CHAPITRE III
§ I. — Intersection de deux sphères ; points communs à trois sphères.
511. Interaecilon de deux sphères. — L'intersection de deux sphères^ quand elle existe, est un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la ligne des centres. Ce plan est déterminé quand on en connaît un point, puisqu'il suffit de mener par ce point le plan perpendiculaire à la ligne des centres. D'ailleurs quand on connaît le plan de la courbe d'intersection, la détermination de cette intersection se ramène à celle d'une section plane de l'une des deux sphères, problème déjà résolu.
On peut déterminer cette intersection par points et par tangentes. Pour la déterminer par points, il suffit de couper les deux sphères soit par des plans horizontaux, soit par des plans de front.
Pour trouver la tangente en un point, il suffit de construire Tintersection des plans tangents aux deux sphères en ce point.
Il vaut mieux déterminer les projections de l'intersection en construisant leurs axes. C'est la méthode qui a été suivie pour l'exécution de l'épure ci-après. Les centres des deux sphères sont projetés en (o, o') et en (to, w). Pour déterminer les axes de la projection verticale, on a pris comme plan horizontal le plan de bout mené par oV, et on a rabattu sur le plan de front passant par (o, o').De cette manière, le plan du cercle d'intersection est un plan vertical projeté horizontalement en ûibi dans le nouveau système. On en conclut que le petit axe de la
ANTOMABI. — GÉOH. DESCa. 30
projection verticale est a'6', et que le grand axe, égal en grandeur à fliéi, est diU.
L'épure indique aussi les constructions qu*on a effectuées pour obtenir les points r' et j' situés sur le contour apparent de la sphère
(o, d) sur le plan vertical, ainsi que pour obtenir les points p et q' situés sur le contour apparent de la sphère (to, %J) sur le même plan.
On a construit d'une manière analogue la projection horizontale de Tintersection.
Pour faire la ponctuation, on a enlevé de chaque sphère ce qui est intérieur à l'autre.
512. Points coinmuDs à trois splières. — Lorsque trois sphères se coupent, elles se coupent en deux points symétriquement placés par rapport au plan des centres. Pour obtenir ces deux points on détermine l'intersection des deux premières sphères, puis l'intersection de la première et de la troisième, et l'on prend les points communs aux deux cercles ainsi obtenus : ce sont les points cherchés.
Pour exécuter l'épure on a pris comme plan horizontal le plan des centres, cas auquel on peut toujours se ramener par un rabattement. Les contours apparents des trois sphères sur le plan horizontal ont pour centres respectifs les points a^ b^ c. L'intersection des sphères a et b est projetée horizontalement en pq ; celle des sphères a et c est projetée horizontalement en rs ; de sorte que les points communs aux trois sphères sont projetés horizontalement au point d'intersection m à»pq avec rs. On achève de déterminer les points communs en cher-
chant leurs cotes par rapport au plan des centres. A cet effet on a rabattu le cercle rs qui les contient sur le plan horizontal. Les points cherchés sont ainsi rabattus en rot et en m,, ce qui fournit, en mmi et en mmi, les cotes de ces points.
L'épure n'indique que les projections horizontales.
§ IL — Intersection de deux surfaces de révolution autour du même axe ; points de rencontre d'une droite et d'une surface gauche de révolution.
513. Intersection de deux surfaces de révolution autour du même axe. — Si Ton appelle M un [>oint quelconque de l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes coïncident, il est clair que le parallèle du point M est un parallèle commun aux deux surfaces. Il en résulte que l'intersection de ces surfaces est un système de parallèles. Ces parallèles sont déterminés dès que l'on connait un point de chacun d'eux. Les méthodes employées pour obtenir ces [>oints dépendent de la manière dont les surfaces sont définies.
Lorsque les deux surfaces sont définies par leurs méridiennes situées dans le même plan, on obtient des points communs, et par suite les parallèles communs aux deux surfaces, en prenant les points communs aux demi-méridiennes respectives.
Si les surfaces sont définies d'une manière quelconque, on peut se ramener au cas [précédent en coupant les deux surfaces par un plan méridien.
Enfin, si l'une des surfaces est une surface gauche de révolution, on obtient les parallèles communs en déterminant les points de rencontre de la première surface avec la génératrice rectiligne de la surface gauche. On est ainsi ramené à la détermination des points de rencontre d'une droite et d'une surface de révolution, problème qui a déjà été résolu (278).
Lorsque les deux surfaces de révolution sont quelconques, on peut encore trouver les parallèles communs par un procédé analogue à celui qui a été exposé au n"* 275 pour trouver les points doubles de la méridienne d'une surface de révolution. Supposons en effet que Ton se propose de déterminer les parallèles communs aux surfaces derévo«
lu tien engendrées par 'deux lignes quelconques C et Ci tournant autour du même axe Z. Considérons, pour cela, une droite mobile A Ai,
assujettie aux conditions suivantes : l"" elle s'appuie sur C et sur Ci ; 2* elle demeure perpendiculaire à Taxe. Soit w l'intersection de Taxe avec le plan mené par AA, perpendiculairement à Z, c'est-à-dire le pied sur l'axe de la perpendiculaire commune à l'axe et à la [droite AAi, et soient A et Ai les points de rencontre respectifs de AAi avec C et avec Cl. Il est clair que si A et Ai sont situés sur un parallèle commun aux deux surfaces, le point a> est à égale distance de A et de Ai ; par suite, le milieu de AAi coïncide avec le pied de la perpendiculaire à AAi menée par c». Or, soient M et I le milieu de AAi et le pied de la perpendiculaire menée sur AAi par c», c'est-à-dire le pied sur AAi de la perpendiculaire commune à cette droite et à l'axe. Quand AAi se déplace, elle engendre une surface réglée ; le point M et le point I décrivent deux lignes de cette surface, et si H est un point commun à ces deux lignes, la position correspondante de AAi passe par deux points B et Bi situés sur le même parallèle ; car si l'on mène du point H le plan perpendiculaire à Z rencontrant l'axe au point wi et coupant les lignes C et Ci aux points respectifs B et Bi, le point H est à la fois le milieu de BBi et la projection de wi sur BBi.
