INTRODUCTION

§ I. — Définitions sur les projections.

1. Objet de la Géométrie descriptive. — La Géométrie descriptive a pour objet la représentation exacte des corps par la méthode des projections. Il est donc naturel de commencer Tétude de la Géométrie descriptive par celle de la méthode dçs projections. Nous n'étudierons d'ailleurs, dans ce qui suit, que des corps géométriques.

2. Perspective d*un point ; perspective d'une figure. — On appelle perspective ou projection conique d'un point A, sur un plan P,

et par rapport à un point de vue 0 ou centre de projection^ le point a où le plan P est rencontré par la droite OA.

On appelle perspective ou projection conique d'une figure sur le même plan et par rapport au même point de vue, le lieu géométrique ou plutôt Tensemble des projections des divers points de la figure.

Le point 0 et le plan P définissent un système de projections : le

AATOM ARI. — GiOM. OESCR, 1

plan P est appelé le plan de projection ou le plan du tableau^ et Ton dit quelquefois projection centrale au lieu de projection conique ; la droite OA s'appelle la. projetante du point A.

3. Projections cylindriques ; pi*o|ection8 orthogonales ou obliques.

7— Lorsque le point de vue s'éloigne indéfiniment dans une direction donnée, D, la projection conique devient une projection cylindrique ; D s'appelle la direction des projetantes, et l'on dit que les projections sont orthogonales ou obliques suivant que les projetantes sont orthogonales ou obliques au plan de projection. Quand les projections sont orthogonales, on peut dire que la projection d'un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan.

En Géométrie descriptive, on emploie exclusivement les projections orthogonales; mais nous allons néanmoins entrer dans quelques détails sur les projections quelle que soit leur nature.

§11. — Ligne droite.

4. Théorème. — Lorsqu'une droite ne passe pas par le. point de vue à distance finie ou infinie^ sa projection est une ligne droite ; elle est un point dans le cas contraire.

Il est clair, d'abord, que si une droite A passe par le point de vue, sa projection se réduit à l'intersection de a avec le plan du tableau, c'est-à-dire à un point.

Supposons donc que la droite A ne passe pas par le point de vue. Toutes les projetantes des divers points de la droite sont alors situées dans le plan Q déterminé par le point de vue et par la droite. Leurs traces sur le plan P sont donc sur l'intersection du plan Q et du plan P, c est-à-dire sur une ligne droite 8, ce qui démontre le théorème.

Il est bon de remarquer que cette droite 8 n'existe plus si le plan Q est parallèle au plan P ; mais nous reviendrons plus tard sur ce cas particulier.

5. Remarque. — Le plan Q qui passe par la droite a et par le point 0 s'appelle le plan projetant de la droite : il n'est indéterminé que si la droite passe par le point 0, c'est-à-dire par le point de vue.

6. Définitions. — On appelle droite de front toute droite parallèle au plan du tableau.

On appelle trace d'une droite le point de rencontre de cette droite avec le plan du tableau.

Une droite de front n'a évidemment pas de trace, et elle est parallèle à sa projection ; car, si une droite a est parallèle à un plan P, tout plan Q passant par à coupe le plan P suivant une parallèle à a.

Au lieu de dire qu'une droite de front n'a pas de trace, on dit encore que la trace d'une droite de front est le point à l'infini dans la direction de cette droite.

De ce qu'une droite de front est parallèle à sa projection, il suit que si plusieurs droites de front sont parallèles, leurs projections sont aussi parallèles. Ceci nous amène à chercher la condition nécessaire et suffisante pour que les projections de deux droites soient parallèles. Cette condition nous est fournie par le théorème suivant.

