Rabattement d*un plan autour de sa trace horizontale

Supposons d'abord que la trace horizontale soit quelconque et que

le plan ne soit pas vertical. La solution exposée au n® 156 est alors textuellement applicable : il suffit de remarquer que si PaQ' est le plan qu'il s'agit de rabattre, les projections de la charnière sont Pa et anj.

Si l'on voulait rabattre la trace verticale du plan, il suffirait d'en rabattre un point (m, m'), puique le point a ne bouge pas. D'ailleurs, pour rabattre le point (m, m') on peut : ou bien employer la méthode générale de rabattement d'un point quelconque; ou bien se servir de ce que la distance am' demeure constante ; de sorte que le rabattement du point (m, m') se trouve, d'une part, sur la perpendiculaire à Pa menée par m, d'autre part, sur la circonférence de centre a et de rayon am'. Ces deux lignes se coupant en deux points, il semble qu'il y ait deux solutions ; mais cela tient à ce que Ton peut rabattre soit d'un côté de «P, soit de l'autre.

Supposons maintenant que l'on se propose de rabattre un plan

vertical autour de sa trace horizontale. On aura alors à faire les constructions indiquées au n» 159, en observant que la projection verticale de la trace horizontale est sur la ligne de terre.

Pour rabattre, dans ce cas, la trace verticale du plan, il suffit de oaener la perpendiculaire à aP dans le plan horizontal et par le point a; on aura ainsi le rabattement de la trace verticale, car, quand 'eplanest vertical, les deux traces sont rectangulaires dans l'espace et en rabattement.

Supposons enfin que la trace horizontale soit perpendiculaire à la

"gne de terre, c'est-à-dire que le plan soit de bout. On pourrait encore

employer la construction générale, mais il est plus commode et il

rerient au même d'observer qu'on a alors à effectuer une rotation

autour d'un axe de bout.

^^1* Kalxattement d'un plan autour de sa trace verticale. — On a encore ti'ois cas à examiner, suivant que le plan est quelconque, de ^ut ou vertical, v^ résultats sont analogues à ceux que nous avons obtenus dans le ptoWme précédent, et s'en déduisent en changeant simplement partout horizontal en vertical, ou inversement.

Au fond, il n'y aurait nullement lieu d'examiner ces cas particuliers, puisqu'ils se résolvent comme le cas général : aussi les avonsnous examinés uniquement à titre accessoire.

162. Problème II (inverse du précédent). — Un plan est supposé rabattu sur un plan horizontal ou sur un plan de front ; on connaît le

rabattement d'une figure située dans ce plan, et Von demande de construire les projections de cette figure.

Considérons, par exemple, un plan défini par une horizontale (A, h') et un point (a, a'). Supposons ce plan rabattu autour de l'horizontale (A, A'j, et proposons-nous de construire les projections d'une figure située dans ce plan et définie par son rabattement. Il est clair qu'il suffit, pour cela, de résoudre le problème pour un point quelconque de la figure. A cet eflfet, on commence toujours par rabattre un point du plan. Rabattons donc le

point (a, a'), et soient Ai le rabattement ainsi obtenu, Bi le point de la figure dont on cherche les projections. Menons AiB,; cette droite, qui est le rabattement de la droite (aô, o'é'), rencontre h en un point c, projection horizontale de Tintersection de (A, h!) avec {ab^db'). La projection verticale d de ce point d'intersection s'en déduit par une ligne de rappel, et l'on voit que les projections de (aô, a'é') s'obtienneni en joignant respectivement c et </ à a et a'.

Cherchons alors la projection horizontale du point (6, b') : elle doit se trouver sur ac et sur la perpendiculaire à h menée par B, ; donc elle est à l'intersection b de ces deux droites. On en déduit la projection verticale b' en prenant l'intersection de a'd et de la ligne de rappel du point b.

La seule difficulté que puissent présenter les constructions réside dans ce que le point c peut être en dehors des limites du dessin. Mais ceci sera toujours facile à éviter, en remplaçant le point Aj par un autre mieux choisi. Il n'y a, pour cela, qu'à construire les projections d'une droite quelconque du plan, dont le rabattement passe par Bi et rencontre h dans les limites du dessin.

Le problème que nous venons de résoudre s'appelle le relèvement du plan rabattu.

163. Remarque. — Si l'on se reporte au problème I (n® 156), on voit que l'angle ahai est égal à l'angle ABC du plan P avec le plan horizontal sur lequel on rabat le plan P. (Ce serait l'angle avec le plan vertical si le rabattement était effectué sur un plan de front.)

Il suit de là que tous les triangles rectangles analogues à aba^ sont semblables, car l'angle abai est constant quand on passe d'un triangle à un autre.

On pourrait se servir de cette propriété pour relever le point B„ après quon a rabattu (a, a'); mais il faudrait pour cela faire usage de la règle et du compas, tandis que la construction que avons donnée dispense de se servir du compas.

164. Usages des rabattements. — On fait usage des rabattements, soit pour déterminer la grandeur d'une figure plane donnée par ses projections, ou inversement, soit pour ramener à des problèmes sur le plan certains problèmes de géométrie dans l'espace. C'est ainsi, par exemple, qu'on peut résoudre facilement le problème suivant : Mener par un point donné la parallèle à une droite située dans le même

plan de profil que le point. On rabat le plan de profil sur Tun des plans de projection, par le rabattement du point on mène la parallèle au rabattement de la droite et on relève le plan rabattu.

Les applications du problème des rabattements sont nombreuses, et nous les rencontrerons fréquemment dans la suite de ce cours. Aussi nous bornerons-nous, actuellement, à en traiter deux.

