parabole; alors le& droites A et B seraient un système de diamètres conjugués de la conique C; alors les droites A^ et Bi parallèles aux droites A et B feraient entre elles un angle qui en général ne serait pas droit ; alors les petits ^rcles A et a' aéraient des coniques , etc., etc. Cest là le principe fondamental de la théorie des tangentes .conjuguées , et nous le devons à Monge.

|in.

Êiant données une sphère S et une droite R coupant cette sphère en les points x et x'^je dis que si par la droite R on mène deux plans coupant la sphère S suivant deux petits cercles G et Cj ces cercles seront enveloppés par deux cônes»

Nous savons que si on fait rouler un plan T sur deux courbes G et G' et tangentfiellement à ces courbes , Uenveloppe de l'espace parcouru par ce plan est une surface développable 2.

Nous savons que si on unit par une droite G les points de contact des courbes C et G' avec une position du plan T, on aura une génératrice droite de la surface 1.

Nous savons que si les génératrices droites d'une surface développable 2 s'appuient toutes sur une droite D, cette surface 2 ne peut être autre qu'un plan ou qu'une surface conique ayant son sommet sur la droite D {*)..

Il est évident que si l'on fait mouvoir un plan T tangentiellement aux cercles G et G' de la sphère S , la surface développable 2 obtenue sera convexe et non plane. Si donc nous démontrons que toutes les génératrices droites de cette surface 2 s'appuient sur une même droite , nous aurons démontré que cette surface développable 2 n'est autre qu'une surface conique.

Démonstration, Prenons sur la droite R un point r, et considérons ce point r comme le sommet d'un cane (qui sera droit y qui sera de révolution) tangent à la sphère S suivant un cercle A, ; ce cercle A, coupera les cercles G. et G' en quatre points,«avoir : m et n sur G et m'^ et n' sur G'.

Nous aurons donc quatre droites rm , rm' et m , m', tangentes aux deux cercles donnés G et C\

Ges quatre droites seront deux à deux dans six plans ; et il est évident que deux, de ces six plans ne sont autres que les plans des cercles G et G^

Les quatre autres plans seront des positions du plan qui , roulant tangentiellem^t sur les cercles G et G' , doit engendrer la surface développable 2.

Gela posé :

Nous savons que si l'on construit les plans tragents & et 0' en les points xetxfy points en lesquels la sphère S est percée par la droite R, ces plans se coupent suivant une droiteD , et que le plan du cercle Ai passe par cette droite D.

Par conséquent, les quatre droites mm\ nn'j m'n, mn\ qui unissent deux à deux les quatre points m , n du cercle G et m', n du cercle G', s'appuient sur la droite D;

(*) Voyez le Cwkr$ de gfoméirU deêcrij^tivê^ i« (»rUe , |«Bge 4d.

Or œs quatre droites sont des génératrices de la surface dévelopable 2, et même chose arrivera en considérant sur la droite R un autre point r.. Par conséquent toutes les génératrices droites de la surface développable 2 s'appuient sur la droite D. Et comme la surface 2 est évidemment convexe et non plane , il s'ensuit qu'elle n'est autre qu'une surface conique.

Mais comme , en considérant la figure de l'espace , on voit de suite que les quatre points m , n, m', n, forment un quadrilatère dont les côtés ne sont autres que les génératrices droites de la surface 2, et qu'il est évident que les deux couples de côtés opposés se coupent en des points distincts , il s'ensuit , que l'on peut affirmer que la surface développable 2 est composée de deux surfaces coniques ayant chacune leur sommet sur la droite D , ce qu'il fallait démontrer.

De ce qui précède , on déduit le théorème suivant :

Théorème. Étant donné un cercle D, si l'on prend dans t intérieur de cercle un point a, 51 l'on mène par ce point a deux cordes coupant le cercle D en les points h , b', et b,, b'„ on forme un quadrilatère dont les côtés opposés vont se couper deux à deux en des points i et ï qui déterminent une droite A. (La droite A est dite polaire et le point a est dit pôle du cercle D).