7. ThLéorème. — Pour que les projections de deux droites soient parallèles^ il faut et il suffit qu'elles rencontrent une même droite de front passant par le point de vue.

lo C'est suffisant, — Soient, en effet, a et Ai deux droites rencontrant respectivement en A et en Ai une même droite de front, F, menée par le point 0. Leurs projections o et Si passent respectivement par les projections a et Ci des points A et Aj; mais les points a et ai coïncident avec le point à l'infini dans la direction F, donc 8 et Si sont parallèles.

2o C est nécessaire, — En effet, si 8 et

8, sont parallèles, les deux plans (0, 8) et

(0, 8i), c'est-à-dire les deux plans projetants

des deux droites a et a,, se coupent suivant

une droite parallèle à 8 et à 8i. Cette droite

étant parallèle à 8 et à 8i est de front ; de

plus elle passe par le point 0 ; enfin elle est rencontrée par a et par Aj,

puisqu'elle est d'une part dans le plan (0, 8), comme A, et d'autre

part dans le plan (0, 8,), comme Ai. Donc les deux droites a et Ai

rencontrent une même droite de front menée par le point 0, ce ([ui

démontre la proposition.

8. Remarque. — Ce th(k)rème ne suppose rien sur la nature du sysibuic de projection. Il s'applique donc aux projections cylindriques comme aux projections coniques. Toutefois, nous ne pourrons nous en assurer que lorsque nous aurons acquis la notion de la droite de Vinfini dans un plan. Pour acquérir cette notion, il est nécessaire de donner d'al)ord quelques définitions.

9. Point de fuite d*ane droite ; ligne de faite d*iui plan* —

On appelle point de fuite d^une droite a, la trace f de la parallèle à A menée par le centre de projection. Le point de fuite d*une droite n*est autre que la projection du point à l'infini sur la droite.

Le point de fuite d'une droite de front est ^/ ^' I le point à l'infini dans la direction de cette

droite.

Lorsque plusieurs droites sont parallèles,

elles ont évidemment le même point de fuite,

à distance finie ou infinie. Par conséquent, si

plusieurs droites sont parallèles, sans être de front, leurs projections

coniques sont concourantes, mais la réciproque n'est pas vraie.

Les projections cylindriques de plusieurs droites parallèles sont toujours parallèles, parce que leurs plans projetants sont parallèles.

On appelle ligne de fuite d'un plan Q le lieu géométrique des points de fuite de toutes les droites du plan. Un plan Q' parallèle au plan Q

et mené par le point 0, coupe le plan de projection suivant une ligne droite q qui est le lieu des points de fuite de toutes les droites du plan Q : c'est la ligne de fuite du plan. Lorsque le plan Q est parallèle au plan de projection, il n'a pas de ligne de fuite, puisque le plan Q' est lui-même parallèle au plan de projection.

Si une droite est parallèle à un plan Q, le point de fuite de la droite est sur la ligne de fuite de ce plan ; car la parallèle menée par le point 0 à la droite est située dans le plan Q'.

10. Droite de l'infini dans un plan. — Puisque le point de fuite

d'une droite est la projection du point à Tintini sur la droite, la ligne de fuite d'un plan sera la perspective des points à Tinfini dans le plan. Cette perspective étant une ligne droite, le lieu des points à Tintini dans un plan est une ligure qui se projette toujours suivant une droite. D'autre part, si Ton considère une figure située dans un plan ne passant pas par le point de vue, il est manifeste que la projection de cette figure ne se réduit à une ligne droite que si la figure est ellemême une ligne droite. On est ainsi conduit à considérer tous les points à rinfini dans un plan comme étant en ligne droite. C'est cette droite (|u'on appelle la droite de l'infini du plan.

11. Remarques. — 1® Nous avons vu (4) que si le plan Q, qui projette une droite A, est parallèle au plan de projection, la droite A n'a plus de projection. En réalité le plan de projection et le plan Q se coupent suivant une droite qui est à l'infini, de sorte que la projection de a coïncide avec la droite de l'infini du plan de projection. Cette droite est aussi la ligne de fuite de tous les plans parallèles au plan du tableau.

