Problème . — Mener un plan tangent commun à deux cônes
C'est encore un problème en général impossible. Appelons en effet S et Si les sommets des deux cônes. Si Ton mène par la ligne SSi les plans tangents au premier cône, aucun de ces plans ne sera, en général, tangent au second cône.
l^ problème est possible dans les divers cas suivants :
1*^ Quand les deux cônes ont le même sommet. — On obtient alors les plans tangents communs en coupant les deux cônes par un même plan et en menant les tangentes communes aux deux sections. Chacune de ces tangentes et le sommet commun définissent un plan tangent commun.
2^ Quand les deux cônes ont une directrice commune dans le même plan. — On cherche alors la trace de la ligne des sommets sur le plan de cette directrice, et, par ce point, on mène les tangentes à la base commune. Une quelconque de ces tangentes et la ligne des sommets définissent un plan tangent commun.
3^ Quand les deux cônes sont homothétiques . — Car alors tout plan tangent à l'un des cônes mené par la ligne des sommets est aussi tangent à l'autre cône. Les génératrices de contact sont d'ailleurs parallèles.
^^ Quand les deux cônes sont circonscrits à la même surface, — Car si M est un point commun aux deux courbes de contact, le plan tan- ^nt en M à la surface inscrite est aussi tangent à chacun des cônes (296).
306. Problème. — Mener un plan tangent commun à un cône et à un cylindre.
Ce problème, comme le précédent, est en général impossible. En effet, tout plan tangent commun doit passer par le sommet du cône et doit être, en outre, parallèle aux génératrices du cylindre. Il doit donc contenir la parallèle aux génératrices du cylindre menée par le sommet du cône. Or, aucun des plans tangents au cône menés par cette droite n'est, en général, tangent au cylindre.
Le problème est possible si les deux surfaces ont une directrice plane commune ou si elles sont circonscrites à une même surface. La solution du problème, dans ces deux cas, se déduit de celle qui a été donnée plus haut, dans les cas correspondants, pour deux cônes.
307. Problème. — Mener un plan tangent commun à deux cylindres.
Soit P un plan quelconque parallèle aux génératrices des deux cylindres. Tout plan tangent commun à ces deux surfaces doit être parallèle au plan P. Or, aucun des plans tangents au premier cylindre parallèles au plan P n'est en général tangent au deuxième cylindre. Donc, le problème est en général impossible. Il est possible :
1<* Quand les deux cylindres ont même directrice plane. — Dans ce cas, pour le résoudre, on cherche la trace du plan P sur le plan de cette directrice, et l'on mène à la directrice les tangentes parallèles à cette trace.
2o Quand les deux cylindres sont circonscrits à la même surface. — Dans ce cas on raisonne comme pour deux cônes (305, 4<>).
§ IV. — Plans tangents parallèles et normales communes à dettx
surfaces coniques ou cylindriques.
308. Problème . — Etant données deux surfaces coniques^ mener deux plans respectivement tangents à ces deux surfaces et parallèles entre eux.
Soient S et Si les sommets des deux cônes. Supposons le problème résolu, et soient P et Pi deux plans parallèles tangents, l'un au premier cône et l'autre au second. Transportons l'un des cônes. Si par exemple, parallèlement à lui-même, de manière que le point Si vienne coïncider avec le point S. Le plan Pi se transportera alors parallèlement à lui-même et viendra coïncider avec le plan P; de sorte que le
plan P sera un plan tangent commun à deux cônes de même sommet : le cône S et le cône Si transporté. Donc, pour résoudre le problème, on mènera un plan tangent commun, P, à ces deux cônes et, par le point Si, on mènera le plan parallèle au plan P. Il y aura autant de solutions que de plans tangents communs aux deux cônes de même sommet. Ajoutons d'ailleurs que, transporter le cône Si parallèlementà lui-même, de manière que le point Si coïncide avec le point S, revient à construire un cône homothétique au cône Si et ayant pour sommet le point S. Ce cône homothétique au cône Si est le lieu des parallèles aux génératrices de Si menées par S ; ce qui fournit le moyen de le construire graphiquement.
309. Exemple. — Les deux cônes ont pour bases des cercles situés dans k plan horizontal.
Soient («, sf) et {*i, s[) les deux cônes donnés, dont le second est un
cône de révolution à axe vertical. Transportons ce second cône parallèlement à lui-même de manière que son sommet vienne en {s, s'). La
23 i PLANS TANGENTS
nouvelle base de ce cône ainsi transporté sera une circonférence décrite du point s comme centre dans le plan horizontal. D'ailleurs, le cône («1, s[) et le cône qu'on obtient en le transportant parallèlement à lui-même, de manière que son sommet vienne en (s, «'), sont homothétiques par rapporta un point quelconque de la ligne {ssi^s'sl); donc, les sections de ces deux cônes par le plan horizontal sont homothétiques par rapport à la trace horizontale (or, a') de la ligne {ssi, s^s'i). Il suit de là que pour avoir le rayon de la circonférence de base du cône (*i, s\) transporté, il suffit de mener deux rayons parallèles «lO, sai, et de prendre le point de rencontre ûi de sai avec va.
