Tbéopème. — Quand une ligne plane L est dans un plan Pi

parallèle au plan P, sa projection cylindrique sur le plan P est une ligne égale à L.

En effet, la ligne L et sa projection cylindrique, /, sur le plan P sont les sections faites par deux plans parallèles dans le cylindre projetant : elles sont donc égales.

17. Théorème. — Soient L une ligne quelconque de l'espace^ l sa projection sur un plan P, dans un système de projections quelconques. Si m est un point quelconque de

la ligne /, M te point de L dont il est la projection, la tangente à la ligne /, aupoint m, est la projection^ sur le plan P, de la tangente à la ligne L, au point M, qui se projette en m.

On énonce encore ce théorème plus brièvement de la manière suivante :

La tangente en un point de la projection d'une ligne est la projection de la tangente au point correspondant de cette ligne. Soit, en effet, S le centre de projection, que nous supposerons à

distance finie pour fixer les idées. Sur la ligne L prenons un point M', voisin du point M, et soit m' la projection de ce point H' sur le plan P. La sécante mmf est alors la projection de la sécante HH', et cela quelque rapproché que soit H' de H. Or, si M' se rapproche indéfiniment de M et vient se confondre avec lui : 1» m' se rapproche indéfiniment de m, et vient se confondre avec lui quand W vient se confondre avec H; 2^ MM' et mm! ont simultanément pour limites respectives les tangentes MT et mt en M et m aux lignes L et /. Et, comme mm' ne cesse pas d'être la projection de MM', que d'autre part mm' est confondu avec mt quand MM' est confondu avec MT, il en résulte bien que mt est la projection de MT.

On voit que le point S n'intervient en rien dans la démonstration, qui s'applique, par conséquent, quelle que soit la nature du système de projections.

La démonstration n'est en défaut que si la tangente MT passe par le point S, car alors sa projection se réduit à un point, et on ne peut plus dire que mt soit la projection de MT.

Voici comment on obtient, dans ce cas, la tangente à la ligne /, au point m.

18. Théorème. — Lorsque la tangente au point HL de la ligne L passe par le centre de projection^ à distance finie ou infinie, le point m est un point de rebroussement de la ligne /, et la tangente à l^ en m^ est la trace^ sur le plan P^ du plan osculateur en M, à L.

On dit qu'un point A d'une courbe C est un point de rebroussement de cette courbe, quand, dans le voisinage de ce point, la courbe

présente la disposition indiquée par la ligure cicontre : deux branches de courbe qui se croisent au point A, s'y arrêtent, et y admettent la même tangente AB.

Soit mt la trace, sur le plan P, du plan osculateur

en M à la ligne L. On voit (13) que dans le voisinage

du point M la courbe est de part et d'autre du plan Smt. Si donc

nous prenons deux points M' et Mi de cette courbe, de part et d'autre

du point M, et dans le voisinage de ce point, ils seront de part et d'autre du plan osculateur Sm/, et se projetteront en m et en m,, de part et d'autre de mt.

Cela posé, la projection mm! de HH' est la trace sur le plan P du plan SMM' qui devient, à la limite, quand M' coïncide avec M, le plan osculateur en M; donc la position limite de mm^ sera la trace mt^ sur le plan P, du plan osculateur en M.

On verrait absolument de même que la position limite de mnit coïncide avec mt. De tout cela il résulte évidemment que le point m est bien un point de rebroussement de la ligne /, et que la tangente en ce point coïncide avec la trace mt du plan osculateur en M, conformément à l'énoncé.

La démonstration suppose que L est une.courbe gauche. La remarque suivante indique ce qu'elle devient quand la courbe est plane.

19. Remarque. — La proposition établie au n» 17 est aussi applicable

quand la ligne L est une ligne plane dont le plan passe par le centre de

projection. Dans ce cas, la projection de la ligne se réduit à une droite,

que Ton peut regarder comme la projection commune des tangentes,

en tous les points de L.

