DISTANCES ET ANGLES ; APPUCATION A LA CONSTRUCTION
DES ANGLES TRIËDRES
§1. — Détermination de la distance de deux points ^ d'un point à un plan et d'un point à une droite.
167. Problème I. — Connaissant les projections de deux points, déterminer leur distance.
On remarque, pour résoudre ce problème, que la longueur de la
droite qui joint deux points se projette suivant une longueur égale sur tout plan parallèle à cette droite. Si donc on amène la droite à être parallèle à l'un des plans de projection, la distance des projections des deux points sur ce plan, après l'opération, sera la distance demandée. Nous avons vu d'ailleurs plus haut qu'on peut rendre une droite parallèle à l'un des plans de projection soit par une rotation, soit par un changement de plan. Dans la figure ci-contre on a fait tourner la droite autour de la verticale du point (a, a'), et la distance cherchée est ly^a\
168. Problème II (inverse du précédent). — Le problème inverse s^énonce ainsi :
Connaissant les projections d'une droite^ porter sur celte droite une longueur donnée^ à partir dun point donné.
Pour le résoudre, on commence par amener la droite à être parallèle à l'un des plans de projection ; on résout le problème pour la droite dans cette position, puis on revient aux anciennes projections. Dans la figure précédente on a porté la longueur donnée en alci ; elle
est projetée horizontalement en ad après la rotation ; donc, avant la rotation, ses projections sont ac et aV.
Comme la longueur donnée peut être portée soit d'un côté du point (a, 0% soit de l'autre, le problème admet deux solutions.
169. Problème III. — Déterminer la distance d'un point à un plan.
On remarque que la longueur de la perpendiculaire menée du point
sur le plan se projette suivant une longueur égale sur tout plan perpendiculaire au premier.
Soient alors PaQ' et (a, a!) le plan et le point donnés. On amène le plan à être perpendiculaire à l'un des plans de projection soit par un changement de plan, soit par une rotation. Dans Tépure ci-contre on a fait un changement de plan vertical et on a pris comme nouveau plan vertical le plan perpendiculaire à aP mené par le point (a, a'). Pour avoir la nouvelle trace verticale du plan, on a déterminé la nouvelle projection verticale du point (jb, b')^ et la distance demandée est a[c[,
170. Problème IV (inverse du précédent). — Sur la perpendiculaire à un plan, menée par un point de ce plan^ porter une longueur donnée.
Soit (a, a!) un point donné dans le plan PaQ^. Prenons comme
nouveau plan vertical le plan perpendiculaire à «P mené par le point (a, oQ, et soient PpQ/ et (a, a[) le plan et le point dans ce nouveau système de pro- ■ I ' 1" y^'^Vi jections. Les projections de la perpendi- JnJ l^,j ~p^ y culaire au plan menée par (a, a[) sont *y\|^>'^ ^ Xiyi et aie/, et si sur aib\ nous por- /'fl tons aîci égale à la longueur donnée,
'^ nous avons en (c, cl) les projections de
la deuxième extrémité de cette longueur dans le système xij/i. Pour achever la résolution du problème, il n'y a plus qu'à chercher les projections c
O'il
et c' du point (c, c[) dans le système xy. Comme vérilication, a'c' doit être perpendiculaire à aty.
171. Problème V. — Connaissant les projections d*une droite et cellt*s d'un points déterminer la distance du point à la droite,
La distance d'un point à une droite est la longueur de la perpendiculaire menée du point sur la droite. Pour l'obtenir, on rabat le plan déterminé par la droite et par le point, soit autour d'une horizontale, soit autour d'une frontale.
Soient alors (rf, rf) la droite et (a, a') le point ; nous ferons le rabattement autour de Thorizontale (ah.a'h'), et, comme les points (a, a') et {h, h') sont fixes, il suffit de rabattre un point quelconque de la droite, par exemple le point {b, b') ; on obtient ainsi en //B, le rabattement de la droite. La distance du point à la droite est la longueur aCi de la perpendiculaire menée du point a sur ABi. Le point Ci est le rabattement du pied de la perpendiculaire ; par des constructions inverses, on a facilement les projections c et c' de ce point ainsi que les projections ac et aV de la perpendiculaire.