514. Méthode de Dalaa pour déterminer les points de rencontre d'une surface gauolie de révolullon et d'une droite. — Cette méthode est une application immédiate des considérations qui précèdent.
Proposons-nous en effet de déterminer les points de rencontre de la droite (ai, cdb') avec Thyperboloïde engendré par la droite {cg^ dg^ tournant autour de l'axe vertical {ozy o'z^. Cela revient, ainsi qu'on l'a déjà vu à plusieurs reprises, à trouver les parallèles communs à cet hyperboloïde et à celui qui est engendré par (ai, a'I/) en tournant autour du même axe. On peut d'ailleurs évidemment remplacer (ai, afl/) par la droite (aiii, a[bi) obtenue en rendant la première de ces deux droites de front par une rotation autour de (oz, o'z').
Appliquons alors la remarque faite plus haut, et considérons la surface engendrée par une horizontale s'appuyant sur (aiéj, a\b\) et sur
INTERSECTIONS DE SORFâCES
{cg^ c'g'). Cette surface est un paraboloïde hyperbolique dont un plan directeur est le plan horizontal et dont l'autre plan directeur, parallèle aux deux directrices, est le plan de front mené par [oz, o'z'). Il y a donc, sur ce paraboloïde, une génératrice de même système que (c^, cy) et qui est verticale. Elle est rencontrée par les génératrice» de l'autre système, c'est-à-dire par les génératrices horizontales ; de sorte
que les projections horizontales des génératrices horizontales passent par un point fixe. Pour obtenir ce point fixe, il suffit de construire les projections horizontales de deux de ces génératrices, celles qui sont projetées verticalement en b\e! et en a'/, par exemple, ce qui donne le point f.
Sur ce paraboloïde hyperbolique le lieu des milieux des portions de génératrices horizontales comprises entre (aiéi, d^b\) et [cg^ c'g') est une droite, dont la projection horizontale 8 est équidistante de aiéi et
ISTERSECTIOX DE DEt'X SURFACES DE RÉVOLUTION 471
de cg. D'autre part, le lieu des pieds des perpendiculaires communes aux génératrices horizontales et à Taxe (o3.oV)a pour projection horizontale le lieu des pieds des perpendiculaires menées du point o aux projections horizontales de ces génératrices, c'est-à-dire la circonférence décrite sur of comme diamètre. Ces deux lignes, la circonférence décrite sur of comme diamètre et la droite S, se coupant en u et en t?, les génératrices du paraboloïde projetées horizontalement en fu et en fv sont celles qui sont situées dans les plans des parallèles communs cherchés. Ces parallèles sont donc décrits : le premier par le point {h. A') ou par le point (m,, m',) ; le deuxième par le point (g^ g') ou par le point fpi, p\).
On a donc en (m, m') et en (p, p') les points de rencontre cherchés de la droite {ab, a!b') avec l'hyperboloïde engendré par (c^, dg').
§ III. — Intersection de deux stir faces de révolution dont les axes sont dans le même plan,
315. Construction des points de riniersectlon. ^ Pour construire l'intersection de deux surfaces de révolution, on considère chaque surface ou l'une des surfaces comme engendrée par ses parallèles et l'on détermine les points de rencontre des parallèles tracés sur l'une des surfaces avec l'autre. Par conséquent, pour obtenir un point quelconque de l'intersection, on détermine un des points de rencontre d'un parallèle de la première surface avec la deuxième; pour obtenir toute l'intersection, on suppose qu'un point décrive une fois la directrice de la première surface et, pour chaque position de ce point, on détermine les points de rencontre du parallèle correspondant et de l'autre surface.
Tout revient donc à déterminer les points de rencontre de la deuxième surface avec un parallèle quelconque, P, de la première. Pour cela, il y a deux cas à examiner suivant que les deux axes de révolution, qu'on suppose dans le même plan^ sont ou ne sont pas parallèles.
lo Si ces axes sont parallèles, on coupe les deux surfaces par le plan du parallèle P ; ce plan coupe la deuxième surface suivant des parallèles dont les points de rencontre avec le parallèle P sont les points demandés.
ip Si les axes ne sont pas parallèles, on coupe les deux surfaces par une sphère auxiliaire passant par le parallèle P et ayant pour centre le point de rencontre des axes. Cette sphère coupe la deuxième surface suivant des parallèles dont les points de rencontre avec P sont les points demandés.
D'ailleurs» dans les deux cas» pour effectuer simplement les constructions auxquelles on est conduit par l'application de la méthode, il
IL 'Ak
est indispensable que le plan des axes soit parallèle à l'un des plans de projection. Si cette condition n'était pas remplie, il y aurait tout avantage, en général, à s'y ramener par un changement de plan, ou autrement.
Dans l'épure ci-dessus, les axes (oz, o'z') et (of, o'f) sont situés dans
le même plan de front, et les méridiennes principales sont projetées verticalement en [i! et en fx/. La sphère auxiliaire passant par le parallèle a'6' de la première surface a pour contour apparent sur le plan vertical la circonférence de centre o' et passant par le point a'. Cette circonférence rencontre fx' en des points tels que (/; au point c' correspond un parallèle de la deuxième surface projeté verticalement en (/rf. Les deux parallèles projetés en a'b' et en c'a! se rencontrent en deux points projetés verticalement à l'intersection m' de afb' et de dd!. Ces deux points appartiennent à l'intersection des deux surfaces.
Pour déterminer leurs projections horizontales, on observe qu'ils sont sur la sphère auxiliaire ; dès lors ils sont sur le cercle déterminé dans cette sphère par le plan horizontal mené par m', cercle qui est projeté en (hk^ h'k). Il en résulte que les points de l'intersection qui sont projetés verticalement en m' sont projetés horizontalement en m et en m^.
n faut observer que le point m! n'est pas toujours la projection verticale de deux points réels de l'intersection. Pour qu'il soit la projection verticale de deux points réels de l'intersection, il faut en effet qu'il soit à l'intérieur du cercle de contour apparent de la sphère auxiliaire sur le plan vertical, puisque les deux points de l'intersection dont il est la projection sont situés sur cette sphère. Le lieu des points m' situés à l'extérieur des contours apparents des sphères auxiliaires correspondantes s'appelle la partie parasite de la projection verticale de l'intersection. Chacun de ces points est la projection verticale de deux points imaginaires conjugués de l'intersection et symétriques par rapport au plan des axes, de sorte que la droite qui les joint est réelle.
