CHAPITRE II

§ I. — Plan tangent en un point de la surface.

288. Théorème. — Le plan tangent en un point d'une surface conique ou cylindrique est invariable quand le point se déplace sur une génératrice,

La démonstration étant la même pour le cône et pour le cylindre, nous nous bornerons à la donner pour le cône.

Considérons donc une surface conique définie par son sommet S et par une directrice D. Soient M un point quelconque de la surface et C une courbe tracée sur la surface et passant par le point M. Prenons sur la courbe C un point M' voisin du point M, et soient A et A' les points où les génératrices SM et SM' rencontrent la directrice. Si le point M' tend vers M, il est clair que le point A' tend vers A. Mais quand le point M' tend vers M, la sécante MM' tend vers la tangente en M à la courbe C ; pareillement, quand le point A' tend vers A, la sécante AA' tend vers la tangente en A de la directrice ; d'ailleurs, les deux sécantes MM' et AA' atteignent simultanément leurs positions limites respectives. Or, le plan tangent en M à la surface est défini par SM, qui est sa propre tangente en M, et par la tangente en M à la courbe C. Il en résulte que le plan tangent en M est la position limite du plan SMM' quand le point M' se rapproche indéfiniment du

point M. On voit de même que le plan tangent en  est la position limite du plan SâA' quand le point A' se rapproche indéfiniment du point A.

Mais ces deux plans coïncident à chaque instant et, de plus, ils atteignent simultanément leurs positions limites respectives ; donc le plan tangent en M coïncide toujours avec le plan tangent en A.

289. Problème. — Mener le plan tangent en un point donné d'une surface conique ou cylindrique.

Appelons M le point de contact donné du plan tangent inconnu, et soit A le point de rencontre de la génératrice du point M avec la directrice de la surface. Supposons que Ton sache construire la tangente AT au point A à la directrice ; alors, en vertu du théorème précédent, le plan tangent cherché sera défini par la génératrice AM et par la tangente AT.

La difficulté du problème réside donc, comme on le voit, dans la construction de la tangente en A à la directrice. Dans répure ci-contre, la surface est un cône dont le sommet est le

point (*, «') et dont la directrice est un cercle connu par son plan et par son rabattement sur le plan horizontal passant par Thorizontale

{K Assoient Oi le rabattement du cercle

et (a, a') le point rabattu en Ai, de sorte que (m, s'a') est une génératrice du cône. Pour avoir le plan tangent à la surface au point (m, m') situé sur cette génératrice , on observe que la génératrice rencontre la directrice au point (a, a'). La tangente à la directrice, en ce point, est rabattue en k^i ; elle est par suite projetée en (af, dt). Il en résulte que le plan tangent au point (m, m') est déterminé par les deux droites (sa^s'a') et (at^a'l').

klJ^^I !„

'Ai

§ II. — Plans tangents passant par un point donné non situé sur la surface^ ou parallèles à une direction donnée. — Contours apparents.

290. Problème. — Mener à un cône ou à un cylindre un plan tangent passant par un point donné non situé sur la surface.

Il n'est généralement pas possible de résoudre graphiquement ce problème quand la directrice du cône ou du cylindre est une courbe quelconque. Nous supposerons donc que la directrice soit une courbe plane, et nous appellerons P le plan de cette courbe.

Pour fixer les idées, supposons que la surface soit un cône de sommet S, et soit D la directrice de ce cône située dans le plan P.

Proposons-nous de mener à ce cône les plans tangents qui passent par le point M non situé sur la surface. Pour cela, supposons le problème résolu et soit SA la génératrice de contact de l'un des plans tangents cherchés, de sorte que ce plan tangent est déterminé par la droite SA et par le point M. Soit 9 la trace de la droite SM sur le plan P. Si Ion suppose tracée la tangente en A à la directrice, cette droite est située dans le plan tangent en A, c'est-àdire dans le plan ASM, et dans le plan P : elle passe donc par le point <j. Réciproquement, si «rA est l'une des tangentes à la directrice D, menées par le point (r, le plan gSA est un plan tangent à la surface; et comme ce plan passe par le point M, c'est l'un des plans tangents cherchés.

