INTERSECTION D UN CONE OU D'UN CTLINDRE AVEC UNE SURFACE DE RÉVOLUTION

§ I. — Surface de révolution et cône.

495. Déterminatioii d'un point de Tinter section. — Il y a deux cas à examiner suivant que le sommet du cône est sur Taxe ou n'est pas sur Taxe.

Dans le premier cas, nous supjyoserons que Von connaisse la méridienne de la surface. On obtient alors un point quelconque de Tintersection en déterminant l'un des points de rencontre d'une génératrice du cône avec la surface de révolution. Ce problème a été résolu au n^ 278.

Dans le second cas, nous supposerons que la directrice du cône est une courbe plane située dans un plan perpendiculaire à Vaxe. On peut du reste toujours se ramener à ce cas en construisant d'abord, s'il y a lieu, la section faite dans le cône par un plan perpendiculaire à l'axe de la surface de révolution. Pour obtenir alors un point de l'intersection, on détermine l'un des points de rencontre du cône avec un parallèle de la surface. A cet effet on considère le cône auxiliaire qui a pour base ce parallèle et pour sommet celui du cône donné. Ces deux cônes ont des génératrices communes qu'on détermine en les coupant tous les deux par le plan de base du cône donné, plan qui coupe le cône auxiliaire suivant un cercle. Chacune de ces génératrices rencontre le parallèle en un point qui appartient à l'intersection.

Lorsque la directrice du cône donné est un cercle, au lieu de mener un cône auxiliaire par le parallèle, il est plus avantageux de couper la surface et le cône donné par le plan du parallèle. Ce plan coupe le cône donné suivant un cercle dont les points de rencontre avec le parallèle sont des points de l'intersection.

496. Construction de rintersecUon. — Supposons d'abord que le sommet du cône soit sur Taxe. Pour construire l'intersection, on suppose qu'un point M décrive une seule fois, et dans un sens déterminé, toute la directrice du cône ; on détermine pour chaque position du point M les points de rencontre de la surface avec la génératrice du cône qui passe par M, et on joint ces points dans Tordre oii on les obtient.

Supposons maintenant que le sommet du cône soit quelconque. Pour construire l'intersection, dans ce cas, on suppose qu'un point M se déplace sur la directrice de la surface de révolution, et décrit cette directrice une seule fois dans un sens déterminé; on détermine, pour chaque position du point M, les points de rencontre du cône avec le parallèle du point M, et on achève comme plus haut.

497.Taag6nte en un point courant de rintereection. — La tangente en un point quelconque de l'intersection s'obtient en construisant l'intersection du plan tangent au cône et du plan tangent à la surface en ce point. On peut encore mener par ce point la perpendiculaire au plan des normales aux deux surfaces. Ceci suppose, bien entendu, que les plans tangents aux deux surfaces sont distincts.

498. Parallèles limites. — On appelle ainsi les parallèles de la surface de révolution qui sont tangents au cône. Voici comment on peut, théoriquement, parvenir à les déterminer : Soient OZ l'axe de la surface de révolution, P un parallèle limite

et A son point de contact avec le cône. Puisque le parallèle est tangent en A au cône, la tangente AB au parallèle est tangente au cône. Il en résulte que la normale AN menée en A à cette surface est dans le plan perpendiculaire à AB mené par A, c'est-à-dire dans le plan du méridien qui passe parle point A; d'autre part, si SA est la génératrice du cône qui passe par A, la normale est dans le plan normal au cône suivant SA ; elle est donc à l'intersection de ce plan normal et du plan méridien qui passe par A.

D'après cela, imaginons que par chaque génératrice du cône on mène le plan normal au cône, que l'on prenne le point de rencontre I

INTERSECTION d'uN CONE ET d'oNE SURFACE DE RÉVOLUTION 449

de ce plan avec Taxe de la surface de révolution et que l'on mène par ce point la perpendiculaire IK à la génératrice du cône. Quand la génératrice varie, le pied K de cette perpendiculaire sur la génératrice décrit une ligne L tracée sur la surface du cône. Les points de rencontre de la ligne L et de la surface de révolution sont les points analogues au point  et fournissent les parallèles limites demandés.