*72. Remarque L— Quand la droite est parallèle à Tun des plans de projection, les constructions se simplifient en faisant le rabattement auiouT de la droite : la droite reste ii\e et c'est le point que Ton rabat. On procède en particulier ainsi lorsque la droite est, ou parallèle à la ligne de terre, ou confondue avec cette ligne. On sait d'ailleurs que, dans ce cas, la distance est égale à l'hypoténuse du triangle rectangle qui sert à effectuer le rabattement.
Quand la droite est perpendiculaire à l'un des plans de projection, la distance du point à la droite est projetée suivant une longueur égale sur ce plan. Par exemple, si la droite est perpendiculaire au plan lïorizontal, la distance d'un point à cette droite est égale à la distance de la projection horizontale du point à la projection horizontale de la droite.
I^ cas où la droite est parallèle à l'un des plans de projection peut se ramener à celui qui vient d'être examiné, par un changement de
plan. C'est du reste, au fond, ce que Ton fait quand on détermine l'hypoténuse du triangle rectangle dont il a été question plus haut et dans les rabattements.
173. Remarque II. — Enfin, quand on veut simplement la distance du point à la droite, on peut quelquefois avoir avantage à employer une méthode basée sur la remarque suivante : Soient D la droite, A le point et P un plan passant par la droite.
Si Ton mène AB perpendiculaire au plan P et BC perpendiculaire à la droite D, dans ce plan, AC est la distance cherchée, en vertu du théorème des trois perpendiculaires. La distance cherchée est donc l'hypoténuse du triangle rectangle ABC.
D'après cela, supposons que le plan P soit l'un des plans projetant la droite, le plan projetant horizontalement par exemple, et représentons la droite et le point par leurs projections en (d, d!) et en (a, a'). La droite AB est alors projetée en (aé, a'bf) et, pour obtenir la longueur BC, il suffit de rabattre le plan vertical mené par la droite sur le plan horizontal passant par
le point. En prenant APi = b'^' et en joignant le point 0 au point Pi, on obtient ainsi en Dt le rabattement de D et en frCi le rabattement de BC. Comme d'ailleurs AB est égale à sa projection horizontale aô, le triangle rectangle ABC est facile à construire en aèCj, ce qui donne en aC: la distance demandée.
Ajoutons qu'en relevant le point rabattu en Cl, on aurait les projections du pied de la perpendiculaire et, finalement, les projections de cette perpendiculaire en joignant aux projections de même nom du point A.
§ n. — Pliu; courte distance de deux droites.
174. Première méthode. — Soient D et A les deux droites et P le plan mené par l'une d'elles parallèlement à l'autre ; supposons, pour
fixer les idées, que ce plan ait été mené par D parallèlement à a. On apprend en Géométrie que la plus courte distance des deux droites est la distance d'un point quelconque de A au plan P, et le problème est ainsi ramené à un autre déjà résolu.
Dans répure ci-contre, les deux droites données sont (d, d!) et (5, o'j; le plan P est déterminé par la droite (d, df) et par la parallèle (81, 8;) à (5, 8% menée par un point quelconque (0, &) de (rf, d!). On a déterminé, dans le plan P, une horizontale (A, h') et une frontale (/*, /') ; puis, par un point quelconque (a, a!) de (8, 8'), on a mené la perpendiculaire, (ab^alb') , au plan P.
Le pied (6,^') de cette perpendiculaire sur le plan P a été déterminé en coupant le plan P par le plan projetant verticalement (a6, cdb^. La distance du point (a, a!) au plan P, c'est-à-dire la plus courte distance des deux droites D et A, est alors égale à la distance des deux points [cLy a!) et (6, b'). On a déterminé cette distance en faisant tourner (ab, aib') autour de Taxe vertical (a, a% de manière à la rendre parallèle au plan vertical. On a ainsi en a!b[ la plus courte distance cherchée.