516. Tangente en un point de rintersectlon. — On peut obtenir la tangente en un point quelconque de Tintersection, soit en la considérant comme l'intersection des plans tangents aux deux surfaces en ce point, soit en menant par ce point la perpendiculaire au plan des deux normales. C'est la dernière méthode qui est généralement préférable, et c'est celle qui a été adoptée pour construire la tangente au point (m, m') dans la figure précédente. Pour déterminer le plan des deux normales, on a mené la normale en a' à la méridienne \>! et la normale en c' à la méridienne \>!\ ; de sorte que le cône des normales relatif au parallèle de la première surface projeté en a'bf a son som-
met en (/*, f), tandis que le cône des normales relatif au parallèle de la deuxième surface projeté en dd' a son sommet en (çp, ©'). Les normales en (m, rn!) aux deux surfaces sont donc projetées en (m/*, m'f) et en (mç, mV). Comme (/o, f^^) est une ligne de front du plan de ces deux droites, la projection verticale de la tangente en (m, m') à l'intersection est la perpendiculaire m'ff à /"y. Une horizontale du même plan étant (/?, /*'/% la projection horizontale de la même tangente est la perpendiculaire mp à fL
517. Sphères limites et parallèles limiies. — La sphère auxiliaire à l'aide de laquelle on détermine les points de rencontre de la deuxième surface avec un parallèle P de la première, coupe en général la deuxième surface suivant plusieurs parallèles. Quand deux de ces parallèles sont confondus, c'est-à-dire quand la sphère auxiliaire est inscrite dans la deuxième surface, on l'appelle une sphère limite pour cette surface. Le parallèle P s'appelle alors un parallèle limite.
En vertu de cette définition, le rayon d'une sphère limite est égal à la longueur d'une normale menée par le point de rencontre des axes à l'une quelconque des deux surfaces. Suivant qu'on mène une normale à la première ou à la deuxième surface, on a une sphère limite pour la première ou pour la deuxième surface. Il n'y a pas lieu de considérer comme sphères limites celles qui correspondent aux normales confondues avec l'axe de révolution, puisque les parallèles de contact sont des parallèles de rayons nuls.
Supposons que P soit un parallèle limite pour l'une des surfaces et que le parallèle de contact de la sphère limite correspondante et de l'autre surface rencontre le parallèle P en un point M. En ce point la tangente à l'intersection des deux ^rfaces coïncide avec la tangente au parallèle limite. En effet, cette droite est tangente à la première surface puisqu'elle est tangente au parallèle P de cette surface ; elle est de plus tangente à la deuxième surface, puisque le plan tangent en M à cette surface coïncide avec le plan tangent en M à la sphère auxiliaire, et que, d'autre part, la sphère auxiliaire contient le parallèle P. Elle est donc bien tangente aux deux surfaces et, par suite, à leur intersection.
Parmi les sphères dont le centre est le point de rencontre des axes et qui coupent l'une des surfaces suivant deux parallèles confondus, se
trouvent les sphcres qui passent par les parallèles doubles de Tune ou de l'autre surface, quand il y en a. Ces sphères ne sont pas des sphères limites, mais il importe néanmoins de les déterminer et de construire les points qui les fournissent, et qui sont évidemment des points doubles de l'intersection. Les tangentes en ces points s'obtiennent d'ailleurs par la méthode habituelle.
On peut considérer un parallèle limite d'une des surfaces comme un parallèle qui rencontre l'autre surface en deux points confondus. A ce point de vue il existe des parallèles liihites autres que ceux qui sont
fournis par les sphères limites. Si nous revenons en effet à la construction des points de Tintersection qui sont situés sur un parallèle P de la première surface, ces points sont situés deux à deux sur des parallèles de la deuxième sur- V/'^^^^TA':. \n I face. Or, soit Q un parallèle de cette
surface rencontrant en M et en N le parallèle P. Ces points sont symétriques par rapport au plan AOB des deux axes, et ils sont confondus quand les deux parallèles P et Q sont tangents ; de sorte que P et Q sont alors deux parallèles limites du second genre. Il est clair, du reste, que si les deux parallèles P et Q sont tangents, le plan normal à ces deux
parallèles au point oii ils se touchent n'est autre que le plan des axes, et, par suite, leur point de contact est un point commun aux deux méridiennes.
Supposons, pour lixer les idées, (fue le plan des axes soit de front, et soit m' la projection verticale d'un point commun aux deux méridiennes principales, de sorte que (rn, m') est un point de Tintersection des deux surfaces. Au point (m, m') la tan- ^nte à l'intersection étant de bout, la tangente en m' à la projection verticale de l'intersection n'est plus la projection verticale de la tangente. Mais si l'on appelle n' et n', les points de rencontre des axes avec les normales en m! aux méridiennes respectives, la tangente
476 IXTERSECTIOXS DE SURFACES
en m! à la projection verticale de l'intersection s'obtient, dans le cas général, en menant du point w! la perpendiculaire à nVj. Cette construction est donc valable dans le cas où le point m' est un point commun aux deux méridiennes. On s'en assure sans difficulté par des considérations de limites, déjà données dans une autre circonstance (494).
On peut observer, à ce sujet, que si une perpendiculaire au plan dçs axes se déplace en s'appuyant sur l'intersection, comme l'intersection est symétrique par rapport au plan des axes elle la rencontre en deux points symétriques par rapport à ce plan. Si ces deux points, supposés d'abord imaginaires conjugués, deviennent réels, au moment du passage ils sont confondus avec un point du plan des axes et appartenant nécessairement aux deux méridiennes. Si donc on suppose, par exemple, que les axes soient de front, la projection verticale de l'intersection réelle et la partie parasite se rejoignent en des points situés sur les méridiennes. Elles admettent du reste les mêmes tangentes en ces points, de telle sorte qu'elles sont des arcs de la même courbe.