Le problème se simplifie quand le point S, sommet du cône, est sur Taxe de révolution OZ. Dans ce cas en effet, si P est un parallèle limite et si  est le point de contact de ce parallèle et du cône, le plan normal au cône suivant la génératrice SA passe par l'axe OZ. On mènera donc par OZ les plans normaux au cône, et on prendra les points de rencontre de chaque génératrice d'incidence avec la surface de révolution. A chacun de ces points correspond un parallèle limite.

Ajoutons que si un point A de l'intersection est fourni par un parallèle limite, la tangente en A à ce parallèle étant située à la fois dans le plan tangent à la surface de révolution et dans le plan tangent au cône, coïncide avec la tangente en A à l'intersection des deux surfaces.

499. Antres parallèles remarquables. — Parmi les parallèles de la surface de révolution autres que les parallèles limites, il y a lieu de distinguer ceux qui passent par le sommet du cône ou qui rencontrent une génératrice multiple de cette surface. Ces parallèles n'existent que dans des cas particuliers; quand ils existent, leur détermination résulte de la définition. Il y en a au plus un de la première espèce, et il est situé dans le plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet du cône; le nombre des autres dépend du nombre des points de rencontre de la génératrice multiple du cône et de la surface de révolution : il en passe un par chacun de ces points.

Si un parallèle passe par le sommet du cône, ce point est un point double de l'intersection, et les tangentes sont évidemment les génératrices du cône situées dans le plan tangent à la surface de révolution au sommet du cône.

Si un parallèle rencontre une génératrice multiple du cône, le point de rencontre est un point multiple de l'intersection, et les tangentes en ce point s'obtiennent par la construction ordinaire (497).

500. Génératrices limites. — On appelle génératrices limites les génératrices du cône tangentes à la surface de révolution. Ce sont les

ANTOXAM. » OéOM. DBSCR. 29

génératrices cQmmunes au cône donné et au cône de même sommet circonscrit à la surface.

Lorsqu'un point M de l'intersection est situé sur une génératrice limite, la tangente à l'intersection en ce point coïncide avec la génératrice limite, parce qu'elle est contenue à la fois dans les plans tangents en M aux deux surfaces. Il n'en est plus ainsi quand ces deux plans tangents coïncident; alors le point M est un point singulier de l'intersection.

501. Autres génératrices remarquables. — Quand la surface de révolution a un parallèle double, ou que la méridienne a un point double situé sur l'axe, il peut exister des génératrices du cône rencontrant le parallèle double ou passant par ce point double de la méridienne. Il est indispensable de déterminer ces génératrices quand elles existent; leur détermination résulte d'ailleurs immédiatement de la définition. En raisonnant comme au n® 499, on voit aisément comment on peut obtenir la tangente en un point fourni par l'une de ces génératrices.

502. Points À rinfini et asymptotes. — Un point de l'intersection d'une surface de révolution et d'un cône ne peut être à l'infini que si le parallèle de ce point est à l'infini. Mais ce parallèle à l'infini se trouve sur le cône des directions asymptotiques ayant son sommet en un point quelconque de l'axe. Les points cherchés sont donc les mêmes que les points à l'infini de l'intersection d'un cône de directions asymptotiques et du cône donné.

D'ailleurs les plans tangents à la surface le long d'un parallèle à l'infini enveloppent le cône asymptote correspondant à ce parallèle, cône asymptote qui est égal à celui des directions asymptotiques. Comme la tangente en un point à l'infini, c'est-à-dire l'asymptote correspondant à ce point est l'intersection du plan tangent à la surface de révolution et du plan tangent au cône, on voit que, finalement, la détermination des points à l'infini et des asymptotes correspondantes se ramène à la résolution du même problème dans l'intersection du cône donné avec chacun des cônes asymptotes de la surface.