175. Deuxième méthode. — La méthode que nous venons d'exposer présente un inconvénient : elle permet d'obtenir la plus courte distance des deux droites, mais ne fournit pas la perpendiculaire commune à ces deux lignes. Par la méthode suivante, on obtient à la fois la perpendiculaire commune et la plus courte distance :
Soient toujours D et A les deux droites données. On commence par
déterminer la direction Di de la perpendiculaire commune à ces deux droites; puis on mène la droite parallèle à Dj, s'appuyant sur D et sur A. Cette parallèle rencontre D et a aux points respectifs A et B, dont la distance est égale à la plus courte distance cherchée.
Pour déterminer la direction D|, on observe qu'elle est perpendiculaire à la fois à D et à a; donc, on peut : ou bien la considérer comme perpendiculaire à tout plan parallèle aux deux droites, par exemple au plan P dont il a été question dans la première méthode ; ou bien la considérer comme l'intersection de deux plans perpendiculaires respectivement à D et à a.
C'est cette seconde manière d'envisager D, qui a été adoptée pour Texécution de l'épure ci-dessous. Les deux droites données sont encore (rf, d') et (S, 8') ; PaQ' et PpQ' sont les deux plans respectivement perpendiculaires à (d, d!) et à (8, 8% et qui se coupent suivant la direction (di, d'i) de la perpendiculaire commune. Par un point quelconque
(m, lïi) de (d, dl) on a mené (dj, d;) parallèle à (di, d',), et on a déterminé l'intersection de (8, 8^) avec le plan des deux droites D, D,. Enfin, par le point (6, V) ainsi obtenu on a mené la parallèle (ds, di) à (dl, dJ) : cette parallèle est la perpendiculaire commune aux deux droites D et a. Elle coupe D en (a, 0% a en (6, //), et la distance de ces deux points est la plus courte distance cherchée. Celle-ci a été obtenue
en Oibi par un rabattement, sur le plan vertical, du plan de bout mené par (ab, a'b^),
176. Premier cas particulier. — Vune des deux droites est verticale ou de bout.
Ce cas a déjà été examiné incidemment à propos des rotations. Nous allons néanmoins le reprendre à nouveau comme application de la méthode générale.
Soient donc (d, d') et (8, 8') les deux droites données, dont Tune, la première par exemple, est perpendiculaire au plan horizontal. Le
plan parallèle à (d, d^) mené par (8, 8') est le plan (lui projette horizontalement (8, 8'). La direction de la perpendiculaire commune est donc l'horizontale perpendiculaire à ce plan, ce qui veut dire que sa projection horizontale est perpendiculaire à 8, et que sa projection verticale est perpendiculaire aux lignes de rappel. Mais cette perpendiculaire commune devant s'appuyer sur D, sa projection horizontale passe par le point d, projection horizontale de tous les points de D ; il en résulte que la perpendiculaire commune est projetée horizontalement suivant la perpendiculaire da à 8, menée par le point d. Le point de rencontre de la perpendiculaire commune avec a sera donc projeté horizontalement à l'intersection a de (fa et de 8. On en déduit la projection verticale a de ce point par une ligne de rappel, et ensuite, la projection verticale a'd de la perpendiculaire commune.
Quant à la plus courte distance des deux droites, elle est évidemment égale à da, puisque la perpendiculaire commune est horizontale. On raisonnerait d'une manière tout à fait analogue pour trouver la plus courte distance de deux droites et leur perpendiculaire commune, quand l'une de ces deux droites est de bout au lieu d'être verticale.
177. Remarque. — On peut ramener le cas général à ce cas particulier ou par des changements de plans, ou par des rotations, ou par des changements de plans et des rotations combinés.