518. Points à rioflnt et asymptotes. — Pour qu'un point de l'intersection s'éloigne à l'infini, il faut que les. parallèles des deux surfaces qui passent par ce point s'éloignent eux-mêmes à l'infini. Ils sont alors à l'infini sur les cônes asymptotes ou, plutôt, sur les cônes des directions asymptotiques relatifs aux deux surfaces. Les directions des points à l'infini dans l'intersection de deux surfaces de révolution sont donc les mêmes que les directions des points à l'infini dans l'intersection des cônes directeurs ou cônes des directions asymptotiques.
En un point à l'infini le plan tangent à une surface de révolution étant confondu avec le plan tangent au cône asymptote (cône qui est à distance finie ou infinie), pour trouver les asymptotes qui correspondent à une direction asymptotique de l'intersection on peut remplacer chaque surface par le cône asymptote correspondant. Ceci revient à dire que la recherche des points à l'infini et des asymptotes de l'intersection de deux surfaces de révolution se ramène à la résolution de ces problèmes pour leurs cônes asymptotes.
519. Points sar les contours apparents. — Si le contour apparent est un parallèle, on obtient les points cherchés à l'aide de la sphère auxiliaire qui contient ce parallèle. Si le contour apparent est une méridienne, on coupe l'autre surface par le plan de cette méridienne
et on prend les points de rencontre de la section avec la méridienne considérée.
Dans tous les autres cas, la détermination des points sur les contours apparents n'est possible qu'approximativement.
§ IV. — Projection de tintersection de deux quadriques de révolution sur un plan de symétrie.
520. Nature de la projection sur le plan des axes. — Supposons que les axes de deux quadriques de révolution soient dans le même plan. Ce plan est alors un plan de symétrie pour les deux surfaces, et, si on le prend comme plan de projection, la projection de l'intersection sur ce plan est une conique. Ceci résulte du théorème suivant déjà rappelé : Si deux quadriques ont un plan diamétral commun par rapport à la même direction de cordes, la projection de leur intersection sur ce plan est une conique.
Proposons-nous alors de trouver la nature de cette conique : il suffit, pour cela, d'avoir le nombre de ses points à l'infini. Mais pour obtenir les points à l'infini de l'intersection de deux quadriques de révolution, on peut remplacer ces deux quadriques par deux autres respectivement homothétiques aux premières. Imaginons donc qu'on remplace les
deux quadriques par deux autres respectivement homothétiques et circonscrites à la même sphère. Appelons Q et Qi ces deux nouvelles quadriques. Comme elles sont circonscrites à la même sphère, elles sont bitangentes en deux points A et B situés sur la droite d'intersection des plans des deux courbes de contact, situés par suite sur une droite perpendiculaire au plan des axes ; il en résulte, ainsi qu'on le démontre en géométrie analytique, qu'elles se coupent suivant deux courbes planes dont les plans passent par AB et forment un faisceau harmonique avec les plans des courbes de contact. Ces deux courbes planes étant situées dans deux plans perpendiculaires au plan des axes, se projettent sur ce plan suivant deux droites qui passent par les points à l'infini de la projection de l'intersection des deux quadriques données sur le même plan ; ces deux droites sont donc les directions des points à l'infini de la projection de l'intersection sur le plan des axes.
Cette projection sera, d'après cela, du genre ellipse, du genre hyperbole ou du genre parabole, selon que ces deux droites seront imaginaires, réelles et distinctes, ou confondues.
En particulier, si Vune des quadriqups est une sphère^ la projection sur le plan des axes est une parabole. En effet, remplaçons la quadrique qui n'est pas une sphère par une quadrique homothétique circonscrite à la sphère. On peut considérer cette quadrique et la sphère comme se coupant suivant deux courbes planes confondues; par suite la projection de l'intersection sur le plan des axes n'a qu'une direction asymptotique qui est la trace, sur ce plan, du plan de la courbe de contact. Donc cette projection est une parabole dont l'axe est parallèle à l'intersection du plan des axes avec le plan de la courbe de contact, trace dont la direction est évidemment perpendiculaire à l'axe de révolution de la quadrique qui n'est pas une sphère.
Lorsque l'une des quadriques est un hyperboloïde, les points à l'infini sur cette quadrique étant les mêmes que sur le cône asymptote, on peut, pour avoir la nature de la projection de l'intersection sur le plan des axes, remplacer cette même quadrique par son cône asymptote. D'après cela :
i« Si les deux surfaces sont des hyperboloïdes, la projection de l'intersection sur le plan des axes est du genre hyperbole; car les cônes asymptotes transportés parallèlement à eux-mêmes de manière qu'ils soient circonscrits à la même sphère se coupent suivant deux courbes planes distinctes;
2** Si l'une des surfaces est un ellipsoïde allongé et l'autre un hyperl)oloïde, la projection est du genre hyperbole également; en effet, prenons comme sphère inscrite celle qui a pour grand cercle Téqualeur de l'ellipsoïde, et circonscrivons à cette sphère un cône égal au cône asymptote de Thyperboloïde. 11 suffit alors de faire la figure pour s'assurer que ce cône circonscrit et l'ellipsoïde se coupent suivant deux courbes planes distinctes.
3° Si l'une des surfaces est un ellipsoïde aplati et l'autre un hyperboloïde, la projection de l'intersection sûr le plan des axes est du genre ellipse; en effet, il suffit de recommencer les opérations du deuxième cas en prenant comme sphère inscrite celle qui a pour grand cercle l'équateur de l'ellipsoïde ; on voit ainsi que l'ellipsoïde et le cône circonscrit à cette sphère ne se coupent pas.
4° Si une seule des deux surfaces est un ellipsoïde aplati, on voit
par les mêmes considérations que la projection est un arc d'ellipse : c est le seul cas où Ton puisse avoir un arc d'ellipse.
