Problème. — Mener par un point donné la parallèle à une
droite donnée.
Soit à mener par le point c coté 2 la parallèle à la droite ab. Les deux droites étant parallèles, leurs projections horizontales le sont aussi ; on obtiendra donc la projection horizontale de la droite cherchée en menant par le point c la parallèle à ab.
D'ailleurs les intervalles étant évidemment égaux, si ab est l'intervalle de la première droite, en prenant cd = ab et de même sens que ab on aura Tintervalle de la deuxième.
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE
234. Problème — Trouver la condition pour que deux droites se coupent,
La condition nécessaire et suffisante cherchée est évidenoLment que les cotes du point de rencontre des projections horizontales, considéré comme appartenant tour à tour à la première et à la deuxième droite, soient égales.
^\\. — U Plan.
235. RepréBOQiation du plan; échelle de pente. — On appelle ligne de plus grande pente d'un plan toute droite du plan perpendiculaire aux horizontales de ce plan. Il est clair qu'un plan est déterminé par une ligne de plus grande pente; pour cette raison on représente un plan par une de ses lignes de plus grande pente.
Afin de distinguer la ligne de plus grande pente d*un plan d'une
autre droite quelconque, on la représente par deux traits, Tun très fin, Tautre plus épais. On marque enfin dans toute l'étendue utile de cette ligne des points à cote ronde, et Ton a ainsi ce qu'on appelle Y échelle de pente du plan.
Il suit de là qu'un plan est représenté par son échelle de pente et, par définition, les horizontales du plan sont perpendiculaires à l'échelle de pente. D'après cela, si ab est l'échelle de pente d'un plan, les horizontales du plan sont perpendiculaires à ab.
Ce mode de représentation du plan conduit immédiatement au problème suivant :
236. Problème. — Un plan étant déterminé par deux droites qui se
coupent^ trouver son échelle de pente.
Soient d et 8 les projections cotées des deux droites qui déterminent le plan. Si l'on joint tous les couples de points de même cote, d/ jUt^-^^ ^ par exemple les points de cote 5,
de cote 4, de cote 3, etc., on obtient ^ des horizontales du plan. Dès lors une perpendiculaire à ces droites, graduée en manjuant les mêmes
LE PLAN 175
cotes que sur les horizontales correspondantes, aux points où elle est rencontrée par ces horizontales, donne Téclielle de pente du plan.
237. REILI.RQUE. — On appelle pen^(? d'un plan la pente de son échelle de pente. En vertu du problème précédent, quelle que soit la manière de déterminer un plan, on peut toujours le supposer déterminé par un point, sa pente et la projection de son échelle de pente. A la projection de son échelle de pente on peut évidemment substituer la projection de la direction des horizontales du plan.
Nous allons maintenant résoudre quelques problèmes sur le plan.
238. Problème. — Déterminer un point d'un plan connaissant : 1^ sa projection horizontale ; 2® sa cote.
Soit ab Téchelle de pente d'un plan sur laquelle on a marqué, comme d'habitude, des points à cote ronde. Si Ton considère deux de
ces points consécutifs, a et 6 par exemple, ab est l'intervalle de l'échelle de pente; on peut supposer l'intervalle divisé en parties égales, dix par .;^^^c "" exemple. Cela posé :
^"^ 1» Si c est la projection horizontale du point
'^^^ cherché, il s'agit d'avoir la cote de ce point. Cette
cote est la même que celle de l'horizontale du plan qui passe par le point C de l'espace ; or, la projection horizontale de cette droite passe par c et est perpendiculaire à l'échelle de pente. Cette perpendiculaire rencontre l'échelle de pente, c'est-à-dire la projection horizontale de réchelle de pente, en un point e compris entre les divisions 3 et 4 de l'échelle et correspondant à la huitième division de l'intervalle (3.4) partagé en dix parties égales, à partir de la cote 3 ; il en résulte que la cote demandée est 3,8.
2o Inversement, les points dont la cote est 3,8 ont leurs projections horizontales sur ec, de sorte que la deuxième partie du problème est indéterminée.
239. Problème. — Par un point d'un plan mener une droite de pente donnée située dans ce plan.
Résolvons d abord le problème dans Tespace. Soient P le plan
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE
donné et A le point donné dans ce plan. Menons le plan horizontal H par rapport auquel la cote du point A est égale à 1, et soient a *
la projection du point A sur le plan H et AB la ligne de plus grande pente du plan menée par le point A, de sorte que aB est Tintervalle de l'échelle de pente du plan P, en supposant, bien entendu, que BC est l'horizontale du plan P située dans le plan H. Il en résulte que si l'on suppose le problème résolu et si l'on appelle AG l'une des droites cherchées, aC est l'intervalle de cette droite, c'est-à-dire l'inverse de la pente (230).
D'après cela, le point G sera à l'intersection de BG et de la circonférence qui a pour centre le point a et pour rayon une longueur qui est égale, sur l'échelle, à l'inverse de la pente donnée.