178. neuxlëme cas particulier. — Les deux droites ont deux projections de même nom parallèles.
Supposons, par exemple, les projections verticales parallèles, et soient encore (rf, d!) et (8, S') les deux droites données.
Si Ton voulait simplement la plus courte distance des deux droites, il suffirait de remarquer que les plans projetant verticalement les deux droites étant parallèles, le plan projetant verticalement (d, d% par exemple, est le plan mené par cette droite parallèlement à l'autre. Dès lors, la plus courte distance cherchée est égale à la distance de ces deux plans parallèles ; et comme ceux-ci sont do bout, elle est égale à la distance de leurs traces verticales d! et 5'.
Pour obtenir en même temps la perpendiculaire commune, on observe qu'elle est de Iront, puisqu'elle est perpendiculaire aux deux plans de bout menés respectivement par d! et par 8'. On en connaît donc la direction (di, rfS), dont la projection horizontale est perpendiculaire aux lignes de rappel et dont la projection verticale est perpendiculaire commune à d' et à 8' : cette direction a été menée, dans l'épure ci-dessus, par le point (c, cTj pris sur (d, d').
Il ne reste donc plus alors qu'à mener la parallèle (a6, a'b') à (di, dj), s'appuyant sur (d, d) et sur (S, l'). Cette parallèle est la perpendiculaire commune cherchée.
\rf
179. Troisième cas particulier. — Les deux droites sont paraWHes au même flan de projection.
Supposons-les, par exemple, parallèles au plan horizontal, et soient (d, d') et (8, l') ces deux droites. Il est manifeste que la perpendiculaire commune est la verticale (aft, a'b^) qui s'appuie sur les deux droites, et que la plus courte distance est égale à la longueur de a'b'.
Î5 m. — Détermination des angles de deux droites et dune droite avec un plan.
180. Angle de deux droites. — On appelle angle de deux droites situées d'une manière quelconque dans l'espace l'angle formé par les parallèles à ces deux droites, menées par un point quelconque. D'après cette définition, la recherche de l'angle de deux droites quelconques peut toujours se ramener à la recherche de l'angle de deux droites qui se coupent.
181. Problème I. — Connaissant les projections de deux droites qui se coupent^ déterminer leur angle.
La méthode employée consiste à rabattre le plan de ces deux droites
soit autour d'une horizontale, soit autour d'une frontale de ce plan.
Dans l'épure ci-contre les deux droites sont représentées en (oa, c'a') et (oé, o'b') ; le rabattement a été effectué autour de l'horizontale (ab, a'b')^ en remarquant qu'il suffit de rabattre le point (o, o'). L'angle cherché est rabattu en aOi6.
Remarque. — On peut se proposer de déterminer les projections des bissectrices des angles formés par les deux
droites. Pour cela, on construit les bissectrices des angles rabattus ;
soit Ojc Tune d'elles, rencontrant la charnière au point (c^d); {oc^o'c')
est Tune des bissectrices cherchées. On opérerait de même pour l'autre
bissectrice.
182. Problème II (inverse du précédent). — Par un point pris sur un plan^ mener une droite faisant un angle donné avec une droite donnée dans ce plan.
Nous pouvons supposer le plan déterminé par la droite et par le point donnés. Soient donc (d, d') la droite et (o, o') le point. Rabattons le plan autour de la frontale (/, f) du point (o, o') : il suffit.
no
pour cela, de rabattre un point quelconque (m^m') de {d^ d'),
et Ton obtient ainsi en c'mi le rabattement de (d,rf). Menons alors par le point o' les droites o'afi et o'bi faisant l'angle donné avec c'mi, et relevons les points a\ et 61 en (a, a') et en (6, 6'). Nous obtenons ainsi en (oa^ o'a!) et en (o6, o'b') les deux droites qui répondent à la question. Comme cela est évident, le problème admet toujours deux solutions, si Tangle donné n'est pas droit.