Si par le point a on mène une troisième corde arbitraire coupant le cercle D en les points b. et b ', on pourra combiner ces deux points avec les points b et h', ou b. et b/ et Conformera deux nouveaux quadrilatères dont les côtés opposés iront concourir en des points situés sur la droite A (fig. II) {*).

§iv.

Considérons un cylindre de révolution 2 ayant pour section droite un cercle D y et un cône de révolution 2' ayant pour section droite un cercle If.

Coupons la surface cylindrique 2 par un plan P, nous obtiendrons une courbe E qui sera toujours fermée (de fonne dite elliptique).

Coupons la surface conique 2' par un plan P', nous savons que l'on peut obtenir pour sections trois courbes de formes très-différentes , et que parmi ces formes la forme fermée existe ; la section déforme elliptique est donnée lorsque P' coupe toutes les génératrices droites du cône. Désignons cette section (de forme elliptique) par E'.

Les deux courbes E et E' ont la même forme; voyons si l'on peut ^ géométrique-

(*) Je n*ai pas besoin d'exposer en détail la théorie iêê polaires , je me borne au^ théorèmes nécessaires à la démonstration de la question qui fait le sujet de cette première partie.

ma&t pariant 9 les conaîdéiw ccmnoe des coarbes identiques et jouissant dès k>rs des mêmes propriétés géométriques.

Rappelons-nous la distinction que nous avons feite entre les deux genres de pro- . priétés géométriques qui peuvent exister pour une courbe y savoir : propriétés de relation de jHfsition et propriétés de relation métrique.

Si les deux courbes E et E' jouissent des mêmes propriétés de relation de position, nous pourrons les dire identiques , lorsqu'il s'agira des propriétés de ce genre ; mais nous ne pourrons rien affirmer touchant leur identité au sujet des propriétés de relation métrique (^).

Par conséquent , nous devrons avoir grand soin de ne pas confondre et mélanger dans nos démonstrations , ces deux genres (bien distincts) de propriétés géométriques.

Démontrons maintenant que les deux sections elliptiques , cylindrique E et conique E' sont identiques par rapport aux relations géométriques , dites de position.

Il est évident que par une projection cylindrique, c'est-à-dire au moyen de droites parallèles entre elles et à Taxe du cylindre de révolution I , nous ferons passer sur le plan P et par suite sur la section E , toutes les propriétés de relation de position qui existent pour le cercle D, ces relations de position étant du genre de celles dites des transversales , ou des points de concours.

Il est évident que , par une projection conique , c'est-à-dire au moyen de droites passant par le sommet du cône Î! nous ferons passer sur le plan P' et par suite sur la section Ë', toutes les propriétés dites des transversales t ou des points de concours qui existent pour le cercle D'.

Gela posé :

Si dans le cercle D ou D' on mène deux cordes M et N se coupant en un point o intérieur au cercle, et dont nous désignerons les extrémités par ??i, m' et » , «'; si l'on détermine , ainsi qu'il a été dit ci-dessus , la polaire 0 , le point o étant le pâle ; prenant sur le cercle D ou D' un cinquième point x arbitraire , on déterminera le sixième point x conjugué du point x , par la construction suivante :

On unira les points o; et m par une droite coupant la polaire 0 en un point </et

unissant les points d et m' par une droite; elle coupera la corde xo (prolongée) en un point x' qui sera le sixième point demandé.

On voit donc qu'en faisant cheminer le cinquième point x sur le cercle D ou D', oo construira une Série de sixi^es points x\ qui appartiendront tous au cercle D ou D'.

Même chose aura lieu pour la section E ou E', en vertu de ce qui a été dit ci-

(*) Ainsi lo cwele^ Vellipse, la parabole et Vhyperbole sont id&ntiques pour fes relalîons de poeikion , nai.-^ ces courbes ne 80Dt pas identiques pourleâ relations métriques.

dessus, UmchaDt remploi des fn'ojeciknu cylmdrîqiie on conique, pour faire passer Iç système qui est lié au cercle D ou D', sar les courbes fi ou Ë^

Par cOQséqueut, tous les points conjugués x, et j;/ de la courbe E ou E' srnit liés entre eux et aux quatre points m,, fnjy n,j n/, arbitrairement choisis sur les courbe» E et Ë'^ par une même construction* graphique*

