Quatrième cas. — Déterminer l'intersection de deux plans

dont les traces de même nom ne se rencontrent pas dans les limites du dessin.

La méthode consiste alors à couper par deux plans auxiliaires horizontaux ou de front. Soit par exemple à déterminer l'intersection des deux plans PaQ' et R^S^ En coupant par un premier plan horizontal auxiliaire a'6', on. obtient une horizontale dans chacun des deux plans et un point (m, m') de l'intersection ; en coupant par un second plan horizontal auxiliaire c'd'^ on obtient une nouvelle horizontale de chaque plan et un second point {p^p^ de l'intersection. Les projections de l'intersection sont donc mp et m'p'.

99. Cinquième cas. — Déterminer r intersection de deux plans dont les traces rencontrent la ligne de terre au même point.

LE PLAN

Soient Pa(y et RaS' les deux plans donnés. On connaît un premier point de Tintersection, qui est le point de rencontre des deux traces,

et il suffit d'en déterminer un second. Pour cela, on coupe les deux plans par un plan auxiliaire quelconque, par exemple par un plan horizontal a!b'\ on obtient ainsi une horizontale (awi, a'm!) du premier plan et une horizontale (bm^ym!) du second. Ces deux droites se coupent en un point {m^m')^ et les projections de l'intersection sont «m et a'm'.

iOO. Sixième cas. — Déterminer V intersection de deux plans dont detuc traces de même nom sont parallèles.

Soit à déterminer l'intersection des deux plans PaQ' et RpS' dont les

traces horizontales sont parallèles. On remarque que l'intersection est horizontale; car, si par un point de l'intersection on mène la parallèle aux traces horizontales, elle est contenue dans chacun des deux plans et constitue par suite l'intersection des deux plans. D'après cela il suffit d'avoir un point de l'intersection pour qu'elle soit déterminée; or, les traces verticales se coupent en un point (a, a'); donc l'intersection est la droite (a*, a!b^).

101. Septième cas. — Déte)*miner l'intersection de deux plans dont les traces sont parallèles à la ligne de terre.

L'intersection est évidemment parallèle à la ligne de terre; il suffit donc d'en avoir un point, et on obtient ce point à l'aide d'un plan auxiliaire quelconque, par exemple vertical. Dans la figure ci-contre les traces du premier plan sont h et v', celles du second Ai et t/i, et enfin les traces du plan auxiliaire sont Pa et aQ'. L'intersection est (ma^ m'a').

102. Problème VI. — Déterminer le point commun à trois plans.

Soient P, Q, R les trois plans. Pour déterminer leur point commun on détermine d'abord l'intersection de deux de ces plans, P et Q par exemple, puis Tintersection du plan P et du plan R ou du plan Q et du plan R. Ces deux droites se coupent en un point qui est le point demandé. Le problème se ramène donc au problème V. Si l'on déterminait les droites d'intersection des trois plans deux à deux, on aurait les arêtes du trièdre formé par ces trois plans.

i . Prouver qa*nn plan est déterminé quand on connaît une de ses lignes de plus grande pente, soit par rapport au plan horizontal, soit par rapport au plan vertical, et construire les traces d'un plan connaissant Tune de ses lignes de plus grande pente.

2. On donne une ligne de plus grande pente et la projection horizontale d'un point d'un plan ; construire la projection verticale de ce point.

3. Question analogue en supposant connue la projection verticale du point.

4. Un plan est défini par deux droites OÂ, OB qui se coupent au point 0. On connaît Tune des projections d'une droite du plan passant par le point 0, trouver l'autre projection.

5. Un plan est défini par la ligne de terre et un point. On connaît Tune des projections d*un point de ce plan, trouver l'autre projection du même point.

6. On donne la projection horizontale d'un polygone plan et les projections verticales de trois des sommets de ce polygone ; trouver sa projection verticale.

7. Déterminer l'ombre au soleil portée sur les plans de projection par un quadrilatère opaque donné. On connaît la direction des rayons lumineux et le sens de propagation de la lumière.

8. Mener par une droite un plan parallèle à une antre droite.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE IIl 61

9. Même question en supposant que la seconde droite soit la ligne de terre.