CHAPITRE III

PLANS TANGENTS A LA SPHÈRE

^ I. — Plans tangents à une sphère.

316. Problème. — Mener le flan tangent en un point d'une sphère.

Soit (o, &) la sphère donnée représentée par ses contours apparents

sur les deux plans de projection, et soit (m, m') un point pris sur la

surface de cette sphère. En vertu de la propriété du plan tangent à la sphère, le plan tangent au point (m, m') à la sphère considérée est perpendiculaire au rayon {om, o'm'). On obtiendra doncce plan tangent en menant par le point (m, m') le plan perpendiculaire à (om, oW). Dans Tépure ci-contro, le plan tangent est déterminé par riiorizontalo [mh, m'h') et par la ligne de front {mf.

On peut aussi déterminer le plan tangent au moyen des tangentes en {m^m') à deux lignes tracées sur la surface do la sphère. Si Ton prend, par exemple, les tangentes en (m, m') aux deux cercles obtenus en coupant la splière par un plan horizontal et par un plan de front passant par ce

PLANS TANGKNTS A LA SPHÈRE

point, on est encore conduit à déterminer, comme plus haut, le plan tangent par les deux droites [mh^m'h') et [mf^m'f).

317. Problème. — Mener à une sphère les plans tangents parallèles à un plan donné.

Appelons 0 le centre de la sphère donnée et M le point de contact (ie l'un des plans tangents cherchés. Tout revient évidemment à déterminer le point M. Or, si Ton appelle P le plan donné, le rayon OM étant perpendiculaire au plan tangent en M est perpendiculaire au plan P; donc le point M n'est autre que Tun des points de rencontre de la sphère avec la perpendiculaire au plan P menée par le centre 0.

D'ailleurs, pour obtenir les points de rencontre de la sphère et de la

perpendiculaire au plan P menée par le point 0, il suffit de porter sur cette perpendiculaire , à partir du point 0 et de part et d'autre de ce point, une longueur égale au rayon de la sphère, problème qu'on sait résoudre (168).

Dans répure ci-contre, le plan P est déterminé par une horizontale (oA, o'Ii') et par une ligne de front (o/*, o'f*). La perpendiculaire au plan P menée par le centre de la sphère est projetée en {oa^ o'a!)^ et, pour avoir ses points de rencontre avec la sphère, on Ta rendue de front par une rotation autour de la verticale du point 0. On a obtenu ainsi en m\ et en ni les projections verticales des points de rencontre après la rotation ; on en a déduit les points de rencontre (m, w!) et (n, n') avant la rotation par une opération inverse.

Pour terminer le problème, il ne reste plus qu'à mener les plans parallèles au plan P par les points (m, m') et (ri,n'). Dans l'épure, on a déterminé celui de ces plans qui passe par (wi, m!) au moyen

PL Aïs s TANGENTS

d'une horizontale (m6, w!b') et d'une ligne de front {mcy m'c') ; on déterminerait d'une manière analogue celui qui passe par (n, n'). Le problème admet, d'après cela, deux solutions.

318. Problème. — Mener à une sphère les plans tangents qui passent par un point donné non situé sur la sphère.

Soient (o, o') le centre de la sphère représentée par ses contours apparents et {s, sf) le point donné. Il y a une infinité de plans tangents à la sphère passant par le point (*, s') ; tous ces plans enveloppent le cône circonscrit à la sphère par ce point.