Cela posé, les plans tangents communs au cône (*, sf) et au cône (*i, si) transporté ont pour traces horizontales les tangentes communes aux circonférences de bases ; soient bc et de ces tangentes communes. Si Ton mène éjCi et diCi respectivement parallèles à ^c età de et tangentes à la circonférence de base du cône (*i, s\), les plans tangents aux deux cônes respectifs, et dont les traces horizontales sont bc et ^iCj, donnent une solution du problème. On en a une seconde solution en prenant les deux plans tangents dont les traces horizontales sont de et diCi.
310. Problème. — Etant donnés deux cylihdres^ mener deux plans respectivement tangents à ces deux surfaces et parallèles entre eux.
Soit P un plan quelconque parallèle aux génératrices des deux cylindres. S'il existe un couple de plans Q et Qi parallèles entre eux et respectivement tangents aux deux cylindres, ces plans seront parallèles au plan P. De cette remarque résulte évidemment la solution du problème : on mène à chacun des cylindres les plans tangents parallèles au plan P ; si Q est un plan tangent au premier cylindre et si Qi est un plan tangent au deuxième, Q et Qi donnent une solution du problème.
311. Exemple. — Mener deux plans tangents parallèles à un cylindre horizontal et à un cylindre de front.
Supposons que la base du premier cylindre soit un cercle C du plan vertical et que la base du second soit un cercle Ci du plan horizontal. Un plan quelconque parallèle aux génératrices des deux cylindres a sa trace horizontale parallèle à la projection horizontale h de la direction des génératrices du premier cylindre, et sa trace verti-
cale est parallèle à la projection verticale f de la direction des génératrices du second cylindre. Si donc on mène les tangentes au cercle G
parallèles à f et les tangentes au cercle G| parallèles à /*, on obtient en P«(y, RpS', PiaiCK, R,p,S; les plans tangents demandés.
31** ï^roblème. — Etant donnés un cône et un cylindre, mener deux plans respectivement tangents à ces deux surfaces et parallèles entre eux-
Appelons S le sommet du cône et D la direction des génératrices du cylindre. Soient d'ailleurs P et Pi deux plans parallèles et respectivement tangents aux deux surfaces. Le plan P passe par le point S et le plan P, est parallèle à la direction D; donc, le plan P qui est parallèle au plan Pi, est aussi parallèle à D et contient la parallèle à cette droite menée par le point S. De là résulte évidemment la solution du problème : par le sommet du cône on mène la parallèle aux ^génératrices du cylindre, et par cette droite on mène les plans P tan- ^nts au cône. On mène enfin, au cylindre, les plans tangents P| parallèles aux plans P : un plan P et un plan Pi donnent une solution du problème.
313. Exemple. — Mener deux plans tangents parallèles à un cône de
révolution à axe vertical et à un cylindre de révolution à axe de front.
Soient (*, &') le sommet du cône et (oz, o'z") Taxe du cylindre. La parallèle aux génératrices du cylindre menée par le sommet du cône est (5cr, s'a'), et Ton a en PaQ' et en RpT' les plans tangents au cône menés par («çj, sW). Pour mener au cylindre les plans tangents parallèles à PaQ', on a considéré le cylindre comme ayant sa base dans le plan perpendiculaire à Taxe mené par le point (o, o'). L'intersection de ce plan et du plan PaQ' étant (aé, a'6'), on Ta rabattue en a\bl
sur le plan de front mené par (oz, o'z'). Le rabattement de la base du cylindre sur ce plan de front est la circonférence de rayon égal à celui du cylindre décrite du point o' comme centre. En menant à cette circonférence les tangentes c\d[ et e'Ji parallèles à a/éi, on obtient en {ch, c'N) et (eA*, e'K) les génératrices de contact des plans tangents cherchés. Le premier de ces plans est défini par la génératrice (cA, dh!) et par la tangente (crf, dd\)'y le deuxième est de même défini par la génératrice (ek, dk) et par la tangente (ef^ df^. En associant
l'un de ces plans au plan P^Q', on a une solution du problème, ce qui fournit ainsi deux solutions.