D'après cela :

Règle. — Pour mener par un point M, non situé sur la surface d'un cône^ un plan tangent à cette surface^ on joint le point M au sommet du cône et l'on détermine la trace a de cette droite sur le plan de hase du cône. Par ce point 9 on mène les tangentes 9 A, oB à la base du cône^ et chacune de ces tangentes, associée au point M, détermine l'un des plans tangents cherchés.

Pour que le problème soit possible, il faut ([ue l'on puisse mener du

point (T des tangentes à la base du cône ; s'il est possible, il y a autant de solutions que de tangentes à la base issues du point 9.

291. Rfimarqle. — Dans le cas du cylindre, la règle s'énonce comme il suit :

Pour mener par un point M, non situé sur la surface (Tun cylindre^ un plan tangent à cette surface^ on mène par le point M la parallèle aux génératrices du cylindre et Von détermine la trace <r de cette droite sur le plan de base. Par le point s on m^e les tangentes à la base du cylindre, et chacune de ces tangentes^ associée au point M, détermine run des plans tangents cherchés.

On établit cette règle en raisonnant comme dans le cas du cône ; mais on peut la déduire de celle qui a été donnée dans ce cas en observant que le cylindre est un cône dont le sommet est le point à l'infini dans la direction des génératrices.

292. Application. — Un cône de révolution est défini par son axe qui

est de front, par son sommet et par le demi-angle au sommet ; mener à ce cône les plans tangents passant par un point donné.

Soient (5, /) et («, s'z') le sommet et Taxe du cône auquel on veut

mener les plans tangents passant par le point (m, m^.

Si Ton coupe le cône par le "i* plan de front passant par

Taxe, on obtient deux génératrices dont les projections verticales font avec sfzf le demi-angle au sommet; si donc on appelle V ce demiangle et si Ton mène sW faisant l'angle V avec s^z\ la droite sfa' est la projection verticale de Tune des génératrices ainsi obtenues.

Cela posé, prenons comme base du cône la section par un plan perpendiculaire à Taxe. L'axe étant de front, ce plan est de bout, de sorte que sa trace

ml

!iii L

verticale est une droite dd perpendiculaire à fli! . La ligne de jonction des points (^9 fl) et (m, m') coupe alors le plan de la base au point fff, 0^), et il ne reste plus qu'à mener par ce point les tangentes à la base. Pour cela, on rabat la base et le point (a, (/) sur le plan de front qui passe par Taxe. La base étant un cercle de centre (0, d) et de rayon dd^ se rabat suivant un cercle de centre d et de rayon dd. Le point (9, o^ étant rabattu en vi, les tangentes à la base sont rabattues en <ri6i, 9iCi. Les points h^ et Ci se relèvent en (6, d) et en (c, (/), de sorte que les plans tangents cherchés sont déterminés soit par la droite SM associée à chacun de ces points, soit par les tangentes (a6, </*'), (crc, ff'cO ^^ P^r 1® point (m, id).

293. Problème. — Mener à un cône ou à un cylindre un plan tangent parallèle à une direction donnée.

Ce problème est un cas particulier du précédent : il n'y a qu'à supposer que le point M s'est éloigné à l'inlini dans la direction donnée.

Si alors la surface est un cône, la droite SM devient la parallèle à la direction donnée menée par le point S; par suite <j est la trace de cette parallèle sur le plan de base du cône.

Si la surface est un cylindre, comme le point S et le point M sont à l'infini, la ligne SM est aussi à l'infini et il en est de même du point <i. n suffit donc de trouver la direction du point <r. Pour cela, on observe que dans le cas où la surface est un cône, S<x est l'intersection de tous les plans parallèles à la direction donnée menés par le point S. Par conséquent, lorsque la surface devient un cylindre. S» devient l'intersection de tous les plans qui sont à la fois parallèles à la direction donnée et parallèles aux génératrices du cylindre. Donc, par un point quelconque de l'espace on mènera la parallèle à la direction donnée et la parallèle aux génératrices du cylindre. Ces deux parallèles déterminent un plan Q dont on déterminera l'intersection A avec le plan P : le point a sera le point à l'infini dans la direction A. On mènera alors les tangentes à la base du cylindre parallèlement à A, et on achèvera le problème comme plus haut.

294. ApplifMitlon. — Un cylindre de révolution est défini par son cute supposé horizontal et par son rayon; mener à cette surface un plan tangent parallèle à une direction donnée.

