Définitions. — Soit AB la perpendiculaire abaissée d'un

point A sur un plan P. Lorsque le plan P se déplace d'après une loi quelconque, on dit que le point A est invariablement lié au flan P si le point B reste fixe dans le plan et si la longueur AB demeure constante. On dit qu'une figure est invariablement liée à un plan quand tous les points de la figure sont invariablement liés à ce plan ; le cas le plus simple est celui où la figure est dans le plan.

1«54. Enoncé du problème des ralMittements. — Supposons connues les projections d'une figure invariablement liée à un plan P, puis faisons tourner le plan autour d'une horizontale H de ce plan, jusqu'à ce qu'il soit parallèle au plan horizontal de projection ; la figure ayant suivi le mouvement du plan prend une certaine position, et le problème qui a pour objet la détermination des nouvelles projections de la figure constitue ce qu'on appelle le rabattement du plan P àur le plan horizontal mené par H.

Si H est la trace horizontale du plan P, on dit que le plan a été rabattu sur le plan horizontal.

De même, supposons que l'on fasse tourner le plan P autour d'une frontale F de ce plan, jusqu'à ce qu'il soit parallèle au plan vertical de projection ; le problème qui a pour objet la détermination des projections de la figure, dans sa nouvelle position, constitue ce qu'on appelle le rabattement du plan P sur le plan de front mené par F ; si F est la trace verticale du plan P, on dit que ce plan a été rabattu sur le plan vertical.

135. Remarque. — 11 est bon de remarquer que nous avons rdsolu le problème des rabattements quand nous avons fait tourner une figure autour d'un axe horizontal ou de front (148 et 150) : il suffit de supposer que l'angle de rotation est égal à l'un des angles que le plan invariablement lié à la figure fait avec le plan horizontal ou avec le plan vertical, suivant qu'il s'agit d'un rabattement sur un plan horizontal ou d'un rabattement sur un plan de front.

Nous allons néanmoins le reprendre à nouveau, en ayant surtout égard aux simplifications qu'il y a lieu d'introduire dans la solution quand la figure est située dans le plan que l'on rabat.

156. Problème I (problème des rabattements). — Rabattre un plan donné sur un plan horizontal ou sur un plan de front.

Pour fixer les idées, supposons que l'on fasse le rabattement sur un pian horizontal. Pour cela, on cherche à déterminer les projections

d'un point du plan après le rabattement; f on rabat donc un point du plan, puis,

pour rabattre une figure située dans le plan, on rabat successivement tous les

points de la figure. Soient alors h et h'

les projections de l'horizontale autour de laquelle s'effectue le rabattement et ; soit (a, a') le point à rabattre. On re-

\ marque :

^« 1^ Que le point reste dans le plan ver-

N. tical mené par (a, a') perpendiculaire-

^ ment à (^, A') et, par conséquent, que sa

projection horizontale se déplace sur la Itace horizontale de ce plan vertical, c'est-à-dire sur la perpendiculaire ah ^ ^ menée par a; ^ Que la distance du point à la charnière demeure invariable. Or, quand le plan est horizontal, la longueur de la perpendiculaire (fli, cdb^ menée du point sur la charnière, se projette horizontalement suivant une longueur égale; et, comme le pied de la perpendiculaire ne bouge pas, on voit que la projection horizontale du point, après le rabattement, se trouve sur la perpendiculaire à h menée par a, et à une distance du pied à de cette perpendiculaire égale à la distance du point (a, o^ à la droite (A, h^.

Cherchons celte distance. Pour cela, figurons à part, en H|, le plan horizontal sur lequel on rabat, et soit P le plan que l'on rabat et qui

coupe le premier suivant l'horizontale H.

I 1 Soient A le point projeté en (a, a!) et B le pied

/ A / ^^ '^ perpendiculaire à H menée par A, et dont

h les projections sont b et b'. Si nous menons AC

//h, ] I / perpendiculaire à H, et si nous joignons C

// 1/ 1/ à B, la distance cherchée AB est l'hypoténuse

B H d'un triangle rectangle ACB, dont les côtés

de l'angle droit sont AC et CB. Mais la droite AC étant verticale, se projette verticalement suivant une longueur égale; d'autre part, C étant projeté en (c, c'), on a AC = aV. De même la droite BC étant horizontale, se projette horizontalement suivant une longueur égale, de sorte que BC = bc.