503. Exemple I. — Intersection d'un paraboloïde de révolution et d'un cône.

L'épure ci-contre relative à l'intersection d'un paraboloïde de révo-

lution et d'un cône a été exécutée d'après ces indications. Le paraboloïde est défini par sa méridienne principale ; son axe ^z' est vertical, et sa trace sur le plan horizontal est la circonférence ab. Le cône a pour sommet le point [s, /) et pour base l'ellipse cde située dans le plan horizontal.

Détermination d'un point de V intersection. — Cherchons, par exemple, les points situés sur le parallèle projeté verticalement en p'q[. Pour cela, considérons le cône auxiliaire de sommet {s, sT) et ayant pour base ce parallèle. Ce cône coupe le plan horizontal suivant une circonférence de centre o et de rayon or^ circonférence qui rencontre la base du cône donné en quatre points, /*, 9, /t, t. Par chacun de ces points il passe une génératrice commune aux deux cônes et rencontrant le parallèle (pç, pY) en un point qui appartient à l'intersection des deux surlaces. En prenant la génératrice {sg^ $lcf)^ on obtient ainsi le point (m, m').

Tangente au point (m, m'). — On l'obtient en prenant l'intersection des plans tangents en (m, m!) au paraboloîde et au cône. Le plan tangent au paraboloîde est défini par la tangente (m^ mY) au parallèle du point (m, w') et par la tangente (<rm, Jm') à la méridienne du même point. Le plan tangent au cône est défini par la génératrice [sg^ s!g') et par la tangente (^6, ^0') à la base. Les traces horizontales des deux plans tangents se coupant au point (0, 6'), la tangente demandée est (me, m'^).

Points sur les contours apparents. — Les points sur le contour apparent vertical du paraboloîde n'ont pu être déterminés qu'approximativement et après le tracé de la courbe d'intersection. Quant aux points situés sur les génératrices de contour apparent du cône, on les a obtenus en déterminant, par la méthode indiquée au n"* 458, les points de rencontre de ces génératrices avec le paraboloîde. Les constructions n'ont pas été conservées pour ne pas surcharger le dessin.

Ponctuation. — Pour faire la ponctuation, on a représenté le paraboloîde entaillé par le cône, c'est-à-dire qu'on a enlevé du paraboloîde tout ce qui est intérieur au cône, et du cône tout ce qui est extérieur au paraboloîde limité au plan horizontal.

504. Exemple II. — Intersection d'un tore et d'un cône ayant son sommet sur l'axe du tore (École polytechnique, 1895).

INTERSECTION d'lN CONE ET d'uXE SURFACE DE RÉVOLUTION 453

Le tore, à axe vertical, est défini par sa méridienne. Le cône, de sommet (o, ^), est circonscrit à une sphère de centre (w, o»'), tangente à Taxe du tore au point (0,11'). Le plan vertical oa> étant un plan de symétrie pour les deux corps est un plan de symétrie pour leur intersection ; de sorte que la droite ow est un axe de symétrie de la projection horizontale de l'intersection.

DéieÊrmination d'un point de V intersection. — On obtient ce point en cherchant l'un des points de rencontre du tore avec une génératrice du cône. Considérons, par exemple, la génératrice du cône projetée horizontalement en ok ; elle est tangente au petit cercle déterminé dans la sphère (w, w') par le plan vertical ok. Pour avoir ses points de rencontre avec le tore amenons-la, par une rotation, dans le plan de front qui contient l'axe. Dans ce mouvement le point k venant en Ab, le petit cercle déterminé dans la sphère se projette verticalement suivant la circonférence de diamètre ték^ tangente à l'axe au point it' ; la génératrice du cône devient donc la droite projetée verticalement suivant la deuxième tangente à ce cercle menée par le point s', l'autre tangente étant confondue avec Taxe. Il en résulte que l'un des points de rencontre cherchés est projeté verticalement en mi après la rotation ; on en déduit les projections m et m' avant la rotation par une opération inverse.

Tangente au point (w, m'). — C'est la perpendiculaire menée en ce point au plan des deux normales.

