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-r — B et -r -^ G. Inscrivons enlin dans ces cônes deux sphères 2 2 *

dont les centres respectifs sont les points de rencontre des axes avec la ligne de terre : la première sphère a pour rayon cd et le rayon de la deuxième est égal à cuc.

Il s'agit maintenant de mener par le point (c, c') un plan tangent commun à ces deux sphères. Pour cela, prenons les centres de similitude (^. d) et (tji, ff,') des deux sphères, et menons par Tune des droites (cj, c'a') ou (ca,, cVi) les plans tangents à l'une quelconquedes deux sphères ou, mieux encore, les plans tangents au cône à axe vertical. Nous obtenons ainsi quatre plans tangents, d'où il semble résulter (jue le problème admet quatre solutions. Il est aisé de voir qu'il n'en admet qu'une.

PLANS TANGENTS A LA SPHÈRE

Menons, en effet, des points <t et a^ les tangentes à la base du cône à

*xe vertical et observons d'abord qu'il suffit de tracer deux de ces

^ïïgentes, os et (Ti*i, les trièdres obtenus au moyen des deux autres

^^lU symétriques de ceux qu'on obtient au moyen des deux premières.

^ '3 première de ces tangentes correspond un plan sic' qui coupe le

P'^n PatQ' suivant {sc^ sV) ; de même, à la deuxième de ces tangentes

^^^espond un plan Si^iC' qui coupe le plan PaQ' suivant [s^c, sic') ; de

sorte que le sommet du trièdre cherché est, soit le point («, «'), soit le point («,, s[). Si on prend le point (5, s') comme sommet, il est permis de prendre la demi-droite (*c, s'c') comme arête. Alors les deux autres arêtes doivent être sa et sb et non leurs prolongements respectifs ; car les trois dièdres étant aigus, chaque arête se projette sur le plan de la face opposée à l'intérieur de l'angle formé par les deux autres arêtes ; et se devant être située dans l'angle formé par les deux autres arêtes, celles-ci sont nécessairement sa et sb. D'ailleurs, la projection de sb sur le plan de la face ASC est située à l'intérieur de l'angle formé par les arêtes SA et SC, puisque la projection du point (7, a^) est nécessairement située entre s' et c\

Si, au contraire, on prend le point \Si^s[) comme sommet du trièdre, il est permis de prendre la demi-droite (*ic, s'^d) comme arête, de sorte que les deux autres arêtes sont nécessairement Stbi et «lai, puisque leur angle doit comprendre la demi-droite «iC Mais le trièdre dont les arêtes sontsia^, Sibi et {sic^s\c') ne répond pas à la question ; car la projection de (<ti, <ri) sur aQ" ne tombant pas entre s'i et c', la projection de l'arête SB sur le plan de la face ASC ne tombe pas dans l'angle formé par les arêtes SA et SC.

Le raisonnement suppose que le point ci n'est pas situé entre a et c. Dans ce dernier cas, comme les tangentes menées du point aj à la base du cône dont l'axe est vertical sont symétriques par rapport à xy, il y en a une qui rencontre Pa au-dessous de la ligne de terre. En appelant Si ce point de rencontre, on peut prendre le point Si pour sommet du trièdre dont une arête sera toujours {sic,s[c'). Le simple examen des constructions montre alors que la projection de l'arête SB sur le plan de la face ASC ne tombe pas dans l'angle formé par les deux arêtes SA et se.

Donc, en résumé, quand le problème est possible, dans le cas où les trois dièdres sont aigus, il admet une seule solution, qui est obtenue au moyen du centre de similitude interne des deux sphères inscrites.

Il reste à trouver les conditions de possibilité du problème. D'après la discussion qui vient d'être faite, ces conditions s'obtiendront en exprimant que le point <i est extérieur à la base du cône à axe vertical, c'est-à-dire que <xc est supérieur au rayon de cette base. Ce rayon, que nous appellerons r, est égal à cd cotg B. D'autre part ac est déterminé par la proportion

ac cd

qui peut s'écrire

ffC ffti) Ctù

cd we cd 4- wc

et qui donne

tJC = — i •

crf-i-tue

Or, on a évidemment

cd = cd cos B, cw = cd tg A, we = wV cos C =

cd cos G cos A

PLANS TANGENTS Â LA SPHÈRE 2o7

11 en résulte

— ;2 sin A cos B

COS A , sm A cos B

<xc = -r- = ce

, cos L\

cc'[ cosBh 7 )

\ cos A/

cos G\ cos G H- cos A cos B

et la condition de possibilité du problème s'écrit

sin A cos B ^ cd cos B

ce 1 =r >

COS G -t- cos A cos B sin B

Les angles étant aigus, toutes les lignes trigonométriques qui figurent dans cette inégalité sont positives, et, en chassant les dénominateurs, l'inégalité est équivalente à

cos G + cos A cos B < sin A sin B ou à

cos G 4- cos (A -H B) < 0.

Celle-ci, à son tour, est équivalente à

cos G < cos (it — A — B) ;

et comme le premier membre est positif, que de plus A et B sont aigus, il faut, pour qu'elle soit satisfaite, que l'on ait

Tc — (A-f-B)<-^ et A4-B-hG>ir.

Les angles A, B, G étant aigus, la première de ces deux inégalités est une conséquence de la deuxième. Donc, dans ce cas, il y a une seule condition de possibilité du problème, savoir :

A -+- B -+- G > it.

Si les deux dièdres B et G étaient obtus, en exprimant qu'on peut

construire le trièdre dont les angles sont A, it — B, t: — G, on

aurait

2^ Supposons maintenant que le nombre des dièdres obtus soit impair (1 ou 3). Si le nombre des dièdres obtus est 3, on peut construire le trièdre SA'BG, obtenu en prolongeant l'arête SA au-delà du sommet. Dans ce trièdre, le dièdre SA' seul est obtus, de sorte qu'il est permis de supposer qu'un seul des trois dièdres est obtus.

Supposons donc que le dièdre SA tout seul soit obtus, et prenons : comme plan horizontal le plan de la face ASB; comme plan vertical un plan quelconque perpendiculaire à SA. Dans ce système, si Pa((y

ANTOHABI. ^ 6É01I. OBSCR. 17

est le plan de la face ASC, le rectiligne du dièdre est a?aQ'. Eo recommençant alors le raisonnement fait dans le premier cas, on est conduit à mener par les points a et ai les tangentes à la base du cône dont Taxe est cc\ Pour faire la discussion, on observe que si une face d'un dièdre est adjacente à un dièdre aigu et à un dièdre obtus, la projection de la troisième arête sur le plan de cette face n'est pas située dans

l'angle des deux arêtes situées dans le plan de cette face. Par un raisonnement encore pareil à celui qui a été fait dans le premier cas, on voit alors qu'il n'y a pas de solution correspondant à un plan passant par le centre de similitude interne (or, <s'); de sorte que si le problème est possible, il n'admet qu'une solution, qu'on obtient au moyen du centre de similitude externe des deux sphères inscrites. Pour que le problème soit possible, il faut évidemment et il suffit

que aic soit supérieur au rayon du cercle de base du cône à axe vertical

ce', c'est-à-dire qu'on ait

<tic > ce' cotg B.

Or on a maintenant

cd

we

ou

cd

(ne