20. Théorème. — Quand le centre de projection est dans le plan osculateur en M, le point m est un point d'inflexion de l^ pourvu que SM ne soit pas tangente en M.

On dit qu'un point A d'une courbe C est un point d'inflexion

p de cette courbe, quand celle-ci traverse sa

tangente en A, comme l'indique la figure cicontre.

Cette définition étant donnée, soient P le plan de projection, Q le plan osculateur en M et S le centre de projection, à distance finie ou infinie.

Appelons MT la tangente en M, projetée comme on l'a vu (17) suivant la tangente mt à /. Deux points M' et M| pris sur L, dans le voisinage du point M et de part et d'autre de ce point, étant situés de part et d'autre du plan Q, se projetteront en m! et en wii, de part et d autre de mt. Donc, dans le voisinage de fn , la ligne / est de part et d'autre de sa tangente; donc, enfin, m est un point d'inflexion.

§ IV. — Propriétés projectives.

*21. Définition. — Quand on projette une figure F sur un plan, si une propriété concernant certains éléments de cette figure subsiste pour les éléments correspondants de la figure projection, on l'appelle une propriété projective de la figure F. *

C'est ainsi que la propriété de la tangente est projective. C'est ainsi également que les rapports anharmoniques de quatre points en ligne droite ou d'un faisceau de quatre droites dans un plan sont projectifs.

En général, toutes les propriétés descriptives des figures sont projectives; car, si des droites sont concourantes, il en est de même de leurs projections; si des lignes sont tangentes, il en est de même de leurs projections, etc.

Mais SI une propriété concerne la grandeur d'une figure, c'est-à-dire si c'est une propriété métrique, elle n'est généralement pas projective. n y a toutefois des exceptions, comme le rapport anharmonique par exemple, et nous en donnerons bientôt la raison.

* 22. Méthode des projections. — Quand on sait qu'une propriété d'une figure est projective, pour l'établir, il sufiît de l'établir pour l'une quelconque de ses projections. La simplicité de la démonstration dépendra naturellement du choix du centre de projection ainsi que du choix du plan de projection.

La méthode des projections est une méthode de recherches basée sur l'application du principe précédent. Pour faire usage de celte méthode, il est donc indispensable de pouvoir reconnaître immédiatement si une propriété donnée d'une figure est projective. Le théorème suivant en donne quelquefois le moyen :

* 23. Théorème. — Soient A, B, C, ... les divers points d'une figure F et A', B', C, ... les points correspondants de la figure F' obtenue en projetant la figure F d'un point S sur un plan P. Toute

fraction rationnelle ; .. ' ' ^ dans laquelle o(A, B, C, ...) et

H'vA, B, L, ...)

^J'^A, B, C, ...) désignent des fondions des distances mutuelles des points A, B, C, ..., linéaires par rapport aux lettres A, B, C, ..., est

égale à la fraction ' / / / '" si : 1» toute lettre qui figure au

numérateur figure aussi au dénominateur ; 2^ à tout segment figurant au numérateur et compté sur une droite indéfinie, correspond un segment figurant au dénominateur et compté sur la même droite indéfinie.

Soit, en effet, AB un segment de la figure F. Menons les projetantes SA, SB et la perpendiculaire Sp à la droite indéfinie qui joint les deux points A et B. En égalant deux expressions diff'érentes de Taire du triangle ASB, on obtient l'égalité

AB.Sjp = SA.SB. sin ASB, de laquelle on tire

,„ SA.SB. sin ASB

Un calcul analogue donnerait des expressions du même genre pour les distances mutuelles des points A, B, C, ...