On peut se proposer de construire la courbe de contact de la sphère et du cône circonscrit ; de cette manière on a les points de contact de tous les plans tangents passant par (*, s'). D'ailleurs, la courbe de contact est une courbe plane dont le plan n'est autre que le plan

polaire du point (*, s') par rapport à la sphère. La détermination de la courbe de contact se ramène donc à la construction de la section faite dans la sphère par un plan, le plan polaire du point (5, s'). Ce problème sera résolu ultérieurement (Livre III, chap. III), mais il faut néanmoins, pour le résoudre, pouvoir déterminer le plan polaire du point («, 5'). Pour cela, on observe que le cône de sommet (5, sf), circonscrit à la sphère, a ses contours apparents sur les deux plans de projection tangents aux contours apparents de même nom de la sphère (302). On déduit facilement de là les contours appa-^ rents *a, «6, s'c'^ sfd! du cône. Mais si Ton considère les points de la sphère qui sont projetés horizontalement en a et en 6, ces points sont à l'intersection du contour apparent horizontal de la sphère et de la courbe de contact du cône circonscrit par le point (*, s') ; ils sont donc projetés verticalement en a' et en l/; par suite, la droite [ab^alb') est une horizontale du plan polaire du point (*, 5'). On voit de même que (crf, dd') est une

PLANS TANGENTS A LA SPHÈRE

ligne de front du même plan, qui se trouve par suite ainsi complètement déterminé.

Il est bon, du reste, d'observer que ab est la polaire du point s par rapport au contour apparent de la sphère sur le plan horizontal, et que dd' est, de même, la polaire du point sf par rapport au contour apparent de la sphère sur le plan vertical. Cette remarque permet de construire le plan polaire d'un point quelconque par rapport à la sphère, alors même que ce plan polaire ne couperait pas la sphère.

Ajoutons que, dans la ponctuation de l'épure ci-contre, on a supposé les deux corps solides et le cône limité, d'une part au sommet, d'autre part au plan de la courbe de contact.

Rappelons enfin, et cela est visible sur la figure, que le plan polaire d'un point («, *') est perpendiculaire à la ligne {os^ o's').

319. Problème. — Mener à une sphère les plans tangents parallèles à

une direction donnée.

Soient (o, o') le centre de la sphère et (od, o'd') la direction donnée. Il y a une infinité de plans tangents à la sphère parallèles à cette direction ; tous ces plans enveloppent le cylindre circonscrit à la sphère parallèlement à la direction considérée.

On peut se proposer de construire la courbe de contact des deux surfaces, ce qui permet d'obtenir les points de contact de tous les plans tangents parallèles à {od, o'd').

D'ailleurs, la courbe de contact est plane, et son plan n'est autre que le plan perpendiculaire à (od, o'd') mené par le centre de la sphère. On détermine alors facilement une horizontale [ah, a'b') et une ligne de front (crf, c'd') de ce plan, ce

2i6 PLANS TANrtKNTS

qui fournit en même temps les points de la courbe de contact situés sur les contours apparents de la sphère.

Il est aisé, après cela, de construire la projection horizontale et la projection verticale de la courbe de contact. Comme cette courbe est un grand cercle de la sphère, ses projections sont des ellipses dont les grands axes sont égaux au diamètre de la sphère. Le grand axe de la projection horizontale est donc ab et celui de la projection verticale est c'd'. Pour avoir le petit axe de la projection horizontale, imaginons que la courbe de contact ait été rabattue autour de (a^, a'b') sur le plan horizontal mené par le centre de la sphère. La courbe de contact se rabat suivant le cercle de contour apparent de la sphère sur le plan horizontal, un sommet situé sur le petit axe se rabat en e^ et le point (c, c') se rabat en c,. Si donc on joint les points Cj et e,, puis qu'on relève la droite rabattue en Ciod^i, on obtient en e l'un des sommets situés sur le petit axe de la projection horizontale. On en déduit l'autre sommet par symétrie, et Ton détermine d'une manière analogue les sommets situés sur le petit axe de la projection verticale.

Pour l'aire la ponctuation, on a supposé la sphère solide, le cylindre circonscrit transparent, et on a tracé en traits pleins les contours apparents de ce cylindre.

320. Problème.— Mener à une sphère les flans tangents passant par une droite.

En général, pour mener, par une droite A, les plans tangents à une surface S, on circonscrit à la surface S un cône ayant pour sommet un point de a, puis on mène par A les plans tangents à ce cône. On conçoit, d'après cela, que la simplicité de la solution au point de vue graphique doive dépendre du choix du sommet du cône ainsi que du choix du Iplan de base de ce cône. De là, pour le cas oii la surface S est une sphère, diverses méthodes que nous cillons indiquer.