Gela posé, si E est l'échelle de pente du plan et si l'on appelle a le
point donné coté 6, en prenant un point de rencontre de l'horizontale de cote 5 avec la circonférence dont il vient d'être question, on a un deuxième point de la droite cherchée. Gomme cette circonférence peut rencontrer l'horizontale de cote 5 en 0, en 1 ou en 2 points, le problème peut admettre 0, 1 ou 2 solutions. Dans le cas de la figure, il y a deux droites ac et ae répondant à la question.
Il suit de là que le problème n'est possible que si la pente de la droite est inférieure ou au plus égale à la pente du plan. Si la pente de la droite est égale à la pente du plan, la droite cherchée est une ligne de plus grande pente du plan.
240. Problème. — Par une droite donnée mener un plan de pente donnée.
G'est le problème inverse du précédent. Si l'on se reporte en effet à la figure précédente, et si l'on mène la perpendiculaire ab à ce, on voit que l'on obtient une horizontale du plan cherché en prenant le côté cb du triangle rectangle cba dans lequel on connaît l'hypoténuse ac (intervalle de la droite) et le côté ab qui est l'intervalle du plan, c'est-à-dire l'inverse de la pente.
LE PLAN
D'après cela, soient ac Tintervalle de la droite, cd et ce les tangentes menées du point c à la circonférence ayant pour centre le point a et pour rayon l'inverse de la pente du plan; cd est une horizontale de l'un des plans cherchés et ce une horizontale d'un autre. On peut alors construire facilement les échelles de pente E et Ei de ces deux plans.
Comme on le voit, le problème peut admettre 0, i ou 2 solutions, suivant que l'on peut, du point c, mener 0, 1 ou 2 tangentes à la circonférence.
Quand le point c est sur la circonférence, la droite coïncide avec une ligne de plus grande pente du plan.
En tous cas le problème n'est possible que si la pente du plan est supérieure à la pente de la droite, c'est-à-dire si l'intervalle de la droite est supérieur à l'inverse de la pente du plan.
241. Rabattement d*an plan. — Le problème à résoudre est le suivant :
Un flan étant défini par son échelle de pente^ on le rabat sur le plan horizontal qui passe par l'une de ses horizontales ; construire le rabattement d'un point de ce plan connaissant la projection cotée de ce point.
On pourrait résoudre ce problème au moyen de la règle du triangle
rectangle (156) ; mais, comme on l'a vu dans tout ce qui précède, il y a avantage en géo- 10 IL ^--r métrie cotée à remplacer les constructions gra-
phiques par des calculs. Pour résoudre le problème des rabattements, il convient donc de procéder comme il suit :
Soient E l'échelle de pente du plan et a le point à rabattre, coté 9,2; supposons, d'ailleurs, que l'on fasse le rabattement autour de l'horizontale cotée 8. Commençons par calculer la distance de deux points de l'échelle de pente dont la différence des cotes est 1 ; si, pour fixer les idées, on suppose que l'intervalle de l'échelle de pente soit égal à 1,65, la distanche cherchée est égale à v^i -t- 1,6S« == 1,92.
ANTOHABI. — GEOM. DESCR.
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE
Traçons donc une droite D parallèle à Téchelle de pente, et, à partir du point coté 8, portons sur cette droite des longueurs égales à 1,92, dans le même sens que l'intervalle sur l'échelle de pente; nous obtenons ainsi sur la droite D les points que nous numérotons 9, 10, etc. La droite D est le rabattement d'une ligne de plus grande pente du plan, et les points de division 7, 8, etc., sont les rabattements des points de cette ligne cotés respectivement 7, 8, etc. En menant par ces points les perpendiculaires à l'échelle de pente, on a les rabattements des horizontales successives du plan. Si donc on prend sur la droite D le point ai qui correspond à la division 9,2, cote du point a, et si on mène par ce point la perpendiculaire à D, on aura le rabattement de l'horizontale du plan qui passe par le point A de l'espace. Il est clair que le rabattement du point A doit se trouver sur cette droite ; comme, d'autre part, il doit évidemment se trouver sur la perpendiculaire à la charnière menée par a, c'est-à-dire sur la parallèle à l'échelle de pente, il sera rabattu à l'intersection Ai des deux lignes.
242. Relèvement d'un plan rabattu. — On commence toujours par construire la droite D, comme cela a été expliciué dans le numéro précédent. Gela fait, pour avoir le point a, projection horizontale du point rabattu en A|, on mène par Ai la perpendiculaire à D et l'on prend le point ai ainsi obtenu et qui correspond à la division 9,2 de la droite D : 9,2 est la cote du point a. Il en résulte que le point a se trouve sur l'horizontale du plan menée par le point de l'échelle de pente qui correspond à la division 9,2; comme, d'autre part, il est situé sur la parallèle menée par Ai à l'échelle de pente, il est à l'intersection a de ces deux lignes.