2* n est aisé de voir maintenant que la proposition établie au n® 7 s*éiend aux projections cylindriques. Si, en effet, le centre de projection est à l'infini dans une direction D, une droite de front menée par ce point devient la droite de l'infini d'un plan R passant par D. Dès lors la démonstration de la proposition subsiste tout entière, en remplaçant la di*oite de front, qui intervient dans cette démonstration, par la droite de l'infini du plan R, et en observant qu'une droite A qui rencontre la droite de l'infini du plan R n'est autre chose qu'une droite parallèle à ce plan ; de sorte que, pour que les projections cylindriques de deux droites soient parallèles^ il faut et il suffit que les plans projetants de ces deux droites soient parallèles.

La proposition, ainsi énoncée, aurait pu être démontrée directement, mais nous avons tenu à montrer comment on peut la déduire de la proposition plus générale établie au n° 8.

§ III. — Lignes courbes.

12. L.i0nes planes et lignes gauches; ordre d'une courbe. — On divise les lignes ou courbes de l'espace en lignes planes et en

lignes gauches. Les premières sont celles qui sont dans un plan, et les deuxièmes sont celles qui ne sont pas contenues dans un plan.

A un autre point de vue, emprunté à la Géométrie analytique, on distingue aussi les lignes en lignes algébriques et en lignes transcendantes. Nous renvoyons aux traités de Géométrie analytique pour cette distinction, que nous nous bornons à signaler ici.

On dit qu'une ligne plane algébrique est d'ordre m quand toute droite du plan la rencontre en m points réels ou imaginaires, distincts ou confondus, à distance finie ou infinie.

On dit qu'une ligne gauche algébrique est d'ordre m quand elle est coupée par un plan en m points réels ou imaginaires, distincts ou confondus, à distance finie ou infinie.

Ajoutons que les notions de points imaginaires et de points confondus sont aussi tirées de la Géométrie analytique.

13. Tangente et plan osculateur en un point d*une ligne. — On appelle tangente en un point quelconque M d'une ligne L la

limite MT des positions successives occupées par une sécante BIM' quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M.

Tout plan passant par la tangente MT s'appelle un plan tangent en M, et l'on appelle plan osculateur à la courbe en ce même point la limite du plan tangent passant par un point M' voisin du point M, quand ce point M' se rapproche indéfiniment du point M.

Lorsque L est une courbe plane située dans un plan P, le plan osculateur en l'un quelconque de ses points coïncide avec le plan P ; car le plan tangent en un point M passant par un point voisin M' coïncide toujours avec le plan de la courbe.

Quand la courbe n'est pas plane, on démontre que le plan osculateur en un point M traverse la courbe en ce point. Autrement dit, dans le voisinage du point M, la courbe est de part et d'autre du plan osculateur.

14. Théorème. — La projection d'une ligne plane d'ordre m est une ligne d'ordre m, pourvu que le plan de la ligne ne passe pas par le centre de projection.

En effet, si une ligne plane L el une droite a se rencontrent en m points Al, A2, ... 5 A„, les projections Oj, as, . . . , am de ces points se trouvent

à la fois sur la projection / de L et sur la projection 8 de a; donc la droite o et la ligne / ont aussi m points communs. Elles n'en ont pas davantage, parce que tout autre point a, commun à / et à 8, serait nécessairement la projection d'un point commun à L et à A, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc la ligne / est bien d'ordre m.

Il est manifeste que si le plan de la ligne L passe par le centre de projection, la projection de cette ligne est une droite.

15. Remarque. — Les projections des divers points d'une ligne forment une surface conique ou cylindrique dont la trace sur le plan du talDleau n'est autre chose que la projection de la ligne. On appelle respectivement ces deux surfaces cône ou cylindre projetant la ligne. On comprend, d'après cela, les dénominations de projections coniques ou cylindriques adoptées plus haut (2).