Ces deux courbes Ë et Ë' sont donc , géométriquement parlant , des courbes identiques. Dés lors si nue certaine propriété de relation de position existe pour la courbe E, elle existera pour la courbe Ë'. (Ceci est dit comme induction ou déduction philosophique.) Par conséquent , sachant que si Ton inscrit à la section cylindrique Ë un hexagone tel que deux couples de côtés oj^osés soient parallèles entre eux , le troisième couple de côtés opposés est formé par des droites qui sont aussi parallèles entre elles (*) ; propriété que Ton démontre directement par la projection cylindrique. Cette propriété dont jouit la section cfflindrique Ë existera , sans aucun doute , pour la section conique Ë', quoique nous ne démontrions pas directement Texistence de cette propriété pour la courbe E'; et en vertu de cette propriété dont jouit ( par induction ) la section conique Ë', nous pourrons démontrer Vhexagramme de Pascal ainsi qu'il suit*

Traçons un cercle G dans un plan P; inscrivons dans ce cercle un hexagone quelconque ; élevons par le centre o du cercle C une perpendiculaire au plan de ce cercle et prenons sur cette droite un point arbitraire ^; le cône ( * , C ) sera de révolution ; on aura ainsi le cône droit des anciens géomètres.

Gela posé :

Prolongeons les côtés opposés de l'hexagone inscrit {jig. HI ).

Les cétés ab et a'b' se couperont en un point p;

Les côtés arf, a'd se couperont en un point r ;

Les côtés db\ db se couperont en un point q.

Il faut démontrer que les trois points p, q, r, sont en ligne droite.

Pour cela faire :

Unissons par une droite D deux des trois points p j^ </ , r et ainsi les points p et «y.

Menons par le sommet s et la droite D un plan R et coupons le cône (», C) par un plan Q parallèle au plan R.

Ge plan Q coupera le cône suivant une section elliptique. Ë', car la droite D étant extérieure au cercle C, ce plan Q coupera toutes lesg&iératrices droites du cône.

Or il est évident que les génératrices sa, sa\ sbj sb\ êdj sdl du oône(», G) seront coupés par le plan Q en des points a„ a.', 6., A/, (t, d/ qui sermit les sommet d'un hexagone iascrit à la coiu-beE'.

(♦) Voyez le Coxirê de géométrie descriptive , 2« partie, page 76 , art. 320.

Et comme la pyramide hexagonale inscrite au cône {sy C) a deux couples de faces opposées se coupant suivant les droites sp et sq, qui sont parallèles au plan Q^ il s'ensnit que rhexaigone inscrit dans la courbe E' a nécessairemeni deux couples de obté» opposés qui sont parallèles.

Or, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus^ le troisième couple de côtés opposés doit être formé de droites parallèles , donc la droite sr doit être dans le plan R. Donc les trois plans p, q, r sont en ligne droite. Ce qu'il fallait démontrer.

Mais supposons que les géomètres éprouvent des scrupules (assez légitimes) et ne puiseaat admettre Vexacûiade géométrique de la démonstration de Vhexagrmnme pour le cercle , ainsi que nous Tavons donnée ci-dessus , attendu que cette démonstration s'appuie sur ce que la section elliptique du cône droit jouit d'une propriété qui apfartient à la aectioa elliptique du cylindre droit, savoir :

Que si l'on inscrit dans l'une ou l'autre section un hexagone, tel que deux coufles de côtés opposés forment un faisceau composé de deux droites parallèles , le troisième couple de côtés opposés est nécessairement composé de deux droites parallèles entre elles.

Et qu'ainsi les géomètres ne puissent admettre ce mode de démonstration, attendu que si la propriété énoncée et qui sert de point de départ se trouvant, en effet, démontrée d'une manière rigoureuse pour la section elliptique du cylindre droit , et cela au moyen des projections cylindriques j elle n'est démontrée que par induetUm et d'une manière purement pbUasaphiqne pour la section elliptique du cône droit.