165. Application I. — Projections d'un cercle. — Soit 0 le centre d'un cercle situé dans un plan Q, et soit P un plan quelconque, coupant le plan Q suivant la droite «p. Menons le diamètre AAj du cercle parallèle au plan P, c'est-à-dire parallèle à a^, et soit BBi le diamètre du cercle perpendiculaire au premier. On démontre que la projection du cercle 0 P \ sur le plan P est une ellipse ayant pour centre la projection du point 0, pour grand axe la projection de AAi et pour petit axe la projection de BBi. Nous allons nous proposer de construire les projections d'un cercle 0 connaissant son plan, son centre et son rayon. Pour cela supposons le plan du cercle défini par une horizontale (A, h') et par le point (o, 0% centre du cercle ; puis rabattons le plan du cercle autour de l'horizontale sur le plan horizontal passant par cette droite, et soit Oi le rabattement du centre. Le rayon du cercle étant connu, ainsi que son centre, on peut tracer son rabattement; pour achever le problème il n'y a plus alors qu'à relever le cercle rabattu, en relevant successivement autant de points qu'il est nécessaire d'en avoir pour pouvoir tracer la projection horizontale et la projection verticale. Dans l'épure ci-après on a construit les projections m et m! du point qui est rabattu en H], ainsi que les projections mt et m!f de Mi/, tangente au cercle rabattu, au point Mi; on a ainsi obtenu en même temps que les projections du point les tangentes aux projections de même nom du cercle.

Pour avoir le grand axe de la projection iiorizontale on a construit les projections des points Ai et Bi situés sur le diamètre horizontal du cercle, diamètre dont le rabattement est évidemment parallèle à h; pour avoir le petit axe de la même projection, on a construit les projections des points C| et Dt, extrémités du diamètre perpendicu-

laire au premier. On détermine d'une manière analogue les axes de la projection verticale : on construit d'abord une ligne de front du plan du cercle et son rabattement ; on mène ensuite les diamètres du cercle parallèle et perpendiculaire à ce rabattement et on construit les pro-

jections des extrémités de ces diamètres. Le grand axe de la projection verticale est la projection verticale du diamètre parallèle à la ligne de front, et le petit axe est la projection verticale du diamètre perpendiculaire à cette ligne.

En général, pour résoudre un problème quelconque relatif au cercle, on le résout pour le cercle rabattu, puis on relève les constructions. .

166. Application II. — Connaissant les six arêtes d'un tétraèdre^ déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite à ce tétraèdre.

Supposoxis que la base du tétraèdre soit dans le plan horizontal, cas

iJS,

auquel on peut toujours se ramener par un rabattement. Soit donc ABC la base du tétraèdre, construite en observant qu'on en connaît les trois côtés. Rabattons sur le plan horizontal les faces adjacentes à cette base ; comme les longueurs des arêtes sont connues, il sera aisé de construire les rabattements SiBC, SiCA, S3AB de ces faces, puisqu'on aura à construire des triangles connaissant les trois côtés de chacun d'eux. Appelons S le sommet du tétraèdre. Il est facile d'en obtenir la projection horizontale et la cote. Pour en obtenir la projection horizontale, imaginons qu'on relève les faces rabattues. En relevant d'abord la face SiBC, on voit que la projection horizontale du sommet se trouve sur la perpendiculaire à BC menée par Si. En relevant ensuite la face S2CA, on voit de même qu'il se trouve sur la perpendiculaire à CA menée par Sj, de sorte qu'il se trouve à l'intersection s de ces deux lignes. Comme vérification, la perpendiculaire à AB menée par S3 doit passer par s.

Pour obtenir la cote du sommet, observons que si l'on voulait rabattre la face SBC en appliquant la règle du triangle rectangle (156), on aurait à construire un triangle rectangle (x$a, ayant pour côtés de l'angle droit st. et la cote du point S. Or nous pouvons construire ce triangle rectangle, puisque nous en connaissons un côté «a et l'hypoténuse 0L<s = «Si. On en déduit la cote cherchée s(s.

AXTOVARI* — 6É0M. DESCB. 7

Cela posé, la sphère circonscrite au tétraèdre coupe le plan horizontal suivant le cercle circonscrit au triangle ABC, et son centre est situé sur la verticale menée par le centre o de ce cercle. Coupons alors la sphère par le plan vertical passant par os : ce plan passera par le centre de la sphère et coupera par suite celle-ci suivant un grand cercle. La cote du centre de ce cercle achèvera de déterminer le centre de la sphère, dont le rayon sera égal à celui du même cercle.

Pour terminer le problème, remarquons que le plan vertical mené par os passe aussi par le sommet du tétraèdre, de sorte qu'il en est de même du grand cercle qu'il détermine dans la sphère. Il en résulte que si l'on rabat ce grand cercle sur le plan horizontal, on connaîtra facilement trois points du rabattement, savoir : les deux points P et Q, où os rencontre la circonférence circonscrite au triangle ABC, et le rabattement <r^ de S autour de o*, rabattement qui se trouve sur la perpendiculaire à os menée par s et à une distance de s égale à la cote S7 du sommet.

Traçons donc la circonférence passant par les trois points P, Q, gi et nous aurons le rabattement du grand cercle déterminé dans la sphère circonscrite par le plan vertical mené par os. Soient d le centre de cette circonférence et Diy le diamètre oOi qui est d'ailleurs perpendiculaire à PQ : DU est le diamètre de la sphère circonscrite au tétraèdre, et oOi est la cote du centre de cette sphère.

i. Amener une droite à être parallèle à la ligne de terre par des changements de plans.

2. Deux droites non situées dans le même plan 6tant données, les amener à avoir leurs projections horizontales ou leurs projections verticales parallèles, par un seul changement de plan.