52i. Asymptotes de la projection. — Quand la projection de Tintersection sur le plan des axes est du genre hyperbole, il est aisé d'en avoir les asymptotes. Supposons, pour fixer les idées, que le plan des axes soit le plan horizontal, et soit 8 une direction asymptotique de la projection horizontale de l'intersection. Le plan vertical mené par o
coupe les deux quadriques suivant deux coniques r et r, dont les quatre points de rencontre sont deux à deux symétriques par rapport au plan horizontal et se projettent sur S; mais la droite 8 ne rencontre qu'en un point à distance finie la projection horizontale de l'intersection, l'autre point de rencontre étant à l'infini. Il en résulte que deux des points communs aux coniques F et Tj déterminéesdanslesdeux quadriques sont à l'infini; par suite ces deux coniques sont homothétiques, de sorte que le plan vertical mené par S est un plan de sections homothétiques dans les deux quadriques. Si la droite 3 se déplace parallèlement à elle-même, les deux coniques r et Tj se déplacent et leurs deux autres points de rencontre s'éloignent indéfiniment lorsque S se rapproche indéfiniment d'une asymptote a delà projection horizontale de l'intersection. Pour cette position de la droite 8 les deux coniques r et Ti sont homothétiques et concentriques.
Or le lieu du centre de r quand son plan se déplace parallèlement à lui-même est le diamètre conjugué de ce plan par rapport à la première quadrique; ce diamètre est d'ailleurs évidemment dans le plan des axes. Il en résulte que l'asymptote A passe par le point de rencontre des diamètres conjugués du plan vertical mené par o par rapport aux deux quadriques; donc, en menant par ce point de rencontre la parallèle à la direction asymptotique 8, on aura l'asymptote correspondante a de la projection horizontale. On opère de même pour trouver l'autre asymptote.
522. Remarque. — Les considérations développées au numéro pré-' cèdent montrent qu'en déterminant les directions asymptotiques de la projection de Tintersection sur le plan des axes, on a déterminé par cela même des plans qui coupent les deux quadriques suivant des
courbes homothétiques. Dans deux quadriques il y a en général trois couples de plans jouissant de cette propriété. On s'en assure et on les obtient en transportant les cônes asymptotes parallèlement à eux-mêmes de manière à leur donner le même sommet. Ces deux cônes ont alors quatre génératrices communes qui peuvent être associées deux à deux de trois manières, et tout plan passant par deux de ces génératrices est un plan tel que tout plan parallèle coupe les deux quadriques suivant deux coniques homothétiques. Il y a donc bien trois couples de plans jouissant de cette propriété. Un seul, parmi ces trois couples, est composé de deux plans perpendiculaires au plan des axes, quand les axes sont dans le même plan.
523. Théopôine. — Lorsque deux quadriques de révolution ont leurs axes de révolution parallèles^ et que les plans de symétrie perpendiculaires à ces axes coïncident, la projection de leur intersection sur ce plan de symétrie commun ou sur tout plan parallèle est un cercle.
Prenons en effet le plan de symétrie commun pour plan des art/, et pour axe des z Taxe de révolution d'une des surfaces. L'équation de cette surface sera alors de la forme
celle de la deuxième surface sera
A. [(x ~ a)« 4- (y - P)«] -+. AÎ2« -h Dt = 0.
Pour obtenir l'équation de la projection de leur intersection sur le plan des art/, il suffit d'éliminer z, ce qui donne
AAÎ(a?« -h y') — A,A''[(ar — a)« -h (y — ?)*] -h DA; — AT)t = 0. ,
On obtient donc bien ainsi l'équation d'une circonférence.
52i. Application. — Méthode de M. Rouché pour déterminer les points de rencontre d'une surface gauche de révolution et d'une droite.
Proposons-nous, d'après cela, de déterminer les points de rencontre d'une droite (a^, a'6') avec la surface gauche dont l'axe est (os, oV), et dont [cg^c'g^) estunegénératriceprincipale. Pour cela, déterminons d'abord le point de rencontre de (a6, a'U) avec le plan du cercle de gorge de la surface gauche. Puis considérons le point (2, a!) ainsi obtenu comme le pied, sur (aô, a'6% de la perpendiculaire commune à cette droite et à une autre droite verticale. Cette droite verticale
n'est pas déterminée, et il suffit que sa projection horizontale soit un
point de la perpendiculaire à ab menée par a.
Dans répure on a choisi la verticale (oiZi, o\z\).
Imaginons enfin la surface gauche engendrée par (aô, a'b") en tournant autour de (oiZi^o\z\).
Cette surface gauche et la surface proposée remplissant les conditions énoncées plus haut, la projection horizontale de leur intersection est un cercle. On a immédiatement quatre points de ce cercle à l'aide des deux plans horizontaux a'o' et aV. Trois seulement de ces points, les points ^, e, /*, ont été marqués sur l'épure. La projection horizontale de l'intersection des deux surfaces gauches est donc la circonférence passant par les trois points d, e, f. Cette circonférence rencontrant ab en m et en p, on en conclut que les points cherchés sont {m^m!) et (p,pO-
525. Exécution d*une épure. — Intersection de deux quadriques de révolution dont les axes sont dans le même plan de front.
L'une des quadriques est une surface gauche à axe vertical (a, o'z') ; elle est définie par son axe et par une génératrice principale (G, G'). L'autre est un ellipsoïde de révolution allongé défini par sa méridienne principale b'p'p^a'-/^ et dont l'axe est (a8, a'8'). Les axes se rencontrent donc au point (a, a').
Détermination d'un point de V intersection. — Prenons un point (9^ 9') sur la génératrice (G, G') de la surface gauche, et cherchons un
ANTOHARI. — GÉOM. DBSCR.
482 INTERSECTIONS DE SUKFACES
point de l'intersection situé sur le parallèle du point (^, g'). Pour cela, cherchons d'abord les projections du parallèle, puis décrivons une sphère auxiliaire passant par ce parallèle et ayant pour centre le point de rencontre (x, a!) des axes. Le contour apparent de cette sphère sur le plan vertical est la circonférence de centre a' et passant par les points ^i et ^^ ; elle rencontre la méridienne de Tellipsoîde aux points p' et / auxquels correspond un parallèle projeté verticalement en PY ®^ qui ^t un parallèle commun à l'ellipsoïde et à la sphère auxiliaire. Ce parallèle et le parallèle du point [g, cf) se coupent en deux points : l'un quelconque de ces points, (m, m') par exemple, est l'un des points cherchés.
