Problème IV. — Faire passer un plan par une droite

Le problème est évidemment indéterminé. On peut le déterminer soit en se donnant une droite rencontrant la droite donnée, soit en se donnant un point non situé sur cette droite, soit par toute autre condition qui achève de déterminer le plan.

Si on voulait déterminer le plan par ses traces, il suffirait de déterminer les traces (A, h') et (v, t?') de k droite donnée et de joindre les points A et t?' à un point quelconque a de orj/. On aurait ainsi le plan PaQ', représenté dans la ligure ci-contre.

83. Plans verticaux. — On appelle plan vertical tout plan perpendiculaire au pian horizontal. On définit un plan vertical par sa

trace horizontale et par sa trace verticale. Celle-ci est perpendiculaire à la • ligne de terre; en eflfet, elle est perpendiculaire au plan horizontal ; donc elle est perpendiculaire à la ligne de terre, qui est située dans ce plan. Quant à la trace horizontale, en vertu de la défmition de l'angle plan d'un dièdre, elle forme avec xy un angle égal à Vangle plan du dièdre formé par le plan vertical considéré avec le plan vertical de projection. La figure ci-contre est l'épure d'un plan vertical PaQ'.

Il est très important de remarquer que toute figure située dans un plan vertical PaQ' est projetée horizontalement sur sa trace horizontale Pa.

84. Plans de front. — Un plan de front est un plan parallèle au plan vertical : c'est un plan vertical dans une position particulière. Il n'a pas de trace verticale, et sa trace horizontale est parallèle à xy. Toute parallèle à xy peut être considérée comme représentant un plan de front.

Toute figure située dans un plan de front se projette horizontalement sur la trace horizontale de ce plan^ et verticalement suivant une figure qui lui est égale.

85. Plans de bout. — Un plan de bout est un plan perpendiculaire au plan vertical ; on le définit par sa trace verticale et par sa trace horizontale. Celle-ci est perpendiculaire à xy ; en effet, elle est perpendiculaire au plan vertical, donc elle est perpendiculaire à xy^ qui est située dans ce plan. Quant à la trace verticale, elle forme avec xy un angle égal à l'angle plan du dièdre formé' par le plan

de bout avec le plan horizontal de projection, La figure ci-contre est

répure d'un plan de bout PaQ'.

Il est très important d'observer que toute figure située dans un plan

de bout est projetée verticalement sur sa trace verticale aQ'.*

86. Plans horizontaux. — Un plan horizontal est un plan parallèle au plan horizontal : c*est un plan de bout dans une position particulière. Il n'a pas de trace horizontale et sa trace verticale est parallèle à xy. Toute parallèle à xy peut être considérée comme représentant un plan horizontal. Enfin toute figure située dans un plan horizontal se projette verticalement sur la trace verticale de ce plan, et horizontalement suivant une figure égale.

87. Plans de profil. — Un plan de profil a déjà été défini : c'est un plan perpendiculaire à la ligne de terre; ses deux traces sont confondues avec la même perpendiculaire à xy et sont les projections horizontale et verticale de toutes les figures situées dans le plan de profil. Dans la

figure ci-contre PaQ' représente un plan de profil.

LE PLAN

88. Plans parallèles ù la ligne de terre. — Lorsqu'un plan est parallèle à la ligne de terre, ses deux traces sont parallèles à cette

ligne ; en effet, le plan et les deux plans de projection forment une surface prismatique ayant pour arêtes les traces du plan et la ligne de terre. L'épure d'un plan parallèle à arj/ se compose, d'après cela, de xy et de deux droites ** P et (y parallèles à cette ligne.

89. Plans passant par la ligne de terre. — Quand un plan passe

par la ligne de terre, ses traces sont confondues avec cette ligne et ne peuvent servir à le déterminer. On le détermine alors par la ligne de terre et un point (a, aTj; et même, dans ce cas, il y a avantage à joindre le point (a, a') à deux points (ô, V) et (c, d) sur ary, afin de déterminer le plan par deux droites qui se coupent (a6, cdb') et (ac, aie").

90- Plans perpendiculaires au premier plan bissecteur. — Un plan perpendiculaire au premier plan bissecteur est défini par une

droite (D) perpendiculaire à ce plan bissecteur et par un point quelconque P, non situé sur cette droite. On le détermine facilement par deux droites en joignant le point P à un point quelconque de D.