La normale au tore est projetée horizontalement en on^, et le point fil est la projection horizontale du centre de la demi-méridienne qui passe par (m, wl). Pour avoir la normale au cône, considérons le point (0, V) de la génératrice verticale (0, oV) situé à la même distance du sommet que le point (m^m^. Le point (0,/') étant situé, d'après cela, sur le même parallèle que le point (m, m'), la normale au cône au point (0, P) rencontre l'axe (ow, ^(o') de cette surface au même point que la normale en (w, m'), La normale en (0, l') étant projetée verticalement suivant la perpendiculaire à os' menée par /', on en conclut que le point (n, n') est le sommet du cône des normales, relatif au parallèle du point (m, m') ; par conséquent la normale au cône en (m, m') est projetée en {mn^ w!n'). Ajoutons d'ailleurs que pour déterminer le point V il suffit de prendre s'V = j'wio.

Si on coupe le plan des deux normales par le plan horizontal qui

passe par le point (c, (/), on obtient une droite projetée horizontalement en hrii ; donc la tangente en m à la projection horizontale de Tintersection est la perpendiculaire mt menée à Atij par le point m. Supposons le plan des deux normales défini par Thorizontaie du point (m, m') et par Thorizontale projetée en hniy puis coupons ce plan par le plan de ^front mené par d ; nous obtenons ainsi une ligne de front projetée verticalement en xt/, et la tangente en m! à la projection verticale de l'intersection est la perpendiculaire m'f à oLt/ menée par le point m'.

Points sur les contours apparents du tore, — On voit d'abord que les points situés sur la demi-méridienne de front sont les points de rencontre de cette demi-méridienne avec la tangente s^ff[ menée du point «^ à la circonférence cuV. Pour les autres, on observe qu'ils sont situés sur des parallèles du tore et que, si on les amène dans le plan du méridien principal par une rotation autour de Taxe, ils viennent en o^, bo9 ^0, do. Pour obtenir, par exemple, le point projeté en e'o après la rotation, on remarque que la génératrice correspondante du cône est projetée elle-même en sfe^o et est tangente à un petit cercle de la sphère (co, w'), petit cercle dont la nouvelle projection verticale est une circonférence tangente à oz' en ir' et tangente à sfeo; soit ^eo le diamètre de ce cercle; en le reportant en ot sur le contour apparent horizontal de la sphère, on obtient facilement en (e, ef] le point cherché.

Points sur le contour apparent vertical du cône, — On les obtient par la méthode générale, c'est-à-dire en déterminant les points de rencontre du tore avec la génératrice de contour apparent vertical du cône qui rencontre le tore. 11 n'y a en effet sur le cône qu'une génératrice de contour apparent vertical rencontrant le tore, et elle donne deux points projetés verticalement en p' et en q'.

Génératrices limites. — Ce sont les génératrices du cône tangentes au tore, c'est-à-dire les génératrices communes au cône donné et aux cônes de sommet (o, s') circonscrits au tore. Un seul de ces cônes, celui qui correspond à la tangente «'//i, coupe le cône donné suivant deux génératrices dont l'une est projetée en {og, si g').

Ponctuation. — Pour faire la ponctuation, on a représenté le solide commun aux deux corps. En projection horizontale, les parties vues du

Aâ Al\.SkkAk.

solide commun sont la portion adrdibiuba delà surface du cône et les deux portions ara^a et bubib de la surface supérieure du tore ; il en résulte que toutes les lignes qui restent en projection horizontale sont vues.

En projection verticale, les parties vues du solide commun sont la portion p'a'e'q' de la surface du cône, et sur la surface du tore, la portion externe eff' et la portion interne <£'aVeia',rfid' ; les autres lignes sont cachées.

Remarque, — En déterminant, par la méthode générale, les points situés sur la génératrice projetée horizontalement en ou, on obtient les points (u^ u') et (r, r^) en lesquels les tangentes à Tintersection sont horizontales.

§ II. — Surface de révolution et cylindre,

505. Détermination d*un point de rintersectlon. — Nous distinguerons deux cas suivant que les génératrices du cylindre sont ou ne sont pas perpendiculaires à l'axe.