Tangente au point (m, m'). — C'est la perpendiculaire menée par ce point au plan des deux normales. La normale à l'ellipsoïde au point projeté verticalement en y rencontre Taxe de cette surface au point (o, o') ; la normale à l'ellipsoïde au point (m, m!) est donc projetée en (mû, m'ô'). La normale à l'hyperboloïde au point (j, g') est perpendiculaire à la génératrice (G, G') qui est de front ; elle est donc projetée verticalement suivant la perpendiculaire à G' menée par le point ^ et rencontre l'axe de l'hyperboloïde au point (a, 81). Il en résulte que S'8', est la projection verticale d'une ligne de front du plan des deux normales et, par conséquent, que la tangente en m' à la projection verticale de l'intersection est la perpendiculaire m'i! menée à o'SJ par le point m'.
Une horizontale du plan des deux normales est celle qui est projetée verticalement en 8if et horizontalement en «/; donc la tangente en m à la projection horizontale de Tintersection est la perpendiculaire mt menée à ^l par le point m. Ainsi la tangente à Tintersection au point (m, m') est (mi, mit').
Points sur les contours apparents, — Les points situés sur les contours apparents verticaux sont les points de rencontre des méridiennes principales ; ils sont projetés en (a, a'} et en (6, b').
Les points situés sur le contour apparent horizontal de Thyperboloïde s'obtiennent par la méthode générale au moyen de la sphère auxiliaire qui passe par le cercle de gorge ; ils sont projetés en (c, &) et en (ci, c').
Les points situés sur le contour apparent horizontal de Tellipsoïde ne peuvent être obtenus qu'approximativement et après le tracé de la
484 IXTEBSECnOXS de SUftFACES
projection verticale. La courbe de contact du cylindre vertical circonscrit à rellipsoîde est située dans un plan de bout ; la trace verticale de ce plan rencontre la projection verticale de l'intersection des deux surfaces en un point dont la ligne de rappel fournit les points situés sur le contour apparent en projection horizontale.
Ligne des points doubles en projection horizontale. — On Tobtient par le procédé ordinaire en cherchant Tintersection des plans de contour apparent horizontal : c'est une ligne de bout dans le cas actuel.
Parallèles limites. — H n'y a ici qu'un parallèle limite pour l'hyperboloide. Pour l'obtenir, il faut mener du point (x, af) une normale à l'hyperboloîde. Une de ces normales étant perpendiculaire à la génératrice de front (G, G') est projetée verticalement suivant la perpendiculaire à G' menée par oc'. Son pied est projeté en (n, n';, et, si on l'amène dans le plan de front de Taxe (2, «x'zO par une rotation, elle est projetée en (»it, a/n,'}. La' sphère limite correspondante a donc pour rayon i^n[ ; elle coupe l'ellipsoïde suivant un parallèle projeté verticalement en iz/d' et qui rencontre en deux points {d^ d^ et {di, d') le parallèle du point (n, n% c'est-à-dire le parallèle de contact de l'hyperboloîde et de la sphère limite. Ces deux points sont ceux qui sont situés sur le parallèle limite, et la droite xi^d' est tangente en (f à la projection verticale de l'intersection.
Points à l'infini et asymptotes de la projection verticale. — En vertu de ce qui précède (520), la projection verticale de l'intersection est un arc d'hyperbole. Pour obtenir ses directions asymptotiques, considérons la sphère inscrite dans l'ellipsoïde suivant l'équateur, et circonscrivons à cette sphère un cône égal au cône asymptote de l'hyperboloîde. Le contour apparent de ce cône sur le plan vertical se compose de deux tangentes au contour apparent sur le plan vertical de la sphère inscrite suivant l'équateur de rellipsoîde; l'une de ces tangentes est parallèle à G', et elles se coupent au point o'. On en conclut que pY et pi^i sont les directions asymptotiques de la projection verticale.
Cherchons l'asymptote parallèle à p'q' par exemple. Pour cela, prenons les diamètres conjugués de pY dans chacune des deux méridiennes, et, par le point de rencontre, o^ de ces deux droites, menons la parallèle &h' à p'q'; nous aurons ainsi l'asymptote cherchée, et on obtiendrait de même celle qui est parallèle à p\q[.
Ponctuation. — Pour faire la ponctuation, on a représenté le solide commun aux deux corps supposés pleins.
i. Construire rîntersection d'une sphère et d*un cône de révolution dont Taxe est dans le plan de front mené par le centre de la sphère. Trouver la nature de la projection verticale de Tintersection.
2. On donne un cercle dans un plan de front et deux droites situées dans le même plan. Le cercle en tournant successivement autour des deux droites engendre deux tores ; construire l'intersection des deux surfaces, et trouver la nature de la projection verticale de cette ligne.
3. Un tore à axe vertical est défini par son axe et par son contour apparent sur le plan vertical. Par le point a' le plus à gauche du cercle de gauche on mène la tangente supérieure au cercle de droite, et au point s\ autre que a', où cette tangente rencontre le cercle de gauche on mène la tangente à ce cercle. On prend enfîn le point ^ comme sommet d*un cône de révolution dont les génératrices principales sont les deux tangentes considérées. Construire Tintersection du tore et du cône et trouver les points remarquables de Tintersection.
A. Un cône et un cylindre de révolution ont leurs axes perpendiculaires
entre eux dans le même plan de front. L^axe du cône est {os, o's') et son contour apparent sur le plan vertical est ose ; l'axe du cylindre est (au), aW) et son rayon est connu. Intersection des deux surfaces, points remarquables^ nature de la projection verticale de cette intersection et ligne des points doubles en projection horizontaie.
5. On donne un triangle ABC. On fait tourner AB autour de AC et AC autour de BC. Intersection des deux cônes de révolution ainsi définis.
6. On donne un parallélogramme ABCD dans le plan horizontal. On fait tourner AB autour de CD et autour de BD. Intersection des deux surfaces de révolution ainsi engendrées.