Lorsqu'un plan est perpendiculaire au premier plan bissecteur^ ses traces sont symétriques par rapport à la ligne de terre.

Considérons en effet la droite de profil (At?, h'v') dont les traces sont symétriques par rapport à xy. Cette droite est perpendiculaire au premier plan bissecteur, car si on lui mène une parallèle (a6, a'b^ par un point (a, a!) de xy, cette parallèle est située dans le deuxième plan bissecteur. Or, elle est de profil, donc elle est perpendiculaire au premier plan bissecteur, et il en est de même de (Au, h'v').

Il en résulté que tout plan PaQ' passant par (Av, A'w') est perpendiculaire au premier plan bissecteur; mais il est manifeste que ce plan a ses traces symétriques par rapport à xy.

Comme tout plan perpendiculaire au premier plan bissecteur peut s'obtenir par une construction analogue, la proposition est démontrée.

9i. Plans perpendiculaires au deuxième plan bissecteur. — On

définit un plan perpendiculaire au deuxième plan bissecteur par

une droite D perpendiculaire à ce plan bissecteur et par un point quelconque P non situé sur cette droite. On peut le déterminer ensuite par deux droites, enjoignant le point P à un point quelconque de D.

Par un raisonnement analogue à celui qui a été fait dans le numéro précédent, on prouve qu'un plan perpendiculaire au deuxième plan bissecteur a ses traces confondues dans l'épure.

Il en résulte que l'épure d'un plan perpendiculaire au deuxième plan bissecteur se composera de la ligne de terre et d'une droite P«Q' représentant les traces du plan.

§. II. — Plans parallèles.

02. Théorème. — Lorsque deux plans sont parallèles, leurs traces de même nom sont parallèles, et réciproquement.

1^ Si les plans sont parallèles, leurs traces de même nom sont parallèles comme sections de deux plans parallèles par un troisième.

2o Si les traces de même nom sont parallèles, les deux plans sont parallèles comme plans de deux angles ayant leurs côtés parallèles.

93. Problème V. — Mener par un point le plan parallèle à un plan donné.

La solution est immédiate : on mène par les projections du point les parallèles aux projections de même nom des droites qui déterminent le plan.

LE PLAN

Par exemple, si le plan est déterminé par ses traces PF et QQ', on

mène par le point (a, a') les parallèles aux deux droites (P, F) et (Q, Q') ; on détermine ainsi le plan cherché par deux droites (A, K) et (/*, /*'), c'est-à-dire far une horizontale et far une ligne de front. On construit aisément ses traces si cela est nécessaire, maAs il n'y a généralement aucune nécessité à cela. Toutefois si Ton veut déterminer le plan par ses traces, voici comment il faut procéder : On mène par le point (a, a') la parallèle à Tune des traces du plan, la parallèle (fc, K) à la trace horizontale, par exemple. On cherche la trace verticale (A, b') de cette droite, puis on mène : par le point b' la parallèle PQ*! à «cy et par le point p la parallèle pPi à aP. On obtient ainsi en PiPO^i le plan cherché.

{il III. — Intersection de deux plans.

94. Premier cas. — Déterminer V intersection de deux flans dont l'un est ferpendiculaire à l'un des flans de frojection.

Soit par exemple à trouver Tintorsection d'un plan quelconque P et d'un plan Q perpendiculaire au plan horizontal. Nous avons vu que toute figure située dans le plan Q est projetée horizontalement sur la trace horizontale de ce plan; il en résulte que l'on connaît la projection horizontale de l'intersection des deux plans P et Q (c'est la trace horizontale du plan Q); mais alors le problème est ramené au suivant, déjà résolu : Connaissant la projection horizontale d'une droite du plan P, trouver sa projection verticale. Dans la figure ci-contre le premier plan est déterminé par deux droites qui se coupent {oa, o'd) et (06, o'b')'j le second plan est déterminé par ses traces Pa et aQ', et enfin l'intersection est {ab, a'V). La droite aQ' n'intervient pas dans les constructions et on peut se dispenser de la tracer.

On aurait des constructions analogues si le second plan était perpendiculaire au plan vertical.

Nous engageons le lecteur à faire Tépure dans ce cas et dans le cas où le plan P est déterminé par ses traces, situées d'ailleurs d'une manière quelconque par rapport à la ligne de terre.