Dans le premier cas on obtient un point quelconque de l'intersection en déterminant les points de rencontre d'une génératrice du cylindre avec la surface de révolution. Pour cela, on coupe cette dernière surface par le plan perpendiculaire à l'axe mené par la génératrice. On obtient ainsi des parallèles dont les points de rencontre avec la génératrice sont des points de l'intersection.

Dans le second cas nous supposerons^ comme pour le cône, que la directrice du cylindre est une courbe plane située dans un plan perpendiculaire à Vaxe^ cas auquel on peut du reste toujours se ramener en opérant comme pour le cône (495). Pour obtenir alors un point courant de l'intersection, on détermine un des points de rencontre d'un parallèle de la surface de révolution avec le cylindre. A cet effet, on cherche les génératrices communes au cylindre donné et à celui qu'on obtient en menant par les points du parallèle considéré les parallèles aux génératrices du premier. On détermine d'ailleurs les génératrices communes à ces deux cylindres en les coupant par le plan de base du cylindre donné, plan qui coupe le cylindre auxiliaire suivant un cercle. Par chaque point commun à ce cercle et à la directrice du cylindre donné il passe une génératrice commune aux deux cylindres.

INTERSECTION d'uN CYLINDRE ET d'uNE SURFACE DE RÉVOLUTION 457

Chacune de ces génératrices rencontre le parallèle de la surface en un point qui est l'un des points cherchés.

Si la directrice du cylindre était elle-même un cercle, situé dans un plan perpendiculaire à Taxe, l'emploi du cylindre auxiliaire deviendrait inutile ; car, pour avoir les points de rencontre d'un parallèle de la surface avec le cylindre, il suffirait de couper par le plan de ce parallèle, plan qui coupe le cylindre suivant un cercle égal au cercle de base.

506. Construction de rinterscction ; tangente en un point. — Pour construire la ligne d'intersection des deux surfaces, quand on en sait construire autant de points que l'on veut, on suppose qu'un point M se déplace sur la génératrice de la surface de révolution et décrit cette génératrice une seule fois dans un sens déterminé. On détermine les points de rencontre du cylindre avec le parallèle du point M et pour chaque position de ce point, puis on joint tous ces points dans l'ordre où ils ont été obtenus.

Quand les génératrices du cylindre sont perpendiculaires à l'axe, il peut être préférable de faire déplacer le point M sur la directrice du cylindre, de déterminer les points de rencontre de la surface de révolution avec la génératrice du cylindre qui passe par M et pour chaque position du point M, et de joindre les points dans l'ordre où ils ont été obtenus.

Comme pour toutes les surfaces, on obtient la tangente en un point de l'intersection en déterminant l'intersection des plans tangents aux deux surfaces en ce point, ou en menant par ce point la perpendiculaire au plan des deux normales.

507. Parallèles limites. — On les définit comme dans l'intersection d'une surface de révolution et d'un cône. On peut les déterminer en procédant comme dans ce cas. Pour s'en assurer, il n'y a qu'à se reporter au n» 498, et à supposer que le sommet du cône s'est éloigné à l'iniini dans la direction des génératrices du cylindre.

La tangente à l'intersection en un point fourni par un parallèle limite coïncide avec la tangente à ce parallèle (498).

508. Génératrices limites. — Ce sont les génératrices du cylindre tangentes à la surface de révolution ; ce sont, par conséquent, les

génératrices communes au cylindre donné et au cylindre parallèle circonscrit à la surface de révolution.

Quand les génératrices du cylindre sont perpendiculaires à Taxe de la surface de révolution, la détermination des génératrices limites et celle des parallèles limites sont deux problèmes identiques.

509. Points ù rinflni et asymptotes. — En raisonnant comme au n® 502, on voit que les points à Tinfini de l'intersection d'une surface de révolution et d'un cylindre sont les mêmes que les points à rinfinî de l'intersection du cylindre avec les divers cônes asymptotes de la surface, et il en est de même des asymptotes.