Première méthode. — Elle consiste à prendre comme sommet du cône soit le point de rencontre de la droite avec le plan horizontal mené par le centre de la sphère, soit le point de rencontre de cette même droite avec le plan de front mené également par le centre de la sphère. Comme plan de base du cône, on prend le plan de la courbe de contact avec la sphère.

PLANS TANGENTS A LA SPHÈHE

Soient donc (o, o') le centre de la sphère, o et 8' les projections

de la droite. Prenons, par exemple, comme sommet du cône le point de rencontre (a, a') de la droite avec le plan horizontal mené par (o, o'). Le plan de la courbe de contact étant alors perpendiculaire au rayon horizontal (oa, o'a')^ est vertical ; de sorte que si ab et ac sont les tangentes menées du point a à la circonférence 0, la trace horizontale de ce plan est bc. Il en résulte que le point de rencontre de (S, §') avec la base du cône est projeté en e et en e'.

Pour mener de ce point les tangentes à la base du cône, rabattons cette base sur le plan horizontal qui passe par le centre de la sphère, en faisant tourner autour de (6c, b'c'). Le rabattement de la base du cône est la circonférence décrite sur bc comme diamètre. Celui du point [e^ é) étant ei, les tangentes à la base menées par (e, e') sont rabattues en eiwii et en ei/ii. Il en résulte que les points (m, m') et (n, n') sont les points de contact des plans tangents cherchés, qui sont par suite déterminés par ces points et par la droite donnée.

Pour (|ue le problème soit possible, il faut et il suffit (jue le point ei soit extérieur à la circonférence bc.

méthode. — Elle consiste à prendre comme sommet du cône le point à Tinfini sur la droite. Le cône circonscrit devient ainsi un cylindre circonscrit parallèlement à la droite, et Ton prend, comme base de ce cylindre, le plan de la courbe de contact avec la sphère, c'est-à-dire le plan perpendiculaire à la droite mené par le centre de la

sphère. En conservant les mêmes notations que plus haut, le plan

de base est déterminé par une horizontale {oh^ o'h!) et par une ligne de front (o/*, o/')- ï^ ^st coupé par la droite (3, §') au point (<T, ff'), et, pour mener de ce point les tangentes à la base, on a rabattu autour de (oA, o'A') sur le plan horizontal passant par cette droite. La base est rabattue suivant la circonférence o, et le rabattement du point («i, d'), obtenu d'après la règle du triangle rectangle, est le point œj. Les tangentes à la base sont donc rabattues suivant les tangentes (Timi et (ritii menées du point ffi à la circonférence o, de sorte que les points wii et ni sont les rabattements des points de contact des plans tangents demandés. En relevant ces points, on obtient en (m, m') et en (n, n') les points de contact de ces plans tangents, dont chacun est ainsi déterminé par son point de contact et par la droite (8, 8').

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point «n soit extérieur à la circonférence o. Suivant la position du point di par rapport à cette circonférence, on aura 0, 1 ou 2 solutions.

Troisiôme méthode. — Elle ne diffère des précédentes que par le choix de la base du cône circonscrit. Ce choix résulte des deux propositions suivantes, qu'on démontre dans tous les cours de géométrie analytique :

1^ Lorsque deux quadriques ont les mêmes plans tangents en deux de leurs points communs, elles se coupent suivant deux courbes planes qui sont nécessairement des coniques ;

PLANS TANGENTS A LA SPHÈRE

2° Lorsque deux quadriques sont circonscrites à une même troisième,

^**^* se coupent suivant deux courbes planes. Les plans de ces deux

lourdes passent^ d'ailleurs^ par la droite d'intersection des plans des

^^* covrbes de contact et forment avec ceux-ci un faisceau harmo-

^a.priis cela, prenons comme sommet du cône circonscrit le point

de rencontre (<i, o') de la droite (S, S') avec le plan de front mené par le centre de la sphère. Le plan de la courbe de contact de la sphère avec ce cône est perpendiculaire à la droite de front («ïo, fs'o') et est, par suite, perpendiculaire au plan vertical ; sa trace verticale est donc a'b'.