93. Deuxième cas. — Déterminer l'interseciion de deux plans quelconques.

Pour déterminer , dans le cas général , la droite d'intersection de deux plans, on remarque qu'il suffit d'en avoir deux points. Soient alors P et Q les deux plans donnés ; imaginons qu'on les coupe par un plan quelconque R {plan auxiliaire). Ce plan coupe le plan P suivant une droite D et le plan Q suivant une droite D,; les deux droites D et Di sont situées dans le même plan R et se coupent en un point M qui est un point de l'intersection des deux plans P et Q. Au moyen d'un second plan auxiliaire on obtient un second point N et, en joignant ces deux points, on a l'intersection demandée.

A la vérité, il semble qu'au lieu de résoudre le problème on en ait compliqué la solution, puisque au lieu de chercher tout simplement Tintersection de deux plans on résout quatre fois le même problème; il semble même qu'on n'ait pas fait faire un pas à la solution. Mais il n'en est pas ainsi et le problème est effectivement résolu de cette façon. En effet, les plans auxiliaires joeuo^nt être choisis arbitrairement; si donc on les choisit perpendiculaires à l'un ou l'autre des deux plans de projection, on saura, en vertu du premier cas, déterminer les droites analogues à D et à Di et, par suite, résoudre complètement le problème.

Cela posé, supposons les deux plans déterminés par deux droites qui se coupent et soient : (a, oT) et (6, b^ les droites qui se coupent en (o, o') et qui déterminent le premier plan 0; (c, c') et (d, d') celles qui se coupent en (oi, oi) et qui déterminent le second plan Oi. On peut prendre comme plans auxiliaires, soit des plans horizontaux, soit des plans de front ; mais il est beaucoup plus commode de prendre les plans qui projettent horizontalement ou verticalement les droites de l'un ou l'autre plan; en effet, si l'on prend, par exemple, comme plan auxiliaire le plan qui projette horizontalement la droite (a, a') du premier plan, on connaît l'intersection de ce dernier plan et du plan auxiliaire employé [c'est la droite (a, a') elle-même], et le problème se trouve ainsi simplifié.

LE PLAN 57

Dans l'exemple actuel prenons d'abord, comme plan auxiliaire, le plan qui projette horizontalement (c, <f}; ce plan coupe le plan 0| suivant la droite (c, <f) et le plan 0 suivant la droite (mn, m'n'); ces deux droites se coupent en un point (p, p') qui est l'un des points cherehiis.

Pour obtenir un second point, prenons comme plan auxiliaire le plan qui projette verticalement la droite (d, <£); il coupe les deux

plans Oi et 0 respectivement suivant les droites (d, d!)et{miHi,m',n',); ces deux droites se coupent au point (q, q'^) qui est le second point cherché. La droite d'intersection des deux plans est donc (pq, p'q').

%. Snppreuion de la ligne de terre. — Dans cette épure, ainsi luedans beaucoup d'autres, la ligne de terre a été supprimée parce lu'elie sert tout simplement à indiquer la direction des lignes de •^ppcl. Mais il y a, à cette suppression de la ligne de terre, un avan- %ïautreque celui de la simplification d'un dessin. Sien effet on ne '™ce pas la ligne de terre, ce qui revient à la laisser indéterminée, on P*iit supposer que l'un quelconque des deux plans de projection se %laee parallèlement à lui-même; cela ne change pas la projection a une figure quelconque sur ce plan, et cela ne cbange que la position de iï Sgure par rapport aux plans de projection. On peut donc suppo- ^r les plans de projection placés de telle sorte qu'un corps quelconque

soit tout entier dans le premier dièdre. De celte façon, pour faire la ponctuation de Tépure de ce corps, on pourra faire totalement abstraction des plans de projection. Nous utiliserons cette remarque dans la suite.

97. Troisième cas. — Déterminer Vinteriection de deux plans dont les traces sont quelconques.

Soient poLq' et p^' les deux plans donnés. On pourrait obtenir leur intersection par le procédé général indiqué dans le deuxième cas ; mais il vaut mieux remarquer : 1» Que leurs traces horizontales sont toutes deux situées dans le plan horizontal et se coupent en un point (p, p^ ; 2o Que leurs traces verticales sont toutes deux situées dans le plan vertical et se coupent en un point (qyq^. L'intersection des deux plans est donc la droite (py, pV); on voit qu'elle est déterminée par ses traces. Toutefois la méthode n'est pas applicable lorsque les deux traces de même nom ne se rencontrent pas dans les limites du dessin.