Soit (oz, o'z) Taxe du cylindre. Le plan horizontal mené par cette droite coupe le cylindre suivant deux génératrices dont les projections horizontales, situées de part et d'autre de 02, sont à une distance de oz

égale au rayon du cylin-

dre; soit al la projection horizontale de Tune de ces génératrices, la projection verticale étant, bien entendu, confondue avez oV.

Par un point quelconque ((!>, ci>') menons la parallèle (a>d, (d'(2') à la direction donnée et la parallèle (coA, xJh!) aux génératrices du cylindre ; puis déterminons Tintersection du plan de ces deux droites avec le plan de base du cvlindre. Si l'on prend comme base du cylindre la section par le plan vertical ao perpendiculaire à Taxe, cette intersection est (6c, Ud)^ et il ne reste plus qu*à mener à la base du cylindre les tangentes parallèles à (Ac, Vd),

Pour cela, on rabat la base et la droite (ftc, b'd) sur le plan horizontal passant par Taxe. La base est rabattue suivant la circonférence décrite du point 0 comme centre avec oa comme rayon ; la droite est rabattue suivant /ci; de sorte que les tangentes à la base parallèles à (6c, Vd) seront rabattues suivant les tangentes menées à la circonférence oa parallèlement à /C|. Soient m\U l'une de ces tangentes et wii son point de contact avec la circonférence. Le point m^ se relevant en (m, m'), l'un des plans tangents demandés est déterminé : 1<> par la parallèle (m^f, wig') aux génératrices du cylindre menée par (m, m') ; ^ par la parallèle (mk^ wlk) à la direction donnée menée également par (m, wl).

Dans le cas général oii l'axe est quelconque, on peut remarquer que le problème se ramène au suivant, qui sera résolu ultérieurement :

Mener par la droite (wd, io'd')^ parallèle aux génératrices^ les plans tangents à une sphère quelconque inscrite dans le cylindre.

I. Problème. — Mener à un cône ou à un cylindre les plans tan- !/««<« perpendiculaires à un plan donné.

Imaginons que l'on ait mené une droite quelconque D perpendiculaire au plan donné ; les plans tangents demandés seront alors parall'iesàla droite D. Le probK'me est ainsi ramené à celui qui a été résolu au n^ 293.

Nous allons appliquer ce problème à la détermination des contours opparents des cônes et des cylindres ; mais nous allons donner d'abord la définition et les propriétés des contours apparents d'une surface quelconque.

296. Cdnes et cylindres circonscrits à une surface ; contours apparents. — Si par un point quelconque, S, de l'espace, on mène les tangentes SA, SB, ... à une surface, le lieu S de ces tangentes est une surface conique

appelée cône circonscrit à la surface par le point S. Le Heu des points A, B, ... où ces tangentes touchent respectivement la surface est une ligne C, tracée sur la surface, et qu'on appelle la courbe de contact du cône circonscrit par le point S. En un point quelconque, M, de la ligne C, le plan tangent à la surface est défini : l» par la génératrice SM du cône circonscrit, puisque SM est une tangente en M; 2* par la tangente MT à la ligne C. Le plan tangent au cône circonscrit étant déterminé par les deux mêmes droites, on voit qu'en tout point de la courbe de contact le cône et la surface ont le même plan tangent. Comme, d'ailleurs, tous les plans tangents au cône passent par son sommet, on voit aussi que le cône circomcril à une surface par un point S peut être considéré comme renveloppe des plans tangents menés à la surface par le point S.

Lors({ue le point S est l'œil d'un observateur, les tangentes à la surface issues de ce point peuvent être considérées comme des rayons visuels, et la ligne C prend alors le nom de contour apparent de la surface par rapport à cet observateur. Elle détermine sur la surface deux régions, dont une seule, celle qui est tournée vers l'observateur, est vue par lui, si la surface est opaque ; de sorte que si une ligne quelconque, L, tracée sur la surface, traverse le contour apparent

en M, en ce point elle cesse d'être vue par l'observateur, ou inversement. En d'autres termes, le contour apparent partage cette ligne en deux parties dont la première, située dans la région tournée vers le point S, est vue, tandis que l'autre, située dans la région opposée, est cachée. Toutefois, il peut arriver que la ligne L soit ou tout entière vue ou tout entière cachée, suivant qu'elle est située tout entière sur la région vue ou tout entière sur la région cachée.