Considérons, d'autre part, le cvlindre vertical circonscrit à la sphère, c'est-à-dire le cylindre qui a pour base le cercle o de contour apparent sur le plan horizontal. Ce cvlindre et le cône étant circonscrits à la sphère se coupent suivant deux courbes planes.

Les plans de ces deux courbes passentparTintersection des plans des deux courbes de contact ; mais ceux-ci sont des plans de bout ayant pour traces verticales respectives a'b' et c'd' ; leur intersection est donc la ligne de bout projetée verticalement en w' ; de sorte que les plans des deux courbes communes au cône et au cylindre circonscrits passent par cette ligne de bout et sont eux-mêmes de bout. Or, les points e' et f qui se trouvent à l'intersection des génératrices de contour apparent du cône et du cylindre sur le plan vertical, sont évidemment les projections verticales de deux points de Tune des courbes communes. Le plan de cette courbe est donc le plan de bout dont la trace verticale

est c'a)/'.

Ce plan coupe le cône et le cylindre suivant une ellipse projetée horizontalement sur la circonférence o, et c'est celte ellipse que Ton prend comme base du cône. Soit alors (j, gf) le point de rencontre de (3, o') avec la base du cône ainsi choisie. Les tangentes à cette base menées par {g^ g') sont projetées horizontalement en gh et gk, verticalement en g'h' et en g'k!. Chacune de ces droites associée à (8, S') définit Tun des plans tangents cherchés.

Pour avoir les points de contact de ces plans avec la sphère, on remarque qu'ils sont aussi tangents au cône suivant les génératrices respectives (dA, a^A') et («A, o'kf). Ces génératrices rencontrent la courbe de contact du cône et de la sphère aux points projetés verticalement en m' et en^n' ; on en conclut que les points (m, m') et (n. n') sont les points de contact des plans tangents menés par (S, 8').

Le problème admet 0, 1 ou 2 solutions suivant que le point g est intérieur à la circonférence o, sur cette circonférence ou extérieur à cette ligne.

55 II. — Plans tangents communs à deux ou à trois sphères.

321 . Problème. — Mener un plan tangent commun à deux sphères.

On démontre, en géométrie élémentaire, que tout plan tangent commun à deux sphères passe par l'un des centres de similitude et que, réciproquement, tout plan tangent à Tune des sphères, passant par l'un des centres de similitude, est tangent à l'autre sphère. Comme par un point donné on peut mener une infinité de plans tangents à une sphère, on voit que le problème proposé est indéterminé.

Pour le déterminer, on peut assujettir le plan tangent commun à une autre condition; de là les deux problèmes suivants.

322. Problème. — Mener par un point donné un plan tangent commun à deux sphères.

Appelons A le point donné, G et Ci les centres de similitude des deux sphères. En vertu de ce que Ton a dit plus haut (321), les plans tangents cherchés doivent passer soit par le point C, soit par le point Ci. Comme ils doivent aussi passer par le point A, ils doivent contenir, soit la droite AC, soit la droite ACj. D'aileurs, tout plan

PLANS TANGEiNTS A LA SPHÈRE :251

tangent à Tune des sphères, mené par cette droite, est aussi tangent à l'autre sphère, puisqu'il passe par un de leurs centres de similitude ; donc le problème est ramené au suivant, déjà résolu : mener par une droite (AC ou ACi) les plans tangents à une des sphères.

Par chacune des droites AG ou ACi on peut mener jusqu'à deux plans tangents à Tune des sphères ; donc le problème proposé peut admettre jusqu'à 4 solutions.

