II. Mener par un point le plan perpendiculaire à une droite

Ces deux problèmes ne présentent aucune difficulté et nous laissons au lecteur le soin de les résoudre à titre d'exercices, en faisant toutefois observer que les graduations sur la droite et sur l'échelle de pente du plan perpendiculaire doivent aller en sens inverse,

§ IV. — Distances et angles,

247. Distance d'un point à un plan. — Appelons A et P le point et le plan donnés. Pour avoir la distance du point A au plan P, on mène par le point la perpendiculaire au plan (246), on cherche le point de rencontre B de cette droite et du plan (245), et l'on calcule enfin la distance des deux points A et B (231).

248. Distance d'un point & nne droite. — Pour obtenir cette distance, on mène par le point le plan perpendiculaire à la droite et on détermine le point de rencontre de ce plan et de la droite. On calcule ensuite la distance du point ainsi obtenu au point donné.

249. Perpendiculaire commune à deux droites; plus courte distance de ces deux droites. — On obtient la perpendiculaire commune à deux droites D et A en suivant pas à pas une des méthodes employées en géométrie élémentaire pour prouver l'existence de cette

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE

ligne. On mène donc par D le plan P parallèle à A, et Ton détermine ce plan en menant la parallèle à A par un point de D; on mène ensuite une perpendiculaire au plan P, et enfin on mène, par chaque droite, le plan parallèle à cette perpendiculaire, c'est-à-dire le plan perpendiculaire au plan P. L'intersection des deux plans ainsi obtenus est la perpendiculaire commune aux deux droites. Elle coupe les deux droites en deux points dont on calcule la distance pour avoir la plus courte distance des deux droites D et A. Dans la figure ci-dessous les deux droites sont projetées en d et en 8, et le plan P est défini par la droite d et par la parallèle aSi menée à 8 par le point a de d de cote 6 ; de sorte que la perpendiculaire ae aux horizontales du plan P

est une ligne de plus grande pente de ce plan. L'intervalle de celte ligne de plus grande pente est évidemment ab, et on en déduit Tintervalle ad de la perpendiculaire au plan P au moyen du triangle rectangle bcd, dans lequel on a pris ac = \. La droite ae est

aussi la projection de la perpendiculaire au plan P menée par le point a, et la graduation qu'elle porte est celle qui est relative à cette perpendiculaire.

Appelons Q le plan parallèle à cette droite mené par d, et Qj le plan analogue mené par 8. Le plan Q est défini par d et par ae; le plan Qi est défini par 8 et par la parallèle kki à ae menée par le point de 3 de cote 8.

Le plan horizontal de cote 7 coupe le plan Q et le plan Qi suivant deux horizontales, qui se rencontrent au point p ; de même le plan horizontal de cote 10 coupe le plan Q et le plan Qi suivant deux horizontales, qui se rencontrent au point q. La droite pq est la perpendiculaire commune ; elle rencontre d au point % dont on sait déterminer la cote (227) ; elle rencontre 8 au point p dont on sait également déterminer la cote. On pourra donc calculer la distance de ces deux points, ce qui fera connaître la plus courte distance des deux droites.

250. Aogle de deux droites. — Si les deux droites ne se coupent pas, leur angle est égal à celui que fait Tune d'elles avec la parallèle à l'autre menée par un de ses points. On peut donc toujours supposer que les deux droites se coupent.

Si les deux droites se coupent, pour avoir leur angle on rabat cet angle autour d'une horizontale de ce plan ; il suffit, pour cela, de rabattre le sommet de l'angle (241) et de joindre le sommet rabattu aux points de rencontre des deux droites avec la charnière.

251 . Angle de deux plans. — On procède comme si les deux plans étaient représentés par la méthode des deux plans de projection. On détermine donc d'abord l'intersection des deux plans et, par un point de celte droite, on mène un plan perpendiculaire à celle-ci. Cela fait, on détermine ensuite l'intersection de ce nouveau plan avec chacun des plans donnés, et l'on est alors ramené à trouver l'angle des deux droites ainsi obtenues (250).

252. Angle d'une droite et d'un plan. — On ramène encore ce problème à celui de la détermination de l'angle de deux droites. Pour cela, on mène par un point de la droite la perpendiculaire au plan donné, et on détermine l'angle de cette perpendiculaire et de la droite

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donnée. Cet angle étant le complément de Tangle cherché, on a facilement celui-ci.

253. Remarque. — Ces notions sont suffisantes pour montrer comment on peut traiter par la méthode des plans cotés tous les problèmes que nous avons résolus par la méthode des deux plans de projection. Nous engageons néanmoins le lecteur à les traiter, pour bien se familiariser avec la méthode des plans cotés.