Ainsi, la distance cherchée est l* hypoténuse d'un triangle rectangle, baat, ayant pour côtés de l'angle droit les distancf^s des projections du point aux projections de même nom de la charnière.

On peut la porter soit d*un côté de A, soit du côté opposé, suivant le sens dans lequel on a fait tourner le plan pour effectuer le rabattement. En la portant, par exemple, au-dessous de A, on obtient le point Ai, projection horizontale du point apros le rabattement; la projection verticale sera du reste le point Ai sur h', puisque dans sa nouvelle position le plan est confondu avec le plan horizontal dont la trace verticale est h'. Toute la difficulté réside donc, comme on le voit, dans la détermination du point At; c'est le point A, qu'on appelle le rabattement du point (a, a') sur le plan horizontal mené par h' et, pour l'obtenir, on est conduit à la règle suivante, appelée règle du triangle rectangle :

RÈGLE. — Quand on rabat un plan autour d'une horizontale de ce plan^ la nouvelle projection horizontale du points c'est-à-dire son rabattement, se trouve sur la perpendiculaire à la projection horizontale de la chai-nière, menée par la projection horizontale du points et à une distance du pied de cette peipendiculaire égale à l'hypoténuse d*un triangle rectangle ayant pour côtés de Vangle droit les distances eues projections du point aux projections de même nom de la charnière.

Par analogie, quand on rabat un plan autour d'une frontale, la nouvelle projection verticale du point, c'est-à-dire son rabattement, se

trouve sur la perpendiculaire à la projection verticale de la charnière, fntnée par la projection verticale du points et à une distance du pied de ^^(e perpendiculaire égale à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l^s côlét de Vangte droit s'obtiennent comme plus haut.

On pourrait, du reste, établir directement la deuxième partie de la '^e comme on a établi la première.

157. Remarque I. — Quand on a à rabattre une figure située dans fep/an, on peut simplifier le rabattement des divers points de la figure

au moyen du rabattement de l'un d'eux.

Soit par exemple le plan déterminé par une frontale (/, f) et par un point (a, a')\ supposons que l'on ait rabattu ce plan sur le plan de front mené par (/*, /^, et proposonsnous de trouver le rabattement d'un point quelconque (6, h') du plan, connaissant lo rabattement Ai du point (a, a'). Pour cela, traçons la droite (a&, a'b') et remarquons que si le point (6, b') est dans le plan, cette droite rencontre (/, f^ en un point (c, d) qui ne bouge pas pendant le rabattement; il en résulte que (A, b') se rabat sur (/Ai et à l'intersection de cette uroile et de la perpendiculaire à f menée par 6'.

*^- Bemarque II. — Dès qu'on a rabattu une droite (a*, alb') du plan, oiî peut en profiter pour avoir le rabattement d'un point quelconque (m, m'). A cet effet, on mène par le point (m, m') la parallèle à la charnière- soit (A, b') le point de rencontre de cette parallèle et de la chamièpe et soit Bi son rabattement; le rabattement de la parallèle est evidett^mgjj^ la parallèle à f menée par Bi et il contient le rabattement ^^ point (m, m'); celui-ci se trouve donc déterminé par la paral- IWftii f menée par Bi et par la perpendiculaire à f menée par m'.

159. Rabattement d'un plan vertical ou de bout. — La règle générale énoncée plus haut permet d'effectuer le rabattement dans tous les cas possibles. Il n'est pas inutile toutefois d'indiquer en quelques mots les modifications qu'il y a lieu de lui faire subir quand le plan est vertical ou de bout.

Supposons d'abord que le plan soit vertical et que Ton rabatte le

point (a, a!) autour de Thorizontale (A, K) de ce plan. Le triangle rectangle aba^ du n^ 156 n'existe plus puisque ab = 0, et le rabattement se trouve sur la perpendiculaire à h menée par a et à une distance de a égale à la cote du point (a, a^) au-dessus de h'; car la longueur de la perpendiculaire menée par (a, a^ à la charnière est égale actuellement à la cote de ce point au-dessus de A',

c'est-à-dire à ^a'.

Pareillement, si l'on a à rabattre un plan de bout autour de la frontale (/*, /"% on voit que le rabattement Ai d'un point quelconque (a, d) de ce plan

se trouve sur la perpendiculaire à f menée par a',

^ et à une distance de a' égale à la distance aa.