La détermination des points à Tinlini et des asymptotes correspondantes est donc un probl'^mc déjà résolu (489).

510. Exemple. — Solide commun à un hyperboloïde de révolution et à un cylindre elliptique.

L'hyperboloïde est défini par son axe (o, oV), qui est vertical, et par une génératrice de front (a/, aY).

Le cylindre a pour base une ellipse de centre c dans le plan horizontal; Tun des axes de cette ellipse est parallèle à la ligne de terre, et les génératrices du cylindre sont parallèles à la droite (a/, fiT).

Détermination d'un point de V intersection. — Cherchons, par exemple, un point de l'intersection situé sur le parallèle dont le plan est le plan horizontal h'. Ce plan coupe Taxe de révolution au point (o, o'); il rencontre en (rf, d') la deuxième génératrice de l'hyperboloïde située dans le même plan de front que (a/, a'I'). Le point (rf, rf') engendre un parallèle qui rencontre le plan du méridien principal de rhyperboloïde en des points tels que (A", k) : le point (A, k) est un point de la méridienne principale de l'hyperboloïde.

Considérons alors le cylindre auxiliaire parallèle au cylindre donné et qui a pour base le parallèle du point (d, d) ou, ce qui revient au même, du point {k, k'). La trace horizontale de ce cylindre auxiliaire est une circonférence égale au parallèle du point (A, k!) et ayant pour centre le point (oi, o'i) trace horizontale de la parallèle aux génératrices menée par le point (o, o'). Cette circonférence passe évidemment par le point (a, a'), trace horizontale de la génératrice (a/, al'); soit (wii, m\) l'un de ses points de rencontre avec la base du cylindre-

460 INTERSECTIONS DE SCRFACES

donné. La génératrice de ce cylindre qui passe par (nii^mi) rencontre le parallèle du point {d, d') en un point (m, in') qui est un point de l'intersection des deux surfaces.

Tangente au point (m, m'). — La tangente en ce point est Tintersection du plan tangent à l'hyperboloïde et du plan tangent au cylindre donné. La trace horizontale du plan tangent au cylindre est la tangente en mi à la base de ce cylindre. Pour déterminer le plan tangent en (m, m') à l'hyperboloïde 9 menons du [>oint m une tangente mf au cercle de gorge; cette droite est la projection horizontale d'une des génératrices de l'hyperboloïde qui se coupent au point {mym')\ sa projection verticale est m!f^ et la trace horizontale de (m/*, m'f) est le point (^, ^. En menant par g la parallèle gt à la tangente en m au parallèle de ce point» on obtient la trace horizontale du plan tangent à l'hyperboloïde au point (m, m'). Les traces horizontales des deux plans tangents se coupant au point (^ ^), on en conclut que (m^ m'/') est la tangente à l'intersection au point (m, m').

Points situés sur le cercle de gorge, — On les obtient par la méthode générale au moyen du cylindre auxiliaire qui a pour base le cercle d gorge. La trace horizontale de ce cylindre a pour centre le point Oj, passe par le point a et coupe l'ellipse base du cylindre donné aux points éi et ji. On en déduit facilement les points cherchés (A, 6') et (9, q').

Points situés dans les deux plans horizontaux qui limitent le solide commun. — Supposons que le solide commun soit limité au plan horizontal de projection et au plan horizontal mené par 2'. On obtient encore les points situés sur le parallèle dont le plan passe par z', par l'emploi de la méthode générale : ces points sont (r, r^ et («, *').

Quant aux points situés sur la trace horizontale de l'hyperboloïde, ce sont les points (u, u*) et (6, ô') obtenus par l'intersection de la base du cylindre et de la trace horizontale de l'hyperboloïde.

Points sur le contour apparent vertical de Vhyperboloïde. — On a obtenu ces [)oints en prenant les points de rencontre de l'hyperbole méridienne avec les génératrices du cylindre situées dans le plan du méridien principal : les constructions n'ont pas été conservées pour ne pas surcharger le dessin.

