INTERSECTION DES PRISMES ET DES PYRAMIDES

section, puisque l'autre s'en déduit par des lignes de rappel. Cherchons donc la projection horizontale, par exemple, de l'intersection de deux pyramides triangulaires projetées horizontalement en saàcy SiaibiCt et que nous nommerons toujours les pyramides S et Si. Soient <j et ai les projections horizontales respectives de S et de Si.

Si les triangles de base ÂBC et AiBiCi sont dans des plans différents, on verra dans un instant qu'il y a avantage à construire Tintersection A de ces plans : soit 8 la projection horizontale de A. Indiquons toute la suite des constructions à effectuer pour obtenir les points de rencontre de l'arête SA, par exemple, avec la pyramide Si.

cr

Pour les autres arêtes soit de S, soit de Si, on aura des constructions analogues. (Considérons donc le plan auxiliaire SASi. Il coupe le plan de base de la pyramide S suivant une droite projetée horizontalement en aa. Cherchons sa trace sur le plan de base de la pyramide Si. Pour cela, observons que ce plan auxiliaire, le plan ABC et le plan AiBiCi forment un trièdre dont le sommet est le point de rencontre de SA

avec A» car lA et a sont deux arêtes de ce trièdre. La troisième arête du trièdre est justement la droite cherchée ; et comme celte droite passe par Dt? elle est déterminée par le point Si et par le sommet du trièdre. Or, il est clair que le sommet du trièdre est projeté horizontalement au point s, intersection de va et de o ; donc la trace du plan auxiliaire SASi est projetée horizontalement suivant outi. Mais a9| coupe aibtCi aux points k ei l; donc le plan auxiliaire coupe la pyramide Si suivant deux droites projetées horizontalement en Sik et en sj. Les deux points m et < où les deux droites s^k et Stl rencontrent sa sont les projections horizontales des points de rencontre de SA avec la pyramide Si.

Par des raisonnements et des constructions analogues, on obtient ainsi successivement les autres sommets, p, « ; r^ v; q,n de la projection horizontale de l'intersection . Nous avons déjà dit que la projection verticale s'en déduit par des lignes de rappel, et il ne reste plus qu'à indiquer Tordre de jonction des sommets.

Pour cela, commençons par déterminer un côté du polygone d'intersection. Le simple examen des constructions montre que les deux faces SAB et S,AiBi se coupent suivant une droite projetée en np, de sorte que np est le premier côté du polygone en projection horizontale. Supposant alors ce polygone parcouru dans le sens de n vers p, et observant que le point p est sur l'arête sb et à l'intérieur de Siaibi, on voit que le côté suivant sera la projection horizontale, pq, de l'intersection du plan SBC et du plan SiAiBj, et ainsi de suite. On trouve ainsi deux polygones d'intersection mnpqrm et tuvt. On dit, dans ce cas, qu'il y a pénétration de l'un des polyèdres par l'autre : la pyramide Si est trouée par la pyramide S.

Pour faire la ponctuation, on a représenté l'ensemble des deux corps ^ supposés opaques. On trace à l'encre noire (traits pleins et points ronds) les arêtes de chaque polyèdre extérieures à l'autre. On ne trace pas les portions d'arêtes d'un polyèdre intérieures à l'autre. On trace enfin à l'encre noire le ou les polygones d'intersection. Par exemple, en projection horizontale, si l'on considère une arête «a, si a été tracée en trait plein parce qu'elle est au-dessus de la face SiBiCi, projetée en SxbiCi ; tm n'a pas été tracée parce qu'elle est intérieure à la pyramide Si ; mm^ est cachée par Si, et enfin «ija est vue et tracée en trait plein. On opère de même pour toutes les autres arêtes.

Pour le polygone d'intersection, mn est caché, parce qu'il se trouve

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dans la face cachée SiAiCt ; np est vu, parce qu'il est l'intersection de deux faces vues, etc.

215. Plans limites ; autre mode de Jonction des points. — Si l'on voulait obtenir un point quelconque du polygone d'intersection, autre qu'un sommet, on pourrait couper les deux pyramides par un plan quelconque passant par SSi et prendre les points communs aux deux polygones sections. Si l'on opère ainsi, on reconnaît immédiatement, dans Texemple actuel, que la projection horizontale de la trace du plan auxiliaire sur le plan ABC doit être comprise dans l'angle a^p. Pour cette raison, les deux plans auxiliaires SiSA et SSB sont applelés des plans limites. Ils sont limites pour la pyramide S en ce sens que si la trace sur le plan ABC sort légèrement de l'angle qui est projeté en 9i9§, le plan auxiliaire ne coupe plus la pyramide S.

Quand les deux plans sont limites pour la même pyramide, il y a toujours pénétration. Il y a arrachement ou entaille dans le cas con-

traire. Ceci résulte d'un mode de jonction des sommets, fourni par la considération des plans limites, et que nous allons indiquer sommairement en nous servant de la même ligure.

Partons d'un sommet quelconque m du polygone à construire : il est le quatrième sommet d'un quadrilatère ma-jik^ dont les côtés passent par les quatre points fixes 5, <j, <ii, «i. Imaginons alors que l'on fasse parcourir le triangle abc^ dans un sens déterminé, au sommet (|ui est actuellement en a, en nous arrêtant successivement à tous les plans auxiliaires, et suivons les déplacements simultanés des autres sommets. Nous voyons ainsi que si nous passons de a en e, a passe en aj, k passe en «i et, par suite, m passe en n, de sorte que mn est le premier côté. En nous déplaçant ensuite de e en 6, «j passe en p, fli passe en /"i et, par suite, n passe en p. Le point p correspondant à un plan limite, si nous nous déplaçons de h en f, P revient en a,, /\ revient en a, et, par suite, p passe en q^ et ainsi de suite jusqu'à ce que nous ayons obtenu un premier polygone mnpqrm. Pour obtenir ce polygone, le point h no s'est déplacé qu'entre k et tti ou entre ai et /i : il n'a donc pu passer sur le côté iiCi. Pour achever de construire Tintersection , il faut donc recommencer les mêmes opérations en partant, par exemple, du sommet ^ non employé.

216. Remarque. — Si les deux triangles ABC et AiB,Ci sont dans le même plan, la ligne A peut être remplacée par une droite quelconque de ce plan, et l'on peut même s'en passer sans inconvénient, comme nous le verrons bientôt. D'ailleurs, dans ce cas, les deux points a et <Ji coïncident.

217. Intersection d*une pyramide et d*un prisme. — On opère comme dans le cas de deux pyramides. La seule différence consiste en ce que les plans auxiliaires passent par la parallèle aux arêtes du prisme menée par le sommet de la pyramide. Nous nous bornerons donc à traiter l'exemple suivant :

Construire Cintersection d'un prisme quadrangulaire et d*une pyramide triangulaire, La base du prisme est dans le plan horizontal et ses arêtes sont de front ; la base de la pyramide est dans le plan vertical.

Soient abcd la base du prisme dans le plan horizontal et e'fy la base de la pyramide dans le plan vertical. Soient d'ailleurs (aat, a'ai) une arête quelconque du prisme et (s y s') le sommet de la pyramide.