On en obtient deux autres en menant les plans tangents au cylindre parallèlement au plan R^T'. Pour mener ces plans tangents on a opéré comme plus haut, mais en se servant de la base supérieure du cylindre au lieu de se servir de la base inférieure. Enfin, on a fait la ponctuation des génératrices de contact avec le cylindre en supposant celui-ci opaque et limité aux plans perpendiculaires à Taxe menés, l'un par le point (o, o% l'autre par le point (z, s').
314. Remarque. — Il est bon d'observer que les génératrices de contact des plans tangents cherchés et du cylindre ont deux à deux les mêmes projections horizontales et les mêmes projections verticales ; car les plans tangents au cylindre sont deux à deux symétriques par rapport au plan de front et par rapport au plan de bout menés par l'axe (02, oV).
31o. Problème. — Mener une normale commune à deux cônes ^ à deux cylindres, ou à un cône et à un cylindre.
Supposons le problème résolu, et soient A et B les points d'incidence de la normale commune avec les deux surfaces respectives. Le plan langent en A à la première surface et le plan tangent en B à la deuxième sont parallèles. Les génératrices de contact de ces deux plans tangents passent, l'une par A, l'autre par B, de sorte que AB est la perpendiculaire commune à ces deux droites. D'ailleurs la direction de celte perpendiculaire commune est celle de la normale aux plans tanl^nts parallèles. Donc, pour résoudre le problème, on mènera un couple de plans P et Pi respectivement tangents aux deux surfaces et parallèles entre eux; on construira la direction D de la normale à ces deux plans et les génératrices de contact G et Gi de ces deux plans et des deux surfaces respectives; enfin, on mènera la parallèle à la direction D s'appuyant sur G et sur Gi.
n y aura autant de solutions que do couples de plans analogues à P et à P,.
i. Un cône a pour base un cercle dans le plan vertical et pour sommet un point quelconque. Un cylindre a pour base un cercle dans un plan vertical et ses génératrices sont perpendiculaires à ce plan. Mener les normales communes aux deux surfaces.
2. Un cône a pour base un cercle du plan vertical et pour sommet un point du plan horizontal. Trouver les contours apparents du cône supplémentaire.
3. On donne deux droites qui se coupent; mener par Tune d^elIes on plan faisant un angle donné avec Tautire.
4. Résoudre la même question quand les deux droites données ne se coupent pas.
5. Mener les normales communes à deux cônes ayant pour base commune un cercle situé dans un plan de profil, et dont les sommets sont deux points situés sur la ligne de terre et symétriques par rapport au plan de profil.
6. Trouver la plus courte distance de la ligne de terre et d*un cylindre défini par sa base et par la direction de ses génératrices.
7. Un cône de sommet donné a pour base un cercle du plan horizontal. Mener par un point donné les plans tangents au cône supplémentaire.
Soient S le sommet du cône et A le point donné. Le plan mené par S perpendiculairement à SA coupe le cône donné suivant deux génératrices. Les plans menés par S et respectivement perpendiculaires à ces deux génératrices sont les plans tangents demandés.
8. Normales communes à une droite et à un cône donnés. Examiner en particulier le cas où le cône est de révolution.
9. Un cône de sommet donné a pour base un cercle du plan horizontal . Trouver la projection verticale d'un point du cône supplémentaire con-* naissant sa projection horizontale.
Cela revient à mener au cône donné les plans tangents dont les traces horizontales ont une direction connue.
exi!:rgices sur le cuapitke ii 239
iO. Un cône a pour base une conique située dans un plan déterminé par ^ traces et projetée horizontalement suivant un cercle donné. On coupe ce cône par un deuxième plan, et Ton prend la section comme base d'un second cône de sommet donné; trouver les contours apparents de ce nouveau cône.
H. On donne un cône de révolution à axe vertical et une droite ne ^^ncontrant pas ce cône. Cette droite est Taxe d'un second cône de révocation tangent au premier et ayant son sommet dans le plan horizontal ; <5onstruire les contours apparents de ce second cône.
^2. Mener les normales communes à deux cylindres de révolution définis par leurs axes et par leurs rayons.
13. On donne deux droites  et 6 qui se coupent et Ton fait tourner B autour de A ; mener par un point donné les plans tangents au cône ainsi engendré.
14. On donne le sommet, Taxe et le demi-angle au sommet d'un cône de révolution. On donne, d*autre part, le rayon et la direction des projections horizontales des génératrices d'un cylindre ; placer ce cylindre sur le plan horizontal et sous le cône, de manière qu'il soit tangent au cône.
15. Mener à une sphère les plans tangents passant par un point donné et faisant un angle donné avec une droite ou avec un plan donnés.
