Angle d'une droite et

d*un plan. — On appelle

angle d'une droite D et d'un

plan P non parallèle à la

droite, l'angle aigu formé par

la droite D avec sa projection sur le plan P. Soient A le point de

rencontre de la droite et du plan et B6 la perpendiculaire menée

d'un point quelconque B de la droite sur le plan ; la projection

de la droite est A6, et l'angle de la droite et du plan est l'angle aigu BA6. Cet angle est le complément de l'angle aigu AB( qui est l'angle aigu formé par D avec la perpendiculaire Bô menée au plan P par un point quelconque de D. Connaissant l'angle AB6, on connaît évidemment l'angle BA6 ; donc la recherche de l'angle de la droite D et du plan P se ramène à la recherche de l'angle de deux droites D et B6, problème que nous venons de résoudre. Nous allons néanmoins indiquer toutes les constructions à faire pour déterminer l'angle d'une droite avec les plans de projection.

184. Problème III. — Connaissant les projections d'une droite^ déterminer les angles qu'elle forme avec les deux plans de projection.

Premiep cas. — Angle avec le plan horizontal, — Soient ab et a'fr' les projections de la droite. Si Ton prend comme nouveau plan

vertical le plan qui projette horizontalement la droite, celle-ci coïncide avec sa projection verticale nouvelle, sa projection horizontale coïncide avec la nouvelle ligne .de terre, et l'angle formé par ces deux droites est Tangle cherché. La nouvelle projection verticale étant a\b'xy Tangle cherché est b\a'iZ.

On peut encore obtenir l'angle de la droite et du plan horizontal en amenant le plan qui projette horizontalement la droite à être parallèle au plan vertical ; car alors Tangle se projette verticalement suivant un angle égal.

Demdème cas. — Angle avec le plan vertical, — On pourrait obtenir cet angle par une méthode analogue à celle qui a été employée dans

le premier cas, c'est-à-dire en prenant comme nouveau plan horizontal le plan qui projette verticalement la droite. Au lieu de cela, nous adopterons la méthode que nous avons seulement indiquée dans le premier cas : nous amènerons, par une rotation, le plan qui projette verticalement la droite à être parallèle au plan horizontal.

Si Ton fait tourner autour de l'axe de bout mené par (a, a^), les nouvelles projections de la droite sont ab^ et a'b\^ et l'angle demandé est bxttz.

Bien que les constructions soient différentes, il est bien clair que les d€ux méthodes, au fond, sont identiques, puisque dans les deux cas OH amène l'angle à évaluer à être parallèle à l'un des plans de projection.

183. Problème IV (inverse du précédent). — Mener par un point donné une droite faisant des angles donnés avec les plans de projection.

Supposons le problème résolu et soit (aft, a'b') la droite cherchée

menée par le point donné {a^a'). Nous allons chercher à déterminer un second point (é, b') de la droite en nous donnant arbitrairement sa

distance / au point (a, d), A cet effet, opérons comme si nous voulions déterminer les angles de la droite avec les plans de projection. Faisons d'abord tourner la droite autour de Taxe vertical mené par (a, a') jusqu'à ce qu'elle soit parallèle au plan vertical; si on suppose le point (6, b') connu, apros la rotation il vient en (61, ôj), et dans le triangle rectangle a'b\z on connaît la longueur a'b\ = / et l'angle ciVy:^ qui est l'angle de la droite avec le plan horizontal. On peut donc construire ce triangle rectangle et tracer la parallèle b\z à xy ainsi que la circonférence de centre a et de rayon ab^ = b\z ; la première de ces deux lignes donne un lieu géométrique du point b' et la deuxième donne un lieu géométrique du point b. Nous allons chercher un second lieu géométrique du point b.

Pour cela, cherchons l'angle de la droite avec le plan vertical, eu faisant tourner autour de l'axe de bout mené par (a, a^), jusqu'à ce que la droite soit parallèle au plan Iiorizontal ; ses nouvelles projections sont alors abt et a'b'^ ; en outre, dans le triangle rectangle at^t on connaît aé» = Z et l'angle ab%t qui est l'angle de la droite avec le plan vertical. On peut donc construire ce triangle rectangle et tracer bbt parallèle à ay, ce qui donne un second lieu géométrique du point b. Le point b étant ainsi déterminé, on en déduit le point b' par une ligne de rappel.