Lorsque le point S est un point lumineux, la courbe C prend encore un autre nom : on l'appelle la courbe à'ombre propre relative au point S. Si la surface est opaque, elle sépare sur la surface les points qui sont éclairés de ceux qui ne le sont pas. Quant au cône circonscrit, il prend dans ce cas le nom de cône d'ombre.

Il importe d'observer, d'après ce que l'on vient de voir, que les problèmes relatifs aux cônes circonscrits, aux contours apparents et aux ombres sont, au fond, des problèmes identiques.

Si Ton coupe par un plan P le cône circonscrit à une surface par un point S, la section obtenue s'appelle le contour apparent de la surface sur le plan P, ou V ombre portée parla surface sur ce plan, suivant que le point S est l'œil d'un observateur ou un point lumineux.

Lorsque le point S passe à l'infini dans une direction donnée, le cône circonscrit devient un cylindre circonscrit, et l'on conserve les mêmes dénominations que plus haut pour la courbe de contact et pour la trace du cylindre sur un plan. En géométrie descriptive, l'observateur étant à l'infini dans une direction perpendiculaire au plan horizontal ou à l'infini dans une direction perpendiculaire au plan vertical, il convient de distinguer deux sortes de contours apparents : le contour apparent horizontal et le contour apparent vertical.

On appelle contour apparent horizontal d'une surface la courbe de contact du cylindre vertical circonscrit à la surface, et l'on appelle contour apparent d'une surface sur le plan horizontal la trace horizontale de ce cylindre.

On définit d'une manière analogue le contour apparent vertical et le contour apparent sur le plan vertical.

Par définition, le contour apparent sur le plan horizontal peut être considéré, soit comme le lieu des traces horizontales des tangentes verticales à la surface, soit comme l'enveloppe des traces horizontales des plans tangents verticaux à la surface. Pareillement, le contour apparent sur le plan vertical peut être considéré, soit comme le lieu

des traces verticales des tangentes de bout, soit comme Tenveloppe <Ibs traces verticales des plans tangents de bout.

Ces contours apparents étant relatifs à des observateurs différents,

û'ont d'ailleurs aucune relation entre eux et peuvent ne pas exister

^u se réduire individuellement à des points. En tous cas, quand on

^présente une surface dans le système des projections orthogonales,

on dessine en traits pleins, en général, le contour apparent sur le plan

horizontal et le contour apparent sur le plan vertical. D'ailleurs, le

^ïïtour apparent sur le plan horizontal est la projection horizontale

^^ <*ontour apparent horizontal, et, pour éviter toute confusion, on

^^ine en lignes de construction la projection verticale du contour

W^ï*ent horizontal. On opère d'une manière analogue pour le contour

^P^Tetit vertical, en intervertissant les mots horizontal et vertical.

297. Théorème. — Soient C le contour apparent d'une surface par rapport à un point S et L une ligne tracée sur la surface et traversant It contour apparent en M. Si Von projette la figure sur un plan P et du point S. la projection de la ligne L est tangente au contour appa- Tent sur le plan P au point m, projection du point M.

Soient, en effet, MT et MT les tangentes en M aux deux lignes respectives C et L. Tout revient évidemment à prouver (17) que les

g projections de ces deux

,A droites sont confondues,

// \ c'est-à-dire que les plans

projetant ces deux droites sont confondus. Or, ceci résulte de ce que le plan projetant MT n'est autre chose que le plan tangent en M au cône circonscrit par le point S, et de ce que ce plan tangent contient toutes les tangentes en M à la surface, puisqu'il est aussi tangent à la surface.

Il contient donc MT' et

coïncide avec le plan projetant cette droite.

A.M01UAI. — GéOM. DESCB.

298. Corollaire. — Lorsque deux surfaces sont tangentes entre elles tout le long d'une courbe, leurs contours apparents sur le même plan sont tangents entre eux.

Appelons S et Sj les deux surfaces, et soient : S Toeil de l'observateur ; L la courbe de contact des deux surfaces ; C le contour apparent de la première surface par rapport au point S ; M un point commun aux deux lignes L et C. Au point M y les deux surfaces S et Si ont le même plan

— -^^ tangent par hypothèse ; mais, puisque le point M appartient au contour apparent de S, ce

7 plan tangent passe par S ; donc le point M appartient aussi au contour apparent de Si. Il résulte alors du théorème précédent que si l'on projette du point S sur un plan P, et si

m est la projection de M, la projection de L est tangente en m aux contours apparents de S et de l'i sur le plan P; donc ces deux contours apparents sont tangents entre eux.