Supposant donc que les géomètres soient conduits à dé^er une démonstration directe de la propriété de Fhexagramme dans lo cercle, nous donnerons la démonstration suivante qui a l'avantage d'être dans un même esprit géomé$rique avec celles données par Mokgb sur tes propriétés des polaires et des tcmgeutes conjuguées exposées ci-dessus (§§ I et II), et cette uniformité de méthode doit être remarquée par les géomètres, car c'est précisément cette uniformité dans les méthodes qui donne un si grand charme à la géométrie des anciens et qui la rend surtout d'une étudefacile.

nÉM^lfft'niilTI^N BIIBCTB »E l'bEXAGIUMME ]>MS LE CERCLE.

Concevons une sphère S; menons par son centre o un plan P, ce plan coupera la sphère suivant un grand cercle C ; inscrivons dans le cercle C , un hexagone quelconque ; unissons deux à deux par des cordes 3 , d', è" les sommets opposés de cet

hexagone ; ces trois cordes se couperont; deux à deux en trois points , qui seront toujours situés dans l'intérieur du cercle, c'est évident.

Menons par tes cordes â, 3', d", des plans X, X', X", perpendiculaires au plan P ; ces plans couperont la sphère S suivant des petits cercles A, à! y A" qui se couperont deux à deux et en deux points symétriquements placés par rapport au plan P; Ton de ces points étant en dessus , l'autre en dessous du plan P, et étant l'un et l'antre également distants de ce plan P.

Cela posé :

Désignons (/y. 111) par a et a* les points en lesquels le cercle C est coupé par la

corde 3.

— par b et b' les extrémités de la corde d'.

— par d et d! les extrémités de la corde d".

Chacune de ces cordes 3, i', 3", sera sur le plan P la projection orthogonale dea cercles A, A', A".

En vertu de ce qui a été démontré § II, ces cercles pourront être enveloppés deux à deux par deux cônes ; on aura donc en tout six cônes enveloppant deux à deux ces trois cercles (*).

En vertu de ce que le plan P est* symétrique par rapport à la sphère S et aux trois cercles A, A', A", il est évident que les sommets de ces six cônes seront situés sur ce plan P ; par conséquent l'hexagone inscrit (aérf, a'6'(i') sera tel que :

1 ^ Ses côtés opposés ab et ab' étant prolongés, seront les génératrices droites d'un cône 1 enveloppant les cercles A et A' ;

2® Ses côtés opposés ad et ad' seront les génératrices droites d'un cône 2' enveloppant les cercles A et A" ;

3"" Ses côtés opposés db' et bd' seront les génératrices droites d'un cône 2" enveloppant les cercles A' et A".

(Et cela a lieu en vertu de ce qui a été dit ci-dessus § II).

Les sommets des cônes 2 , 2', 2" seront donc situés sur le plan P (plan du cercle C) en les points p , 9 , r, en lesquels concourent chaque couple de côtés opposés de l'hexagone.

Cela posé :

Je dis que les trois points p, 9, r sont en ligne droite. Et en effet :

Considérons les deux cônes 2 et 2' ; puisque le premier 2 ayant son sommet an point p enveloppe les cercles A et A', puisque le second 2' ayant son sommet au point r, enveloppe les cercles A et A", il s'ensuit que ces deux cônes ont une basa com^

(*) Voyez io8 Compléments de géométrie deser^tive^ page 42.

mune qui est le cercle à ; si donc on unit leurs ^sommets p et r par une droite , elle viendra couper le plan X du cercle A (et , par conséquent , elle viendra couper la corde S) en un certain point m, et si de ce point m on mène deux tangentes au cercle A, on aura deux points de contact x elx,.

Or il est évident que les plans (x , p, r) et (x, , p , r) seront tangents à la fois aux deux cônes 1 et 2\ et chacun d'eux sera tangent suivant la génératrice px ou px^ pour le cône 1 et suivant la génératrice rx ou rx, pour le cône 2'.