Si alors on remplace dans la fraction T/a' r>* n' " i l^s distances

mutuelles par les valeurs ainsi trouvées, en vertu des conditions de renoncé, les distances SA, SB, ... figurant au numérateur et au dénominateur disparaissent (1^), et il en est de même des quantités analogues à Sp (2»). De cette manière la fraction ne dépend plus que des angles mutuels des rayons SA, SB, ..., et ces angles sont les mêmes pour la figure F et pour la ligure F ; de sorte que si Ton transforme

de la même manière la fraction V,/^," / " , > on trouve le même

9(\ B C ) résultat qu'en transformant la fraction ; .. ' ' /r~"x > c<î Qui démon-

tre la proposition.

En particulier, si A', B', C', D' sont les projections respectives de quatre points en ligne droite A, B, C, D, on a

ACxDB A^CXD^^ CBxAD"C'BxAiy'

Cette égalité exprime que le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est projectif.

Nous allons donner maintenant quelques applications.

* 24. Application I. — Projeter un quadrilatère complet ABCDEF suivant un parallélogramme.

Les côtés opposés d'un parallélogramme étant parallèles, cela revient

à dire qu'ils se coupent sur la droite de l'inlini du plan du parallélogramme. Si donc on veut projeter le quadrilatère donné suivant un parallélogramme et de manière que AB et CD soient deux côtés opposés de ce parallélogramme, il faudra que les projetantes des points E et F soient parallèles au plan de projection. Il suffira donc de prendre comme plan de projection un plan quelconque parallèle à celui qui est déterminé par EF et par le centre de projection.

* 25. Corollaire. — Chacune des diagonales d'un quadrilatère complet est divisée harmoniquement par les deux autres.

La propriété harmonique étant projective, il suffit de démontrer la

proposition énoncée pour une projection du quadrilatère. Or, la proposition est évidente pour le parallélogramme ; donc elle est vraie pour le quadrilatère complet.

* 26. Application II. — Projeter une conique C de manière qu'une droite D du plan de cette conique soit à Vinfini et de manière aussi que la projection d'un point F du même plan soit un foyer de la nouvelle conique.

Pour traiter cette question nous commencerons par rappeler : i^ Qu'un foyer d'une conique peut être défini comme un point tel qu'on puisse mener par ce point une infinité de couples de droites rectangulaires, conjuguées par rapport à la conique ;

2o Que la propriété de deux droites d'être conjuguées par rapport à une conique est projective ;

3° Que, si Ton a une involution à points doubles imaginaires sur une droite, il existe un cercle ayant son centre sur la droite, ayant son plan perpendiculaire à cette droite, et de chacun des points duquel on voit sous un angle droit le segment déterminé sur la droite par un couple quelconque de points correspondants de l'involution.

Cela posé, appelons c, rf, f les projections respectives de C, D, F, et, dans le plan de la conique C, considérons tous les couples de droites conjuguées menées par F ; ils se projettent suivant des couples de droites conjuguées par rapport à c, menées par /*, c'est-à-dire que leurs projections forment un faisceau involutif de sommet f. Or, les rayons doubles de ce faisceau sont les tangentes à c menées par /*, et, comme f doit être un foyer, ces rayons doubles sont imaginaires. Donc, le faisceau involutif correspondant, situé dans le plan de la conique C, doit aussi avoir ses rayons doubles imaginaires, ce qui exige que F soit intérieur à C. Mais si les rayons doubles sont imaginaires, toute sécante, D par exemple, coupe le faisceau suivant deux divisions en involution à points doubles imaginaires. Il existe donc une circonférence r de chaque point de laquelle on voit sous un angle droit le segment formé par un couple quelconque de points conjugués de rinvolution. Mais alors si l'on projette d'un point quelconque S de cette circonférence, sur un plan parallèle au plan déterminé par S et par D, deux droites conjuguées quelconques FA, FB, rencontrant D en A et en B, se projettent suivant deux droites conjuguées menées par / et parallèles à SA et à SB, c'est-à-dire suivant deux droites

conjugu<!fes rectang:u1aires, et le point f ainsi obtenu est bien foyer de laconique C.

Ne voulant pas refaire ici une étude complète des propriétés projectives, nous ne donnerons pas d'autres applications.