323. Remarque. — Il peut arriver que le centre de similitude directe des deux sphères ne soit pas dans les limites du dessin. Le problème Présente alors une difficulté provenant de ce qu'il est impossible de joindre ce centre de similitude au point A. On évite cette difficulté au 'ûoyen de la remarque suivante : Si l'on imagine le cône de sommet A ^^'^conscrit à l'une des sphères, tout plan tangent commun aux deux sphères est tangent à ce cône ; il est donc tangent à une sphère quelconque inscrite dans ce cône. Dès lors, on peut remplacer la sphère à laquelle le cône est circonscrit, par une autre sphère inscrite dans ce cône et choisie de telle sorte que l'on puisse tracer la ligne qui joint le P^iiït A au nouveau centre de similitude directe des deux sphères. ^ potirra, par exemple, s'arranger de manière que les deux sphères auxquelles on va mener finalement les plans tangents communs soient ^les ; car de cette manière la ligne droite qui va du point A au centre de similitude directe est parallèle à la ligne des centres des deux sphères.

■'*^'4 . Problème. — Mener à deux sphères un plan tangent commun P^^^^^^de à une direction donnée.

^^ problème est identique au précédent quand le point A s'éloigne

*^ ^^ixiiment dans la direction donnée. On mènera donc les parallèles

^ ^^^te direction par les deux centres de similitude, et, par chacune de

^ ^ï^oites, on mènera les plans tangents à l'une des sphères : ce seront

^^ "Ç^ans tangents demandés.

Q>iand le centre de similitude directe des deux sphères n'est pas ^ans les limites du dessin, on remplace les deux sphères par les cylindres circonscrits parallèlement à la direction donnée, et l'on mène les plans tangents communs à ces deux cylindres. Pour cela, on coupe les deux cylindres, qui sont de révolution, par un plan perpendiculaire à la direction donnée et l'on mène les tangentes communes aux deux

cercles de section. Chacune de ces tangentes et la direction donnée définissent un plan tangent cherché.

325. Problème. — Mener les plans tangents communs à trois sphères.

On démontre, en géométrie élémentaire, que tout plan tangent commun à trois sphères passe par l'un des axes de similitude et que, réciproquement, si Ton mène les plans tangents à l'une des sphères par l'un des axes de similitude, ces plans sont tangents aux deux autres sphères. Il suffit donc, pour résoudre le problème proposé, de mener les plans tangents à l'une des sphères successivement par chacun des axes de similitude. Comme il y a 4 axes de similitude, il peut y avoir jusqu'à 8 solutions, deux pour chaque axe.

326. Application. — Mener les plans tangents communs à deux cônes de révolution de même sommet.

Pour mener les plans tangents communs à deux cônes de révolution de même sommet, on inscrit une sphère dans chacun des cônes, et par le somm^et des deux cônes on mène les plans tangents communs à ces deux sphères.

Il y a avantage à inscrire dans les deux cônes deux sphères égales, parce qu'alors la ligne qui joint le sommet commun au centre de similitude directe est parallèle à la ligne des centres.

Comme on le voit, la seule

"^\5>-^^ difficulté du problème réside

^/ I \^ actuellement dans la détermi-

/^<^ î ^^' nation des sphères inscrites

yf^— — r T i r\ — respectivement dans les deux

cônes.

Pour montrer, encore une fois, comment on peut résoudre ce dernier problème, supposons les deux cônes définis par N<^ \ y^/ ( I j%^^ leurs axes et par leurs demi-

\^ / J^'^^^ ] ^ angles au sommet. Soient Sj^^-,^-c><l.^ -^ {sa^ «'a') et (s6, ^V) les deux

^ ^ axes. Si l'on imagine une

sphère inscrite dans le premier cône et une sphère inscrite dans le deuxième, le plan des axes coupe ces deux sphères suivant deux

PLANS TANGENTS A LA SPHÈRE 253

grands cercles respectivement tangents aux génératrices déterminées parle même plan dans les deux cônes. Les deux sphères sont déterminées en même temps que ces deux grands cercles.