Points sur les contours apparents du cylindre. — Les points sur les

génératrices de contour apparent du cylindre ont été obtenus en déterminant les points de rencontre de ces génératrices avecThyperboloïde; pour la même raison que plus haut, les constructions n'ont pas été conservées.

D'ailleurs, pour déterminer les points de rencontre de Thyperboioïde avec les génératrices de contour apparent du cylindre, on peut procéder comme pour déterminer un point quelconque de l'intersection . Imaginons en effet qu'un de ces points ait été déterminé, considérons le parallèle de ce point et projetons-le obliquement sur le plan horizontal en prenant comme direction des projetantes celle des génératrices du cylindre. Nous obtenons ainsi un cercle dont le centre est sur la ligne ooi, et qui passe par le point a et par la trace horizontale de la génératrice de contour apparent du cylindre sur laquelle se trouve le point considéré. Ce cercle est donc déterminé et on en déduit facilement le parallèle dont il est la projection horizontale ainsi que le point cherché correspondant.

n est bon d'observer que ces constructions permettent de résoudre le problème suivant : Déterminer le point de rencontre à distance finie d'une droite parallèle à une génératrice de la surface gauche de révolution.

Points à Fin fini et asymptotes. — Pour avoir les points à l'infini, on peut remplacer l'hyperboloïde par son cône asymptote. Mais le cylindre ayant ses génératrices parallèles à une génératrice du cône asymptote, l'intersection présente un point double à l'infini dans la direction des génératrices du cylindre (481). Les tangentes à l'intersection en ce point double à l'infini, c'est-à-dire les asymptotes, sont les génératrices qu'on obtient en coupant le cylindre par le plan tangent mené au cône asymptote suivant la génératrice qui est parallèle à celles du cylindre (490). Ce plan tangent est le plan de bout ^aT; il coupe la base du cylindre aux points a et p. Les asymptotes cherchées sont donc projetées horizontalement en ay et en ^ô, et verticalement en a'I'.

Ligne des points doubles en projection horizontale. — Elle est l'intersection du plan du cercle de gorge avec le plan qui contient les génératrices de contour apparent horizontal du cylindre et qui a pour trace horizontale eÇ. Ces deux plans sont de bout et se coupent suivant la ligne de bout (u, r ), qui est la ligne cherchée.

1. Trouver les sections circulaires d'un cône ayant pour base un cercle du plan horizontal et pour sommet un point du plan vertical.

2. Un cône de sommet (s^ /) a pour base un cercle donné du plan horizontal. Construire le lieu des projections d un point donné (a, a') sur les génératrices de ce cône ; tangente en un point.

3. Résoudre le même problème quand on remplace les génératrices du cône par ses plans tangents.

i. On donne un cercle dans le plan vertical et un axe vertical de son plan. Construire [^intersection du cylindre droit qui a pour base ce cercle et du tore engendré par le cercle en tournant autour de l*axe.

5. On donne, dans le plan horizontal, un cercle et une droite. Le cercle est la base d'un cône droit de hauteur égale au diamètre du cercle. La droite est Taxe autour duquel tourne le cercle pour engendrer un tore. Construire Tintersection des deux surfaces.

6. Construire l'intersection d*un hyperboloïde de révolution à axe vertical et d'un cône ayant sa base dans le plan horizontal, le sommet de ce cône étant un point quelconque.

7. Construire Tintersection d'une sphère et d*un cylindre. La sphère est tangente au plan horizontal. La base du cylindre est dans le plan horizontal, et les génératrices font un angle de 45» avec le plan de la base.

8. Construire Tinterseclion d'une sphère et d'un cône ayant son sommet au centre de la sphère et sa base dans le plan horizontal ; trouver les points les plus hauts et les points les plus bas.

9. Construire l'intersection d'une sphère et d'un cône quelconque ; trouver les points les plus hauts et les plus bas, ainsi que les points doubles

apparents. Développer ensuite la surface latérale du cône sur un plan, et construire la transformée de Tintersection des deux surfaces.

10. Ligne de terre parallèle au grand côté du cadre e t à une dislance du bord inférieur égale à 190™"*. ('.adre 27«"* sur 42*".