On peut construire le triangle ab^t soit au-dessus de a6i, soit audessous; pareillement, le triangle a'b[z peut être construit soit audessus, soit au-dessous de a!b'^. Il suit de là que si le problème est possible, il peut admettre jusqu'à quatre solutions ; il n'en admet que deux si la droite bb^ est tangente à la circonférence ab^.

Pour qu'il y ait quatre solutions, il faut que 662 coupe la circonférence a^i, ce qui s'exprime par l'inégalité at < abi (distance du centre à la droite inférieure au rayon de la circonférence). Appelons h et V les angles respectifs de la droite avec le plan horizontal et avec le plan vertical ; les triangles rectangles ab%t et a'blz donnent facile-

ment at = l sin v et abi = zb[ = / sin ( — — /m. L'inégalité devient ainsi, après réduction,

sin V < sin ( -3 — h\ et, comme les angles sont aigus, on en déduit v <^ — — h et

Si au lieu de A -h w < -tt on avait A -+- 1) = -r-j on aurait

at = abi et la droite bbi serait tangente à la circonférence : dans ce cas le nombre des solutions se réduirait à deux, situées dans le plan de

profil du point (a, a'). Enfin, si A -f- 1? > -0-5 il n'y a pas de solution.

§ IV. — Détermination de f angle de deux p tans.

186. lodicaiion de la méthode. — On mesure l'angle dièdre formé f)ar deux plans au moyen de l'angle plan correspondant. On obtient du reste l'angle plan correspondant à un dièdre formé par deux plans P et Q en coupant ces deux plans par un troisième, R, perpendiculaire à leur intersection; si l'on appelle D l'intersection des deux plans P et R, Di l'intersection des deux plans Q et R, l'angle plan correspondant au dièdre est l'angle des deux droites D et Di. On ramène ainsi la détermination de l'angle de deux plans à celle de l'angle de deux droites (*}. Nous allons examiner les divers cas qui peuvent se présenter, en observant d'ailleurs que l'on peut, si cela parait avantageux, remplacer les deux plans donnés par deux autres plans quelconques respectivement parallèles aux premiers.

187. Problème I. — Trouver F angle de deux plans définis par leurs traces.

En remplaçant, s'il y a lieu, les deux plans par deux autres respec-

(*} On peut encore ramener la détermination de Tangle de deux plans à celle de l'angle de deux droites, en observant que Fangle de deux plans est égal à celui de leurs normales respectives.

AMTOMAm. — OâOM. DESCil. 8

tivement parallèles, on peut toujours supposer que les deux plans se

coupent dans les limites du dessin. Soient donc paç', j)^(jf les deux plans donnés, (pq^p'q') leurintereection. Si on coupe les deux plans par un plan R perpendiculaire à leur intersection , les traces de ce plan sont perpendiculaires aux projections de même nom de la droite. En particulier, la trace horizontale est une droite quelconque ab, perpendiculaire à pq.

Ce plan R coupe les deux plans donnés suivant deux droites, et c'est Tangledeces deux droites que nous cherchons. Pour le déterminer, nous rabattons le plan R sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale ab. Les deux points a et 6 qui appartiennent respectivement aux côtés de Tanglc restent fixes, puisqu'ils .sont sur la charnière, et il n'y a plus qu'à rabattre le sommet de l'angle.

Pour cela, changeons de plan vertical et prenons comme plan vertical le plan qui projette horizontalement (pq^ p'q'), de sorte que la nouvelle ligne de terre, a:it/i, sera confondue avec pq. La nouvelle projection verticale de (py, p'q') étant pq'i^ la nouvelle trace verticale du plan R est la perpendiculaire à pq[ menée par le point w. Il en résulte que le sommet de l'angle à déterminer est projeté verticalement en ci dans le système défini par la ligne de terre ar,yi; sa projection horizontale est d'ailleurs sur x^y^ en c,. Si donc on rabat le plan R sur le plan horizontal, comme cela revient à effectuer une rotation autour de l'axe ab^ qui est un axe de bout dans le système Xij/i, le rabattement de ce point sera le point Ci situé à l'intersection de pq et de la circonférence de centre w et de rayon f«ci. L'angle cherché sera donc rabattu en aCib.

Comme on le voit, la trace horizontale du plan R suffit pour résoudre le problème. On pouvait, bien entendu, faire usage de la trace verticale comme on a fait usage de la trace horizontale, et on aurait été conduit à des constructions analogues, effectuées sur le plan vertical.