299. Contours apparents des cônes et des cylindres. — Lorsque la surface est un cône ou un cylindre, les plans tangents à cette surface menés par un point S passent par une droite (290) ; ils touchent la surface suivant des génératrices, de sorte que le contour apparent par rapport au point S se compose de génératrices ; il en résulte que le contour apparent sur un plan est un système de droites qui sont les droites d'intersection de ce plan avec les plans tangents à la surface menés par le point S.

D'après cela, si Ton projette sur deux plans rectangulaires :

i^ Le contour apparent d'un cône ou d'un cylindre sur le plan horizontal est Vensemble des traces horizontales des plans tangents verticaux ;

2^ Le contour apparent d'un cône ou d'un cylindre sur le plan vertical est Vensemble des traces verticales des plans tangents de bout.

Il ne faut cependant pas perdre de vue que le contour apparent sur le plan horizontal est le lieu des traces horizontales des tangentes verticales menées à la surface, et que le contour apparent sur le plan vertical est le lieu des traces verticales des tangentes de bout ; car il peut

exister des plans tangents verticaux ou de bout sans qu'il existe de coDtour apparent sur le plan horizontal ou sur le plan vertical. Par exemple, si un cône a une génératrice verticale, le plan tangent suivant cette génératrice est bien vertical, mais sa trace horizontale n'appartient pas au contour apparent sur le plan horizontal ; car ce contour apparent se réduit à la trace horizontale de la génératrice verticale.

Il ne faut pas non plus perdre de vue que le contour apparent sur un plan est une enveloppe de traces de plans tangents. Par exemple, si les génératrices d'un cylindre sont verticales, tout plan tangent au cylindre est un plan vertical, mais sa trace horizontale n'appartient pas au contour apparent sur le plan horizontal. Dans ce cas le contour apparent sur le plan horizontal n'est autre chose que la trace horizontale du cylindre, c'est-à-dire, si l'on veut, l'enveloppe des traces horizontales des plans tangents verticaux.

Nous allons donner deux exemples de détermination de contours apparents de cônes et de cylindres.

300. Exemple I. — Déterminer les contours apparents (fun cône dont on donne le sommet^ le plan de la base et Vune des jjrojections de cette base.

Soit («, s') [voir la fig. à la page 228] le sommet du cône et soient (wA, co'A'), ((!)/', <«)'/*') les deux droites qui déterminent le plan de base. Supposons, par exemple, que l'on connaisse la projection horizontale de la base du cône, et que cette projection horizontale soit un cercle de centre o. Tous les plans tangents au cône passant par le sommet, les traces horizontales des plans tangents verticaux passent par le point s et les traces verticales des plans tangents de bout passent par le point /. Mais, en vertu d'une proposition établie plus haut (297), le contour apparent sur le plan horizontal doit être tangent au cercle o ; ce contour apparent est donc constitué par l'ensemble des tangentes menées du point s au cercle o.

Pour avoir le contour apparent sur le plan vertical, il faut mener au cône les plans tangents de bout. Soit donc (<j, (/) (voir n^s 290 et 291) la trace sur le plan de base de la ligne de bout passant par le sommet du cône. Les plans tangents cherchés coupent la base du cône suivant des droites dont les projections horizontales sont les tangentes

au cercle o menées du point a ; comme ces plans tangents sonl de bout, leurs traces verticales sont confondues avec les projections

verticales de ces tangentes. Les projections verticales de ces tangentes étant (^b' et afc\ on a ainsi, suivant ces droites, le contour apparent du cône sur le plan vertical.

301. Exemple II. — Construire les contours apparents d'un cylindre connaissant la direction des génératrices et sachant que la base est un cercle dont on donne le plan^ le centre et le rayon.

Supposons que le plan de base soit déterminé par une horizontale ((o/i, w7i') et par une ligne de front (w/*, w'/^, et soient (o, o') le centre du cercle de base, (oo, o'^^) la direction des génératrices du cylindre.