Un tore dontPaxe (o, iûz') est vertical est engendré par une circonférence située dans le plan de front F.

xb} = 135»°*, (ùo = 93™», Yw = 60™», c'a' = 30™», c'y = 3i»".

Un cylindre de révolution dont les génératrices sont perpendiculaires au plan vertical a pour base dans le plan vertical

I J ^V ^^ cercle de 60™» de rayon tangent exté-

^ ^ ^ rieurement à la circonférence méridienne

de droite du tore et à la projection verticale du parallèle inférieur.

On demande : 1*» de trouver les projections de l'intersection du tore et du cylindre ;

2« de représenter la partie du tore supposé plein extérieure au cylindre ;

3<» de trouver la projection du solide sur un plan vertical dont la trace tiorizontale a?iyi est parallèle à la droite joignant le point o au point le plus bas de Pintersection qui est le plus voisin de xy. La distance de o à ^lyi est égale à 160™". (R. Malloizel).

11. Cadre 27«" sur 42'^". — Ligne de terre parallèle au petit côté du

cadre et au milieu.

(o, ùiz') est Taxe d'un tore engendré par la circonférence de front (c, c') dont le rayon a 3c« ; oio' = 7«", o'c' = 6«™, ow = 10*^™.

Par 0 je mène la droite pqrs faisant 45* avec xy; le plan vertical passant par cette droite coupe le tore suivant deux cercles pq, r$. Je mène au cercle pq une tangente extérieure au tore faisant 50^ avec le plan horizontal, et je prends sa trace horizontale g. Je mène au cercle rs une tangente intérieure au tore parallèle à la précédente et je prends sa trace horizontale h. Sur gh comme diamètre je décris une circonférence qui est la trace horizontale d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles aux tangentes à p^ et à rs. On demande de représenter le tore entaillé par le cylindre.

(R. Malloizel).

nr

12. Cadre 27*™ sur 42*™. — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu.

CM

Un tore dont Taxe (o, ^z') est vertical, 4D0 = 90"^", (Il étant le milieu de la feuille, est engendré par la circonférence (c, c') de rayon $9"» située dans le plan de front passant par Taxe, coo' = 83™", oV = 56»n?.

Un cylindre a pour base dans le plan horizontal un cercle (d, dl) dont le rayon est ii^m, dâ: = 107", d'o> = 84»». Les génératrices sont parallèles à la droite de front (dA, diK) ; d'V est obtenue en joignant les points dS et o'.

On demande : 1<* de trouver les projections de l'intersection du tore et du cylindre ; 2o de représenter le solide commun. (R. Malloizel).

H fL v5 H'

lA^^,

13. Cadre 29«» sur 42«». — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu.

Une surface de révolution est engendrée par la droite de front (G, G'

faisant un angle de 45o avec le plan horizontal. L*axe de cette surface est la ligne verticale

axo =: coy, (i>o =i 11«", («>o' = 10*", oA=3*"».

Un cylindre a ses génératrices parallèles à (G, G') et pour base dans le plan horizontal une ellipse ainsi définie : par le point d trace de la génératrice de front od du cône asymptote de lliyperbololde, on mène une droite hc faisant 45* avec do, on prend M=4"", dc=9*" ; fr et c sont les sommets de Teltipse; le petit axe af est d*ailleurs égal à iO*".

On demande : 1» de trouver les projections de rintersection de la surface gauche de révolution et du cylindre ; 2«> de représenter le solide commun limité au plan horizontal de projection et à un plan horizontal de cote 17'"-

(R. Malloizel).

14. On considère un cône droit à hase circulaire dont le rayon de base

OC = 60"", et la hauteur OA = 1 30"". Dans le

plan méridien ABC, on trace la circonférence passant par les deux points 0 et C, tangente au côté AB, et dont le centre 1 se trouve, par rapport à BC, du même côté que A.

Tracer, sur le plan de la base du cône et sur le plan méridien ABC, les projections de rintersection de la surface du cône et de la surface de la sphère de centre 1 et de rayon IC.

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