243. Plans parallèles. — Lorsque deux plans sont parallèles, leurs
lignes de plus grande pente sont parallèles et ont la même pente. La réciproque est évidente.
D'après cela, les échelles de pente de deux plans parallèles sont parallèles et satisfont en outre aux conditions suivantes : 1** les intervalles sont égaux ; 2» les graduations sont dans le même sens.
Dans la ligure ci-contre, E et E' sont les échelles de pente de deux plans parallèles.
DROITES ET PLANS COMBINÉS
Ji III. — Droites et plans coynbinés,
2ii. Iniersection de deux plans. — Si on coupe les deux, plans par le même plan horizontal, le point de rencontre des deux droites ainsi obtenues est un point de l'intersection. On en obtient un second au moyen d'un autre plan horizontal. D'après cela :
1<* Les échelles de pente ne sont pas parallèles, — Soient E et E' les échelles de pente des deux plans. Le plan horizontal de cote 8 coupe
les deux plans suivant deux horizontales dont l'intersection est le point a, qui sera coté 8; de même le plan horizontal de cote 7 coupe les deux plans suivant deux horizontales dont l'intersection est le point 6, qui sera coté 7. L'intersection des deux plans est donc définie par les points a et b, cotés respectivement 8 et 7 ; sa projection horizontale est ab.
2® Les échelles de pente sont parallèles, — Supposons les échelles de pente parallèles mais telles que les deux plans ne soient pas parallèles (2^(3). Dans ce cas la méthode indiquée phis haut n'est pas applicable, car les horizontales des deux plans sont parallèles; mais comme l'intersection des deux plans est horizontale, il suffit, pour la déterminer, A/ d'en connaître un point. Pour obte-
nir ce point, on coupe alors les deux plans donnés par un troisième plan quelconque. Dans la ligure ci-contre, E et E' sont les échelles de pente des plans donnés et e est l'échelle de pente du plan auxiliaire. Les droites d'intersection du plan e avec les deux plans respectifs E et E' sont ab et cd, qui se coupent au point f; en menant par ce point la perpendiculaire à E ouà E', on a en /"A la projection de l'intersection des deux plans. D'ailleurs, pour coter cette droite, il suffit de voir quelle est la divi-
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE
sion de E ou de E' qui correspond au point de rencontre de cette droite avec fh.
245. Intersection d'une droite et d'un plan. — La méthode à suivre pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan consiste à couper le plan par un plan quelconque passant par la droite. L'intersection des deux plans est une droite qui rencontre la première au point demandé. Le choix du plan auxiliaire n'est pas indifférent, et l'on prend toujours celui qui admet la droite pour ligne de plus grande pente, excepté quand la projection de la droite est parallèle à l'échelle de pente du plan.
Dans la figure ci-contre, E est l'éclielle de
pente du plan donné et d est la projection de
la droite donnée. Le plan auxiliaire et le plan donné se coupent
suivant la droite aé, qui rencontre d au point c; enfin, le point c
étant le milieu de la division (4.5) de rf, la cote de ce point est 4,5.
Ainsi le point cherché est le point c coté 4,5.
246. Conditions d'orthogonallté d'une droite et d'un plan. — Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, la projection horizontale de la droite est, comme l'on sait, perpendiculaire à la projection horizontale des horizontales du plan ; il en résulte que la projection horizontale d'une perpendiculaire à un plan est parallèle à l'échelle de pente du plan.
Il reste à graduer cette droite. Pour cela, il suffit d'en connaître un
point coté et l'intervalle. On en détermine un point coté par une autre condition imposée à la perpendiculaire, et pour avoir l'intervalle on se base sur ce que l'intervalle est l'inverse de la pente. Or, la droite et le plan font des angles complémentaires avec le plan horizontal ; il en résulte que la pente de la perpendiculaire est l'inverse de la pente du plan; mais alors l'intervalle de la perpendiculaire est l'inverse de l'intervalle de l'échelle de pente du plan.
D'après cela, soit E l'échelle de pente du plan et da l'intervalle de cette échelle de pente. Menons ab perpendiculaire à
£ et égale à Tanité mesurée à réchelle du dessin, et construisons le triangle dbc rectangle en b. Dans ce triangle, on a
daxac = ab = 1 ;
et comme da est Tintervalle de l'échelle de pente du plan, il résulte de ce qui précède que ac est Tintervalle des normales au plan.
En résumé, pour qu'une droite soit perpendiculaire au plan E, il faut et il suffit que sa projection horizontale soit parallèle à Ë et que son intervalle soit égal à ac.
Inversement, si ac est l'intervalle d'une droite, le triangle rectangle dbc fait connaître l'intervalle da de l'échelle de pente d'un plan perpendiculaire à la droite.
Dès à présent on est donc en mesure de résoudre les deux problèmes suivants :