7. Deux ellipses doublement tangentes situées dans le plan vertical de
projection tournent, l'une autour de son grand axe, et Tautre autour de son petit axe. Intersection des deux ellipsoïdes ainsi engendrés.
8. Intersection de deux cylindres de révolution de rayons respectifs r et r', dont les axes sont deux droites rectangulaires du plan horizontal.
9. Une sphère a son centre sur une génératrice d*un hyperholoîde de révolution à axe vertical et passe par un point donné de cette génératrice. Construire Tintersection des deux surfaces.
10. Deux cônes de révolution engendrés par la même droite ont leurs axes parallèles au plan vertical. Cionstruire leur intersection .
11. Construire Tintersection de deux cônes de sommets donnés circonscrits à la même sphère.
12. Par un point B situé dans le plan horizontal on mène les deux tangentes Bâ et fiC à une ellipse située dans le même plan. Construire l'intersection des deux surfaces obtenues en faisant tourner Tellipse autour de AB et AB autour de BC.
13. Cadre 27«» sur 44*». — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre, à23«» du bord inférieur.
Représenter par ses deux projections la
s^ y partie, extérieure à une sphère donnée, du
/ solide compris entre un hyperboloïde de ré-
I ^""t volutionà une nappe, son cône asymptote, un
plan horizontal à lacoteO'^,200 et le pian horizontal de projection.
L'hyperboloïde a son axe (j, s!) vertical, à
\ 0«»,140 du plan vertical de projection et au
>^--rv?-{-^-^— ^^ milieu de la feuille ; son collier, dont la cote
[ \ T^\s ' ^ vaut 0™, 120, et sa trace horizontale ont res-
\ \ \ / / pectivement des rayons égaux à O^jOSO et à
\^ \^ y La sphère dont le centre (o, o') se trouve
^~'"' sur le plan de profil conduit par Taxe de Thy-
perboloïde à 0°^,198 du pian vertical et à l)°^,102 du plan horizontal passe par le sommet (5, s') du cône asymptote.
On indiquera à l'encre rouge les constructions employées pour déterminer un point quelconque des lignes d'intersection de la sphère avec l'hyperboloïde et son cône asymptote et les tangentes en ces points.
(R. Malloizel.)
14. Cadre 27'="^ sur 42«™ . — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu.
Un tore dont Taxe (o, o'ï) est vertical, œta = u)y, wo = iO^^'jS,
est engendré par une circonférence (c, &) située / iz/ dans le plan de front passant par Taxe; son
rayon est de 4«™, et o'cf = 6«™. Le centre c/ est à S^»^ de la ligne de terre.
Une sphère dont le centre est sur la verticale passant par le point (c, c') est tangente au tore au point (d, d') et en un point de -la circonférence cj.
On demande : !<» de trouver les projections de Tintersection de la sphère et du tore ; 2<» de représenter le tore entaillé par la sphère.
R. Malloizel.)
15. Cadre 27*=™ sur 42«™. — Ligne de terre parallèle aux petits côtés du cadre et à 16*^™ du bord inférieur.
a?A = l«a ; AB = BC = CA = 25«» ; j|p = 4«» ; qc =z 3«».
Un tétraèdre régulier repose par sa base ABC sur le plan horizontal.
Un cône de révolution a pour sommet le point A et pour base la circonférence inscrite dans le triangle SBC.
Un hyperboloïde de révolution a pour axe la verticale qui passe par le sommet S et pour génératrice la droite du plan ASC qui se projette suivant p^.
Trouver la projection horizontale de l'intersection du cône et de Phyperboloïde^ et représenter la partie du tétraèdre supposé plein extérieure aux deux surfaces précédentes .
(R. Malloizel.)
Ji.
16. Cadre 27«" sur 42«". — Ligne de terre parallèle au petit côté du
cadre et au milieu.
Xià = wy, 0)0 = 10*°,3, ti>o' = 8«", oV = 4«°», c'd' = 6«°» ; aV tangente au cercle c' en a' sur ws' ; f'sf tangente au cercle c' et parallèle à xy.
Un tore a pour axe la verticale (o, toz ' et est engendré par le cercle (c, cf) situé dans le plan de front passantpar l'axe. Un cône de révolution a pour axe la droite [sc^ s'd) et pour méridienne principale les droites aV et fs'.
On demande les projections de Tintersection du tore et du cône.
KO
Représenter le tore entaillé par le cône.
Développement du cône et de la courbe d'intersection.
(R. Malloizel),
17. Cadre : 27*™ sur 42«™. — Ligne de terre parallèle au petit côté du
cadre et au milieu.
Un tore a son axe vertical (o, oj^) ; to est au milieu de la feuille, coo = 10*"^; il est engendré par une circonférence (c, cf) de rayon cfaf = S®"* situé dans le plan de front FF passant par Taxe, o'n» = ?*■■, o'cf = 6»™ .
Un cône de révolution a son axe dans le plan de front FF ; la méridienne principale du cône se compose des deux droites o's' et s^b' (o's' est la tangente menée de o' au cercle cf ; sfb' est perpendiculaire à la ligne déterre). La projection verticale de Taxe est ^d.
On demande : 1<> de trouver les projections de l'intersection du tore et du cône ; 2» de représenter le cône limité au plan horizontal et entaillé par le tore. (R. Malloizel.)
zf\
18. Cadre 27*°^ sur 42«'». — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu.
Un parabololde de révolution dont Taxe (o, tùz') est vertical, xin = coy,
OU) = i0«",5, est engendré par une parabole située dans le plan de front £E. La projection verticale f du foyer de la parabole est telle que mf = 10«™, la projection du sommet est en o', fa' = 2«".
On considère le point (5, s') situé sur le parallèle du parabololde dont le plan passe par f et tel que 0^ fait 45<^ avec œy. On mène le plan tangent en ce point au parabololde et on détermine sa trace verticale ap ; dans ce plan on mène la droite {sb, s'b') telle que (ab = 2®". On trace une circonférence de rayon 4°™,3 tangente à aP au point b' et en dessous. Cette circonférence située dans le plan vertical est la base d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite [sb, sfb') .