Pour déterminer ces deux grands cercles, rabattons le plan des axes sur un plan horizontal, par exemple. En rabattant sur le plan horizontal qui passe par (a6, cdb')^ le sommet se rabat en Si et les axes se rabattent en Sia et en Sié. Une des génératrices déterminées par le plan des axes dans le premier cône se rabat donc suivant une droite Si^i menée par Si et faisant avec Sia un angle égal au demi-angle au sommet du premier cône ; par suite, le grand cercle déterminé par le même plan dans la sphère inscrite au premier cône se rabat suivant une circonférence ayant son contre sur Sia et tangente à Sj^i. Soit OiCi cette circonférence, .dont on peut prendre le centre arbitrairement sur Sifl. En relevant le point Oi en (o, o'), on a le centre d'une sphère inscrite dans le premier cône ; le rayon de cette sphère est d'ailleurs ^I à Oi^i. On détermine de même une sphère inscrite dans le deuxième cône, et, d'après ce que l'on vient de voir, il n'y a aucune difficulté à <^^ioisir ces deux sphères de manière qu'elles aient des rayons égaux,

^^^ cela revient à inscrire deux circonférences égales dans deux angles

"'^ntiés.

*)27. Application ù la construction d'un trièdre dont ou 'donne les trois dièdres. — Résolvons d'abord le problème suivant :

Etant donnés deux plans P, Q et un point 0, mener par le point 0 un plan faisant rangle V avec le plan P et l'angle Y avec le plan Q.

Soient OA et OB les perpendiculaires

/q\ respectives menées du point 0 sur les

/ \ 0 plans P et Q. Le plan cherché faisant

l'angle V avec le plan P fait l'angle

\ - — V avec la droite OA ; il est donc

\ / /•••••A / tangent à un cône de révolution autour \ / ^^..A^' / de OA et dont le demi-angle au sommet

\ / / «JÇ

^ / est "3 — V. On voit de même qu'il est

langent au cône de révolution autour de OB dont le demi-angle au sommet est -^ — V. Les plans tangents cherchés sont donc les plans

tangents communs à ces deux cônes de révolution de même sommet et, par suite, les plans tangents communs, menés par le point 0, à deux sphères inscrites respectivement dans les deux cônes. Le problème est ainsi ramené à un autre déjà résolu (322). Nous allons donner le détail des constructions et la discussion.

Pour cela, nous appellerons, comme d'habitude. A, B, C les trois dièdres et nous examinerons deux cas, suivant que le nombre des dièdres obtus est pair ou impair.

1® Supposons d'abord que le nombre des dièdres obtus soit pair (0 ou 2). Il est aisé de voir qu'on peut le supposer égal à 0. En effet, si SABG est un trièdre dont les dièdres B et G sont obtus, le trièdrc SA'BC, obtenu en prolongeant l'arête SA au-delà du sommet, a ses trois dièdres aigus. D'ailleurs, le trièdre SA'BC étant coDsti*uit, on a construit par cela même le trièdre SABG.

Supposons donc les trois dièdres aigus et prenons comme plan horizontal le plan de la face c, comme plan vertical un plan perpendiculaire à l'arête SA. De cette façon le plan des deux arêtes SA, SG est représenté par ses traces en PaQ', de telle sorte que Tangle Çyay est égal au rectiligne du dièdre A. Il faut maintenant mener un plan faisant les angles respectifs B et G avec le plan horizontal et avec le plan PaQ'. Gomme on peut faire passer ce plan par un point quelconque de l'espace, nous l'assujettirons à passer par le point (c, c') pris sur aQ'. Menons donc la droite ce' perpendiculaire à xy et c'co perpendiculaire à «Q', puis considérons les deux cônes de révolution ayant pour axes respectifs ces deux droites et pour demi-angles aux sommets