INTEKSECTION DE DEUX POLYÈDRES QUELCONQUES

par ddi. On â profité aussi de ce que le plan de front mené par ddi coupe ef suivant une parallèle à (hk^ h'k!)^ et Ton a obtenu la droite pY et le côté PY ^® ^^ projection verticale du polygone d'intersection. On a déterminé ensuite le côté fS' d'une manière analogue, et ainsi de suite, ce qui a donné finalement la projection verticale a'^YSVXV'vV du polygone d'intersection, puis sa projection horizontale a^$eXfAV2.

Il est bon d'ajouter, à cause de ce qui suit, et pour bien comprendre la ponctuation, que :

(a^, al^') est l'intersection de la face ab avec la face ef;

(Pt, ?Y) id. <^d id. ef;

(78, yS'j id. de

(Se, SVj id. de

(ea, eO.'} id. de

(XjjL, Xy) id. da

(fjiv, fjtV) id. ab

(^a, vV) id. ab

Il est bon d'ajouter enfin qu'il n'y a qu'un seul polygone d'intersection, et que l'on dit alors que les deux polyèdres sont entaillés l'un par l'autre.

Pour faire la ponctuation, on a supposé les deux polyèdres solides et opaques, et on a représenté le parallélépipède entaillé par le prisme. Cela veut dire qu'on a enlevé du prisme tout ce qui est extérieur au parallélépipède et du parallélépipède tout ce qui est intérieur au prisme. On a fait alors la distinction des parties vues et des parties cachées sur le corps ainsi obtenu. Les portions d'arêtes du parallélépipède intérieures au prisme ont été complètement enlevées, tandis qu'on a tracé en traits mixtes les portions d'arêtes du prisme extérieures au parallélépipède.

Sans entrer dans des détails qui seraient superflus après ce que l'on vient de dire, bornons-nous à observer que les seuls côtés du polygone d'intersection qui soient vus en projection horizontale sont : ^a, av, vji, parce qu'ils sont tracés sur la face vue, ab^ du parallélépipède. Tous les autres côtés sont tracés sur des faces cachées et sont cachés ; toutefois, la portion Pw du côté Py tracé sur la face ad était cachée par la portion de la face ab qui a été enlevée; ^w est donc vu. On ponctue de la même façon la projection verticale du polygone d'intersection.

§ IV. — Intersection des prismes et des pyramides.

213. La méthode générale, exposée dans le | III, pour trouver Tintersection de deux polyèdres s'applique à tous les polyèdres sans exception. Toutefois, quand les polyèdres sont des prismes ou des pyramides, on peut obtenir leur intersection par une méthode ne différant de la précédente que par les détails, et que nous allons faire (Connaître. Nous distinguerons, pour cela, trois cas, suivant que l'on a à trouver l'intersection de deux pyramides, d'une pyramide et d'un prisme, ou de deux prismes.

214. Intersection de deux pyramides. — Pour construire l'intersection de deux pyramides, on détermine les points de rencontre des arêtes de chacune d'elles avec les faces de l'auti'e. On a ainsi les sommets du polygone d'intersection et il ne reste plus qu'à joindre les points dans un ordre convenable, que nous indiquerons dans un instant.

Appelons S et Si les sommets des deux pyramides et désignons chacune de ces pyramides par la lettre du sommet. Pour avoir les points de rencontre d'une arête de la pyramide S avec les faces de la pyramide Si, nous ferons usage de la méthode exposée au n» 207, c'est-à-dire que nous couperons la pyramide Si. par le plan qui passe par l'arête considérée et par le point Si. Ce plan auxiliaire passant aussi par le point S, on voit que tous les plans auxiliaires dont nous aurons à faire usage passeront par une droite fixe, la ligne SSi. Soient S et S, les points de rencontre respectifs de la ligne SSi avec les plans de base des pyramides S et S,. Les traces des plans auxiliaires sur le plan de base de la pyramide S passent par le point I ; pareillement, les traces des plans auxiliaires sur le plan de base de la pyramide Si passent par Si; de sorte que si l'on commence par déterminer ces points, on connaîtra à l'avance un point de la trace d'un plan auxiliaire quelconque sur le plan de base de la pyramide S, et aussi de la pyramide Si. Pour obtenir l'une quelconque de ces traces, il suffira donc d'en avoir un second point.

Cela posé, nous allons entrer dans le détail des constructions. Il suffira, d'ailleurs, de déterminer une projection du polygone d'inter-