On demande : 1° de trouver les projections de l'intersection du parabololde et du cylindre ; 2<' de représenter le parabololde entaillé par le cylindre et limité au plan horizontal. (R. Malloizbl.)
-IJS Lk
Il
H so K
19, Cadre 27«« sur 42«». — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu. a>y = uxc.
Un hyperbololde de révolution à une nappe a pour axe la verticale
(o, co^), 0)0 = i0«",5. Son centre est le point (o, o'), u)o' = 9«". Le cercle de gorge a pour rayon oa = 3®". La génératrice (G, G') fait un angle de 45o avec le plan horizontal.
Un cône de révolution a son sommet en (5, s*) ; le point *' est sur Gi et <ss' = 10«"». L'axe du cône est dans le plan de front passant par Taxe de Thyperboloîde. La méridienne principale du cône se compose de la verticale (s, s'E') passant par le sommet du cône et de la droite (5D, ^'D') parallèle à la droite (G, G'). La projection verticale de l'axe du cône est la bissectrice *'K' de rangle obtus EVD'.
On demande les projections de Tintersection du cône et de la surface gauche de révolution. On représentera le solide commun, qu*on limitera
au plan horizontal et à un plan horizontal de cote 45®".
On fera la construction d'un point quelconque et de la tangente en ce point, la construction des points sur les contours apparents et la construction des asymptotes. (R. Malloizel.)
20. intersection d'une sphère avec un cône de révolution droit.
L'épure servant de composition de dessin devra être passée à Tencre de Chine.
{Ecole den mines de Saint-Etienne, concours supplémentaire 1890.)
21. Pénétration d'un cône de révolution dont Taxe est parallèle à LT,
de sommet (s, s'), dans un cône de révolution dont Taxe est vertical ; les axes des cônes se rencontrant.
Tangente à l'intersection.
Développement des surfaces.
Représenter les deux cônes par des génératrices équidistantes.
Dégager et figurer à part le solide commun.
Passer toute l'épure à l'encre de Chine.
(Ecole des mines de Saint-Etienne, concours de i893.)
22. Sphère et cylindre de révolution. — Une sphère a pour centre le point (o, o'). Son rayon est égal à ôô""*. Un cylindre de révolution a pour axe la droite(mn, mV). En projection
C3jr-^ 2C0 horizontale le point m
*"i '-* coïncide avec le point o ;
en projection verticale le point m' est à 10"" audessus du point o'. Le rayon du cylindre est déterminé par la condition que le cylindre soit tangent à la sphère. La génératrice de contact sera donc confondue, en projection horizontale, avec la droite mn. 11 y aurait deux solutions : on choisira celle qui répond à un point de contact situé au-dessus de Téquateur.
On demande de déterminer rintersection des deux surfaces et de représenter la sphère seule entaillée par le cylin-
1 dre.
(Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires, concours de i888.)
23. Un cylindre de révolution a pour axe la droite horizontale (ab, a'V) ;
il est tangent au plan horizontal et il est limité par deux plans de section droite passant par les extrémités (a, a') et (&,&'] de Taxe.
Un cône, également de révolution, a pour sommet le point (f, s') situé sur le plan horizontal ; son axe passe par le point (o, o') milieu de Taxe du cylindre et il est, lui aussi, tangent au plan horizontal. En projection honzontale, les axes des deux surfaces sont perpendiculaires l'un sur Tautre.
On demande de chercher IMntersection des deux surfaces et de représenter le cylindre seul en supposant le cône enlevé après avoir fait son entaille dans le cylindre.
L*épure devra indiquer la marche suivie pour trouver un point courant de Tintersec-
.Ciulré Z*Q2^ J
tion et la tangente en ce point. Elle comportera également les constructions faites pour trouver les points les plus remarquables de Tintersection.
{(Ecole den Ponts $t (haussées, cours préparatoires, concours de 1890.)
24. Une sphère de 65™°^ de rayon a son centre situé à 100"°^ de chacun des plans de projection.
Un cylindre de révolution, de 50>^>* de rayon, a pour axe une droite dont la projection horizontale passe par la projection horizontale du centre de la sphère ; de plus^ le cylindre est tangent intérieurement à la sphère en un point situé plus haut que le centre de cette dernière ; enfin cet axe fait avec le plan horizontal un angle de 45« et avec le plan vertical un angle de 30^, ce qui achève de déterminer sa position.
On demande :
jo De chercher l'intersection des deux surfaces ;
2<> De représenter le cylindre seul entaillé par la sphère ; ce cylindre sera limité par deux plans horizontaux choisis à volonté.
(Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires , concours de 1892.)
25. Un cône de révolution repose par sa base, qui est un cercle, sur le plan horizontal. Ses dimensions sont les suivantes : diamètre du cercle de base, 110™" ; hauteur, 130™™.
La circonférence de base est tangente à la ligne de terre.
Une sphère de 100™™ de diamètre a son centre situé dans un des deux plans méridiens du cône inclinés à 45^ sur le plan vertical ; peu importe lequel. Ce centre est situé à 35™™ au-dessus du plan horizontal et à 15™™ de Taxe du cône ; il est plus éloigné du plan vertical de projection que n'en est cet axe.
On demande, après avoir cherché les intersections des surfaces en présence, savoir : cône, sphère et pian horizontal, de représenter le solide intercepté entre ces trois surfaces.
(Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires, concours de 1893,)
26. On prendra comme ligne de terre le petit axe de la feuille.
Un tétraèdre régulier (SABC, S'A'B'C) repose par la face (ABC, A'B'C) sur le plan horizontal. Cette face a pour centre le point S : a? = — 2"™, y = 10«™, et pour sommet le point A : a? = — 11"™, y = 10=™.
On considère :
!• Le cône de révolution ayant pour sommet (A, A') et pour base la circonférence inscrite dans la face opposée (SBC, S'B'G') ;
2° La surface gauche de révolution engendrée par les arêtes (SB, S'B'), (SG, S'C) en tournant autour de la verticale menée par le centre de la face (SBC, S'B'C).
Représenter dans les deux projections, le solide commun au cône et à
rhyperboloïde.
(Ecole normale, concours de 1885.)
