DEUXIÈME PARTIE

§ I*'. Propriétés principales de Tellipse 20

Foyers de Tellipse 25

§ II. La normale divise en deux parties égales (pour l'eiiipse ) Tangle formé par deux rayons

vecteurs 26

Construction par points de Tellipse 26

§ m. Dans Tellipse, la somme des rayons vecteurs est constante et égaie au grand axe. . . 26 § ly. Démonstration du théorème suivant :

Étant donnés une ellipse A et son grand axe oa', si l'on mène au sommet a une tangente 6 à cette courbe; si Ton unit par une droite le second soQimet a' avec un point quelconque œ de cette courbe A, cette droite coupera la tangente d en un point js, et le point m milieu de la droite za sera le point en lequel la tangente menée à Tellipse A au même pointa? coupera la droites 30

§ y. Diverses manières de construire la tangente en un point d'une ellipse 32

§ yi. Démonstration du théorème suivant :

Étant donnés une ellipse et son grand axe, ayant mené des tangentes B et B' aux extrémités de ce grand axe , si Ton construit la tangente en un point x de Tellipse, cette tangente coupera les droites B et 6' en les points m et m' , et Ton aura : 4* ma-^m'à^Caa^ si le point x se projette sur le grand axe aa! de Tellipse entre le centre de l'ellipse et l'un de ses foyers ; 2*" ma-^-m'a'^aa'^ si le point x se projette sur l'un des foyers ; 3"* ma-f- fn'a'>> aa, si le point x se projette sur le grand axe entre l'un des foyers et

le sommet adjacent à ce /oyer. 33

§ yn. Propriétés principales de l'hyperbole. 34

Foyers de l'hyperbole 35

Pour l'hyperbole , la différence des rayons vecteurs est constante et égale à l'axe

transverse. . . ^ . s 36

Pour l'hyperbole , la tangente divise en deux parties égales l'angle des deux rayons

vecteurs 36

Construction par points de l'hyperbole 36

8 ym. Démonstration du théorème .suivant : . . .

•Étant donnés une hyperbole et ses deux sommets a et a', ayant mené au premier

sommet a une droite B perpendiculaire à l'axe transverse aa', si l'on unit par une droite'

le second sommet a' avec un point x quelconque de l'hyperbole, cette droite coupera la

. droite B en un point y, et la tangenteà l'hyperbole en le point x divisera en deux parties

égales la droite ay 3A

§ IX. Diverses manières de construire la tangente en un point d'une hyperbole 39

§ X. Démonstration du théorème suivant :

■Si en un point quefIcohqUe d'une hyperbole on mène une tangente coupant les tangentes B et 6', menées aux sommets a et a' de la courbe , en deux points m et m', on aura toujours : 4*^ ma — m'a' <Caa' pour les points situés entre le point qui est à l'infini et celui qui se projette en le foyer ; 2* ma — m'a' <= aa', pour le point qui se projette en le foyer; 3'' ma-^-m'a^'^aa' pour tout point situé entre le sommet et celui qui se projette en le foyer iO

Pages.

§ XL Propriétés principales de la parabole 44

Dans la parabole , la tangente divise l'angle des rayons vecteurs en deux parties

égalés. . '. . . 42

§ Xn. Quoique Texistence du foyer de la parabole se trouve démontrée, on ne peut pas, en

vertu des paragraphes précédents, construire ce foyer 42

§ XIII. De la directrice de la parabole 43

§ XIV. Construction du foyer de la parabole 44

Démonstration du théorème suivant :

Si par un point x d'une parabole A on trace une perpendiculaire à la tangente 0 menée en son sommet a, ces deux droites se couperont en un point je, et la tangente au

point X de la parabole coupera la droite za en deux parties égales 44

§ Xy. Construction par points de la parabole 44

§ XYI. Le plan de la parabole E peut être considéré comme un cône dont le sommet est situé à rinfini et faisant partie des cônes obliques qui enveloppent la courbe E située dans l'espace, et les divers cercles D, D', D",... tracés sur le plan de la parabole A, projection orthogonale do la parabole E , ces divers cercles étant tous tangents entre eux et à la

parabole A en son sommet a 45

§ XVIL Diverses manières de construire la tangente en un point d'une parabole 46

§ XVIIL Directrices de l'ellipse et de Thyperbole 46

§ XIX. Énoncés de trois théorèmes 50

§ XX. Des focales des sections coniques 50

§ XXL Construction des focales des sections coniques. 68

Nature géométrique de la focale de Tellipse 54

Rayon de courbure d'une hyperbole pour son sommet 59

§ XXII. Focale de l'hyperbole 60

Nature géométrique de la focale de l'hyperbole 64

Rayon de courbure d'une ellipse pour son sommet 64

§ XXIII. Focale de la parabole 65

Nature géométrique de la focale de la parabole 66

Rayon de courbure d'une parabole pour son sommet. . 66

§ XXIY. Tracés des trois sections coniques , sur le terrain et au moyen de jalonnements. ... 67

Note A relative aux théorèmes énoncés page 50 (fig, 42) 70

Note B relative à la courbe y, lieu des points , sommets des cônes S , S\ S",..« ( page 24 ). . 72