16. Mener à un cône quelconque les plans tangents faisant un angle donné avec un plan donné.
li< H^ner par un point donné une droite située à des distances données de deux droites données.
18. Résoudre le même problème quand on remplace le point donné par une direction donnée.
19. Mener à un cône ou à un cylindre une normale parallèle à une direction donnée.
20. Mener par un point donné une tangente commune à deux cônes.
21. Même problème en remplaçant le point donné par une direction
donnée.
22. On donne un plan PaP' dont la trace horizontale aP fait un angle
de 30® avec ecy; le plan est incliné de 53® sur le plan vertical. On donne
un point A dans ce plan dont la cote est 2«» et Téloignenr.ent 3"". Ce
point est le centre de base d*un cône droit situé sur la face supérieure du
plan et dont le rayon est 3®"^. La hauteur du cône est 12®"'. Construire les
projections de ce cône.
(Ecole navale, concours de 1876.)
23. Deux cônes circulaires droits et égaux ont même sommet S, se touchent extérieurement suivant la génératrice SA, de manière à adhérer Tun à Taulre. Le rayon de la base vaut 3®™,8 et la génératrice est double du rayon. La base de Tun des cônes est appliquée sur la partie antérieure du plan horizontal, sa circonférence touchant xy^ et la génératrice SA étant de front. Gela posé, on demande :
1® De construire les projections du solide formé par Tensemble des deux cônes;
2® De construire la partie invisible du plan vertical de projection supposé relevé, Toeil étant placé sur la perpendiculaire à xy menée peur le point A, et à une distance en avant de cette ligne xy égale à deux fois le diamètre de l'un des cônes.
On ombrera la partie invisible demandée en n*y comprenant pas la
projection verticale des cônes.
{Ecole de Saint-Cyr, concours de i873.)
24. On donne deux points a et ^ sur osy^ distants entre eux de t7®Bi,5, et deux plans passant par ces points : l'un PaP\ dont les traces font avec osy des angles Vax = 36®, P'oa? = 48®; l'autre Q^Q', qui est perpendiculaire au plan vertical de projection, et qui fait un angle de 42® avec le plan horizontal . Gela posé, on demande :
1® De prendre dans le plan PaP' un point S de cote 10"" et d'éloignément 4®",2 ;
2® De construire les projections d'un cône circulaire droit ayant le point S pour sommet et s'appuyant par sa base sur le plan Q^Q' ; le diamètre de base de ce cône étant égal à sa hauteur;
3® De mener les plants tangents à ce cône parallèles à l'intersection des
deux plans PaF et Q^Q'.
[Ecole de Saint-Cyr, concours de 1879.)
25. On donne un plan PaF, incliné de 40® sur le plan horizontal et dont la trace horizontale fait avec xy un angle de 36®. Un cercle situé sur ce plan, dans le premier dièdre, est tangent aux traces aP et aF, et a pour diamètre d*'",4. Ge cercle est la base d'un cône droit, situé au-dessus du plan PaF et dont la hauteur est égale à 10®",8. On demande :
1® De construire les projections de ce cône;
2® De trouver les points de rencontre de ce cône avec la parallèle à ary menée par le milieu de la hauteur;
^° De mener le plan tangent au cône par le point de rencontre situé à droite.
(Ecole de Saint-Cyr, concoure de 1881.)
^^' Un cône de révolution est limité par un plan perpendiculaire à son nxe. Dans ces 'conditions le cône a les dimensions suivantes : hau- Uur UO»™, diamètre de base 100»"*.
l^pcartie. — On demande de placer ce solide conique de telle sorte que : 1° Son sommet (5, s') soit situé à 50"*°* en avant du plan vertical et à 130"*™ au-dessus du plan horizontal; 2^ SoQ cercle de base soit tangent au plan horizontal ; 3** SoD axe fasse, dans Tespace, un angle de 30^ avec le plan vertical . Nota. —' Parmi les quatre solutions possibles on choisira celle pour la- <liielle Taxe est dirigé en avant et à gauche du sommet. On représentera le cône dans cette position.
£n projection horizontale, Tellipse, projection du cercle de base, sera
déterminée par ses axes; en projection verticale, il suffira qu*elle le soit par
deax diamètres conjugués convenablement choisis.
^partie, — Eclairer le solide par des rayons lumineux tels que (R, R'),
parallèles entre eux et au plan vertical et inclinés à 45<*
sur le plan horizontal.
Déterminer Tombre portée sur le plan horizontal et Tombre propre du solide.
Les constructions relatives aux ombres seront faites en ^ — ^ bleu; les autres, relatives à la mise en place du solide,
seront en rouge.
[Ecole des Ponts et Ckaussées, cours préparatoires, concours de 1889,)