Or, le cercle A" étant situé sur le cône 2', il s'ensuit que la génératrice px coupera le cercle A" en un point x'! et que la génératrice rx, coupera ce même cercle A" en un point x'\ ; or le cercle A' étant situé sur le cône 2, il s'ensuit que la génératrice px coupera le cercle A' en un point x\ et que la génératrice px, coupera ce même cercle en un point x,\

Et il est évident que les tangentes 9 en x au cercle A, 6' en x au cercle A', 9" en x" au cercle A", seront situées dans le plan (x , p , r), et que de même les tangentes 6, en jp, au cercle A, 6/ en x/ au cercle A', 9/' en x," au cercle A'', seront situées dans le plan (a:,, p, r) ; par conséquent le plan (x, p, r) coupera la sphère S suivant un cercle C tangent respectivement aux cerclés A, A', A" en les pointe Xy x% te' ; et le plan (x., p, r) coupera la sphère S suivant un cercle C„ tangent respectivement aux cercles A, A', A", en les points x,, xl x\

Cela posé :

On arrivera au même résultat, soit que Ton considère les cônes 2, 2' ou 2, 2'' ou 2', 2". Par conséquent le plan du cercle C, ainsi que le plan du cercle C. est tangent à la fois aux trois cônes 2, 2', 2", chacun des plans des cercles C et C. contient donc les sommets des trois cônes 2, 2', 2" ; or ces sommets p, ç, r sont sur le plan P , donc ils sont en ligne droite.

Ainsi se trouve démontré d'une manière rigoureuse, et, pour le cercle, X^ihéwème connu sous le nom d'hexagramme de Pascal.

g VI.

L'hexagramme de Pascal étant démontré pour le cercle, il est facile de le démon* trer pour les sections planes d'un cylindre droit ou d'un cône droit.

Et en effet :

Désignant par C la section droite d'un cylindre droit 2 , et par G' la section droite d'un cône droit 2', (les deux courbes G et G' seront des cercles) en inscrivant dans chacun des cercles G et G' un hexagone , les trois points de concours des côtés op* posés de cet hexagone saront , en vertu de ce qui a été démontré ci-dessus , distribués inr une droite D pour le cerçte G et sur une droite D' pour le cerdeG'.

— ficela posé :

Coupant 1* le cylindre 1 par \m plan quelconque P, nous obtiendrons «ne conrbe fermée (elliptique) E , sur laquelle nous ferons passer toutes les droites de la figure située dans le plan du cercle C au moyen de droites parallèles à Taxe du cylindre 2; et ainst par une profeciion qfHndrique.

L'hcxagrammè de Pascal se trouvera donc démoatré pour la courbe E.

Coupant â^ le cône l' par un plan quelconque P', nous obtiendrons l'une des trois sections coniques Ë' et nous ferons passer sur le plan P' la figure située dans le {dau du cercle C\ au moyen de droites concourant au sommet du eèoe 2'; et akisî par une projection eenirale ou ceràqm.

L'be&agramme de Pascal se trouvera donc démontré pour la courbe Ë'.

Et comme au moyen de Thexagramme , on peut , étant donué dnq poiuts de la couri)e E ou Ë'^ construire autant de sixièmes points qu'on voudra^ ou voit que cette oonstruction de la courbe équivaut en géométrique graphiqney^ à Téquation de la GOiurbe en géométrie analytique.

Par conséquent les trois sections coniques E' sont de même i^ture géométriques soit entre elles, soit avec la section cylindrique E«

Cda posé :

Si Ton imagine un cône quelconque 2, ayant pour base une section conique E' (qui ne sera autre que Tune des trois sections planes d'un cône droit), et si Ton ooupe ce cône 2, par un plan quelconque P, , suivant une courbe E. , je dis que la courbe E, sera toujours une section conique.

Ëtenefiet:

L'hexagramme de Pascu. existant pour la court)e E', on pourra le faire passer sur la courbe E. au moyen d'une projection centrale ou conique, le sommet du cône 2, étant le œutre de cette projection , donc, etc. Ce qui précède nous permet donc d'énoncer les théorèmes suivants :

Théorème 1 ". Tout cône qui a pour base une section conique est coupé par un plan suivant une autre section conique.

Théorème 2. Une section conique est toujours projetée orthogonalement ou obliquement sur un plan^ suivant une section conique de même forme quelle.