Pour avoir le contour apparent sur le plan horizontal, il faut mener au cylindre les plans tangents verticaux. Menons donc (295) par fo8, o'8') le plan perpendiculaire au plan horizontal, et cherchons Tintersection de ce plan avec le plan de base du cylindre. Si l'on

rabat le plan de base autour de (wA, w'A'), sur le plan horizontal mené

par cette droite, le point (o, o") se rabat en Oi, la base se rabat suivant la circonférence de rayon donné, ayant pour centre le point Oi , et l'intersection du plan de la base avec le plan vertical mené par (o§, o'S') se rabat suivant OiC Par conséquent, les tangentes à la base parallèles à cette intersection se rabattent suivant les tangentes (/is, e^p menées à la circonférence Oi parallèlement à OiC. En menant alors par les points a et p les parallèles ap et ^q à oo, on obtient les projections horizontales des droites diOL et «I? relevées, c'est-à-dire le contour apparent du cylindre sur le plan horizontal.

Pour obtenir, de même, le contour apparent sur le plan vertical, on mène le plan de bout qui passe par (08, o'ô') et l'on détermine Tintersection de ce plan avec le plan de base du cylindre ; cette intersection projetée verticalement en o'h! est rabattue en OiA. On mène ensuite à la base les tangentes parallèles à cette droite, et les projections verticales de ces tangentes constituent le contour apparent du cylindre sur le plan vertical. Ces tangentes sont rabattues en ki-( et en /imi, parallèlement à OiA ; les points y et wii sont relevés verticalement en -/ et en m! ; donc le contour apparent sur le plan vertical est constitué par les parallèles y^ et mV à o'S menées respectivement par y et par m'.

302. Remarque. — Quand on veut déterminer les contours apparents d'un cône de révolution ou d'un cylindre de révolution, il est commode d'inscrire une sphère dans ces surfaces et d'appliquer la proposition démontrée au n^ 298. En effet, en vertu de cette proposition, le

contour apparent de la surface conique ou cylindrique sur le plan horizontal est tangent au contour apparent de même nom de la sphère inscrite, et la même propriété subsiste pour les contours apparents sur le plan vertical.

§ m. — Plans tangents passant par une droite ouparailêles à un plan donné, — Plans tangents communs.

303. Problème. — Par une droite donnée ^ mener un plan tangent à un cône ou à un cylindre.

Soit D la droite donnée. Tout plan tangent à un cône passe par son sommet ; si donc on peut mener par la droite un plan tangent à une surface conique, ce plan sera défini par la droite D et par le sommet du cône. Le problème est donc généralement impossible, et pour reconnaître s'il est possible, il suffit de voir si la trace, sur le plan de base du cône, du plan passant par D et par le sommet est tangente à la base du cône. Ce n'est que dans le cas de l'affirmative que le problème est possible.

Si, au lieu d'un cône, on avait un cylindre, on raisonnerait absolument de la même manière, en remplaçant le plan passant par D et par le sommet par celui qui est mené par D parallèlement aux génératrices du cylindre.

Dans le cas du cône, le problème est possible en général quand la droite D passe par le sommet du cône. Alors, en prenant un point M sur la droite, on est ramené à faire passer par le point M un plan tangent au cône, problème déjà résolu (290).

De même, dans le cas du cylindre le problème est possible quand la droite D est parallèle aux génératrices du cylindre, et en prenant encore un point M sur cette droite, le problème se ramène au problème, déjà résolu, des plans tangents à un cylindre passant par un point donné.

304. Problème. — Mener à un cône ou à un cylindre un plan tangent parallèle à un plan donné.

Soit P le plan donné. Le plan tangent cherché, si la surface est un cône, sera le plan P, mené par le sommet du cône parallèlement au

PLA>'S TANGENTS AUX CONES ET ALX CYLINDHES 231

plan p. Or, le plan V n'est généralement pas tangent au cône ; donc, le problème est en général impossible pour le cône.

Si la surface est un cylindre, comme tout plan tangent au cylindre

€st parallèle aux génératrices, le problème est impossible si le plan P

n'est pas parallèle aux génératrices. Si, au contraire, le plan P est

parallèle aux génératrices, en menant dans le plan P une droite quel-

œnque a non parallèle aux génératrices, le problème se ramène à un

autre déjà résolu : mener à une surface cylindrique les plans tangents

parallèles à une direction donnée a (293).